18 - Sistema de partículas

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
FÍSICA MECÂNICA 
 Prof.: Moacyr Marranghello e Prof. Jorge Tadeu Vargas da Silva 
 
18 SISTEMAS DE PARTÍCULAS 
 
Centro de Massa 
 
i
n
1i
i
nn332211
CM xmM
1
M
xmxmxmxmX ∑
=
=
++++
=
L
 
 
∑
=
=
n
1i
iiCM xmM
1
x ∑
=
=
n
1i
iiCM ymM
1y ∑
=
=
n
1i
iiCM zmM
1
z 
 
1. A figura ao lado mostra três partículas de massas m1 = 1,2 kg, 
m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg, situadas nos vértices de um triângulo 
eqüilátero de lado a = 140 cm. Qual a localização do centro de 
massa? 
 
 
2. Determine a posição geométrica do centro de massa da placa 
triangular homogênea que aparece na figura que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A figura ao lado mostra uma placa de metal circular de raio 2R 
da qual foi removido um disco de raio R. Vamos achar esta pla-
ca com um furo de objetos X. O centro de massa está indicado 
como um ponto sobre o eixo dos x. Determine a posição deste 
ponto. 
 
A segunda lei de Newton para um Sistema de Partículas 
 
4. Uma bola de massa m e raio R é colocada no interior de uma 
casca esférica com a mesma massa m e raio interno 2R. O sis-
tema está em repouso sobre uma mesa na posição indicada na 
figura ao lado. A bola é liberada, balança várias vezes para um 
lado e para outro e finalmente se imobiliza na parte inferior da 
casca esférica. Qual o deslocamento d da casca esférica durante 
o processo? 
 
 
 
5. A figura ao lado mostra um sistema de três partículas, cada uma 
submetida a uma força externa diferente e todas inicialmente em 
repouso. Qual a aceleração do centro de massa desse sistema? 
 
 
Y 
 
 
 
150 
 m3 
 
 
100 
 a a 
 
 
 50 
 
 m2 
 
 0 m1 50 xCM 100 150 x 
 
2 
 
Momento Linear 
 
p = m . v (Momento Linear de uma partícula) 
 
∑ = dt
dpF 
 
Momento Linear de um sistema de partículas 
 
P = M . vCM (Momento linear de um sistema de partículas) 
 
Conservação do Momento Linear 
 
Algumas Definições e Leis da Mecânica Clássica 
Lei ou Definição Partícula Única Sistema de partículas 
Segunda lei de Newton ∑F = m.a ∑Fext = M.aCM 
Momento linear p = m.v P = M.vCM 
Segunda lei de Newton ∑F = 
dt
dp
 ∑Fext = dt
dP
 
Teorema do trabalho-energia cinética σ = ∆K 
 
6. Uma série de balas, todas de massa m = 3,8 g, é dispa-
rada horizontalmente, com velocidade v = 1100 m/s, 
contra um bloco de madeira de massa M = 12 kg que se 
encontra inicialmente em repouso sobre uma mesa hori-
zontal, como mostra a figura que segue. Desprezando o 
atrito do bloco com a mesa, qual a sua velocidade depois de ser atingido por oito balas? 
 
7. Um canhão de massa M = 1300 kg dispara uma bala de mas-
sa m = 72 kg na horizontal com uma velocidade v = 55 m/s 
em ralação ao canhão, que recua (sem atrito) com uma velo-
cidade V em relação à Terra. 
a) Qual o valor de V? 
b) Qual o valor de vr? 
 
8. Uma espaçonave de massa M está viajando no espaço com uma velocidade vi = 2 100 km/h em 
relação ao Sol. Em um determinado instante, ejeta para trás um estágio auxiliar de massa 0,20 
M com uma velocidade relativa u = 500 km/h. Qual a velocidade da espaçonave depois que o es-
tágio é ejetado? 
 
9. A figura ao lado mostra dois blocos ligados por uma mola e 
apoiados em uma superfície sem atrito. Os blocos, de massa 
m1 e m2, são afastados e depois liberados sem velocidade ini-
cial. Qual é a fração da energia cinética total em cada bloco 
depois que eles são liberados? 
 
10. Uma bomba explode no interior de um coco de massa M, 
inicialmente em repouso em um piso sem atrito, quebrando-o 
em três pedaços, que são arremessados horizontalmente. A 
figura que segue mostra os pedaços vistos de cima. O peda-
ço C, com uma massa de 0,30 M, tem uma velocidade vfC = 
5,0 m/s (O índice f se refere à velocidade final do fragmento). 
a) Qual a velocidade do fragmento B de massa 0,20 M? 
b) Qual a velocidade do fragmento A? 
 
