Lista 2 1

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estat́ıstica
Lista 2 - Álgebra Linear - 2017.2
(1) (Ex.2, pg 49) No conjunto V = {(x, y); x, y ∈ R} defina as seguintes operações
- adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0),
- multiplicação por escalar: α(x, y) = (αx, αy).
Nessas condições V é um espaço vetorial sobre R? Por quê?
(2) (Ex.3, pg 49) No conjunto V = {(x, y); x, y ∈ R} defina as seguintes operações
- adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
- multiplicação por escalar: α(x, y) = (αx, 0).
Nessas condições V é um espaço vetorial sobre R? Por quê?
(3) (Ex.4, pg 49) Considere o conjunto V = {(x, y); x, y ∈ R}. V não é um espaço vetorial em
relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações em V :
a. - adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
- multiplicação por escalar: α(x, y) = (x, αy)
b. - adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1),
- multiplicação por escalar: α(x, y) = (αx, αy).
Diga, em cada caso, qual dos 8 axiomas (da definição de espaço vetorial) não se verificam.
(4) (Ex.5, pg 50) No conjunto V = {(x, y); x, y ∈ R} defina as seguintes operações
- adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1),
- multiplicação por escalar: α(x, y) = (3αy,−αx).
Com estas operações definidas sobre V , este conjunto é um espaço vetorial sobre R?
(5) (Ex.1, pg 53) No espaço vetorial M3×2(R), consideremos os vetores
A =
 1 10 0
0 0
 , B =
 0 12 1
1 1
 e C =
 1 21 0
0 −1
 .
a. Calcular 2A+B − 3C.
2
b. Calcular X ∈M3×2(R) tal que
A+X
2
− X −B
3
= C.
c. Existem t1, t2 ∈ R de maneira que A = t1B + t2C?
(6) (Ex.3, pg 53) No espaço vetorial P(R) sejam dados os vetores f(t) = t3− 1, g(t) = t2 + t− 1
e h(t) = t+ 2.
a. Calcule 2f(t) + 3g(t)− 4h(t).
b. Existe k ∈ R de maneira que f(t) + kg(t) = h(t)?
c. Existem k1, k2 ∈ R tais que f(t) = k1g(t) + k2h(t)?
(7) (Ex.4, pg 53) No R2 consideremos os vetores u = (1, 1), v = (3,−2) e w = (3,−2).
a. Resolva a equação
x+ u
2
+
v + x
3
= w,
na incógnita x ∈ R2.
b. Resolver o seguinte sistema de equações
x + y + z = u
2x − y + z = v
x + y − 2z = w
nas incógnitas x, y, z ∈ R2.
(8) (Ex.1, pg 63) Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do R3?
a. W = {(x, y, z) ∈ R3;x = 0}.
b. W = {(x, y, z) ∈ R3;x ∈ Z}.
c. W = {(x, y, z) ∈ R3; y é irracional }.
d. W = {(x, y, z) ∈ R3;x− 3z = 0}.
e. W = {(x, y, z) ∈ R3; ax+ by + cz = 0} onde a, b, c ∈ R.
(9) (Ex.3, pg 64) Verifique que não são subespaços vetoriais do R3:
a. W = {(x, y, z) ∈ R3;x = 1}.
b. W = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y + z = 0}.
c. W = {(x, y, z) ∈ R3;x ≤ y ≤ z}.
Em casa caso quais dos axiomas (de subespaço vetorial) não se verificam?
3
(10) (Ex.7, pg 64) Seja U, V e W os seguintes subespaços do R3:
U = {(x, y, z);x = z}
V = {(x, y, z); x = y = 0}
W = {(x, y, z); x+ y + z = 0}.
Verifique que U + V = R3, U + W = R3 e V + W = R3. Em algum dos casos a soma é
direta?
(11) (Ex.9, pg 64) Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R3:
a. U = {(x, y, z) ∈ R3;x− 2y = 0}.
b. V = {(x, y, z) ∈ R3;x+ z = 0 e x− 2y = 0}.
c. W = {(x, y, z) ∈ R3;x+ 2y − 3z}.
d. U ∩ V .
e. V +W .
(12) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2(R). Em caso afirmativo exiba
seus geradores.
a. V =
{[
a b
c d
]
; b = c
}
.
b. W =
{[
a b
c d
]
; b = c+ 1
}
.
(13) Considere o subespaço de R4
S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)].
a. O vetor (2/3, 1,−1, 2) pertence a S?
b. O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
(14) Seja W o subespaço de M3×2(R) gerado por 0 01 1
0 0
 ,
 0 10 −1
1 0
 e
 0 10 0
0 0
 .
O vetor
 0 23 4
5 0
 pertence a W?
4
(15) (Ex.12, pg 65) Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2(R):(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
0 0
1 1
)
e
(
0 1
1 2
)
.
(16) (Ex.22, pg 65) Determine um subespaço complementar do seguinte subespaço do R3: {(x, y, z) ∈
R3; x− y = 0}. Faça o mesmo para o subespaço {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y = z− t = 0} do R4.