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CÁLCULO: INTEGRAIS 
DUPLAS E TRIPLAS, 
APLICAÇÃO E ANÁLISE 
VETORIAL 
Ricardo Lauxen
Integração em 
várias variáveis
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir integrais duplas e estender esse conceito para integrais
múltiplas.
 � Descrever a integral dupla como uma integral iterada.
 � Construir matematicamente situações-problema envolvendo áreas e 
volumes que possam ser expressas por integrais múltiplas.
Introdução
A determinação de áreas e volumes de objetos faz parte da solução de 
problemas da prática de engenharia. Exemplos de aplicação são o cálculo 
da dilatação térmica de um material, o dimensionamento de condutores 
elétricos, o dimensionamento de vigas e treliças, a modelagem de custo 
de produção, entre outros. Em geral, para calcular a área abaixo de uma 
curva, realiza-se a integral simples de uma função f ≥ 0 dentro do intervalo 
R = [a, b], que a delimita.
Neste capítulo, você estudará as integrais duplas e triplas. Trata-se das 
integrais definidas de funções de duas e três variáveis para funções que 
são delimitadas por contornos retangulares. Nessa situação, em vez de 
integrar em um intervalo [a, b], você integrará em regiões de integração 
retangulares R = [a, b] × [c, d], no caso de integrais duplas, e em regiões 
de integração, que são paralelepípedos B = [a, b] × [c, d] × [p, q]. 
As integrais múltiplas (duplas e triplas) são definidas como uma exten-
são natural da integral simples utilizando a soma de Riemann. No caso 
das integrais simples, o teorema fundamental do cálculo (TFC) permite 
que você realize a integração sem recorrer à soma de Riemann. Nesse 
caso, você poderá usar o teorema de Fubini para calcular a integral dupla 
como uma integral iterada, e aplicar o TFC para encontrar a solução, sem 
recorrer a somas duplas e triplas de Riemann. Por fim, você será apresen-
tado a aplicações das integrais em problemas práticos de engenharia. 
Integrais duplas sobre contornos retos
Quando se tem uma única dimensão, o problema consiste em determinar a 
área abaixo de uma função f(x) ≥ 0 e acima do intervalo R = [a, b] que a deli-
mita, como mostrado na Figura 1a. Esse cálculo pode ser feito utilizando-se 
o método do retângulo, no qual se divide um intervalo R em N subintervalos 
iguais, e se constrói em cada subintervalo um retângulo, o qual se estende 
do eixo x até um arbitrário, denominado ponto amostral, na curva y = f(x), 
como mostrado na Figura 1b. Dessa maneira, a base de cada retângulo é 
Δx = (b – a)/N, e a altura f(x*) é calculada a partir do ponto amostral x*, como 
mostrado na Figura 1c. 
Figura 1. (a) Área abaixo de y = f(x) e acima de R = [a, b]. (b) Divisão em N retângulos. 
(c) O comprimento da base do i-ésimo retângulo é Δx, e a sua altura é .
Assim, a área do i-ésimo retângulo é dada por , e a área total 
abaixo de f e acima do intervalo [a, b] é aproximada pela soma das áreas de 
todos esses retângulos:
(1)
Integração em várias variáveis2
Essa expressão é conhecida como soma de Riemann, e quanto maior for o 
número de subintervalos, mais próximo você estará da área abaixo da curva. 
A integral definida da função f no intervalor R é obtida tomando o limite em 
que n → ∞ da soma de Riemann:
(2)
Desse modo, podemos concluir que a integral definida representa a área 
abaixo da curva entre os pontos a e b:
(3)
Quando a função é bidimensional f(x, y), o procedimento para a definição 
da integral é análogo. Para simplificar, considere que f(x, y) ≥ 0 e é delimitada 
por um retângulo fechado R = [a, b] × [c, d], como mostra a Figura 2.
Figura 2. Função z = f(x, y) e a região retangular R = [a, b] × [c, d] 
que a delimita.
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 821).
3Integração em várias variáveis
Nessa situação, o objetivo é determinar o volume do sólido que está con-
tido na região abaixo de z = f(x, y) e acima de R. Seguindo os passos do caso 
unidimensional, divide-se a área retangular R em sub-retângulos. Isso quer 
dizer que o intervalo horizontal [a, b] será subdividido em N subintervalos com 
comprimento Δx = (b – a)/N, e o intervalo vertical [c, d] será subdivido em M 
subintervalos com comprimento Δy = (d – c)/M, como mostrado na Figura 3.
Figura 3. Processo de subdivisão da região retangular R em subretângulos com áreas ΔxiΔyi.
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 822). 
Assim, o volume fica dividido em caixas com a área da base ΔAij = ΔxiΔyj 
e altura , determinada a partir do ponto amostral , como 
ilustrado na Figura 4.
