Apostila Cálculo III

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1 
 
 
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul 
DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias 
Cursos: Engenharia Civil, Elétrica e Mecânica e Ciência da Computação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE CÁLCULO III 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora: Marilia Vasconcellos 
 
 
 
 
 
Santa Rosa, 2013 
2 
 
1. INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
A noção de integral definida pode ser estendida para funções de duas ou mais variáveis. 
Sabemos que a integral definida de uma função de uma variável 




n
i
ii
b
a
n
xxfdxxf
1
)(lim)( 
originou-se do problema da determinação de áreas sob curvas. As integrais das funções de duas 
variáveis originam-se do problema da determinação de volumes sob superfícies. 
 Dada uma função f de duas variáveis, contínua e não-negativa numa região R do plano xy, 
achar o volume do sólido compreendido entre a superfície ),( yxfz  e a região R. 
 O procedimento para calcular o volume consiste em subdividir a região R em n retângulos e 
para cada ponto arbitrário ),( ii yx de cada retângulo, obter a altura ),( ii yxf . Com isso é possível 
calcular o volume de um paralelepípedo com área da base iA e altura ),( ii yxf como o produto 
iii Ayxf ).,( , de modo que o somatório 



n
i
iii Ayxf
1
).,( 
pode ser considerado como uma aproximação do volume V do sólido inteiro. 
 
Exemplo: 
1) Calcule o volume (aproximado) do sólido compreendido entre x = 0, x = 2, y = 0, y = 3, z = 0 e 
1 yxz . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1.1. Cálculo de Integrais Duplas e Integrais Iteradas 
Seja um sólido S de volume V, limitado na base pelo plano 0z , nas laterais pelos planos 
0x , ax  , 0y , by  e na parte superior pela função ),( yxfz  , conforme figura abaixo. 
 
 
 O volume V de S pode ser calculado somando as “fatias” de espessura y e volume 
 
a
i ydxyxfV
0
.),( . 
 
 
 Se aumentarmos as subdivisões de modo que os comprimentos e as larguras dos retângulos 
da base tendam para zero, então é admissível que o volume exato seja: 
nVVVV  ...21 



n
i
a
ydxyxfV
1 0
.),( 




n
i
a
n
ydxyxfV
1 0
.),(lim 
4 
 
 As somas acima são chamadas somas de Riemann e o limite das somas de Riemann é 
denotado por: 
 
b a
dxdyyxfV
0 0
),( (1) 
que é chamada integral dupla de f(x,y) em R. 
 A equação (1) pode ser reescrita como: 

R
dAyxfV ),( (2) 
 A integral dupla pode ser entendida como duas integrais iteradas. A solução de (2) é obtida 
resolvendo primeiramente a integral interna e depois, com este resultado, a integral externa. 
As derivadas parciais de uma função são calculadas mantendo-se uma das variáveis 
fixa e diferenciando em relação a outra variável. Consideremos o inverso deste processo, integração 
parcial. Os símbolos: 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 
denotam integrais definidas parciais; a primeira integral, chamada integral definida parcial em 
relação a x, é calculada mantendo y fixo e integrando em relação a x e a segunda integral, chamada 
integral definida parcial em relação a y, é calculada mantendo x fixo e integrando em relação a y. 
 
Exemplos: 
2) Resolva a integral:   
1
0
2
0
)( dxdyyx . 
 
3) Resolva a integral:  
 

0
2
2
1
²)²( dxdyyx . 
 
4) Resolva a integral:   
2
1
3
0
²)3²2( dydxxyy . 
 
 
5) Resolver o problema do exemplo 1, usando integral dupla. 
5 
 
6) Resolva a integral: dxdyxxsen  


2
0
)]cos()([ . 
7) Resolva a integral:  

1
0
1
0
dydxe yx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1.2 Propriedades das integrais duplas: 
Se f e g são funções integráveis em R e c é constante, então: 
i)     
R RR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),( 
ii)     
R RR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),( 
iii)  
RR
dAyxfcdAyxfc ),(.),(. 
 
 
Teorema: Seja R o retângulo definido pelas desigualdades: 
bxa  e dyc  
Se f(x, y) for contínua nesse retângulo, então: 
      
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(, 
 
Exemplo: 
8) Verifique se a igualdade é verdadeira:    
3
0
2
1
2
1
3
0
22 ydxdyxydydxx 
 
 
9) Calcule a integral dupla 
R
dAxy² no retângulo  10,23/),(  yxyxR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
EXERCÍCIOS – Lista 1 
1) Encontre um valor aproximado da integral dupla dada onde R é a região retangular com vértices P 
e Q e Δ é uma partição regular de R. 
a)  
R
dAyx )( 2
 onde P (0, 0); Q (4, 2); Δ: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, y1 = 0 e y2 = 1. 
b)  
R
dAyx )2( onde P (0, 0); Q (6, 4); Δ: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4, y1 = 0 e y2 = 2. 
 
2) Calcular as integrais iteradas 
a)   
1
0
2
0
dxdy)3x( b)   

3
1
1
1
2 dxdy)y4x( 
c)  
4
2
1
0
2 dydx)yx( d)   
 
0
2
2
1
22 dydx)yx( 
e)  

3ln
0
2ln
0
yx dxdy)e( f)   
2
0
1
0
)( dxdyxysen 
g)  

0
1
5
2
dydx h)  

6
4
7
3
dxdy 
i)  

1
0
1
0
2
dxdy
)1xy(
x
 j)   


2
2
1
)cos( dxdyxyx 
k)  
2ln
0
1
0
xy dxdy)xye(
2
 l)  

4
3
2
1
2
dxdy
)yx(
1
 
 
3) Nos exercícios abaixo, calcular as integrais duplas na região retangular R: 
a) 
R
3dAxy4 }2y2,1x1:)y,x{(R  
b) 
R 22
dA
1yx
xy
 }1y0,1x0:)y,x{(R  
8 
 
c)  
R
2 dAx1x }3y2,1x0:)y,x{(R  
d)  
R
dA)senxxseny( }
3
y0,
2
x0:)y,x{(R



 
 
 
Respostas: 
1) a) V = 50 u.v. b) V = 72 u.v. 
 
