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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 20 semestre/2015
Centro de Tecnlogias e Cieˆncias
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Nume´rico IV
Professor: Marcus Tovar
1a Lista de Ca´lculo Nume´rico
1a - questa˜o: Mude a representac¸a˜o dos nu´meros:
(a) 1101 da base 2 para a base 10;
(b) 0, 110 da base 2 para a base 10;
(c) 13 da base 10 para a base 2;
(d) 0, 75 da base 10 para a base 2;
(e) 3, 8 da base 10 para a base 2;
(f) 0, 85 da base 10 para a base 2;
(g) 2, 5 da base 10 para a base 2.
2a - questa˜o: Dado o u´mero 12, 20 que esta´ na base 4, represente-o na base 3.
3a - questa˜o: Dado o u´mero 12, 20 que esta´ na base 3, represente-o na base 4.
4a - questa˜o: Utilizando o me´todo da bissec¸a˜o, determine o zero da func¸a˜o f(x) = ex − 3x,
onde [a, b] = [1, 2]. Apo´s cada iterac¸a˜o, determine os erros absoluto e relativo (teste de parada).
Considere o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N = 20 e ε = 10−5. Utilize uma calculadora em seus
ca´lculos.
5a - questa˜o: Calcular e5,25 utilizando cinco d´ıgitos significativos em todas as operac¸o˜es .
Observac¸a˜o:
ex =
∞∑
k=0
xk
k!
6a - questa˜o: Use o me´todo da bissec¸a˜o para obter a menor raiz positiva das equac¸o˜es que seguem
com precisa˜o de ε = 10−4. Apo´s cada iterac¸a˜o, determine os erros absoluto e relativo (teste de
parada). Considere o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N = 20. Utilize uma calculadora em seus
ca´lculos.
(a) x
2
− tg(x) = 0;
(b) 2 cos(x) = e
x
2
;
(c) x5 − 6 = 0.
7a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a raiz de uma equac¸a˜o atrave´s do me´todo da
bissec¸a˜o. Refac¸a os exerc´ıcios 3 e 5 utilizando estes programas.
Teoria:
Dado x, seja x sua representac¸a˜o em F (b, p,m,M) adotando arredondamento. Se x = 0, enta˜o
x = 0. Se x 6= 0, enta˜o escolhemos n e e tais que |x| = n.be, onde b−1(1 − 1
2
b−p) ≤ m < 1
2
b−p.
Se e ∈ [−m,M ], enta˜o calculamos n + 1
2
b−p = 0, d1, d2, d3..., dp, dp+1... e truncamos em p d´ıgitos.
Dessa forma, o nu´mero arredondado sera´
x = (sinal de x)(0, d1, d2, d3..., dp, dp+1...).b
e.
1
8a - questa˜o: Considere neste sistema os nu´meros
(a) x1 = 2712, 43;
(b) x2 = −0, 00036973;
(c) x3 = 0, 9996;
(d) x4 = 823532, 6;
(e) x5 = −0, 0000003.
9a - questa˜o: Para fazer contas, um engenheiro tem a` sua disposic¸a˜o um dispositivo eletroˆnico que
utiliza um sistema decimal de ponto flutuante, definido pelos inteiros
(β, t, L, U) = (10, 4,−1023, 1024).
Aqui β denota a base do sistema de numerac¸a˜o, t o nu´mero de d´ıgitos e L e U que sa˜o, respecti-
vamente, as cotas inferior e superior do expoente da base. A representac¸a˜o em ponto flutuante de
um nu´mero α sera´ denotada por pf(α). Nesse dispositivo, arredonda-se a parcela de α que na˜o
pode ser incorporada a` mantissa de pf(α).
(a) Como esse dispositivo representa os nu´meros x = 273, 95 e y = 21, 13?
(b) Qual o resultado da operac¸a˜o pf (pf + pf)?
(c) Qual o resultado da operac¸a˜o pf (pf × pf)?
(d) Se esse dispositivo util´ıza-se de um sistema bina´rio de ponto flutuante, definido por (β, t, L, U) =
(2, 4,−127, 128), como seria representado o nu´mero z = 22, 25?
2
Respostas:
1a - questa˜o:
(a) (1101)2 = (13)10;
(b) (0, 110)2 = (0, 75)10;
(c) (13)10 = (1101)2;
(d) (0, 75)10 = (0, 110)2;
(e) (3, 8)10 = (11, 11001100...)2;
(f) (0, 85)10 = (0, 11011001100...)2;
(g) (2, 5)10 = (10, 10)2 .
2a - questa˜o:
(12, 20)4 = (20, 111...)3
3a - questa˜o:
(12, 20)3 = (11, 222...)4
4a - questa˜o:
x = 1, 51213455
5a - questa˜o:
e−5,25 = 0, 65974× 10−2
6a - questa˜o:
(a) x = 4, 2747827467;
(b) x = 0, 9047940617;
(c) x = 1, 4309690826.
8a - questa˜o:
(a) x1 = 2712, 43, x1 = 0, 271× 104;
(b) x2 = −0.00036973, x2 = −0, 370× 10−3;
(c) x3 = 0, 9996.
Como n + 1
2
b−3 = 0, 9996 + 0, 0005 = 1, 0001, consideramos |x3| = 0, 09996× 101.
Assim, n+ 1
2
b−3 = 0, 09996 + 0, 0005 = 1, 0045 e x3 = 0, 100× 101
(d) x4 = 823532, 6→ overflow!
Na˜o podemos representar este nu´mero no sistema.
(e) x5 = −0, 0000003, |x5| = 0, 3× 10−6 → underflow!
Na˜o podemos representar este nu´mero no sistema.
9a - questa˜o:
(a) pf (x) = 0, 2740× 3 pf(y) = 0, 2113× 2
(b) pf(pf(x) + pf(y)) = 0, 2951× 103;
(c) pf(pf (x)× pf(y)) = 0, 5790× 106;
(d) pf(z) = 0, 1011× 105.
3
Revisa˜o:
