Função de Grau Maior que Dois

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Funções polinomiais (grau maior que 2)
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 10 - p. 103
 Para efeitos de exemplo, vamos considerar os gráficos de algumas funções polinomias com
o grau maior que 2.
-5 -4 -3 -2 -1 1
-2
2
4
x
y
fx = x + 33
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = x3 − 2
-1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
8
x
y
fx = x − 23 + 1
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = x3 − x
-1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
fx = x3 − 2x2 + x
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = 2x3 + x − 1
-2 -1 1
-1
1
2
3
x
y
fx = x4 + x
-1 1 2
5
10
x
y
fx = 2x4 + 2x2 − 3x
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
fx = x4 − 2x2 + 1
-2 2 4
-100
-80
-60
-40
-20
20
x
y
fx = x5 − 4x4 − 3x + 4
-2 -1 1 2
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
fx = x − 13x + 12
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
x
y
fx = xx + 13x − 23
1
 O comportamento de algumas dessas funções pode ser relacionado ao comportamento de
funções ”monomiais” com o mesmo grau que as funções dadas. Veja as três primeiras
funções anteriores. A primeira é obtida de fx = x3, somando 3 unidades ao x; a segunda é
obtida de fx = x3, tirando da f 2 unidades; e a terceira também é obtida de fx = x3,
primeiro, tirando 2 unidades em x e, depois, somando 1 unidade à f.
 Veja o exemplo 1, na p. 103/104 do Demana. O autor considera duas funções cujo
comportamento pode ser relacionado com funções monomiais, mais simples que as funções
dadas. Observe, na letra (a), que para obter o gráfico da função gx = 4x + 13, o autor
considera o gráfico da função fx = 4x3, deslocando-o para a esquerda ”1” unidade (perceba
que ”somamos” 1 unidade a x). Na letra (b), o autor compara a função hx = −x − 24 + 5
com a função fx = −x4. O gráfico de hx é obtido deslocando o gráfico de fx para a direita
”2” unidades (perceba que ”subtraímos” 2 unidades de x) e, para cima, ”5” unidades (perceba
que somamos 5 unidades à imagem da função).
⋙ Podemos generalizar o comportamento de funções obtidas de funções monomiais
através de algumas operações. Considere k uma constante positiva.
1) O gráfico de fx + k é obtido deslocando o gráfico de fx para a esquerda k unidades.
Exemplo: Veja no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x + 34 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para a esquerda 3 unidades.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2) O gráfico de fx − k é obtido deslocando o gráfico de fx para a direita k unidades.
Exemplo: Veja no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x − 24 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para a direita 2 unidades.
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
x
y
3) O gráfico de fx + k é obtido deslocando o gráfico de fx para cima k unidades.
Exemplo: Veja no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x4 + 2 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para cima 2 unidades.
2
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1
1
2
3
4
5
x
y
4) O gráfico de fx − k é obtido deslocando o gráfico de fx para baixo k unidades.
Exemplo: Veja no mesmo sistema de eixos, o gráfico de fx = x4 e de gx = x4 − 2 e
observe que o gráfico da g é o mesmo que o da f, deslocado para baixo 2 unidades.
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
 Uma função polinomial é definida para todos os números reais. Dessa forma, é importante
observar o comportamento dessas funções nos extremos do domínio (para x muito grande
e positivo ou para x muito grande em módulo, porém, negativo). Este comportamento origina
o que denominamos ”limites da função, quando x cresce sem limite ou quando x decresce
sem limite”. Simbolicamente, para uma função fx, escrevemos lim
x→+∞
fx e lim
x→−∞
fx,
respectivamente.
Veja, por exemplo, o gráfico da função fx = x3 − 4x2 − 5x − 3, apresentado a seguir.
x
y
Observe que, quanto maior for o valor do x, maior será a imagem da função, isto é, maior
será o valor do y. Representamos esse fato escrevendo lim
x→+∞
fx = +∞. Também, quanto
menor for o x, isto é, quanto mais negativo for o x, menor será a imagem da função, isto é,
tanto mais negativo será o valor do y. Representamos esse fato escrevendo lim
x→−∞
fx = −∞.
 Veja na p. 107 do Demana que o autor classifica esse comportamento das funções
polinomiais de acordo com o grau do termo principal. Analise as conclusões comparando com
3
os gráficos apresentados e veja se você concorda com a classificação. Em seguida, estude o
que é apresentado no exemplo 4, na p. 107/108.