2) a) 7 b) 52/3 c) 2 d) 14 e) 2 
 f) 
2
1
2
)2cos(
01,0  ou g) 3 h) 20 i) 30,0 
j) -2 k) 
2
1)2ln( 
 l) )4ln()5ln(2)6ln(  
 
3) a) 0 b) 
3
1
3
24
3  c) 1/3 d) 
163
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
1.3 Integrais Iteradas com Limites de Integração Não-Constantes 
 
 Definição: 
(a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e á direita por retas verticais ax  e bx  e é 
limitada abaixo e acima por curvas contínuas )(1 xgy  e )(2 xgy  , onde )()( 21 xgxg  para 
bxa  . 
 
 
(b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y = c e y = d e é limitada à 
direita e à esquerda por curvas contínuas )(1 yhx  e )(2 yhx  , que satisfazem )()( 21 yhyh  para 
dyc  . 
 
Exemplo: 
1) Calcule  
R
dAyx )2( , onde R é a região limitada pelas parábolas 
22xy  e 
21 xy  . 
2) Calcule o volume do sólido limitado por 0x , 0y , 0z , 2 xy e 
22 yxz  
 
 Se R é uma região do tipo I, na qual ),( yxf é contínua, 
então: 
  
R
b
a
xg
xg
dydxyxfdAyxf
)(
)(
2
1
),(),( 
 Se R é uma região do tipo II, na qual ),( yxf é contínua, 
então: 
  
R
d
c
yh
yh
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
2
1
),(),( 
 
10 
 
3) Encontre o volume do sólido S que fica abaixo do paraboloide , acima da região no 
plano xy e delimitada pelas superfícies e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
EXERCÍCIOS – Lista 2 
1) Calcular as integrais iteradas com limites não constantes: 
a)  
1
0
x
x
2
2
dxdy)xy( b)   
3
0
9
0
2y
dydxy 
c)   













2
0
3x
dxdy
x
y
sen d)   













2
0
2
cos
1
x
dxdy
x
y
x
 
e)   
1
0
x
0
22 dxdyyxy f)  
2
1
x2
0
3 dxdy)xy( 
g)  
4
0 0
y
dydx h)  
1
0 0
/
2y
yx dydxe 
 
2) Calcule a integral dupla  
R
22 dAy9x , R é a região limitada pela circunferência 9yx 22  . 
3) Calcule a integral dupla 
R
dAsenx , R é a região limitada pelas retas x2y  ; 
2
x
y  e x . 
4) Calcule a integral dupla 
R
dAyx , R é a região limitada pelas retas 0y  ; 2yx  e a parábola 
2yx  . 
5) Calcular o volume do sólido delimitado pelos planos 1yxz  ; 0z  ; 0y ; x = 0 e 1yx  . 
6) Calcule a integral dupla 
R
2 dAx , R é a região limitada pelas retas 
x
16
y  ; xy  e 8x  . 
7) Calcule a integral dupla  
R
dAyx )cos( , R é a região limitada pelas retas y = x, x =  e x = 0. 
 
Respostas: 
1) a) 1/40 b) 9 c) 2/ d) 1 e) 1/12 f) 42 
g) 8 h) 1/2 
2) 864/5 3) 2/3 4) 676/1155 5) 5/6 6) 576 7) 2 
12 
 
1.3. Área de Superfície 
 Seja S a superfície com equação ),( yxfz  , onde f tem derivadas parciais contínuas, 
0),( yxf em R. Dividindo R em retângulos pequenos 
ijR com área yxA  . , sendo ),( ii yx o 
canto de 
ijR mais próximo da origem e )),(,,( iiiiij yxfyxP o ponto de S diretamente acima, 
conforme figura abaixo: 
 
 
 O plano tangente a S em 
ijP é uma aproximação de S perto de 
ijP . Assim, a área 
ijT da parte 
desse plano tangente (um paralelogramo) que está diretamente acima de 
ijR é uma aproximação da 
área 
ijS da parte de S que está diretamente acima de 
ijR . 
 Então, a soma  ijT é uma aproximação da área total de S, e essa aproximação parece 
melhorar à medida que aumentamos o número de retângulos. Portanto, definimos a área da superfície 
S como: 

 


m
i
n
j
ij
nm
TSA
1 1
,
lim)( (1) 
 
 Agora, precisamos obter uma fórmula para calcular o limite na expressão (1). Para isso, 
consideremos a e b os vetores que começam em 
ijP e correspondem aos lados do paralelogramo com 
área ijT , conforme figura a seguir: 
 
13 
 
 
 
 Sabemos que axbTij  e que ),( iix yxf e ),( iiy yxf são as inclinações das retas tangentes 
a 
ijP com direções a e b. Portanto: 
xkyxfxia iix  ),( 
ykyxfyjb iiy  ),( 
e 
yyyxfy
xxyxfx
jikji
axb
iiy
iix


0),(0
0),(0 
 
ykxyjxyxfyixyxfaxb iiyiix  ),(),( 
  Akjyxfiyxfaxb iiyiix  ),(),( 
Logo: 
    AyxfyxfaxbT iiyiixij  1),(),(
22
 
 
Da definição 1 temos que: 

 


m
i
n
j
ij
nm
TSA
1 1
,
lim)(
 
14 
 
   
 


m
i
n
j
iiyiix
nm
AyxfyxfSA
1 1
22
,
1),(),(lim)(
 
 Como este limite é uma integral dupla, temos que: 
 A área da superfície (S) com equação ),( yxfz  , com Ryx ),( , onde fx e fy são contínuas, 
é: 
    
R
yx dAyxfyxfSA 1),(),()(
22
 
 
Exemplo: 
1) Ache a área da superfície que é cortada do cilindro 1622  zx pelos planos 0x , 2x , 0y 
e 3y . 
 