Seja a func¸a˜o f infinitamente diferencia´vel em um intervalo aberto J e seja a um nu´mero em J .
Enta˜o, a se´rie de Taylor para f em a e´ a se´rie de poteˆncias
∞∑
k=0
Ck(x− a)k,
onde
Ck =
f (k)(a)
k!
,
para k = 0, 1, 2, 3, ...
f(x) = ex em a = 0
f(x) = ex −→ f(0) = e0 = 1
f
′
(x) = ex −→ f ′(0) = e0 = 1
f
′′
(x) = ex −→ f ′′(0) = e0 = 1
f
′′′
(x) = ex −→ f ′′′(0) = e0 = 1
f iv(x) = ex −→ f ′′′(0) = e0 = 1
Se´rie de Taylor
f(x) = e0 +
1
1!
e0(x− 0) + 1
2!
e0(x− 0)2 − 1
3!
e0(x− 0)3 + 1
4!
e0(x− 0)4 + ...
f(x) =
∞∑
k=0
xk
k!
4
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Ca´lculo Nume´rico IV
Professor: Marcus Tovar
2a Lista de Ca´lculo Nume´rico
1a - questa˜o: Utilizando o me´todo da falsa posic¸a˜o, determine o zero da func¸a˜o f(x) = ex − 3x,
onde [a, b] = [1, 2]. Apo´s cada iterac¸a˜o, determine os erros absoluto e relativo (teste de parada).
Considere o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N = 20 e ε = 10−5. Utilize uma calculadora em seus
ca´lculos.
2a - questa˜o: Use o me´todo da falsa posicca˜o para obter a menor raiz positiva das equac¸o˜es que
seguem com precisa˜o de ε = 10−4. Apo´s cada iterac¸a˜o, determine os erros absoluto e relativo
(teste de parada). Considere o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N = 20. Utilize uma calculadora em
seus ca´lculos.
(a) x
2
− tg(x) = 0;
(b) 2 cos(x) = e
x
2
;
(c) x5 − 6 = 0.
3a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a raiz de uma equac¸a˜o atrave´s do me´todo da falsa
posic¸a˜o. Refac¸a os exerc´ıcios 1 e 2 utilizando estes programas.
4a - questa˜o: Utilizando o me´todo de Newton-Raphson, determine o zero da func¸a˜o f(x) = ex−3x,
onde x0 = 2. Apo´s cada iterac¸a˜o, determine os erros absoluto e relativo (teste de parada).
Considere o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N = 10 e ε = 10−7. Utilize uma calculadora em seus
ca´lculos.
5a - questa˜o: Use o me´todo de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equac¸o˜es
que seguem com precisa˜o de ε = 10−4. Apo´s cada iterac¸a˜o, determine os erros absoluto e relativo
(teste de parada). Considere o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N = 10. Utilize uma calculadora em
seus ca´lculos.
(a) x
2
− tg(x) = 0;
(b) 2 cos(x) = e
x
2
;
(c) x5 − 6 = 0.
6a - questa˜o: Com o uso da calculadora, aplique o me´todo de Newton-Raphason a` equac¸a˜o
x3 − 2x2 − 3x+ 10 = 0
com x0 = 1, 9.
7a - questa˜o: Seja a equac¸a˜o f(x) = x − xlnx = 0. Utilize o me´todo de Newton-Raphason para
determinar a sua raiz, considerando ε = 10−5 e N = 10. Utilize uma calculadora em seus ca´lculos.
8a - questa˜o: Considere a equac¸a˜o linear dada por:
1 + senx = x
5
.
(a) Mostre que existe uma raiz real, denotada por x, no intervalo (1, 2).
(b) Considerando o intervalo do item anterior, estime quantas iterac¸o˜es seriam necessa´rias para
aproximar x, com precisa˜o de ε = 0, 01 utilizando o me´todo da bisec¸a˜o.
(c) Utilizando o me´todo de Newton-Raphson, obtenha uma aproximac¸a˜o para x, com precisa˜o de
ε = 0, 01.
9a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a raiz de uma equac¸a˜o atrave´s do me´todo de
Newton-Raphson. Refac¸a os exerc´ıcios 4, 5, 6, 7 e 8 utilizando este programa.
10a - questa˜o: Refac¸a os exerc´ıcios 7 e 8 fazendo a substituic¸a˜o da derivada no me´todo de Newton-
Raphson por
f
′
(x) ≈ f(xk)− f(xk−1)
xk − xk−1 .
Antes pore´m verifique que a sequeˆncia xk e´ determinada por
xk+1 =
xk−1f(xk)− xkf(xk−1)
f(xk)− f(xk−1)
Considerex0 = 2 e x1 = 3, ε = 10
−5 e N = 10. Este procedimento e´ conhecido como me´todo
da secante.
11a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a raiz de uma equac¸a˜o atrave´s do me´todo
apresentado no exerc´ıcio anterior. Refac¸a os exerc´ıcios 4, 5, 6, 7, 8 e 10 utilizando este programa.
6
Respostas:
1a - questa˜o:
x = 1, 51213455
2a - questa˜o:
(a)x = 4, 2747827467
(b)x = 0, 9047940617
(c)x = 1, 4309690826
4a - questa˜o:
x = 1, 51213455
5a - questa˜o:
(a)x = 4, 2747827467
(b)x = 0, 9047940617
(c)x = 1, 4309690826
6a - questa˜o:
x = −2, 000000
7a - questa˜o:
x = −2, 718282
8a - questa˜o:
(b)n ≥ 7
(c)x∗ ≃ 1, 9346
10a - questa˜o:
x = −2, 718283
7
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3a Lista de Ca´lculo Nume´rico
1a - questa˜o: Resolva os sistemas lineares que seguem utilizando o me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss.
a)


