Bloco 6 - Redes de 1ª Ordem

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PSI3211- Prof a Denise Bloco 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
PSI3211 
Circuitos Elétricos I 
Bloco 6 
Redes de 1
a
 Ordem 
 
Prof a Denise Consonni 
 
 
PSI3211- Prof a Denise Bloco 6 
CIRCUITO LINEAR 
INVARIANTE NO TEMPO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Modelo Matemático 
 
 
Equação Diferencial Ordinária Linear e a 
Coeficientes Constantes 
 
f(t) = função dada 
R 
L 
C 
ENTRADA SAÍDA 
f(t) 
y(t) 
ao
d y
dt
d y
dt
n
n a a y
n
n n
 + + + = f (t)1
1
1


...
 
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 F ( x , y , y’, y”, . . . . . y
(n)
 ) = 0 
  Ordinárias : 
 F ( x , y(x), y’(x), . . . . y(n)(x) ) = 0 
 ordem n 
  Lineares : 
 C0(x) y
(n)(x) + C1(x) y
(n-1)(x) + . . . . 
 + Cn(x) y = f(x) 
  Coeficientes Constantes : 
 C0(x) = C0 
 C1(x) = C1 . . . . . Cn(x) = Cn 
 constantes 
  1a Ordem : 
 A0 y’ + A1 y = f(x) 
 A0 + A1 y = f(x) 
 
dy 
dx 
 Solução : y(x) 
 
 
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 ordinária – ordem 2 
 não linear – 4o grau 
 coeficientes constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
3 2y y
xtsen yt
3 x tx
 
derivada parcial 
 ordem 3 
2x
d y
dx
dy
dx
1
y
2
2
2

F
HG
I
KJ  
ordinária 
não linear 
coeficientes variáveis 
d y
dx
dy
dx
2
2
4F
HG
I
KJ  
 
   
 
2
4
3
4
d y d y
x y tg x
d x d x
 
ordinária 
não linear 
coef. variáveis 
 
dy
ay senx
dx
 
a  R 
 ordinária – ordem 1 
 linear 
 coeficientes constantes 
 
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 A0 + A1 x(t) = f(t) 
 
A0 , A1 – coeficientes dependem dos 
 parâmetros do circuito 
 t – variável independente  tempo 
 
 x(t) – resposta do circuito 
 ( tensão ou corrente ) 
 
 f(t) – depende da excitação do 
 circuito 
 
 Forma Padronizada : 
 
 
 x(t) + a x(t) = f(t) 
 
 
dx 
dt 
 
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 E. D. O. L. C. C. Completa : 
 
 
 
 
 
 
 E. D. O. L. C. C. Homogênea: 
 
 
 
 
 
 
 Solução da Equação Completa = 
 
 
 Solução Geral da Equação Homogênea 
 + 
 Solução Particular da Equação 
 Completa 
a
d y
dt
a
d y
dt
. . . . a y f t0
n
n 1
n 1
n 1 n
   

 b g
 
a
d y
dt
a
d y
dt
. . . . a y 00
n
n 1
n 1
n 1 n
   


 
 
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 ( 1
a
 Ordem ) 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução do P.V.I. : 
 x(t) tal que : 
 
 
 
 1 – Satisfaz à equação diferencial 
 2 – Passa pelo ponto ( t0 , x0 ) 
 
 
     
 
 

  0 0
x t ax t f t
x t x condição inicial
 
 
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 ( 1
a
 Ordem ) 
 
 1 – Determinar raízes da equação 
 característica 
 s + a = 0  s1 = – a 
 
 
 2 – Determinar solução geral da 
 equação homogênea 
 Sistema Livre f ( . ) = 0 
 
 
 
 A = constante de integração 
 
 
x t Aeh
s t1b g 
 
 
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 ( 1
a
 Ordem ) 
 
 3 – Achar solução particular  ( t ) 
 da equação completa 
 
 4 – Solução da equação completa : 
 
 x(t) = xh(t) + (t) = A e
 – at 
 + (t) 
 