 
 
2) Encontre a área da superfície √ que fica acima do retângulo R do plano xy cujas 
coordenadas satisfazem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
1.4. Integral Tripla 
 Seja f uma função de três variáveis e suponha que f seja contínua e definida numa região 
retangular: 
  szrdycbxazyxB  ,,/,, 
 O primeiro passo é dividir B em subcaixas. Fazemos isso dividindo o intervalo  ba, em l 
subintervalos  ii xx ,1 de comprimentos iguais x , dividindo  dc, em m subintervalos de 
comprimentos y e dividindo  sr, em n subintervalos de comprimentos z , conforme figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cada subcaixa tem volume zyxV  .. . Assim, formamos a soma tripla de Riemann. 
 
  

l
i
m
j
n
k
ijkijkijk Vzyxf
1 1 1
.,, 
 Por analogia com a definição de integral dupla (vista em aulas anteriores) definimos a integral 
tripla como o limite das somas triplas de Riemann. 
Definição: A integral tripla de f sobre a caixa B é: 
   
  


l
i
m
j
n
k
ijkijkijk
B
nml
VzyxfdVzyxf
1 1 1
,,
.,,lim,, 
se o limite existir. 
16 
 
 Como para integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla consiste em 
expressá-la como uma integral iterada: 
    dzdydxzyxfdVzyxf
B
s
r
d
c
b
a
..,,,,    
 A integral iterada do lado direito da igualdade indica que primeiro integramos em relação a x 
(mantendo y e z constantes), em seguida integramos em relação a y (mantendo z fixo) e finalmente 
em relação a z. 
Obs: Existem outras ordens possíveis de integração, todas fornecendo o mesmo resultado. 
 
Exemplo: 
1) Calcule a integral tripla 
G
dVzxy ³²12 na caixa retangular G definida pelas desigualdades 
 
 
2) Calcule a integral tripla 
B
dVxyz 2
, onde B é a caixa retangular dada por: 
  30,21,10/,,  zyxzyxB . 
 
3) Calcule a integral tripla: 
∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
EXERCÍCIOS – Lista 3 
 
1) Calcule a área da superfície cilíndrica 122  zx , no primeiro octante para 0particular. 
 
 
0).(),(  dyyxNdxyxM  dx 
0).(),( 
dx
dy
yxNyxM 
0)..(),( '  yyxNyxM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Problema do Valor Inicial – PVI 
Como podemos ver uma equação diferencial não possui solução única. Porém, se impusermos 
certas condições, poderemos encontrar única solução. Uma equação diferencial de ordem m requer 
m – 1 condições, a fim de se obter uma única solução. Essas condições adicionais são denominadas 
Problema de Valor Inicial (PVI). 
Seja a EDO apresentada no exemplo, observa-se que são conhecidas condições adicionais, 
então é possível a obtenção de soluções particulares para a equação diferencial e se não são 
conhecidas condições adicionais obtém a solução geral. 
 
Exemplo: 
 
1) EDO de primeira ordem uma condição inicial 
{
 
 
 
 
 
2) EDO de segunda ordem duas condições iniciais: 
{
 
 
 
 
3) EDO de terceira ordem três condições iniciais 
{
 
 
 
 
 
Obs: Lembrando sempre que as condições iniciais serve para encontrar o valor das constantes Cn da 
solução geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
2.4. Variáveis Separáveis 
Uma equação separável é aquela diferencial de primeira ordem que pode ser expresso da 
seguinte forma: 
)()( xg
dx
dy
yh  (1) 
Tais equações de primeira ordem são denominadas separáveis. A terminologia decorre da 
possibilidade de reescrever essas equações no formato: 
dxxgdyyh )()(  (2) 
Em que as expressões envolvendo x aparecem de um lado e as envolvendo y do outro lado da 
equação. O processo de reescrever (1) no formato de (2) é denominado separar as variáveis. 
Assim, basta integrar ambos os lados da equação para obter a solução, uma integral em 
função de y e a outra em função de x: 
∫ ∫ 
ou equivalentemente: 
 
 
onde C denota uma constante de integração. 
Temos que a equação (4) é a solução da equação (1). 
 
Exemplo: 
Resolva as seguintes equações, utilizando o método da separação de variáveis: 
a) 2
2
y
x
dx
dy
 b) 





ey
xyyxseny
)6/(
0)cos().ln()(.'