2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7
x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1
3x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 = 4
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12
b)


3x1 + 2x2 + x4 = 3
9x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 = 6
−6x1 + 4x2 − 8x3 = −16
3x1 − 8x2 + 3x3 − 4x4 = 18
2a - questa˜o: Analise os sistemas lineares abaixo com relac¸a˜o ao nu´mero de soluc¸o˜es, usando o
me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss (trabalhe com treˆs casas decimais).
a)


3x1 − 2x2 + 5x3 + x4 = 7
−6x1 + 4x2 − 8x3 + x4 = −9
9x1 − 6x2 + 19x3 + x4 = 23
6x1 − 4x2 − 6x3 + 15x4 = 11
b)


0, 252x1 + 0, 36x2 + 0, 12x3 = 7
0, 112x1 + 0, 16x2 + 0, 24x3 = 8
0, 147x1 + 0, 21x2 + 0, 25x3 = 9
3a - questa˜o: Refac¸a os exerc´ıcios 1 e 2 utilizando o pivoteamento parcial.
4a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a soluc¸a˜o dos sistemas dos exrc´ıcios 1 e 2 atrave´s
do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss.
5a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a soluc¸a˜o dos sistemas dos exrc´ıcios 1 e 2 atrave´s
do me´todo de pivoteamento parcial.
6a - questa˜o: Resolva o sistema linear que segue.
(a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes;
(b) utilizando o me´todo de Gauss;
(c) utilizando o me´todo de Gauss com pivoteamento parcial.


