Variáveis Contínuas

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Prof.: Duarte
Aula 8
IV – Variáveis contínuas
Suponha que as notas de 30 alunos em uma prova nos conduziu aos seguintes valores:
X:
3
4
2,5
4
4,5
6
5
5,5
6,5
7
7,5
2
3,5
5
5,5
8
8,5
7,5
9
9,5
5
5,5
4,5
4
7,5
6,5
5
6
6,5
6
Observando esses valores notamos grande número de elementos distintos, o que significa que nesta situação a variável discreta não é aconselhável na redução de dados.
IV – Variáveis contínuas
Para casos como este é melhor dar o tratamento da variável como contínua, agrupando os dados por faixas de valores. Para isso vamos adotar a seguinte notação:
2 |¾ 4
IV – Variáveis contínuas
A série fica com a seguinte apresentação: 
Classe
Notas
fi
1
2|¾4
2
4|¾6
3
|¾8
4
8|¾10
S
Rol X:
2
2,5
3
3,5
4
4
4
4,5
4,5
5
5
5
5
5,5
5,5
5,5
6
6
6
6,5
6,5
6,5
7
7,5
7,5
7,5
8
8,5
9
9,5
4
12
10
4
30
IV – Variáveis contínuas
A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos estabelecer aproveitando a tabela do slide anterior. Neste caso as Notas serão o Intervalo de classe.
Classe
Notas
fi
1
2|¾4
4
2
4|¾6
12
3
|¾8
10
4
8|¾10
4
S
30
Amplitude Total
Amplitude Total de uma sequência é a diferença entre o maior e o menor elemento da sequência. 
Representando por AT a amplitude total, por Xmáx o maior elemento da sequência X e por Xmín o menor elemento da sequência X, então: 
No exemplo temos: Xmáx = 9,5 e Xmín = 2 e, portanto, AT = 9,5 – 2 = 7,5.
Intervalo de Classe 
Intervalo de classe é qualquer subdivisão da amplitude total da série estatística. 
No intervalo do exemplo anterior subdividimos a amplitude total em 4 classes, obtendo os intervalos de classe : 
2 |¾ 4 ; 4 |¾ 6 ; 6 |¾ 8 e 8 |¾ 10.
Observe que na realidade não trabalhamos com a AT = 7,5, e sim com a amplitude ajustada para 8 por conveniência.
Intervalo de Classe 
Cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números reais: o menor valor, que é chamado limite inferior da classe e é indicado por I, e o maior valor, que é chamado limite superior da classe, é indicado por L. Estes números são os chamados limites da classe.
No exemplo, na classe 2 |¾ 4, temos I = 2 e L = 4.
Intervalo de Classe 
A amplitude do intervalo de classe é a diferença h = L – I.
O número de classes, a qual chamaremos de K, depende da situação do problema e do número n de elementos da sequência. Tem de ser um número inteiro.
Para o cálculo de K vamos utilizar a fórmula de Sturges: 
A frequência simples de uma classe (fi) é o número de elementos da sequência que são maiores ou iguais ao limite inferior e menores que o limite superior dessa classe.
Exercício 1
Um teste para aferir o QI dos alunos de uma determinada turma de 70 alunos deu origem à sequência de valores:
X:
111
90
121
105
122
60
128
112
128
93
108
138
88
110
112
112
97
128
102
125
87
119
104
116
96
114
107
113
80
113
123
95
115
70
115
101
114
127
92
103
78
118
100
115
116
98
119
72
125
109
79
139
75
109
123
124
108
125
116
83
94
106
117
82
122
99
124
84
91
130
Qual o valor de n?
n = 70.
Exercício 1
Vamos calcular o número de classes (K).
O número de classes (K) tem de ser inteiro. Arredondando para cima o valor inteiro mais próximo é 8 mas podemos, por conveniência, construir a variável contínua com 8, 9 ou 10 classes
Exercício 1
O maior valor da sequência é Xmáx = 139 e o menor valor da sequência é Xmín = 60 e, portanto, a amplitude total da sequência é AT = 139 – 60 = 79, que não é divisível nem por 8, nem por 9 e nem por 10. 
X:
111
90
121
105
122
60
128
112
128
93
108
138
88
110
112
112
97
128
102
125
87
119
104
116
96
114
107
113
80
113
123
95
115
70
115
101
114
127
92
103
78
118
100
115
116
98
119
72
125
109
79
139
75
109
123
124
108
125
116
83
94
106
117
82
122
99
124
84
91
130
Exercício 1
Por conveniência vamos ajustar Xmáx para 140. Assim ficamos com:
Vamos calcular a amplitude do intervalos, usando para isso número de classes igual a 8.