 
 5 – Determinar a constante de 
 integração 
 
 
 
 
 
 
 
x Ae t0
at
0
0   b g 
A e x t
a t
0 0
0   b gc h 
 
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x(t) = 
x t e t0 0
a t t0 
 
 b g b gb g
    
Resposta Transitória 
Resposta 
Permanente 
x(t) = 
x e t e t0
a t t
0
a t t0 0     b g b gb g b g       
Resposta Livre Resposta Forçada 
( Entrada Zero ) ( Estado Zero ) 
 
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x t x t e t0 0
a t t0b g b g b gb g    
   
 
Transitória Permanente 
x(t) = 
x e e t0
a t t a t t0 0     b g b gb g b g      t0
 
Livre Forçada 
x(t) = 
x e e f d0
a t t a t
t
t
0
0
   
 zb g b g b g        Livre Forçada 
 
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 Comportamento Livre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 L R 
i 
i0 vL vR  = L / R 
i 
i0 
t 
i(t) = i0 e
 – t/ 
vL 
–Ri0 
t 
vL = L 
di 
dt 
vL(t) = – Ri0 e
 – t/ 
vR 
Ri0 
t 
vR = R i 
vR(t) = R i0 e
 – t/ 
 
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  Respostas Livres : 
 – Exponenciais decrescentes a partir 
 de valor inicial. 
 – Constante de tempo : L / R 
 
 
  Energia inicialmente armazenada no 
 indutor  Dissipada no resistor 
 
 
  Indutor opõe-se à variação brusca de 
 de corrente  provoca atraso no 
 tempo para que se estabeleça o 
 equilíbrio. 
 
 
  Aumentar atraso  Aumentar  
  Aumentar L  Diminuir R 
 
 
 
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 Resposta ao Degrau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = L / R es L 
R i 
i0 vL 
vR 
es 
E 
t 
i 
E/R 
t 
i0 
i(t) = ( i0 – E/R) e
 – t/
 + E 
R 
es(t) = E . H(t) 
vR 
E 
t 
Ri0 
vR(t) = ( Ri0 – E ) e
 – t/
 + E 
vL 
t 
vL(t) = ( E – Ri0 ) e
 – t/
 
E – Ri0 
 
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i t i E R e E R0
t t0
b g b g :
b g
  
 

  
 
t 
i 
i0 
t0 
i0 – 
E 
R 
transitório 
i 
i0 
t0 
t 
i0 
E 
R 
t0 
i 
entrada zero 
 ( livre ) 
estado zero 
 ( forçada ) 
i t i e
E
R
1 e0
t t t t0 0
b g
b g b g
  
F
HG
I
KJ
   
  
t 
i 
i0 
E 
R 
t0 
permanente 
t 
 
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 Resposta ao Pulso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es L 
R i 
es 
0 t 
E 
T 
i 
t T 
E/R 
 
i t 1 e
E
R
0 t T
i t 1 e
E
R
e t T
t
T t T
b g c h b g
b g c h b gb g
   
  
R
S
|||
T
|||

  

 
 
 
PSI3211- Prof a Denise Bloco 6lim f t dt 1
i 1
2
0
i
'
t
t
  
z b g 
 
1 
2 1 
fi(t) 
t 
f t
0 para t 0
t
0 t
1 para t
i
i
i
i
b g 

 

R
S
||
T
||



 
f t
0 para t 0
1
0 t
0 para t
i
'
i
i
i
b g 

 

R
S
||
T
||



 
1/2 
2 1 
fi’(t) 
t 
1/1 
t1 , t2 > 0 
t2 > i 
 
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f 
’ 
1 
t 
( E ) 
t2 
t1 
(–E ) 
E/ 
f 
’ 
2 
t 
(–E ) 
 
f3 
E 
1 2 t 3 
–E 
f 
’ 
3 
t 
( 2E ) 
1 3 
(–2E ) 
2 
( 2E ) 
(–2E ) 
f 
’ 
4 
3T 2T t 
( E ) 
T 
( E ) ( E ) 
. . . 
f1 
E 
t1 t2 t 
E 
 t 
f2 
f4 
E 
T 2T t 3T 
2E 
3E 
. . . 
 