 
 
c) {
 
 
 d) 






1)1(
. 3
y
xx
dx
dy
e y
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
EXERCÍCIOS – Lista 5 
 
1) Verifique se cada função abaixo é solução da equação diferencial correspondente (c1, c2, c3,... = 
constante). 
a) )cos()( 21 xcxsency   0''  yy 
b) 
xx ececy 2
21   023 '''  yyy 
c) 
xexcy 12   xyy  12'
 
 
2) Resolva as seguintes equações aplicando o método da separação de variáveis: 
a) x sen(y) dx + e
-x 
dy = 0 b) y dx xydy2 1  
c) y’ cotg (x) + y = 2 d) y’ cos(x) = 
y
yln
 
e) 3x
2
y dx + x
3
 dy = 0 f) 3(x-1)
2
 dx - 2y dy = 0 
g) 4y dx + x dy = 0 h) -x(1+2y) dx + (4-x
2
) dy = 0 
i) (1+y) dx - (1+x) dy =0 j) 2x
5
y
2
 dx + 
1
0
x
dy  
k) e
x+y
 dy = e
2x-y
 dx l) ex y2 2 y dy = x dx 
m) y’ = e
x-y
 
 
Respostas: 
1) a) é solução b) é solução c) não é solução 
2) a) 
xx execegycotyseccos  b) 1))(ln( 2  cxy 
c) xcosc2y  d) 
c)tagxxln(sec2
ey

 e) 3cxy  
f) c)1x(y 3  g) 4cxy  h) 
2
1
)x4(2
c
y
2


 
i) 1)1x(cy  j) 
cx2
7
y
7 
 k) 
2
)ce2ln(
y
x 
 
l) )celn(y
2x   m) )celn(y x  
 
 
 
 
24 
 
2.5. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Lineares 
Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear quando ela tem a seguinte forma geral: 
 
 
 
em que são funções contínuas definidas em x. 
Quando é a função identicamente nula, dizemos que a equação é homogênea. Caso 
contrário, ela é dita não homogênea. 
A equação 
 
 
 é não homogênea, enquanto, 
 
 
 é homogênea. 
Solução: 
 Caso homogêneo: 
 
 
 
que é uma equação de variáveis separáveis, portanto 
 
 
 
Logo obtemos a solução: 
 ∫ 
que é a solução geral da EDO de 1ª ordem homogênea apresentada na equação (2). 
 
 Caso não homogêneo – Fator Integrante: 
Considera-se a EDO de 1ª ordem não-homogênea dada por 
 
 
 
Para resolvê-la usa-se um artifício de cálculo, ou seja, multiplica-se a mesma por uma 
função “u(x)” de tal forma que é possível comparar a equação (5) com a derivada de um 
produto. Este artifício é usado para encontrar a função u(x). 
Resolvendo todos os cálculos matemáticos, chegamos a solução da equação que é dada por: 
 ∫ [ ∫ ∫ ] 
Que é a solução geral da EDO 1ª ordem linear não-homogênea. 
25 
 
Exemplos: 
1) Seja a EDO de 1ª ordem linear e homogênea 
 
 
 
Encontre sua solução geral e sua solução particular para y(1) = 2 
 
 
2) Ache a solução geral da EDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
2.6.Alguns Modelos Matemáticos de EDO de 1ª Ordem 
 
 Crescimento Populacional 
Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado com este problema, 
consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar sobre o crescimento populacional de 
algumas espécies. Ele é chamado o Modelo de Crescimento Exponencial, isto é, a taxa de variação 
da população em relação ao tempo, aqui denotada por 
 
 
, é proporcional à população presente. Em 
outras palavras, se mede a população, nós temos. 
 
 
 𝑘 
onde, a taxa k é uma constante. É simples verificar que se k > 0, nós teremos crescimento e se kde café obedece à lei de Newton do resfriamento. Se o 
café está a uma temperatura inicial de 90ºC e um minuto depois a temperatura diminui para 
8,5ºC em uma cozinha que se encontra a temperatura ambiente a 25ºC. 
a) Determine o tempo que o café levará para chegar a uma temperatura de 65ºC? R: 6,06 m 
b) Qual a temperatura do café após 8 min. R: 59ºC. 
 
6) Um corpo com temperatura de 100ºC é posto numa sala, onde a temperatura do ambiente 
se mantém constante em 25ºC. Após 5 minutos, sua temperatura cai para 90ºC. Quanto 
tempo decorrerá até o corpo atingir 50ºC. R: 30,38 min. 
 
 
 
28 
 
Respostas: 
29 
 
2.7.Equações Diferenciais de Primeira Ordem Exatas 
 
 Dada a equação diferencial: 
   dyyxNdxyxM ,,  
 Sejam M (x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região 
retangular R definida por aé a equação de 1ª ordem: 
0'  ayy (a = constante) (1) 
Sua solução (utilizando o método de separação de variáveis) é dada por: 
axecy  . . 
 A equação (1) teria sido resolvida também, tentando encontrar uma constante “m” tal que 
mxe fosse sua solução, da seguinte maneira: 
 Se 
mxey  é solução de 0'  ayy , então derivando teremos: 
mxey  0'  ayy 
mxmey '
 0 mxmx aeme 
   0.  mxeam 
 0 am 
 am  
 Se am  , em 
mxey  , teremos 
axey  . 
Por definição, vimos que se y1 é uma solução cy1 também é (Definição 1). Portanto, como 
axey  é solução, 
axcey  também é, que é a mesma solução encontrada aplicando o modelo 
da linear de 1ª ordem homogênea. 
Este fato nos sugere encontrar a solução de (*), pela substituição 
mxey  , onde teremos: 
mxmey '
; 
mxemy 2''  ; 
mxemy 3'''  ; ...; 
mxnn emy 22   ; 
mxnn emy 11   ; 
mxnn emy  . 
Substituindo estas derivadas em (*) teremos: 
 
 
 
 
 
 Esta equação final recebe o nome de equação característica (e é uma equação algébrica de 
grau correspondente a ordem das derivadas) e através dela encontramos os valores que “m” pode 
assumir. A equação característica possuí raízes, que podem ser: reais e distintas, reais e iguais ou 
complexas conjugadas 
39 
 
Exemplo: 
1) 02'  yy 2) 052 ''''''  yyyy 
Equação característica: Equação característica: 
 
 
 
 
 
2.10.1. Raízes Reais e Distintas: 
 Se a equação característica possui raízes reais e distintas, as raízes são números reais m1, m2, 
..., mn com m1 ≠ m2 ≠ ... ≠ mn, onde cada uma das “n” soluções LI são dadas por 
mxey  , ou seja: 
xm
ey 1
1  
xm
ey 2
2  
.... 
xm
n
ney  
a solução da EDO linear de ordem “n” homogênea associada é dada por: 
 
 
 
 
 
 
onde m1, m2, ..., mn são as raízes da equação característica. 
 