O maior valor da sequência é Xmáx = 139 e o menor valor da sequência é Xmín = 60 e, portanto, a amplitude total da sequência é AT = 139 – 60 = 79, que não é divisível nem por 8, nem por 9 e nem por 10. 
Exercício 1
Computando as frequências simples de cada classe construímos a variável contínua representativa dessa série:
Classe
Intervalo de classe
fi
1
2
3
4
5
6
7
8
S
70 |¾ 80 
80 |¾ 90 
90 |¾ 100 
100 |¾ 110 
110 |¾ 120 
120 |¾ 130 
130 |¾ 140 
60 |¾ 70 
Exercício 1
Computando as frequências simples de cada classe construímos a variável contínua representativa dessa série:
Rol
60
70
72
75
78
79
80
82
83
84
X:
87
88
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
108
109
109
110
111
112
112
112
113
113
114
114
115
115
115
116
116
116
117
118
119
119
121
122
122
123
123
124
124
125
125
125
127
128
128
128
130
138
139
Exercício 1
Computando as frequências simples de cada classe construímos a variável contínua representativa dessa série:
Classe
Intervalo de classe
fi
1
2
3
4
5
6
7
8
S
1
5
6
10
12
19
14
3
70
70 |¾ 80 
80 |¾ 90 
90 |¾ 100 
100 |¾ 110 
110 |¾ 120 
120 |¾ 130 
130 |¾ 140 
60 |¾ 70 
Frequências
A frequência simples relativa (fri), a frequência acumulada (Fi) e a frequência acumulada relativa (Fri) são definidas, como na variável discreta, em função da frequência simples fi e do número n de elementos da sequência.
Exercício 2
Construir a distribuição de frequências para a série a seguir, que representa uma amostra dos salários de 25 funcionários de uma empresa: 
Classe
Salários (R$)
nofuncionários (fi)
1
1.000|¾1.200
2
2
1.200|¾1.400
6
3
1.400|¾1.600
10
4
1.600|¾1.800
5
5
1.800|¾2.000
2
S
25
a) Existem 5 funcionários que recebem entre R$ 1.600,00 e R$ 1.800,00 
c) Existem 23 funcionários que recebem salários menores que R$ 1.800,00, 
b) Eles representam 20% do total de funcionários.
Exercício 2
Calculando temos:
Classe
Salários (R$)
nofunc. (fi)
fri%
Fi
Fri%
1
1.000|¾1.200
2
2
1.200|¾1.400
6
3
1.400|¾1.600
10
4
1.600|¾1.800
5
5
1.800|¾2.000
2
S
25
#
#
8
24
40
20
8
100
2
8
18
23
25
8
32
72
92
100
Na classe 4:
e eles representam 92% do total de funcionários.
Exercício 2
Aprendemos a fazer o gráfico de colunas na aula passada: 
150
1
2
3
25
4
5
6
50
75
100
xi
fi
Exercício 2
Agora vamos aprender a fazer o histograma, que nada mais é que um gráfico de colunas, só que contínuo. No caso do exercício o histograma correspondente é:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
1000
1200
1400
1600
1800
2000
salários
Exercício 2
Construímos o Polígono de Frequência ligando os pontos médios das classes.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
1000
1200
1400
1600
1800
2000
salários
Media Aritmética, Mediana e Moda
Para cada classe, consideramos o valor 
Onde Li é o valor máximo da classe e Ii é o valor mínimo da classe i. 
Também na variável contínua, nós consideramos as medidas de tendência central: a média aritmética m, a mediana MD e a moda MO.
Media Aritmética, Mediana e Moda
No exemplo anterior, ampliamos a tabela original para:
Cla
Salários (R$)
fi
Fi
xi
xi.fi
1
1.000|¾1.200
2
2
1.200|¾1.400
6
3
1.400|¾1.600
10
4
1.600|¾1.800
5
5
1.800|¾2.000
2
S
25
#
#
1.100
1.300
1.500
1.700
1.900
2.200
7.800
15.000
8.500
3.800
37.300
2
8
18
23
25
Media Aritmética, Mediana e Moda
As vezes fica mais fácil preencher a tabela por linha do que por coluna.
Cla
Salários (R$)
fi
Fi
xi
xi.fi
1
1.000|¾1.200
2
2
1.200|¾1.400
6
3
1.400|¾1.600
10
4
1.600|¾1.800
5
5
1.800|¾2.000
2
S
25
#
#
1.100
1.300
1.500
1.700
1.900
2.200
7.800
15.000
8.500
3.800
37.300
2
8
18
23
25
Media Aritmética, Mediana e Moda
Vamos calcular a média.
