Fenomenos de transporte-aula6

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
GLEYZER MARTINS 1
CONDUÇÃO TRANSIENTE 
 
Vários problemas de transferência de calor são dependentes do tempo, são conhecidos como não-
estacionários, ou transientes e aparecem tipicamente quando as condições de contorno são alteradas. 
As variações temperatura ocorrerão até a distribuição de temperatura alcançar o regime 
estacionário. A natureza da abordagem depende das considerações que podem se feitas para o 
processo, conforme descrito abaixo: 
• Método da capacidade concentrada - gradiente de temperatura no interior do sólido 
desprezível 
• Sólidos finitos ou semi-infinitos – gradientes de temperatura não desprezível e transferência 
de calor unidimensional (Paredes planas, cilindros longos e esferas) 
• Método numérico – Solução bi-dimensional e tridimensional transiente com geometrias 
complexas 
MÉTODO DA CAPACIDADE CONCENTRADA 
Um problema de condução transiente simples, mas comum, é aquele para o qual um sólido sofre 
uma rápida alteração em sua temperatura ambiente, um exemplo típico é um metal quente forjado 
que se encontra a uma temperatura uniforme e é resfriado ao ser imerso em um líquido de menor 
temperatura. Esta abordagem é conhecida como método da capacidade concentrada e admitisse que 
o resfriamento é rápido o suficiente para produzir gradientes desprezíveis no interior do sólido. Esta 
ausência de gradiente de temperatura implica na existência de uma condutividade térmica infinita. 
 
Ao desprezar os gradientes de temperatura no interior do sólido, não pode-se considerar o problema 
enquadrado na equação de calor. Desta forma, a resposta transiente da temperatura é determinada 
pela formulação de um balanço global de energia no sólido, dado por: 
 
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s arE E− =& & 
Ou seja 
( )s p dTh A T T V c dtρ∞− ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ 
Integrando e trabalhando em termo da diferença de temperatura T Tθ ∞= − , tem-se: 
exp s
i i p
h AT T t
T T V c
θ
θ ρ
∞
∞
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅−= = − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ ⋅⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
A equação indica que a diferença de temperatura entre o fluido e sólido decai exponencialmente e 
que a grandeza p
s
V c
h A
ρ ⋅ ⋅
⋅ pode ser interpretada com uma constante de tempo térmico, dada na 
forma: 
( )1i p
s
V c
h A
τ ρ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ 
Para determinar a transferência de energia total Q ocorrendo até um instante de tempo t , esqueve-se 
simplesmente: 
0 0
t t
sQ qdt h A dtθ= = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ 
Substituindo, tem-se: 
( ) 1 expp i
i
tQ V cρ θ τ
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
O método da capacidade concentrada somente é valido se a razão entre o calor trocado por 
condução e convecção for desprezível, ou seja, para o limite do regime estacionário, tem-se: 
 ( ) ( )1 2 2, , ,S s skA T T h A T TL ∞− = ⋅ ⋅ − 
Ou seja: 
( )
( )1 22 1
, ,
,
S s
s
L
T T h A h Lk A Bik A kT T
L h A
∞
− ⋅ ⋅⋅= = = =⋅−
⋅
 
A grandeza h L
k
⋅ é um parâmetro adimensional, denominado número de Biot, que fornece uma 
medida de queda de temperatura entre a superfície e o fluido. De posse do número de Biot 
determina a validade do método da capacidade concentrada: 
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0 1,ch LBi
k
⋅= < 
Onde cL é o comprimento característico que é a razão entre o volume do sólido e a área superficial, 
c
s
VL
A
= . Finalmente pela expoente da equação do método da capacidade concentrada, tem-se 
2 2
s c c c
p p c c p c c
h A t L h L h Lh t k k t t
c V c L k L k c L k L
α
ρ ρ ρ
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
O termo 2
c
t
L
α ⋅ é um parâmetro adimensional de tempo conhecido como número de Fourier 
2
c
tFo
L
α ⋅= e o termo ch L
k
⋅ é o número de Biot. Estes dois parâmetros adimensionais caracterizam a 
condução transiente: 
( )exp
i i
T T Bi Fo
T T
θ
θ
∞
∞
−= = − ⋅− 
 
Exemplo-1: Uma junção termopar, que pode ser aproximada como uma esfera, deve ser 
utilizada para a medida de temperatura em corrente de gás. O coeficiente entre a superfície de 
junção de gás é 2400 /h W m K= ⋅ , e as propriedades termofísicas da junção são 20 /k W m K= ⋅ , 
400 /pc J kg K= ⋅ e 38500 /kg mρ = . Determine o diâmetro da junção necessário para que o ter 
mopar tenha uma constante de tempo 1s . Se a junção encontra-se a 25ºC e é colocada em uma 
corrente de gás 200ºC, quanto tempo levará para que a junção alcance 199ºC? 
 
