Prova 2

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Departamento de Engenharia Rural
Curso: Engenharia Qu´ımica
Disciplina: Ca´lculo B
Semestre: 2011/1
Professor: Eleonesio Strey
Aluno:
Segunda Prova - 14-06-2011
Todas as respostas devem ser justificadas!
1a Questa˜o. (1,5 pontos) Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ele conver-
gir, encontre o limite.
(a) lim
n→∞
n
1 +
√
n
(b) lim
n→∞
ncos(npi)
2a Questa˜o. (2,0 pontos) Uma sequeˆncia {an} e´ dada por
a1 =
√
2 e an+1 =
√
2 + an.
(a) Mostre que {an} e´ crescente e limitada superiormente por 3. Aplique o teorema da
sequeˆncia mono´tona para mostrar que limn→∞ an existe.
(b) Calcule limn→∞ an.
3a Questa˜o. (1,5 pontos) Expresse o nu´mero 6, 254545454... como uma raza˜o de inteiros.
4a Questa˜o. (2,0 pontos) Os termos de uma se´rie sa˜o definidos recursivamente pelas
equac¸o˜es
a1 = 2 an+1 =
5n+ 1
4n− 3an.
Determine se a se´rie
∑
an converge ou diverge.
5a Questa˜o. (3,0 pontos) Determine se a se´rie e´ condicionalmente convergente, absolu-
tamente convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1n−1/3 (b)
∞∑
n=1
(−1)n(n+ 1)3n
22n+1
(c)
∞∑
n=1
sen (1/
√
n)
1/
√
n
Boa Prova!