Esse é o salário médio.
O que é isso?
Media Aritmética, Mediana e Moda
Supondo que a distribuição se dê linearmente, calculamos a Mediana aplicando a fórmula: 
Onde ImedIANA é o limite inferior da classe mediana, FMEDIANA é a frequência acumulada da classe da mediana, Fant a frequência acumulada da classe anterior à mediana, fmedIANA a frequência simples da mediana e hmedIANA a amplitude do intervalo de classe da mediana.
Media Aritmética, Mediana e Moda
Para calcular a mediana MD, primeiro achamos a classe mediana, isto é, aquela que contém o valor mediano. Calculamos a frequência acumulada da classe da media (FMEDIANA) dividindo n (número de dados estatísticos) por dois. No exemplo em questão, como n = 25, temos: 
Media Aritmética, Mediana e Moda
Na tabela devemos procurar a classe que contém FMEDIANA = 12,5. Observamos que está na classe 3, ou seja, na classe que vai de F = 9 até F = 18 e, portanto, é um valor entre R$ 1.400,00 e R$ 1.600,00.
Cla
Salários (R$)
fi
Fi
xi
xi.fi
1
1.000|¾1.200
2
2
1.100
2.000
2
1.200|¾1.400
6
8
1.300
7.800
3
1.400|¾1.600
10
18
1.500
15.000
4
1.600|¾1.800
5
23
1.700
8.500
5
1.800|¾2.000
2
25
1.900
3.800
S
25
#
#
37.300
IMEDIANA = 
I3 = 1.400,00 ; 
FANT =
F2 = 8 ; fMEDIANA =
f3 = 10 e hMEDIANA =
h3 = 200,00. 
Temos: FMEDIANA = 12,5 ; 
Media Aritmética, Mediana e Moda
É o salário mediano, ou seja, metade dos funcionários ganham R$ 1490,00 ou menos e a outra metade ganham R$ 1490,00 ou mais.
O que é isso?
Na tabela devemos procurar a classe que contém FMEDIANA = 12,5. Observamos que está na classe 3, ou seja, na classe que vai de F = 9 até F = 18 e, portanto, é um valor entre R$ 1.400,00 e R$ 1.600,00.
IMEDIANA = 
I3 = 1.400,00 ; 
FANT =
F2 = 8 ; fMEDIANA =
f3 = 10 e hMEDIANA =
h3 = 200,00. 
Temos: FMEDIANA = 12,5 ; 
Media Aritmética, Mediana e Moda
A moda Mo se calcula pela fórmula de Czuber: 
D1 = fMOD – fANT onde fMOD é frequência modal e fANT é frequência anterior à modal.
D2 = fMOD – fPOS onde fMOD é frequência modal e fPOS é frequência posterior à modal. 
Cla
Salários (R$)
fi
Fi
xi
xi.fi
1
1.000|¾1.200
2
2
1.100
2.000
2
1.200|¾1.400
6
8
1.300
7.800
3
1.400|¾1.600
10
18
1.500
15.000
4
1.600|¾1.800
5
23
1.700
8.500
5
1.800|¾2.000
2
25
1.900
3.800
S
25
#
#
37.300
Media Aritmética, Mediana e Moda
Vamos calcular a moda Mo pela fórmula de Czuber: 
Em que classe está a Moda? 
Está na classe 3 
Media Aritmética, Mediana e Moda
Cla
Salários (R$)
fi
Fi
xi
xi.fi
1
1.000|¾1.200
2
2
1.100
2.000
2
1.200|¾1.400
6
8
1.300
7.800
3
1.400|¾1.600
10
18
1.500
15.000
4
1.600|¾1.800
5
23
1.700
8.500
5
1.800|¾2.000
2
25
1.900
3.800
S
25
#
#
37.300
Vamos calcular a moda Mo pela fórmula de Czuber: 
Em que classe está a Moda? 
Está na classe 3 
Media Aritmética, Mediana e Moda
Esse é o salário modal.
Vamos calcular a moda Mo pela fórmula de Czuber: 
Exercício 3
Calcule a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição dos pontos obtidos por candidatos a um concurso.
Classe
Pontos
no de cand (fi)
Ponto médio (xi)
xi.fi
Fi
1
0|¾40
48
20
960
48
2
40|¾80
67
60
4020
115
3
80|¾120
123
100
12300
238
4
120|¾160
164
140
22960
402
5
160|¾200
141
180
25380
543
6
200|¾240
57
220
12540
600
S
600
#
78160
#
Exercício 3
Calcule a média aritmética, a mediana e a moda da distribuição dos pontos obtidos por candidatos a um concurso.