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 Resposta ao Impulso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es L 
R i 
vL 
vR 
es 
(  ) 
t 
es(t) =  (t) 
i t i
L
e0
tb g  FHG
I
KJ
  
i 
i0 + /L 
t 
i0 
v t R i
L
eR 0
tb g  FHG
I
KJ
  
vL (  ) 
t 
–R ( i0 + /L ) 
t 
vR R ( i0 + /L ) 
v t t
R i
L
e
L
0
t
b g b g 
 
F
HG
I
KJ

 
  
 
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  Indutor em t = t0 opõe-se à 
 variação de corrente 
 i = i0 
 
 
 
  Para excitação contínua ( C.C. ) em 
 t   indutor vira curto-circuito 
 vL  0 
 
 
 
  Impulso de tensão  provoca fluxo 
 magnético instantâneo   produz 
 descontinuidade de corrente no 
 indutor : /L 
 
 
 
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 Impedância : Z ( j  ) = R + jL 
 
 
 
 i(t) = A e
 – t/
 + ip(t) 
 
 
 
Impor i ( t0 ) = i0 
  Determinar A 
es L 
R i(t) 
~ 
es(t) = Em cos ( t +  ) 
E E em m
j 
 Resposta Permanente 
 I
1
R j L
Em m
 
 
 Resposta Completa 
I cos tm  b g 
 
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 – Derivada da parte real de um 
 complexo = parte real da 
 derivada 
 
 
 
 
 – Parte real da soma de 
 complexos = soma das 
 partes reais 
 
 
 
 
 
 
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 es(t) = Em cos ( t +  ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para não haver transitório : 
 
 
 
 Forçada = Permanente se :  = 90o 
 
i(t) = 
i I cos e I cos t0 m
R
L
t
m  

   e j b g
     
 
Transitória Permanente 
i(t) = 
i e I e I cos t0
R
L
t
m
R
L
t
m
 
      
 cos   b g 
Livre Forçada 
i I cos0 m
  
 
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EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
es(t) 3H 
6 i(t) 
~ 
es(t) = 12 cos 2t 
i ( 0 ) = 2A 
i0 = 2 A 
i I cos 1 A0 m 
  
0 
2 
1 
–1 
–2 
2 1 3 4 5 
t ( seg) 
i(t) 
i0  
ip 
it 
i = it + ip 
 
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Dual do RL série 
 Equação : 1
a
 Lei de Kirchhoff  
 C + = is 
 
 + v = 
 
 
I – Comportamento Livre 
 v(t) = v0 e
 – t / 
  = RC 
 energia armazenada no capacitor  
 dissipada no resistor 
 
 
 
 
 
ou is R 
iR 
C 
iC 
v0 v 
es C 
R 
v 
es = isR 
dv 
dt 
 v 
 R 
dv 
dt 
 1 
RC 
is 
C 
v 
R 
iR 
C 
iC 
v0 
v 
v0 
t 
iR 
t 
v0 
 R 
iC t 
-v0 
 R 
 
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 a) Resposta ao Degrau 
 is(t) = I . H ( t – t0 ) v ( t0 ) = v0 
 t0 = 0 
 v ( t ) = R I + A e
 – t / 
 A = v0 – RI 
 v ( t ) = RI + ( v0 – RI ) e
 – t / 
 
 Para o circuito série : E = RI 
 v ( t ) = E + ( v0 – E ) e
 – t / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E.H(t) 
C 
R 
v(t) 
vR 
es 
E 
t 
v 
v0 
t 
E 
vR 
t 
E – v0 
 
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II – Comportamento Forçado a) Resposta ao Degrau 
 