  Voltando aos gráficos apresentados logo no início deste material, já vimos que os três
primeiros representam funções que podem ser relacionadas com funções monomiais de
mesmo grau e, portanto, seus gráficos podem ser obtidos por deslocamentos do gráfico
destas últimas. As demais funções representadas pelos outros gráficos não podem ser
obtidas dessa forma. Observe as definições das funções representadas em cada gráfico e
procure perceber que, de fato, isso não é possível. Para essas funções polinomiais, que não
têm um padrão definido, é fundamental que possamos determinar suas raízes reais pois,
dessa forma, teremos condições de determinar os pontos de intersecção do gráfico com o
eixo x.
Exemplo:
Verifique que a forma fatorada da função fx = x3 − 2x2 − x + 2 é fx = x − 2x − 1x + 1.
Agora, observe o gráfico de fx, onde podemos confirmar que suas raízes são, de fato, 2, 1 e
−1.
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
 Vamos retomar algumas das funções cujos gráficos foram apresentados logo no início
deste material e vamos relacionar o comportamento dessas funções à multiplicidade de suas
raízes.
-5 -4 -3 -2 -1 1
-2
2
4
x
y
fx = x + 33
A única raiz real dessa função é o −3
e sua multiplicidade é 3.
Observe que o gráfico ”corta” o eixo dos x onde x = −3.
4
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = x3 − x
As raízes reais dessa função são 0, −1 e 1, todas
simples, de multiplicidade 1. Observe que o gráfico
”corta” o eixo dos x onde x = 0, x = −1 e x = 1.
-1 1 2
-1
1
x
y
fx = x3 − 2x2 + x
As raízes dessa função são 0 e 1. A forma fatorada
da f é xx − 12. Observe que 0 é uma raiz de
multiplicidade 1 e o gráfico da f ”corta” o eixo x
onde x = 0; 1 é uma raiz de multiplicidade 2 e o
gráfico ”encosta” no eixo x onde x = 1.
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
fx = x4 − 2x2 + 1
As raízes da função são −1 e 1. A forma fatorada
da f é x + 12x − 12. Observe que −1 tem
multiplicidade 2 e o gráfico ”encosta” no eixo x
onde x = −1;1 tem multiplicidade 2 e o gráfico
”encosta” no eixo x onde x = 1.
 Esse comportamento de uma função polinomial ”cortar” ou ”encostar” no eixo x nos pontos
onde x é raiz da função está relacionado com a multiplicidade da raiz.
1) Se a raiz tem multiplicidade ímpar, o gráfico ”corta” o eixo x no ponto cuja abscissa é
aquela raiz.
2) Se a raiz tem multiplicidade par, o gráfico ”encosta” no eixo x no ponto cuja abscissa é
aquela raiz.
Veja, por exemplo, a função fx = −2x − 14x + 23. Ela tem duas raízes reais: 1 e −2. Como
1 tem multiplicidade par, espera-se que o gráfico da f ”encoste” no eixo x, no ponto onde
x = 1. Como −2 tem multiplicidade ímpar, espera-se que o gráfico da f ”corte” o eixo x, no
ponto onde x = −2. Além disso, é importante perceber que um de seus pontos (fácil de
determinar) é o ponto 0,−16 (basta substituir x por zero na equação que define a f). Veja o
gráfico da f a seguir, o que confirma nossas expectativas.
5
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-40
-30
-20
-10
10
x
y
Exercícios:
1) Considere a função y = fx cujo gráfico é apresentado a seguir e, com base nele,
determine os limites:(a) lim
x→+∞
fx e (b) lim
x→−∞
fx.
x
y
2) Considere o gráfico da função do terceiro grau, fx, dado a seguir.
-4 -2 2
-20
-15
-10
-5
5
10
x
y
(a) Diga quais as raízes reais da f.
(b) Qual a multiplicidade de cada uma das raízes?
(c) Dê a equação que define a f.
3) Faça o esboçodo gráfico de uma função f que satisfaça o seguinte:
(a) f tem grau 3; (b) 1 é uma raiz dupla da f; (c) −1 é uma raiz simples da f; (d) o gráfico passa
pelo ponto 0,−2; (e) lim
x→+∞
fx = −∞; e (f) lim
x→−∞
fx = +∞.
4) Do livro indicado na Bibliografia Básica (Demana, páginas 120 e 121) resolva os exercícios
de números: 7 a 12; 21 a 24; 25 a 27; 35 a 38.
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