Exemplo-2: Esferas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas através de aquecimento a 
1150 K e então resfriadas lentamente até 400 K no ar ambiente para o qual 325T K∞ = e 
220 /h W m K= . Considerando as propriedades do aço com 40 /k W m K= ⋅ , 37800 /kg mρ = e , 
estime o tempo necessário para o processo de resfriamento. 
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EFEITOS ESPACIAIS 
As situações nas quais o método da capacidade concentrada é inapropriado, e aproximações 
alternativas podem ser utilizadas, para uma solução equação de calor unidimensional transiente, 
dada na forma: 
2
2
1T T
x tα
∂ ∂= ⋅∂ ∂ 
Para resolver a equação para a distribuição de temperatura ( ),T x t , é necessário especificar uma 
condição inicial e duas de contorno. 
( )0, iT x T= , 
0
0
x
T
x =
∂ =∂ ( ),x L
Tk h T L t T
x ∞=
∂ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦∂ 
Adimensionalizando a equação na forma: 
*
i i
T T
T T
θθ θ
∞
∞
−= = − , 
* xx
L
= , 2* tt FoL
α ⋅= = 
Tem-se de distribuição equação de calor: 
2
2
* *
*x Fo
θ θ∂ ∂=∂ ∂ 
E as condições iniciais e de contorno torna-se: 
( )0 1* * ,xθ = ; ( )
1
1
*
*
* *
* ,
x
Bi t
x
θ θ
=
∂ = − ⋅∂ 
Pela adimensionalização observa-se que a solução é função de: 
( )* * , ,f x Fo Biθ = 
Esta equação implica que, para uma da geometria, a distribuição da temperatura transiente é 
uma função universal de *x ,Fo e Bi . 
 
PAREDES PLANAS COM CONVECÇÃO 
SOLUÇÃO EXATA 
A solução exata é dada na forma: 
( ) ( )2
1
* *exp cosn n n
n
C Fo xθ ζ ζ∞
=
= − ⋅ ⋅∑ 
onde ( )
4
2 2
n
n
n n
senC
sen
ζ
ζ ζ= ⋅ + ⋅ e os valores discretos (Auto valores) de nζ são raízes positivas da 
equação transcendental tann n Biζ ζ = 
 
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SOLUÇÃO APROXIMADA 
Pode se mostrar que para valores de 0 2,Fo > , as soluções de series infinitas podem ser 
aproximadas pelo primeiro termo da série. Ficando na forma: 
( ) ( )21 1* *exp cos iC Fo xθ ζ ζ= ⋅ − 
Uma importante implicação da equação é que a dependência da temperatura em relação ao 
tempo em qualquer posição no interior da parede é a mesma que a da temperatura intermediária, os 
coeficientes são dados na tabela 1. 
 
A TRANSFERÊNCIA TOTAL DE ENERGIA 
Em muitas situações, é útil saber a energia total que saiu (ou entrou) na parede em um tempo 
qualquer t no processo transiente. Equacionando a energia transferida da parede Q para sE e 
estabelecendo 0eE = , pela equação da energia tem-se: 
( ),p iQ c T x t t dVρ ⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ −⎣ ⎦∫ 
Adimensionalizando esse resultado introduzindo a grandeza 
( )0 p iQ c V T Tρ ∞= ⋅ ⋅ − 
A razão entre a energia total transferida da parede em um intervalo de tempo t e a transferência 
máxima possível é 
( )
[ ] ( )0
1 1 *
, i
i
T x t TQ dV dV
Q T T V V
θ
∞
⎡ ⎤−⎣ ⎦= − = −−∫ ∫ 
Integrando a forma aproximada, tem-se: 
0
0
1 *i
i
senQ
Q
ζ θζ= − 
Outras Soluções 
Sistemas Cilindro Infinito Esfera 
Distribuição de temperatura 
*θ 
( ) ( )21 1 0 1 *expC Fo J rζ ζ⋅ − ⋅ ( ) ( )21 1 1
1
1 *
*expC Fo sen rr
ζ ζζ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ 
Transferência Total de 
Energia 
( )0 1 1
0 1
21
*Q J
Q
θ ζζ
⋅= − ( ) ( )0 13
0 1
31 1 1
*
cosQ sen
Q
θ ζ ζ ζζ
⋅ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦
 