1x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 11/6
1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 13/12
1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 47/60
7a - questa˜o: Calcule o determinante do sistema que segue e, em seguida, utilize os programas -
itens 4 e 5 - para resolver o sistema
8


1x1 + 1/2x2 + 1/3x3 + 1/4x4 = 25/12
1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 + 1/5x4 = 77/60
1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 + 1/6x4 = 57/60
1/4x1 + 1/5x2 + 1/6x3 + 1/7x4 = 319/420
8a - questa˜o: Calcule a fatorac¸a˜o LU de A,
A =


1 1 1
2 1 −1
3 2 0


9a - questa˜o: Fac¸a um programa que calcule a fatorac¸a˜o LU de uma dada matriz. Refac¸a o
exerc´ıcio 8.
10a - questa˜o: Resolva o sistema linear que segue utilizando me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss.


5x1 + 2x2 + x3 = 0
3x1 + x2 + 4x3 = −7
x1 + x2 + 3x3 = 5
11a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a soluc¸a˜o do sistema do exerc´ıcio 10 atrave´s da
decomposic¸a˜o LU.
9
Respostas:
1a - questa˜o:
(a)
X∗ = (1 2 1 0)T
(b)
X∗ =


2
−1
0
−1


2a - questa˜o:
(a) Infinitas soluc¸o˜es,
(b) Na˜o admite soluc¸o˜es.
6a - questa˜o:
X∗ = (1 1 1)T
7a - questa˜o:
X∗ = (1 1 1 1)T
Obsevac¸o˜es: As matrizes de Hilbert Hn = (hij)n×m,
hij =
1
i+ j − 1 , 1 ≤ i, j ≥ n.
sa˜o exemplos cla´ssicos de matrizes mal condicionadas.
8a - questa˜o:
L =


1 0 0
2 1 0
3 1 1

 , U =


1 1 1
0 −1 −3
0 0 0


10a - questa˜o:
L =


1 0 0
3/5 1 0
1/5 −3 1

 , U =


5 2 1
0 −1/5 17/5
0 0 13


X∗ =


0
1
−2


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4a Lista de Ca´lculo Nume´rico
1a - questa˜o: Verifique os crite´rios de convergeˆncia e resolva os sistemas lineares que seguem,
utilizando os me´todos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. Para os dois sistemas considere ε =
10−3, N = 15 e X(0) = (0 0 0).
a)


4x1 + x2 + x3 = 5
3x1 + x2 + 6x3 = −6, 5
−2x1 + 5x2 + x3 = 0
b)


x1 + x2 + x3 = 10
x1 + x3 = 8
−x1 + 2x2 + x3 = 4
2a - questa˜o: Resolva o sistema pelo me´todo de Gauss-Seidel. Verifique, antes de resolver o
sistema, se ele satisfaz o crite´rio de convergeˆncia. Considere. Para os dois sistemas considere
ε = 10−3, N = 15 e X(0) = (0 0 0 0).


4x1 − 2x2 − x3 = 10
−2x1 + 9x2 − 5x4 = −5
−x1 + 6x3 − 3x4 = 0
−5x2 − 3x3 + 10x4 = 0
3a - questa˜o: Resolva o sistema pelo me´todo de Gauss-Seidel. Verifique, antes de resolver o sis-
tema , se ele satisfaz o crite´rio de convergnciaa; caso na˜o satisfac¸a, troque as linhs de forma que
o crite´rio seja ssatisfeito. Considere ε = 10−3, N = 15 e X(0) = (0 0 0 0).


x1 + x2 + x3 + x4 = 5
7x1 + x2 + x3 + x4 = 2
x1 + 9x2 + x3 + 3x4 = 12
x1 + x2 − 8x3 + x4 = 4
4a - questa˜o: Verifique os crite´rios de convergeˆncia e resolva o sistema linear pelos me´todos de
Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel. Considere ε = 10−2, N = 10 e X(0) = (0 0 0).