Portanto, o volume Vij de um caixa qualquer é determinado por (altura) 
× (área base):
(4)
Somando sobre todos os subintervalos, obtém-se uma aproximação para 
o volume contido abaixo de z = f(x, y) e limitado por R: 
(5)
Integração em várias variáveis4
Figura 4. Ponto amostral utilizado para calcular o volume da 
caixa, .
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 822).
Essa soma é conhecida como soma dupla de Riemann. Quanto maior 
for o número de sub-retângulos, mais próximo você estará do valor real do 
volume que procura. Define-se a integral dupla como:
(6)
Assim, pode-se interpretar que o volume V contido abaixo de f(x, y) ≥ 0 
e acima de R é:
(7)
5Integração em várias variáveis
Não é necessário que f(x) ≥ 0 e f(x, y) ≥ 0 para definir as integrais simples e duplas. 
Porém, essa condição permite que as integrais sejam interpretadas como a área e o 
volume abaixo das suas funções f e delimitadas por R. 
Propriedades das integrais duplas
Assim como as integrais simples, as integrais duplas são lineares, isto é, 
admitindo-se que as funções f e g sejam integráveis no retângulo R, valem as 
seguintes propriedades:
(8)
sendo c uma constante:
(9)
ainda, se f(x, y) ≥ g(x, y), então vale:
(10)
Integrais iteradas e o teorema de Fubini 
O cálculo de integrais simples pela soma de Riemann não é uma tarefa sim-
ples. Por isso, recorre-se ao TFC para determiná-las de maneira mais fácil. 
No caso da soma dupla de Riemann, a tarefa é ainda mais complexa, e o TFC 
vai novamente auxiliar no cálculo. 
Para que seja possível utilizar o TFC, deve-se expressar a integral dupla 
como uma integral iterada. O procedimento, que tem alguma semelhança com 
a derivada parcial, consiste em realizar uma integração parcial da função. 
Integração em várias variáveis6
Em outras palavras, supondo que uma função f(x, y) seja contínua no retângulo 
R = [a, b] × [c, d], então:
(11)
Preste muita atenção à notação integral : ela significa que x 
foi mantido fixo, ao passo que foi realizada somente uma integração parcial, 
na variável y no intervalo [c, d]. O resultado dessa integração é uma função 
que só depende de x, que pode ser novamente integrada:
(12)
Note que , logo:
(13)
Em essência, para resolver a integral dupla, primeiramente você precisa 
resolver a integral em y dentro dos colchetes, e o resultado deve ser integrado 
novamente em y. A integral do lado direito da equação (12) é conhecida como 
integral iterada. 
Da mesma forma, o procedimento é válido se a primeira integração a 
ser realizada for em x no intervalo [a, b]. O resultado produzirá uma função 
que depende só de y e que pode ser integrada novamente, no intervalo [c, d]. 
Assim, de maneira análoga:
(14)
Embora as Equações (13) e (14) sejam semelhantes, a ordem de integração 
está invertida. Isso nos leva ao seguinte questionamento: os resultados pro-
duzido pelas Equações (13) e (14) são iguais? O Exemplo 1 tenta responder 
a essa pergunta.
7Integração em várias variáveis
A notação integral significa que x foi mantido fixo, ao passo que foi realizada 
somente uma integração parcial, na variável y no intervalo [c, d].
Exemplo 1
Calcularemos os valores das integras apresentadas a seguir.
a) 
b) 
Solução (a):
Para realizar a integração , deve-se primeiro integrar par-
cialmente na variável y ao longo do intervalo [1,3], ou seja, x deve ser tratado 
como uma constante:
O cálculo da integral interna é feito recorrendo-se a . 
Assim, o resultado da integralinterna é:
Integração em várias variáveis8
Retornando à integral original, obtém-se:
Isso quer dizer que, após realizada a integração parcial em y, a função a ser 
integrada depende apenas da variável x. A integração é realizada recorrendo-se 
novamente a :
Por fim, o resultado da integral iterada é:
Solução (b):
O procedimento aqui é análogo à letra (a), mas a ordem de integração está 
trocada: . Agora, primeiro deve-se integrar parcialmente na 
variável x ao longo do intervalo [0,1], tratando y como uma constante:
O resultado dessa integral já é conhecido:
Assim:
9Integração em várias variáveis
Isso quer dizer que, ao integrar em x, o resultado é uma integração que 
só depende da variável y. O resultado da integral em y também é conhecido:
Por fim, o resultado da integral iterada é:
É exatamente o mesmo resultado obtido na letra (a) deste exemplo. 
O resultado do exemplo indica que a ordem de integração não é importante. 
Em geral, isso é verdadeiro: a mesma resposta será obtida, independentemente 
da variável escolhida para integrar primeiro. Esse resultado é parte do teorema 
de Fubini.