 
3 
 
COLISÕES 
 
Colisões simples: 
 
∫=
f
i
t
t
dt)t(FI (definição de impulso) 
if pppI −=∆= (teorema do impulso – momento linear) 
 
11. Uma bola de beisebol de 140 g, em vôo horizontal com uma velocidade vi de 39 m/s, é atingida 
por um rebatedor. Após abandonar o bastão, a bola viaja no sentido oposto com velocidade vf 
também de 39 m/s. 
a) Qual o impulso J que age sobre a bola enquanto ele estiver em contato com o bastão? 
b) O tempo de impacto ∆t para a colisão bola-bastão é de 1,2 ms, um valor típico. Qual á a for-
ça média que age sobre a bola? 
c) Qual é a aceleração média a da bola? 
 
12. Ainda em relação ao problema anterior, a bola de beisebol aproxima-se do bastão a uma veloci-
dade vi = 39 m/s, mas agora a colisão não é frontal e a bola deixa o bastão com uma velocidade 
vf de 45 m/s a um ângulo de 30º acima da horizontal. Qual é a força média exercida sobre a bo-
la, se a colisão durar 1,2 ms? 
 
Colisões elásticas em uma dimensão 
 
21
i2i1
21
CM mm
pp
mm
P
v
+
+
=
+
=
rrr
 
 
hg2
m
Mm
v ⋅⋅
+
= (pêndulo balístico) 
 
Para alvo estacionário: i1
21
21
f1 vmm
mm
v ⋅
+
−
= ; i1
21
1
f2 vmm
m2
v ⋅
+
⋅
= 
 
Para alvo móvel: i2
21
2
i1
21
21
f1 vmm
m2
v
mm
mm
v ⋅
+
⋅
+⋅
+
−
= ; i2
21
12
i1
21
1
f1 vmm
mm
v
mm
m2
v ⋅
+
−
+⋅
+
⋅
= 
 
13. Duas esferas de metal, suspensas por fios verticais, estão inici-
almente em contato, como mostra a figura que segue. A esfera 
1, com massa m1 = 30 g, é puxada para a esquerda até uma al-
tura h1 = 8,0 cm e, então, liberada. Após descer, ela sofre uma 
colisão elástica com a esfera 2, cuja massa é m2 = 75 g. 
a) Qual é a velocidade v1f da esfera 1, imediatamente após a 
colisão? 
b) Que altura h’1 atinge a esfera 1 ao retornar para a esquer-
da, após a colisão? 
c) Qual a velocidade v2f da esfera 2, imediatamente após a colisão? 
d) Que altura h2 atinge a esfera 2 após a colisão? 
 
14. Em um reator nuclear, nêutrons rápidos recém-emitidos devem ter suas velocidades diminuídas, 
antes de poder participara efetivamente no processo de reação em cadeia. Isto é feito permitin-
do-lhes colidir com os núcleos de átomos em um moderador. 
a) De que fração se reduz a energia cinética de um nêutron (de massa m1) em uma colisão e-
lástica frontal com um núcleo de massa m2, inicialmente em repouso? 
 
4 
b) Estime esta fração para o chumbo, o carbono, e o hidrogênio. As razões para as massas 
nuclear e a massa do neutro (= m2/m1) para esses núcleos são 206 para o chumbo, 12 para 
o carbono e cerca de 1 para o hidrogênio. 
15. Um deslizador alvo, cuja massa m2 é de 350 g, está em 
repouso em um trilho de ar, a uma distância d = 53 cm do 
fim do trilho. Um deslizador projétil, cuja massa m1 é de 590 
g, aproxima-se do alvo com velocidade v1i = – 75 cm/s e 
colide elasticamente com ele, como indica a figura a seguir. 
O deslizador alvo é devolvido elasticamente por uma mola 
curta no final do trilho e encontra o projétil pela segunda 
vez, como indica a figura seguinte. A que distância no final 
do trilho ocorre esta segunda colisão. 
 
Colisões inelásticas em uma dimensão 
 
16. Um pêndulo balístico é um dispositivo que foi usado para medir as ve-
locidades de projéteis, antes que se desenvolvessem dispositivos ele-
trônicos de medição. Este pêndulo consiste em um grande bloco de 
madeira de massa M = 5,4 kg, pendurado por dois fios longos. Uma ba-
la de massa m = 9,5 g é disparada para dentro do bloco, parando rapi-
damente. Então, o bloco + a bala deslocam-separa cima, seu centro 
de massa elevando-se de uma distância vertical h = 6,3 cm, antes que 
o pêndulo pare momentaneamente ao final de seu arco. 
a) Qual era a velocidade v da bala, imediatamente antes da colisão? 
b) Qual a energia cinética inicial da bala? Quanto dessa energia per-
manece como energia mecânica do pêndulo em movimento? 
 