5x1 + x2 + x3 = 5
3x1 + 4x2 + x3 = 6
3x1 + 3x2 + 6x3 = 0
5a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a soluc¸a˜o dos sistemas dos exrc´ıcios 1, 2, 3 e 4
atrave´s do me´todo de Gauss-Jacobi.
6a - questa˜o: Fac¸a um programa que determine a soluc¸a˜o dos sistemas dos exrc´ıcios 1, 2, 3 e 4
atrave´s do me´todo de Gauss-Seidel.
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Ca´lculo Nume´rico IV
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5a Lista de Ca´lculo Nume´rico
1a - questa˜o: Considere a tabela de senos que segue.
x (grau) 0 30 60 90
seno 0 0.5 0.86 1
Determine o polinoˆmio interpolador do terceiro grau, p3(x).
2a - questa˜o: Seja a tabela que segue de valores da func¸a˜o f(x) = ex, a partir da qual se deseja
obter uma aproximac¸a˜o para o ponto x = 1, 32.
x 1,3 1,4 1,5
ex 3,669 4,055 4,482
3a - questa˜o: Dada a tabela a seguir, obter f(400) por interpolac¸a˜o de polinoˆmios de Lagrange.
x 300 350 450 500
f(x) 0,5 0,57358 0,70711 0,76604
4a - questa˜o: A tabela que segue fornece o volume de a´gua em um tanque para va´rias cotas de
a´gua. Determine y(0,12) utilizando a interpolac¸a˜o de Lagrange.
x(m) 0,1 0,6 1,1 1,6 2,1
y = m3 1,1052 1,8221 3,0042 4,90530 8,1662
5a - questa˜o: Considere a funo f(x) = ex + sen(x), tabelada como segue:
xi 0 0,5 1,0
f(xi) 1 2,12 3,55
Determine o polinmio interpolador usando a frmula de Newton. Calcule f(0, 7).
6a - questa˜o: Utilizando a fo´rmula de Newton, calcular um valor aproximado para x = 0, 5 para
f dada pela seguinte tabela:
xi 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
yi 0,40 0,79 1,16 1,52 1,84
12
7a - questa˜o: Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = |x|. Aproxime a func¸a˜o por um polinoˆmio
de Lagrange e por uma curva spline cu´bica.
xi -2 -1 0 1 2
yi 2 1 0 1 2
8a - questa˜o: Encontre uma aproximac¸a˜o para f(0, 7) por spline cu´bica natural, interpolante da
tabela:
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0
f(x) 3 1,8616 -0,5571 -4,1987 -9,0536
9a - questa˜o: Fac¸a um programa (PASCAL) para resolver os exerc´ıcios 3 e 4.
13
Respostas:
1 - p3(x) = −0, 605409× 10−6x3 − 0, 199436× 10−4x2 + 0, 178098× 10−1x
2 - p2(x) = 2, 05x
2 − 1, 675x+ 2, 383
p2(1, 32) = 3, 744
3 - p(40) = 0,6428
4 - y(0,12) ≈ 1,1269 m3
5 - f(0,7) ≈ p(0,7) = 2,6548
6 - p(0,5) ≈ 0,976
7 - p(x) = 1, 0 + 27
21
(x− 1)− 6
16
(x− 1)2 + 1
7
(x− 1)3
L(x) = 1
6
x4 + 7
6
x2
8 - s2(0, 7) ≈ 1, 0581
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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 20 semestre/2015Centro de Tecnlogias e Cieˆncias
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Nume´rico IV
Professor: Marcus Tovar
6a Lista de Ca´lculo Nume´rico
1a - questa˜o: Como resultado de um experimento pra´tico, foram obtidos os seguintes valores para
a func¸a˜o f(x):
x 0 1 2 3 4
f(x) 0 1 1 4 4
Utilize o me´todo dos mı´nimos quadrados para determinar qual e´ a melhor reta que ajusta esses
pontos.
2a - questa˜o: Foram feitas cinco medic¸o˜es da velocidade de um carro de Fo´rmula 1 e da pressa˜o
do ar na superf´ıcie do aerofo´lio dianteiro. Na tabela que segue, apresenta-se como a velocidade
relaciona-se com a pressa˜o.