Exemplos: 
1) 0'2'''''  yyy 
 
 
 
 
 
 
40 
 
2) 








4)0(
5)0(
02
'
'''
y
y
yyy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.10.2. Raízes Reais e Iguais: 
Se a equação característica possui raízes reais e iguais, as “n” raízes reais, são: m1, m2, ..., mn 
com m1 = m2 = ... = mn, onde 
xm
ey 1
1  é uma solução, então devemos procurar y2, y3, ..., yn que 
sejam LI com y1(w(x) ≠ 0). 
Estas soluções serão da forma: 
xm
ey 1
1  
xm
xeyxyy 1
212  
xm
exyyxy 12
31
2
3  
.... 
xmn
n
n
n exyyxy 11
1
1   
A solução geral será a combinação linear dessas “n” soluções que é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
onde m1 é a raiz com multiplicidade “n” da equação característica. 
 
Exemplos: 
1) 044 '''  yy 
 
 
41 
 
2) 0'33 '''''  yyyy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.10.3. Raízes Complexas: 
 Se im  1 é uma raiz complexa da EDO linear homogênea de ordem “n”, então 
im  2 também é, e as duas soluções LI correspondentes a m1 e m2 (y1 e y2) são dadas por: 
      xisenxeeeeey xxixxixm    cos.1
 
pois 
    xisenxe xi   cos e portanto:    xseniexey xx    cos 
Onde diremos que: 
im  1  xey x  cos1  
im  2  xseney x 2 
 
Solução Geral: 2211 ycycy  
 
    xsenecxecy xx  
21 cos  
 
OBS: Se houver repetição das soluções complexas se procede como no item 2.9.2, visto 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
42 
 
Exemplo: 
1) Resolva a equação: 0544 '''  yyy 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se uma equação característica de uma EDO homogênea apresenta como raízes os números i32  , 
i32 , i32  , i32 , determine a solução geral dessa equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Resolva a equação: 0573 ''''''  yyyy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
EXERCÍCIOS – Lista 8: 
 
1) Em cada caso, verifique se as funções dadas são soluções LI de uma equação diferencial 
homogênea, e em caso afirmativo construa a solução geral: 
a) 11 y )(2 xseny  
b) 
xey 1 
xey 2
2  
c) )(21 xseny  )(2 xseny  
d) )(1 xseny  )cos()(2 xxseny  
e) 
xey 1 
xxey 2 
f) 21 y )(2 xseny  )cos(33 xy  
g) 
2
1 xy  
2
2 5xy  
 
 
2) Nos exercícios abaixo, determine a solução geral das equações: 
a) 06'''  yyy b) 04242 ''''''  yyyy 
c) 








3)0(
2)0(
065
'
'''
y
y
yyy
 d) 012 ''''''  yyy 
e) 08676 ''''''  yyyyy IV
 f) 03612 '''  yyy 
g) 02 '''  yyy h) 








2)0(
0)0(
096
'
'''
y
y
yyy
 
i) 044 '''''  yyy IV
 j) 








1)1(
2)1(
044
'
'''
y
y
yyy
 
k) 0'''  yyy l) 022 '''  yyy 
m) 062 '''  yyy n) 








1)0(
0)0(
04
'
''
y
y
yy
 
o) 0 yy IV
 
 
44 
 
Respostas: 
1) a) As soluções são LI. Solução geral: )(21 xsenccy  
b) As soluções são LI. Solução geral: 
xx ececy 2
21  
 
c) As soluções são LD. Não possui solução geral 
d) As soluções são LI. Solução geral: )]cos()([)( 21 xxsencxsency  
e) As soluções são LI. Solução geral: 
xx xececy 21  
f) As soluções são LI. Solução geral: )cos(3)(2 321 xcxsenccy  
g) As soluções são LD. Não possui solução geral 
 
 
2) a) Solução geral: 
xx ececy 2
2
3
1  
 
b) Solução geral: 
xxx ecececy 2
321  
 
c) Solução geral: 
xx ececy 3
2
2
1
  Solução Particular: 
xx eey 32 79   
d) Solução geral: 
xx ececcy 3
3
4
21
 
e) Solução geral: 
xxxx ececececy 4
4
2
321
  
f) Solução geral: 
xx xececy 6
2
6
1
 
 
g) Solução geral: 
xx xececy 21  
h) Solução geral: 
xx xececy 3
2
3
1  Solução Particular: 
xxey 32 
i) Solução geral: 
xx xececxccy 2
4
2
321
  
j) Solução geral: 
xx xececy 2
2
2
1
  Solução Particular: 
)1(2)1(2 57   xx xeey 
k) Solução geral: 


















xsenecxecy
xx
2
3
2
3
cos 2
1
2
2
1
1 
l) Solução geral:    xsenecxecy xx
21 cos  
m) Solução geral:    xsenecxecy xx .5.5cos 21 
 
n) Solução geral:    xsencxcy 22cos 21  Solução Particular:  xseny 2
2
1

 
o) Solução geral:    xsencxcececy xx
4321 cos  
 
45 
 
2.11. Equações Diferenciais Não Homogêneas – Método da Variação dos Parâmetros 
 Consideremos a Equação Diferencial de segunda ordem da forma: 
 
