Cap 4 - Espacos gerados

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Álgebra Linear - ProfaAna Paula
ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS
Definição: Seja V uma espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A � �v1, v2,� , vn� � V,
A � �. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é
um subespaço vetorial de V. O subespaço S diz-se espaço gerado pelos vetores v1, v2,� , vn ou
gerado pelo conjunto A e é representado por:
S � �v1, v2,� , vn � � �v � V / v � k1v1 � k2v2 ���knvn�
onde v1, v2,� , vn são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto gerador de
S.
OBS: A � �, então ��� � �0�, por convenção.
Exemplo:
1) �2 � ��1, 0�, �0, 1��
2) S � ��x, y, 0�/x, y � �� � ��1, 0, 0�, �0, 1, 0��
3) �3 � ��1, 0, 0�, �0, 1, 0�, �0, 0, 1��
4) ��1, 2�� � ��x, 2x��/x � ��
5) ���1,�2�, �2, 4�� � ��x, 2x��/x � ��
6) ��1, 2, 3�� � ��x, 2x, 3x�/x � ��
7) ��1,�2, 1�, �, 2, 1, 1�� � ��x, y, z� � �3/x � 3y � 5z � 0�
8) ��3, 1�, �5, 2�� � �2
9) ��1, 1, 1�, �1, 1, 0�, �1, 0, 0�� � �3.
10) V � M2x2
�1 2
�2 3
,
3 �1
1 1
�
�2y � t y
�y t
/y, t � �
OBS:
a) O subespaço gerado por um vetor do �2 ou �3, v � 0, é uma reta que passa pela origem.
b) O subespaço gerado por dois vetores do �2 ou �3, não-colineares, é um plano que passa
pela origem.
No caso do �2, é o próprio �2.
c) O subespaço gerado por 3 vetores não-coplanares é o próprio �3.
OBS: O conjunto gerador não é único.
Definição: Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A � V, tal
que V � �A�.
Exemplo: São espaços vetoriais finitamente gerados:�2,�3,��n, Mnxm.
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Exemplo: Determine se u � �1, 1, 2�, v � �1, 0, 1� e w � �2, 1, 3� geram o espaço vetorial �3.
Resp: ��1, 1, 2�,�1, 0, 1�, �2, 1, 3�� � ��x, y, z� � �3/x � y � z � 0�
OBS: O problema reduz a determinar se o sistema obtido tem solução para quaisquer valores
de x, y e z. Isto é, se for possível calcular o determinante, será SP se, e somente se, o determinante
da matriz dos coeficientes for não-nulo. Se o determinante for nulo, então os vetores não geram o
espaço.
Exercício de Fixação
Determine se os vetores dados geram �3.
1) u � �2, 2, 2�, v � �0, 0, 3�, w � �0, 1, 1�
2) u � �2,�1, 3�, v � �4, 1, 2�, w � �8,�1, 8�
3) u � �3, 1, 4�, v � �2,�3, 5�, w � �5,�2, 9�, t � �1, 4,�1�
4) u � �1, 2, 6�, v � �3, 4, 1�, w � �4, 3, 1�, t � �3, 3, 1�
Resp: 1 e 4
5) Sejam f � cos2x e g � sen2x. Quais dos seguintes estão no espaço gerado por f e g?
a) cos2x b) 3 � x2 c) 1 d) senx e) 0
Resp: a, c, e
6) Encontre uma equação para o plano gerado pelos vetores u � ��1, 1, 1� e v � �3, 4, 4�. Resp:
y � z
7) Encontre equações paramétricas para a reta gerada pelo vetor u � �3,�2, 5�.Resp:
x � 3t, y � �2t, z � 5t onde t � �
8) Mostre que v1 � �1, 6, 4� e v2 � �2, 4,�1� e v3 � ��1, 2, 5� geram o mesmo subespaço vetorial
de �3 que os vetores w1 � �1,�2,�5� e w2 � �0, 8, 9�.
9) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta
dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
a) Se S é um conjunto finito de vetores de um espaço vetorial V, então �S� é fechado para
adição e multiplicação por escalar. Resp: Verdadeira.
b) A interseção de dois subespaços de um espaço vetorial V também é um subespaço de V.
Resp: verdadeira.
c) Se �S1� � �S2�, então S1 � S2. Resp: falsa.
10) Sob quais condições dois vetores de �3 geram um plano? E uma reta?
11) Sob quais condições vale �u� � �v�? Explique.
Consultar o livro: Steinbruch, A. Winterle, P. Álgebra Linear. 2a. ed. Makron Books. 1987.
Fazer os exercícios 33 a 45 (páginas 91 a 93) do capítulo 2.
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