 
 
 
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 Parede Plana Cilindro Infinito Esfera 
Bi ζ1 
(rad) 
C1 ζ1 
(rad) 
C1 ζ1 
(rad)
C1 
0,01 0,0998 1,0017 0,1412 1,0025 0,1730 1,0030 
0,02 0,1410 1,0033 0,1995 1,0050 0,2445 1,0060 
0,03 0,1732 1,0049 0,2439 1,0075 0,2989 1,0090 
0,04 0,1987 1,0066 0,2814 1,0099 0,3450 1,0120 
0,05 0,2217 1,0082 0,3142 1,0124 0,3852 1,0149 
0,06 0,2425 1,0098 0,3438 1,0148 0,4217 1,0179 
0,07 0,2615 1,0114 0,3708 1,0173 0,45501,0209 
0,08 0,2791 1,0130 0,3960 1,0197 0,4860 1,0239 
0,09 0,2956 1,0145 0,4195 1,0222 0,5150 1,0268 
0,10 0,3111 1,0160 0,4417 1,0246 0,5423 1,0298 
0,15 0,3779 1,0237 0,5376 1,0365 0,6608 1,0445 
0,20 0,4328 1,0311 0,6170 1,0483 0,7593 1,0592 
0,25 0,4801 1,0382 0,6856 1,0598 0,8448 1,0737 
0,30 0,5218 1,0450 0,7465 1,0712 0,9208 1,0880 
0,4 0,5932 1,0580 0,8516 1,0932 1,0528 1,1164 
0,5 0,6533 1,0701 0,9408 1,1143 1,1656 1,1441 
0,6 0,7051 1,0814 1,0185 1,1346 1,2644 1,1713 
0,7 0,7506 1,0919 1,0873 1,1539 1,3525 1,1978 
0,8 0,7910 1,1016 1,1490 1,1725 1,4320 1,2236 
0,9 0,8274 1,1107 1,2048 1,1902 1,5044 1,2488 
1,0 0,8630 1,1191 1,2558 1,2071 1,5708 1,2732 
2,0 1,0769 1,1795 1,5995 1,3384 2,0288 1,4793 
3,0 1,1925 1,2102 1,7887 1,4191 2,2889 1,6227 
4,0 1,2646 1,2287 1,9081 1,4698 2,4556 1,7201 
5,0 1,3138 1,2402 1,9898 1,5029 2,5704 1,7870 
6,0 1,3496 1,2479 2,0490 1,5253 2,6537 1,8338 
7,0 1,3766 1,2532 2,0937 1,5411 2,7165 1,8674 
8,0 1,3978 1,2570 2,1286 1,5526 1,7654 1,8921 
9,0 1,4149 1,2598 2,1566 1,5611 2,8044 1,9106 
10,0 1,4289 1,2620 2,1795 1,5677 2,8363 1,9249 
20,0 1,4961 1,2699 2,2881 1,5919 2,9857 1,9781 
30,0 1,5202 1,2717 2,3261 1,5973 3,0372 1,9898 
40,0 1,5325 1,2723 2,3455 1,5993 3,0632 1,9942 
50,0 1,5400 1,2727 2,3572 1,6002 3,0788 1,9962 
100 1,5552 1,2731 2,3809 1,6015 3,1102 1,9990 
∞ 1,5707 1,2733 2,4050 1,6018 3,1415 2,0000 
a Bi hL k= para parede plana e 0Bi hr k= para cilindro e esfera 
 
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EXERCÍCIO 
Considere um tubulação de aço (AISI 1010) com 1m de diâmetro e espessura de parede de 40 
mm. O tubo é bem isolado no exterior, e antes de início do escoamento as paredes da tubulação 
encontram-se a uma temperatura uniforme de -20ºC. com o inicio do escoamento, óleo quente a 
60ºC é bombeado através do tubo, criando uma condição convectiva correspondente a 
2500 /h W m K= na superfície interna da tubulação. 
1. Quais os números apropriados de Biot e Fourier 8 min após inicio do escoamento? 
2. No instante t=8 min, qual a temperatura da superfície externa da tubulação coberta pelo 
isolamento? 
3. Qual o fluxo de calor q”(W/m2) para a tubulação a partir do óleo em t=8 min 
4. Quanta energia por metro de comprimento de tubulação é transferida do óleo para o tubo em 
t=8 min?