Teorema de Fubini (integrais duplas)
A integral dupla de uma função contínua f(x, y) num retângulo R = [a, b] × [c, d] é igual 
à integral iterada:
(15)
Embora o teorema garanta a ordem de integração, você deve tomar muito cuidado 
com os limites de integração. Cada variável deve ser integrada de acordo com o limite 
estabelecido na região R.
Integração em várias variáveis10
Exemplo 2
Calcularemos a integral dupla , onde região R = {(x, y)|0 ≤ 
x ≤ 3, 0 ≤ y ≤1}.
Solução:
O teorema de Fubini garante que é igual à integral iterada e 
que temos liberdade de escolher a ordem de integração. Assim:
Como a função envolve uma soma, pode-se aplicar a Equação (8) e escrever:
O próximo passo é integrar parcialmente em y e, portanto, x deve ser 
tratado como uma constante: 
As integrações dentro dos colchetes são realizadas utilizando-se 
:
11Integração em várias variáveis
Por fim, só resta a integração na variável x, que novamente é realizada 
utilizando-se :
Note que o teorema de Fubini garante que, se a integração tivesse sido feita 
em x primeiro e posteriormente em y, o resultado seria o mesmo!
Exemplo 3
Calcularemos a integral dupla , onde R = [–1,2] × [0, π].
Solução:
Assim como no exemplo anterior, para resolver esse problema, você deve 
recorrer novamente ao teorema de Fubini:
A primeira variável a ser integrada nesse caso é a variável x, de modo que 
y deve ser tratado como uma constante:
 Para integrar em x, utiliza-se :
Logo, a integral dupla simplifica para:
Integração em várias variáveis12
Para realizar a última integração, é necessário fazer uma substituição de 
variáveis. Substituindo-se u = a derivada fica:
Assim:
Como :
No último passo, foi realizada uma racionalização, com . Vale 
lembrar que, para calcular as funções trigonométricas desses exercícios, a sua 
calculadora deve estar em radianos.
Integrais triplas
As integrais triplas ∭B f(x, y, z) dV são uma generalização imediata das 
integrais duplas, mas agora a função f(x, y, z) depende de três variáveis. Além 
disso, em vez de um retângulo num plano, agora a região de integração é uma 
caixa B = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Antes de seguir a generalização, é importante 
que você tenha em mente que, diferentemente dos casos uni e bidimensionais, 
não é útil exigir que f(x, y, z) ≥ 0, pois a interpretação da sua integral tripla 
∭B f(x, y, z) dV seria um hipervolume de difícil visualização. 
Seguindo os mesmos passos das integrais simples e duplas, subdivide-se a 
caixa em subcaixas menores. Isso é feito subdividindo-se o intervalo [a,b] em 
N subintervalos de tamanho Δx = (b – a)/N, o intervalo [c, d] em M subinter-
valos de comprimento Δy = (d – c)/M, e o intervalo [p, q] em L subintervalos 
de comprimento Δz = (q – p)/L, como mostrado na Figura 5.
13Integração em várias variáveis
Figura 5. Divisão do volume da caixa B = [a, b] × [c, d] × [p, q] 
em subcaixas.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018, p. 845).
Assim, o volume de uma caixa qualquer é dado por ΔVijk = ΔxiΔyjΔzk. 
Desse modo, tomando um ponto amostral , pode-se formar a 
soma tripla de Riemann:
(16)
No limite em que N, M, L → ∞, define-se a integral tripla:
(17)
Integração em várias variáveis14
A integral tripla também é calculada como uma integral iterada, sendo 
novamente válido o teorema de Fubini.
Teorema de Fubini (integrais triplas)
Seja f contínua em uma caixa retangular B = [a, b] × [c, d] × [p, q], então:
(18)
O mesmo é válido para qualquer ordem de integração.
Exemplo 4
Calcularemos , onde .
Solução:
Para calcular a integral tripla, utiliza-se o teorema de Fubini:
A primeira integração a ser realizada é em z, de modo que x e y devem ser 
tratados como constantes:
Para calcular a integral interna ao colchete, é necessário realizar uma 
mudança de variáveis. Definindo u = xyz, a derivada fica:
15Integração em várias variáveis
Assim:
Utilizando , obtém-se:
Agora é a vez de integrar a variável y e tratar x como uma constante:
Assim como no caso anterior, para realizar a integral dentro dos colchetes, 
uma nova substituição é necessária. Definindo u = πxy/4, a derivada fica:
Assim: 
Utilizando :
Por fim, só restam duas integrais simples na variável x. Para a primeira 
integral, será necessária uma mudança de variáveis. Denominando 
tal que a derivada fica:
Integração em várias variáveis16
Obtém-se: 
Utilizando e , obtém-se:
Aplicações de integrais múltiplas
As integrais duplas e triplas são muito úteis para cálculos diretos de área, 
volume, carga, massa, momento estático, coordenadas do centro de massa, 
momento de inércia, probabilidade e valor esperado, entre outro. Nesta seção, 
serão apresentadas algumas dessas aplicações.
