Arranjos Simples

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Prof.: Duarte
Aula 3
IV. Arranjos simples
Vamos supor que devemos formar números de três dígitos usando, para isso, os algarismos 1 , 2 , 3 e 4, sem os repetir.
1
2
3
Algumas possibilidades de Arranjos (existem 24 no total):
1
2
4
2
4
3
2
3
4
3
4
2
Observe que importa a ordem dos elementos (algarismos).
Neste caso estamos formando arranjos de quatro elementos (n) tomados três a três (p) 
IV. Arranjos simples
O número de arranjos simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n  p, é um número natural indicado por An,p, que corresponde ao número total de sequências de p elementos distintos, que podem ser construídas com n elementos dados. Observamos que como se trata de sequências, a ordem dos elementos diferencia duas sequências entre si, ou seja, a sequência 12 é diferente da sequência 21.
IV. Arranjos simples
1) Num baralho de 52 cartas, 4 cartas são tiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas são possíveis?
Neste caso temos: n = 52 e p = 4.
IV. Arranjos simples
2) Seis times sub-20 de futebol A, B, C, D, E e F disputam um torneio hexagonal, sendo que os dois primeiros se classificam para as Olimpíadas. Quantas são as possibilidades para os dois primeiros lugares na classificação final?
São 6 times (n = 6) para duas posições (p = 2). 
Importa a ordem, o primeiro lugar é o campeão. É arranjo!
IV. Arranjos simples
3) Quantos são os números compreendidos entre 5000 e 6000 por algarismos distintos escolhidos entre {1,2,3,4,5,6,7}?
O primeiro algarismo certamente é 5. Sobram 6 (n = 6) para 3 posições (p = 3).
IV. Arranjos simples
4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} sem os repetir, de modo que:
a) Os números comecem por 6.
Tem de começar por 6, logo sobram somente 9 algarismos (n = 9) para duas posições (p = 2). A ordem importa, então é Arranjo.
IV. Arranjos simples
4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} sem os repetir, de modo que:
Tem de começar por 1 e terminar por 7, logo sobram somente 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). 
b) Os números comecem por 1 e terminem por 7.
IV. Arranjos simples
4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} sem os repetir, de modo que:
Tem de começar por 6 e ser impar, sobram 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). Teremos A8,1 para cada um dos cinco números ímpares (1,3,5,7,9), portanto o resultado será: 
c) Os números comecem por 6 e sejam ímpares.
Pense ...... como ficaria este item se os números tivessem de começar por 5?
IV. Arranjos simples
5) “Seo” “Arnesto”, que mora no Brás, é um brilhante pintor de paredes. Ele foi convidado por “dona” Clementina para pintar uma sala, que tem 6 paredes. Para tal tarefa “dona” Clementina forneceu 8 latas de tintas de cores diferentes e queria que cada parede fosse pintada de uma cor, não podendo repetir a mesma cor em paredes diferentes. De quantas maneiras diferentes “seu” “Arnesto” pode cumprir a tarefa?
Tintas de 8 cores diferentes, n = 8; 6 paredes diferentes, p = 6.
IV. Arranjos simples
6) Sueca é um popular jogo de cartas, introduzido pelos portugueses no Brasil, onde duas duplas se enfrentam usando um baralho de 40 cartas, com os naipes de Ouros, Espadas, Copas e Paus, cada um deles contendo as cartas: A (Ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, V (Valete), D (Dama), R (Rei). Em cada “mão” da sueca os jogadores recebem dez cartas cada um. Quantas sequências de cartas são possíveis para um jogador?
Temos: n = 40 e p = 10.
IV. Arranjos simples
7) Tiago, o neto do Duarte, resolve brincar com seus carrinhos. Numa caixa A ele tem dez carrinhos diferentes e, em outra caixa B, cinco diferentes. Tiago pegou quatro carrinhos da caixa A e três da caixa B e fez uma fila com os sete carrinhos. Quantas possibilidades existem no total?
Por ser uma fila a ordem importa, mudar a ordem seria mudar a fila, então é Arranjo.
IV. Arranjos simples
Caixa A temos: n = 10 e p = 4.
Caixa B temos: n = 5 e p = 3.
Tem de tirar carrinhos da caixa A E da caixa B, portanto o total será o produto dos Arranjos:
Observação: se fosse simplesmente tirar carrinhos a ordem não iria importar, seria Combinação.