 
 
 
onde ; com : são constantes e é uma função de x. 
Exemplo: 
a) 
b) 
 
Para resolvermos essa equação diferencial linear não homogênea precisamos fazer duas coisas: 
i) Encontrar a solução da equação diferencial homogênea = 
ii) Encontrar uma solução particular = 
Assim, a solução geral da equação linear não homogênea será dada por: 
 
 
Solução da Equação diferencial homogênea 
A equação linear homogênea de segunda ordem é dada por: 
 
 
 
e é resolvida pelo método visto anteriormente, ou seja, encontra-se a Equação Característica 
associada: 
 
Assim teremos quatro possíveis soluções para : 
a) reais e distintas: 
 
 
 
b) reais e iguais: 
 
 
 
c) complexas conjugadas: 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Solução Particular 
O método consiste em substituir as constantes e da solução homogênea por funções de 
 , 𝑢 e a serem determinadas, tais que: 
 𝑢 
Onde: 
 ∫
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
Ou substituindo, temos que 
 ∫
 
 
 ∫
 
 
 
 
Lembrando que a solução geral da equação diferencial é dada por: 
 
Exemplos: 
1) 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde é o wronskiano que é 
dado por: 
 |
 
 
| 
47 
 
2.12. Equações Diferenciais Não Homogêneas – Métododos Coeficientes a Determinar 
 
 Seja a equação: 
)()()cos()(... 0
'
1
''
2
1
1 bxsenexbxexPyayayayay ax
n
ax
n
n
n
n  

 
 
A solução também será dada por: 
 
Onde: 
 é a solução da homogênea 
 é a solução particular da não homogênea 
 
Resolução: 
1) Escrever a homogênea correspondente; 
2) Achar as soluções da homogênea: 
3) Achar a solução 
 [ 
 
 ] 
 
Onde: 
r = número de repetições de bia nas km soluções da homogênea. 
 
Exemplo: 
Resolva a equação: 2''' xyyy  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
EXERCÍCIOS – Lista 9: 
 
1) Resolva as seguintes equações utilizando o método da variação dos parâmetros: 
 
a) )sec('' xyy  b) 223 '''  yyy 
c) xyy ''
 d) 
xeyy  ''' 2 
 
e) )sec(cos'' xyy  f) 
xeyyy  134 '''
 
 
 
2) Resolva as seguintes equações utilizando o método dos coeficientes a determinar: 
 
a) )cos(2 ''' xyyy  b) 1"'''  xyy 
 
c) 
xexyy .'''  d) xyy  '''' 4 
 
 
 
 
Respostas: 
1) a) Solução geral:   )(.)cos(ln).cos()()cos(. 21 xsenxxxxsencxcy  
b) Solução geral: 1. 2
2
1  xx ececy 
c) Solução geral: xxsencxcy  )()cos(. 21 
d) Solução geral: 
xx eeccy  2
21 
e) Solução geral: ))(ln().()cos(.)()cos(. 21 xsenxsenxxxsencxcy  
f) Solução geral: 
83
1
2
3
1
x
xx e
ececy

 
 
2) a) Solução geral: )(
2
1
21 xsenxececy xx  
 
b) Solução geral: 
3
321
6
1
xecxccy x  
 
c) Solução geral: 
x
x
x xe
ex
eccy 
2
2
21 
d) Solução geral: 
22
3
2
21
8
1
xececcy xx  
 
 
 
 
49 
 
2.13. Aplicações de Equações Diferencias Ordinárias de Segunda Ordem 
As equações diferenciais, que contêm uma função incógnita e suas derivadas, são utilizadas para 
compreender e investigar diferentes problemas envolvendo 
 movimento de fluidos, 
 fluxo de corrente elétrica em circuitos, 
 dissipação de calor em objetos sólidos, 
 propagação e detecção de ondas sísmicas, 
 aumento de diminuição de populações 
entre muitos outros, sendo denominadas da literatura de modelo matemático. 
 
2.13.1 Circuitos Elétricos 
Um circuito elétrico é a ligação de elementos elétricos, tais como resistores, indutores, 
capacitores, linhas de transmissão, fontes de tensão, fontes de corrente e interruptores, de modo que 
formem pelo menos um caminho fechado para a corrente elétrica. 
 
Alguns Conceitos: 
Uma corrente elétrica é um fluxo ordenado de partículas carregadas (partículas dotadas de carga 
elétrica). Em um fio de cobre, por exemplo, a corrente elétrica é formada por minúsculas partículas 
dotadas de carga elétrica negativa, denominadas elétrons, que são os portadores da carga elétrica. A 
corrente no circuito é uma função do tempo, denotada por i(t). 
 
A carga elétrica é uma propriedade física fundamental e é esta propriedade que determina algumas 
das interações eletromagnéticas. Representada por q(t). 
 
Um Capacitor é um componente que armazena energia num campo elétrico, e é indicado por C. 
 