 
 
 
v ( t0 ) = v0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
is C R 
v0 
iR iC 
v 
is 
I 
t 
v 
v0 t 
RI 
is = I H ( t ) 
v = ( v0 – RI ) e
 – t / 
 + RI 
iR 
v0/R t 
I 
iR = ( – I ) e
 – t / 
 + I v0 
 R 
iC 
t 
( I – v0/R ) 
iC = ( I – ) e
 – t / 
 
 v0 
 R 
 
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a) Resposta ao Degrau 
Circuito RC série 
 t0=0 v(t0) = v0 
 
 v ( t ) = E + ( v0 – E ) e
 – t / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E.H(t) C 
R 
v(t) 
vR 
es 
E 
t 
v 
v0 
t 
E 
vR 
t 
E – v0 
 
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b) Resposta ao Impulso 
 is(t) = Q  ( t ) ( A, s ) 
 v ( 0+ ) = v ( 0 – ) + 
 v ( t ) = ( v ( 0 – ) + Q/C ) e
 – t /
 
 c) Excitação Senoidal 
 is(t) = Im cos ( t +  ) 
 RPS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
C 
I I em m
j  
 V
1
1
R
j C
Im m
 
 
Y j
I
V
1
R
j Cm
m
 b g    
Admitância 
 complexa : 
Resposta completa : 
v t A e v t
t
p
V cos tm
b g b g
b g
 


 

 
impor v ( t0 ) = v0 
 
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Circuito RC 
Transitório com Excitação Senoidal 
 
 = 1ms f = 1 kHz 
v 
 
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 Resposta Permanente Senoidal : 
 
 
 
 
 C = = 
es C 
R 
v 
 = RC 
es 
E 
t 
T 
Bom integrador 
  > > T 
 
v 
t 
v 
t 
G
1
1 R C
v
2 2 2

 
 
 1 
RC 
 1 
  
1 
C  
Gv 
1 2
 
T 
E 
 
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 Resposta Permanente Senoidal : 
 
 
 
 
 C = = 
es 
E 
t 
T 
Bom diferenciador : 
  < < < T 
 
es 
C 
R 
v 
 = RC 
v 
t t 
G
R C
1 R C
v
2 2 2




 
 1 
RC 
 1 
  
1 
C  
Gv 
1 2E 
E 
 
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Circuito RC série 
Diferenciador Integrador 
 
 
 
 
ve vs ve vs 
ve 
vs 
vs 
vs 
 > > > Tp 
   Tp 
 < < < Tp 
 
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 I – Constante de Tempo : 
 – Inativar geradores independentes 
 – Determinar resistência “vista” pelo 
 elemento armazenador de energia 
 – Calcular cte de tempo : L/R ou RC 
 
 II – Resposta Transitória 
 – Comportamento Livre, Modo Natural 
 A e
 – t /  
 
III – Resposta Permanente 
 – Depende da função de excitação 
 
IV – Transitória + Permanente 
 – Impor condição inicial  Determinar A 
 – Condições iniciais : 
 
 
 
 
 
t t
C curto
L aberto
0
RST
 
t
C aberto
L curto
 
RST
 
( para excitação 
 contínua ) 
 
 
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 I – Função excitação definida por segmen- 
 tos  Descontinuidades 
 – Aplicar “receita” para cada segmento 
 – Ajustar constantes admitindo as condi- 
 ções finais de um segmento como condi- 
 ção inicial para o próximo : 
 ( v em C ou i em L ) 
 
II – Circuito modificado por operação de 
 chaves 
 Idem 
 OBS.: Chaveamento de indutores ou 
 capacitores  tensões ou correntes 
 impulsivas  Estudo por Laplace 
 
III – Excitações Impulsivas  
 Descontinuidades de 
 tensão em capacitores 
 correntes em indutores 
 
 
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Excitação : is (t) 
Resposta : v(t) 
 
Degrau Impulso 
 
 
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C.A. Desoer, E.S. Kuh, 
Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)
 
PSI3211- Prof a Denise Bloco 6 
 
Excitação : es (t) 
Resposta : i(t) 
 
Degrau Impulso 
 
 
 
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C.A. Desoer, E.S. Kuh, 
Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)