17. Um mestre em caratê bate para baixo com seu punho (de massa m1 = 
0,70 kg), quebrando uma prancha de 0,14 kg, conforme figura que se-
gue. Ele, então, faz o mesmo a um bloco de concreto de 3,2 kg. As 
constantes elásticas k para o dobramento são 4,1 . 104 N/m para a 
prancha e 2,6 . 106 N/m para o bloco. A quebra ocorre a uma deflexão d 
de 16 mm para a prancha e 1,1 mm para o bloco. 
a) Imediatamente antes que a prancha e o bloco se quebrem, qual é a 
energia armazenada em cada um? 
b) Que velocidade v do punho é necessária para quebrar a prancha e 
o bloco? Suponha que a energia mecânica seja conservada duran-
te o dobramento, que o punho e o objeto atingido parem imediata-
mente antes da quebra e que a colisão punho-objeto, no início do 
dobramento, seja perfeitamente inelástica. 
 
Colisões em duas dimensões 
 
18. Duas partículas de massas iguais sofrem uma colisão elás-
tica, a partícula alvo estando inicialmente em repouso. Mos-
tre (a menos que a colisão seja frontal) que as duas partícu-
las sempre irão afastar-se perpendicularmente entre si, a-
pós a colisão. 
 
19. Dois patinadores colidem e abraçam-se em uma colisão 
perfeitamente inelástica, ou seja, eles permanecem em 
unidos após o impacto, conforme sugere a figura que 
segue, onde a origem é colocada no ponto de colisão. 
Alfred, cuja massa mA é 83 kg, está deslocando-se ori-
ginalmente para o leste com velocidade vA = 6,2 km/h. 
Bárbara, cuja massa 55 kg, está originalmente deslo-
cando-se para o norte com velocidade vB = 7,8 km/h. 
 
5 
a) Qual a velocidade v do casal após o impacto? 
b) Qual a velocidade do centro de massa dos dois patinadores, antes e depois da colisão? 
 
20. Um núcleo radioativo de urânio – 235 decai espontaneamente para tório – 231 pela emissão de 
uma partícula alfa: 
235U ⇒ α + 231Th 
A partícula alfa (mα = 4,00 u) tem uma energia cinética Kα de 4,60 MeV. Qual é a energia cinética 
do núcleo de tório – 231 que recua (mTh = 231 u)? 
 
21. Uma reação nuclear de grande importância para a geração de energia por fusão nuclear é a as-
sim chamada reação d-d, para a qual uma das formas é: 
d + d ⇒ t + p 
As partículas representadas por tais letras são todas isótopos do hi-
drogênio, com as seguintes propriedades: 
 
Símbolos Nome Massa 
p 1H Próton mp = 1,00783 u 
d 2H Dêuteron md = 2,01410 u 
t 3H Tríton mt = 3,01605 u 
 
a) Quanto de energia aparece devido a variação de massa ∆m que 
ocorre nesta reação? 
b) Um dêuteron de energia cinética Kd = 1,50 MeV atinge um dêuteron 
em repouso, iniciando a reação. Observa-se que um próton se afas-
ta a um ângulo de 90º com a direção de incidência, com uma ener-
gia cinética de 3,39 MeV. Qual é a energia cinética do tríton? 
c) A que ângulo φ com a direção de incidência emerge o tríton? 
 
GABARITO
1. xcm = 83 cm ; ycm = 58 cm 
2. desenho 
3. ( )( )( ) R31tRtR2 tRRx 22
2
=
ρpi−ρpi
ρpi−
−= 
4. R
2
1d = 
5. 1,16 m/s² e 27º 
6. 2,8 m/s 
7. a) – 2,9 m/s 
b) 52,1 m/s 
8. 2200 km/h 
9. frac1 = 0,91 
frac2 = 0,09 
10. a) vfB = 9,64 m/s 
b) vfA = 3,00 m/s 
11. a) 10,9 kg.m/s 
b) 9100N 
c) 6,5 . 104 m/s² 
12. 
13. a) 0,537 m/s 
b) 0,0147 m 
c) 0,715 m/s 
d) 0,2612 m 
14. a) ( )221
21
mm
mm4frac
+
= 
b) chumbo 1,9% 
 carbono 28% 
 hidrogênio 100% 
 
 
15. x = 35 cm 
16. a) 630 m/s 
b) K = 1900 J ; EM = 3,3 J 
17. a) prancha = 5,248 J 
 bloco 1,573 J 
b) prancha v = 4,2 m/s 
 bloco v = 5,0 m/s 
18. demonstração 
19. a) 4,86 km/h ; θ = 40º 
b) – 0,50 
20. 79,2 keV 
21. a) 4,03 MeV 
b) 2,14 MeV 
c) – 46,7º