IV. Arranjos simples
8) Um cadeado possui três discos distintos, todos eles marcados com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. Para abrir o cadeado devemos alinhar os discos, formando um número de 3 algarismos. Se uma pessoa tentar abrir o cadeado, quantas tentativas, no máximo, deverá fazer para conseguir abri-lo?
Os três discos são distintos.
IV. Arranjos simples
Primeiro disco n = 10 e p = 1: 
Segundo disco n = 10 e p = 1: 
Terceiro disco n = 10 e p = 1: 
Tem de acertar o primeiro número E o segundo E o terceiro, portanto o número máximo de tentativas será:
V. Combinações simples
O número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n  p, é um número natural indicado por Cn,p, corresponde ao número total de subconjuntos de p elementos, escolhidos dentre os n elementos dados. 
Observação: 
Nos Arranjos são formadas sequências e, portanto, importa a ordem dos elementos;
Nas Combinações são formados subconjuntos e, portanto, não importa a ordem dos elementos.
V. Combinações simples
O número de Combinações é calculado por: 
V. Combinações simples
Lembre-se da diferença entre Arranjo e Combinação. No Arranjo importa a ordem dos elementos e na Combinação não importa a ordem.
V. Combinações simples
9) Um grupo de 10 jogadores de truco quer fazer um campeonato. Quantas duplas diferentes podem ser formadas? 
Não importa a ordem, a dupla jogador A e B é a mesma do jogador B e A. É Combinação. Temos n = 10 e p = 2.
V. Combinações simples
10) Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas com 6 alunos?
Formar uma comissão significa escolher 4 pessoas não importando a ordem, portanto é Combinação. n = 6 e p = 4.
V. Combinações simples
11) Uma empresa tem 7 engenheiros e 5 engenheiras. O diretor da empresa pediu que formassem uma comissão com 4 engenheiros e 3 engenheiras, para discutirem qual o índice de aumento do dissídio. Calcule quantas comissões poderiam ser formadas.
V. Combinações simples
Engenheiros: de 7 (n = 7) pode escolher 4 (p = 4). 
Engenheiras: de 5 (n = 5) pode escolher 3 (p = 3).
V. Combinações simples
Tem de escolher 4 engenheiros E 3 engenheiras, portanto é o produto. 
V. Combinações simples
12) Um clube tem 21 garotos atletas, sendo que 10 jogam futsal e 11 jogam voleibol. Como o clube vai participar de um torneio de futsal (cinco jogadores) e outro de voleibol (seis jogadores) deve formar um time de cada. Sabendo que no de futsal deve ter 3 reservas e no de voleibol 4 reservas, determine quantos times diferentes poderão ser formados.
V. Combinações simples
Futsal: n = 10 e p = 8.
Voleibol: n = 11 e p = 10.
Tem de formar o time de Futsal E o de Voleibol, o total T vai ser o produto dos dois. 
V. Combinações simples
13) Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Logo, qual o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir?
Temos: n = 7 e p = 5.
V. Combinações simples
14) Uma caixa contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas dos quais pelo menos 4 bolas sejam pretas?
1o caso 6 bolas pretas e 1 branca.
V. Combinações simples
14) Uma
caixa contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas dos quais pelo menos 4 bolas sejam pretas?
2o caso 5 bolas pretas e 2 brancas.
V. Combinações simples
14) Uma caixa contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas dos quais pelo menos 4 bolas sejam pretas?
3o caso 4 bolas pretas e 3 brancas.
V. Combinações simples
14) Uma caixa contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas dos quais pelo menos 4 bolas sejam pretas?
Acontece o 1o caso OU o 2o caso OU o 3o caso, portanto é a soma dos três:
V. Combinações simples
15) Em um jogo de truco, usando um baralho (sem os 8, 9 e 10) de 40 cartas, foram dadas 3 cartas a um jogador. De quantas formas esse jogador receberá pelo menos um Ás?
Número total de combinações: Todas as cartas: n = 40 e p = 3
V. Combinações simples
15) Em um jogo de truco, usando um baralho (sem os 8, 9 e 10) de 40 cartas, foram dadas 3 cartas a um jogador. De quantas formas esse jogador receberá pelo menos um Ás?
Número de combinações que não tem Ás: Total das cartas menos os Ases: n = 36 e p = 3.
V. Combinações simples
15) Em um jogo de truco, usando um baralho (sem os 8, 9 e 10) de 40 cartas, foram dadas 3 cartas a um jogador. De quantas formas esse jogador receberá pelo menos um Ás?
Como devemos fazer para garantir que o jogador receberá pelo menos um Ás?
Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não aparece pelo menos um Ás.