Prova 2 B - Gabarito

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CM005 - A´lgebra Linear
Prova 2 - Turma B
NOME: Gabarito
1) Seja ~v = (1,−1, 0) e B = {(1, 1, 1), (2, 1, 0), (−1, 0, 2)} base de R3. Escreva as
coordenadas de ~v na base B.
As coordenadas c1, c2, c3 sa˜o determinadas pela equac¸a˜o
(1,−1, 0) = c1(1, 1, 1) + c2(2, 1, 0) + c3(−1, 0, 2)
Que se traduz no sistema linear de equac¸o˜es
1 = c1 + 2c2 − c3
−1 = c1 + c2
0 = c1 + 2c3 .
Resolvendo este sistema, fica c1 = −6, c2 = 5, c3 = 3.
2) Decidir se as seguintes transformac¸o˜es T : R2 → R2 sa˜o lineares ou na˜o.
Justificar.
a) T (x, y) = (xy, x2 + y3) na˜o e´ linear, T (cx, cy) 6= cT (x, y), por exemplo
para x = y = c = 2.
b) T (x, y) = (x + 3y, ex+y) na˜o e´ linear, T (0, 0) = (0, 1) 6= (0, 0).
3) Seja T : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear que consiste em rotar em aˆngulo
de 45 graus em torno ao eixo z ( antihora´riamente quando olhando paara abaixo)
seguido de projetar ortogonalmente no plano xy. Escreva a matriz de T na base
padra˜o de R3.
A matriz MT de T na base padra˜o de R3 e´ obtida como | |T (1, 0, 0) | T (0, 1, 0) | T (0, 0, 1)
| |
 .
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Notem que somente precisamos de saber como age T nos vetores da basae
padra˜o!. Na˜o precisamos da fo´rmula geral de T para todo (x, y, z). Assim,
T (1, 0, 0) = (cos 45o, sen 45o, 0) = (
√
2/2,
√
2/2, 0) ,
ja´ que ao rotacionar (1, 0, 0) ao redor do eixo z ele permanece no plano xy e a
projec¸a˜o na˜o o afeta. Similarmente,
T (1, 0, 0) = (− sen 45o, cos 45o, 0) = (−
√
2/2,
√
2/2, 0) .
Finalmente, (0, 0, 1) na˜o se mexe na rotac¸a˜o em torno a o eixo z (ja´ que ele esta´
no eixo de rotac¸a˜o), e depois e´ colapsado no zero pela projec¸a˜o ortogonal sobre
o plano xy. Assim, T (0, 0, 1) = (0, 0, 0), e a matriz de T na base padra˜o de R3 e´ √2/2 √2/2 0−√2/2 √2/2 0
0 0 0
 .
4) Seja
A =
 1 1 −1−1 1 1
−1 1 1

a) O que significa que 0 e´ autovalor de A? Justifique, sem fazer contas, que
0 e´ de fato um autovalor de A. Res: Zero e´ um autovalor de A se a equac¸a˜o
A~x = 0~x = ~0 admite uma soluc¸a˜o ~x 6= ~0. Sem fazer contas, podemos ver que
0 e´ autovalor de A, ja´ que A tem duas linhas igua´is e ao fazer a reduc¸a˜o para
resolver A~x = ~0 vamos obter uma linha de zeros e cnsequentemente uma soluc¸a˜o
na˜o nula.
b) Encontre os autovalores de A e os autovetores associados a cada um deles
(sugesta˜o: tomar em extremo cuidado com os sina´is). Res: Os autovalores de
A sa˜o 0, 1, 2 com autovetores associados respectivamente
0 (1, 0, 1), 1 (1, 1, 0), 2 (0, 1, 1) .
(Mu´ltiplos na˜o nulos dos autovetores tambe´m esta˜o certos).
c) Encontre matrizes S,D , com S invert´ıvel e D diagonal, tais que S−1AS =
D. Res: S e´ obtida colocando os autovetore como colunas, isto e´
S =
1 1 00 1 1
1 0 1

e D e´ a matriz com os autovalores na diagonal, na mesma ordem na qual colo-
camos os autovetores:
D =
0 0 00 1 0
0 0 2
 .
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