V 7,87 11,50 16,40 22,60 32,80
P 0,014 0,028 0,0561 0,0112 0,225
Deseja-se ajustar esses dados por uma func¸a˜o aproximadora p(v) que permita, mesmo sem con-
hecer a lei f´ısica que rege o fenoˆmeno, calcular a pressa˜o correspondente a uma dada velocidade.
Utilize o me´todo dos mı´nimos quadrados, considerando p(v) = a + bv2.
3a - questa˜o: Calcule as integrais pela regra dos Trape´zios e pela regra de Simpson, usando quatro
e seis diviso˜es de [a,b]. Compare os resultados.
(a) ∫ 2
1
ex
(b)
∫ 4
1
√
x (c)
∫ 14
2
dx√
x
4a - questa˜o: Dada a tabela que segue e usando a regra de Simpson calcule o valor da integral
∫ 2,3
1,9
f(x)dx
xi 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3
f(xi) 3,41773 3,76220 4,14431 4,56791 5,037222
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5a - questa˜o: Calcular
∫ 2
1 x ln(x)dx pela fo´rmula de Simpson.
(a) Tomando um subintervalo.
(b) Calculando com 2 subintervalos.
(c) Calculando com 4 subintervalos.
6a - questa˜o: Utilizando a regra do Retaˆngulos, calcule:
(a)
∫ 1
−1(x
2 − 1)dx, para n = 4;
(b)
∫ 6
4 e
xdx, para n = 4;
7a - questa˜o: A tabela que segue apresenta os valores experimentais da pressa˜o P de uma dada
massa de ga´s, que correspondem a va´rios valores do volume V, ocupado pelo ga´s. De acordo
com os princ´ıpios da Termodinaˆmica, deve existir entre essas grandezas uma relac¸a˜o da forma
PV γ = C na qual C e γ sa˜o constantes. Determine os valores de C e γ e estime o valor da pressa˜o
um volume igual a 100.
V 54,3 64,8 72,4 88,7 118,6 194,0
P 61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1
Dica: PV γ = C → P = CV −γ → logP = logC + (−γ)logV
Dessa forma, obte´m-se uma expressa˜o da forma ax+ b, onde os paraˆmetros a serem determinados
sa˜o a e b. Uma nova tabela deve ser montada, com x e y , em vez de V e P , onde
a = logC, b = −γ, y = logP e x = logV
8a - questa˜o: Fac¸a um programa (PASCAL) que fornec¸a a integral de uma func¸a˜o cont´ınua real,
de varia´vel real, utilizando o me´todo dos Retaˆngulos. Utilize o programa para calcular todas as
integrais dessa lista.
9a - questa˜o: Fac¸a um programa (PASCAL) que fornec¸a a integral de uma func¸a˜o cont´ınua real,
de varia´vel real, utilizando o me´todo dos Trape´zios. Utilize o programa para calcular todas as
integrais dessa lista.
10a - questa˜o: Fac¸a um programa (PASCAL) que fornec¸a a integral de uma func¸a˜o cont´ınua
real, de varia´vel real, utilizando o me´todo de Simpson. Utilize o programa para calcular todas as
integrais dessa lista.
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Respostas:
1 - g(x) = 11
10
x− 1
5
@
2 - p(v) = 0, 001203 + 0, 000209V 2
3 -
(a) n 4 6
Trape´zio 4,6950759 4,6815792
Simpson 4,670873 4,6707894
(b) n 4 6
Trape´zio 4,6550925 4,6614884
Simpson 4,6662207 4,6665612
(c) n 4 6
Trape´zio 4,7683868 4,7077771
Simpson 4,6763744 4,6614894
4 - Is = 1, 68880
5 - (a) Is = 0, 6365142
(b) Is = 0, 6363098
(c) Is = 0, 6362954
6 - (a) IR = −1, 3333
(b) IR = 345, 2234
7 - a = 4, 20464, b = 1, 40487, C = 16019, 17, γ = 1, 40487
pois
C = 10a, γ = −b
P (V ) = 16019, 17V −1,40487
P (100) = 24, 8
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