Função constante
Quando a função a ser integrada é constante, ou seja, f(x, y) = c e f(x, y, z) = c, 
fica evidente a relação da integral dupla com a área da região R e da integral 
tripla com o volume da região B, pois;
(19)
e
(20)
17Integração em várias variáveis
Função densidade
A função densidade superficial σ(x, y) e a densidade volumétrica ρ(x, y, z) 
permitem calcular a massa de lâminas bidimensionais e sólidos tridimensionais:
(21)
(22)
Aqui, a unidade de medida da densidade superficial [σ] = [massa]/[com-
primento]2, e da volumétrica é [ρ] = [massa]/[comprimento]3. No caso especial 
de a densidade ser constante, por (19) e (20) obtém-se:
m = σA(D) (23)
e
m = ρV(D) (24)
Também é possível utilizar a função densidade para calcular a carga elétrica:
(26)
(27)
Aqui, a unidade de medida da densidade superficial é [σ] = [carga]/[com-
primento]2, e da volumétrica é [ρ] = [carga]/[comprimento]3.
Integração em várias variáveis18
Exemplo 5
Determine a massa de uma lâmina retangular R = [–2,4] × [0,3] se a sua 
densidade superficial de massa for σ(x, y) = 5x + (4/3)y, medida em g/cm2.
Solução:
A massa dessa lâmina é determinada pela integral dupla:
Utilizando o teorema de Fubini:
Como a primeira integração é em y, então x deve ser tratado como uma 
constante. Assim:
Utilizando , obtém-se:
Recorrendo à mesma técnica de integração, obtém-se:
19Integração em várias variáveis
Momento estático e centro de massa
Outra possibilidade para as integrais duplas e triplas é o cálculo de momento 
estático, também conhecido como primeiro momento, e das coordenadas do 
centro de massa de uma lâmina bidimensional ou um sólido tridimensional. 
Seja σ(x,y) a densidade superficial de uma lâmina, então as componentes 
do momento estático da lâmina são dadas por:
(28)
As coordenadas do centro de massa ficam:
(29)
Isso funciona de maneira análoga para o sólido. Sendo ρ(x, y, z) a sua den-
sidade volumétrica, então as componentes dos seus momentos estáticos são:
(30)
Desse modo, as coordenadas do centro de massa ficam:
(31)
No caso de a densidade ser constante, então (31) se reduz a:
(32)
Esse caso é conhecido como centroide.
Integração em váriasvariáveis20
Exemplo 6
Determine as coordenadas do centro de massa de um sólido contido na região 
E = [0,3] × [1,2] × [–2,4], cuja densidade volumétrica é ρ(x, y, z) = xyz, medida 
em g/cm3.
Solução:
Para determinar as coordenadas do centro de massa, o primeiro passo é calcular 
as componentes do momento estático. Utilizando (30):
O próximo passo é determinar a massa, utilizando (22):
Por fim, as coordenadas do centro de massa são determinadas por (31):
Assim, o centro de massa está localizado no ponto (2, 1,56, 4).
Momento de inércia
A última aplicação que será discutida neste capítulo é o momento de inércia, 
também denominado segundo momento. Para uma lâmina com densidade 
superficial σ(x, y), ele é definido, em relação aos eixos x e y, como:
(33)
21Integração em várias variáveis
E em relação à origem:
(34)
Já para um sólido com densidade volumétrica ρ(x, y, z), o momento de 
inércia em relação a cada eixo coordenado é:
(35)
Exemplo 7
Esse momento de inércia é utilizado no cálculo de lâminas ou sólidos em 
rotação, e a sua unidade de medida é [massa] × [comprimento]2. Ele não deve 
ser confundido com o momento de inércia de área utilizado no cálculo de 
deformações de estruturas, pois, embora sejam matematicamente similares, 
eles têm significados distintos:
(36)
Calcule o momento de inércia de um sólido com densidade superficial 
constante ρ = 23 g/cm3, delimitado por E = [0,3] × [–2,2].
Solução:
O momento de inércia em relação aos eixos coordenados é determinado uti-
lizando (33):
Integração em várias variáveis22
As aplicações discutidas nesta seção são voltadas à física e a algumas 
áreas da engenharia. Porém, elas se estendem por outras áreas afins, que não 
foram trabalhadas aqui, como probabilidade e estatística. Além disso, neste 
capítulo os cálculos estavam limitados a integrais duplas e triplas que podem 
ser calculadas em regiões retangulares. Essa experiência servirá de base 
para o cálculo dessas integrais em regiões que não sejam necessariamente 
retangulares. 
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 2.
Referência
23Integração em várias variáveis