Indutores são condutores dispostos em forma de espiral nos quais os campos eletromagnéticos 
formados geram correntes que tendem a se opor às variações das correntes aplicada nos mesmos, e é 
indicado por L. 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Elemento_el%C3%A9trico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Resistor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indutor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Capacitor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Linha_de_transmiss%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fonte_de_tens%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fonte_de_corrente
http://pt.wikipedia.org/wiki/Interruptor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Corrente_el%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Intera%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Energia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
50 
 
Resistores são componentes que apresentam resistência à passagem da corrente elétrica. Um 
resistor (chamado de resistência em alguns casos) é um dispositivo elétrico muito utilizado em 
eletrônica, com a finalidade de transformar energia elétrica em energia térmica (efeito joule), a partir 
do material empregado que pode ser, por exemplo, o carbono. O resistor é indicado por R. 
 
 
 Estudaremos a seguir, um circuito elétrico em série simples, L-R-C, ou seja, que contém um 
indutor, resistor e capacitor. 
 
 
Vários sistemas físicos podem ser descritos por uma equação diferencial. Assim, se i(t) denota a 
corrente em um circuito elétrico em série L-R-C conforme a figura a baixo: 
 
 
 
 
Figura 1: Circuito elétrico simples 
 
então a queda de voltagem através do indutor, resistor e capacitor é dada por: 
 
 
 
 
Pela segunda lei de Kirchoff a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no 
circuito, isto é, 
)(
1
tEq
C
Ri
dt
di
L  
Mas a carga q(t) (Coulombs) está relacionada com a corrente i(t) por 
dt
dq
i  , e então a equação 
acima torna-se a equação diferencial linear de segunda ordem: 
)(
1
2
2
tEq
Cdt
dq
R
dt
qd
L  
Onde as condições iniciais são: 
      000
'
00 ititqqtq  
 
 
51 
 
Exemplo: 
1. Encontre a função carga q(t) no capacitor em um circuito em série L-R-C quando: L = 0,05 henry; 
R = 2 ohms; C = 0,01 farad; E(t) = 0 volt, q(0) = 5 coulombs e i(0) = 0 ampére. Logo a seguir 
encontre a carga (q) no capacitor no instante t = 0,01 segundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
EXERCÍCIOS – Lista 10: 
 
1. Encontre a carga no capacitor em um circuito em série L-R-C quando L = 1/2 henry, R = 10 ohms, 
C = 0,01 farad, E(t) = 150 volts, q(0) = 1 coulombs e i(0) = 0 ampére. 
 
2. Encontre a carga no capacitor e a corrente no circuito L-R-C, onde L = 5/3 henry, R = 10 ohms, 
C=1/30 farad, E(t) = 300 volts, q(0) = 0 coulombs e i(0)=0 ampére. A seguir determine a carga no 
capacitor e a corrente no circuito, após 0,03 segundos. 
 
3. Encontre a carga no capacitor em um circuito em série L-R-C quando L=1/2 henry, R=20 ohms, 
C=0,001 farad e E(t)=100sen (60t), com q(0)=0 e i(0)=0. 
 
 
 
Respostas: 
1) Sol. Particular: 5,1)10(
2
1
)10cos(
2
1
)( 1010   tsenetetq tt
 
 
2) Sol. Particular (carga): 10)3(10)3cos(10)( 33   tsenetetq tt
 
Sol. Particular (corrente): )3(60)( 3' tsenetq t 
coulombsq 0762,0)03,0(  
ampèresq 92,4)03,0('  
 
3) Sol. Particular (carga): )60(
26
1
)60cos(
52
3
)40(
104
9
)40cos(
52
3
)( 2020 tsenttsenetetq tt  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
2.13.2 Pêndulo Simples 
A equação linear que descreve o movimento de “pequenos deslocamentos” de um pêndulo 
simples é dada por: 
0)t()t(  

g
 
onde:  é o comprimento da haste do pêndulo; g é a aceleração da gravidade (9,8 m/s
2
) e )t( é o 
deslocamento angular do pêndulo. 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Lista 11: 
 
1. Encontre a equação do movimento que descreve pequenos deslocamentos )t( de um pêndulo 
simples de comprimento igual a 0,6125m, solto no instante t = 0s com um deslocamento de ½ rad à 
direita do eixo vertical e velocidade angular )t( de 32 m/s para a direita e a seguir determine o 
deslocamento angular )t( após 0,5 min. 
 
2. Determine a equação do movimento que descreve pequenos deslocamentos de um pêndulo simples 
de comprimento 0,392m, solto no instante t = 0s com um deslocamento de 0,2 rad à direita do eixo 
vertical e velocidade angular )t( de 33 m/s para a direita e a seguir determine o deslocamento 
angular )t( após 20s. 
 
 
Respostas: 
1) )4(
2
3
)4cos(5,0)( tsentt  rad9099,0)30(  
2) )5(
5
33
)5cos(2,0)( tsentt  rad3537,0)20(  
54 
 
3. A TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Oliver Heaviside, quando estudava processos simples para obter soluções de Equações 
Diferenciais, vislumbrou um método de Cálculo Operacional que leva ao conceito matemático da 
Transformadade Laplace, que é um método simples que transforma, por exemplo, o Problema de 
Valor Inicial (PVI), isto é, a Equação Diferencial com uma condição inicial, em uma equação 
algébrica, de modo a se obter uma solução deste PVI de uma forma indireta, sem o cálculo de 
integrais e derivadas, em seguida aplicando-se a Transformada de Laplace Inversa se obtém a 
solução geral da Equação Diferencial dada. Pela simplicidade deste método o mesmo é muito usado 
na Matemática, na Computação, nas Engenharias, na Física e em outras ciências aplicadas. 
Portanto a Transformada de Laplace converte uma equação diferencial na função incógnita 
 , em uma equação algébrica . Este é um método que simplifica o problema de encontrar a 
solução de uma EDO, pois equações algébricas são mais simples de serem resolvidas. 
Notação: 
A notação da Transformada de Laplace, considerando uma EDO na função incógnita : 
 { } 
Notação da Transformada de Laplace Inversa considerando uma equação algébrica : 
 { } 
 
Integrais Impróprias: 
Uma integral imprópria é a integral que possui um ou ambos os limites de integração 
infinitos. Segue as Definições: 
Definição 1: 
Se é uma função integrável em [ então: 
 
 
Definição 2: 
Se f é uma função integrável em ] então: 
 
55 
 
Definição 3: 
Se é uma função integrável em , então: 
 
 
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas 
convergentes; caso contrário, são ditas divergentes. 
 
Exemplo: Resolva as seguintes integrais impróprias. 
 ∫
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: A Transformada de Laplace envolve uma integral com limites de integração de zero a infinito, 
denominada integral imprópria. 
 
 
Definição da Transformada de Laplace: 
 
Definição 4: 
Dada uma função definida para todo , a Transformada de Laplace de é uma 
função definida como se segue: 
 
para todos os valores de s para os quais a integral imprópria converge. 
 
 
Exemplos: 
1) Encontre a transformada de Laplace, a partir da definição, da função f(t) = 1. 
2) Encontre a transformada de Laplace, a partir da definição, da função f(t) = a, onde a . 
3) Encontre a transformada de Laplace, a partir da definição, da função f(t) = t. 
4) Encontre a transformada de Laplace, a partir da definição, da função f(t) = . 
56 
 
Teorema 1: Linearidade da Transformada de Laplace. 
Se a e b são constantes, então 
 
para todo s tal que as transformadas de Laplace das funções f e g existem. 
 
 
Tabela da Transformadas de Laplace das Principais Funções 
f(t) F(s) 
1 
 
 s > 0 
T 
 
 s > 0 
t
2
 
 
 s > 0 
t
n
 n ≥ 0 inteiro 
 s > 0 
e
at
 
 
 s > a 
t
n
.e
at
, n = inteiro positivo 
 s > a 
Coskt 
 
 s > 0 
Senkt 
 s > 0 
Cos
2
kt 
 ( )
 s > 0 
Coshkt 
 
 
 s > |k| 
Senhkt 
 s > |k| 
Senh
2
kt 
 ( )
 s > |k| 
u(t-a) 
 
 s > 0 
e
at
cosbt 
 
 
 s > a 
e
at
senbt 
 s > a 
Tcosat 
 
 s > 0 
Tsinat 
 
 s > 0 
57 
 
Exemplos: 
Encontre as transformadas de Laplace usando a tabela acima: 
a) f(t) = -5t
2
 
b) f(t) = 4 e
-3t
 – 10 sin5t. 
c) f(t) = (1+t)
2
 
d) f(t) = (3+t)
2
+cosh2t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
EXERCÍCIOS – Lista 12: 
 
Use a Tabela de transformadas de Laplace para encontrar a transformada F(s) das seguintes funções 
f(t): 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
 
 
 
Respostas: 
a) 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 f) 
 
 
 
g) 
 
 
 h) 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
4.1. Transformada Inversa de Laplace 
 
Teorema 2: Unicidade da Transformada Inversa de Laplace. 
 Suponha que as funções e admitem transformadas de Laplace F(s) e G(s) 
respectivamente. Se F(s) = G(s) para todo , então . 
Logo através do Teorema 2 é dito que duas funções não podem ter a mesma transformada de 
Laplace. Assim, se é a transformada de Laplace de alguma função contínua então é 
univocamente determinada. 
Esta observação permite fazer a seguinte definição. Se { } então chamamos de 
f(t) a transformada de Laplace inversa de F(s) e definimos a mesma como 
 { } 
 
 
Exemplos: 
Encontre a função f(t) aplicando a transformação inversa de Laplace nos exercícios a seguir: 
a) F(s) = 1/s
3
 b) F(s) = 1/(s+2) 
c) F(s) = 2/(s
2
+9) d) F(s) = 1/(s
2
+7) 
e) F(s) = (-2s+6)/(s
2
+4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
EXERCÍCIOS – Lista 13: 
 
Encontre as transformadas inversas de Laplace das funções F(s): 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 
c) 
 
 
 d) 
 
 
 
e) 
 
 
 f) 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
Respostas: 
a) 
 
 
 b) 
c) 
 
 
 d) 
e) 
 
 
 f) 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
4.2. Transformação de Problemas de Valor Inicial 
Aqui veremos a aplicação das transformadas de Laplace para resolver uma equação 
diferencial linear com coeficientes constante não homogênea tal como: 
 (1) 
com condições iniciais dadas y(0) = e 
 . 
Pela propriedade da linearidade é possível aplicar em cada termo da equação (1) a 
transformada de Laplace separadamente. Assim a equação transformada é: 
 { } { } { } { } (2) 
que envolve as derivadas e da função desconhecida . Para a resolução destas derivadas 
observe o Teorema a seguir: 
 
Teorema 4: Transformadas de Derivadas 
Suponha que a função é contínua e suave por partes para e de ordem exponencial 
quando t → , de modo que existem constantes não-negativas M, c e T tais que para 
t ≥ T. Então: 
 { } 
 { } { } 
 { } { } 
 { } { } 
 
Exemplo: 
Resolva o problema do valor inicial: com condições iniciais dadas e 
 
 
 
Exercícios: 
1) Resolva o problema do valor inicial: com condições iniciais dadas e 
 
 Resp. 
 
2) Resolva o problema do valor inicial: com condições iniciais dadas e 
 
 Resp.