Aula_01_e_02_de_Mecânica_Aplicada

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Aula_1_Trabalho e energia MEC APLIC _ Exs.pdf
MECÂNICA APLICADA 
4º e 5º CICLOS (ENGENHARIA MECÂNICA E ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO MECÂNICA)
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul - grace.ganharul@anhanguera.com
Disciplina: 
MECÂNICA APLICADA
* INTRODUÇÃO AO CURSO 
* INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE 
TRABALHO E ENERGIA
AULA 01
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul
Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição
– Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 14 –
Pág.133.
Graduação em Eng. Mecânica / Produção
Apresentação da professora:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul
� Engenheira Mecânica (2008) – Centro Universitário da FEI
� Mestra em Materiais (2012) – Centro Universitário da FEI
Outras atividades
Centro Universitário da FEI
� Pesquisadora
Anhanguera Educacional
� Profa. de Mecânica Aplicada, Processos de Fabricação,
Materiais, Elementos de Máquinas II, Vibrações, Projetos
de Máquinas, Máquinas de Elevação e Transporte e
Fundamentos de Hidrostática e Calorimetria.
Experiência na indústria:
� Volkswagen do Brasil, Basf, Goodyear do Brasil, Mercedes
Bens do Brasil e Johnson Controls Automotive.
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Contatos:
� E-mail: gracekellyq@yahoo.com.br
� E-mail ANHANGUERA: grace.ganharul@anhanguera.com
� Pessoalmente: Todas as noites na faculdade.
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Nosso Objetivo:
Professor:
“Auxiliar os alunos para o desenvolvimento do 
conhecimento relacionado aos conceitos nas áreas de 
Dinâmica aplicados a Engenharia, instruindo na teoria 
relacionada e auxiliando na solução dos exercícios 
propostos.”
Aluno:
“Estar atento às informações diretivas do professor, 
buscando individualmente ou em grupo, solucionar os 
exercícios propostos, buscando sempre o aprendizado e...
– PERGUNTANDO SEMPRE QUE TIVER DÚVIDA!!!”
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Apresentação da Disciplina:
Horários:
2ª e 4ª: Das 19:10h às 22:50h
6ª: Das 19:10 às 20:50h
Bibliografia recomendada:
Dinâmica: Mecânica para Engenharia
R.C. Hibbeler 12ª Edição – Editora Person 
(São Paulo), 2011 – PLT 761
Aulas / Materiais extras:
Serão enviadas por e-mail aos
representantes de cada sala.
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Ementa – PEA
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Carga Horária Teórica Carga Horária Outros Carga Horária Total
60 horas 20 horas 80 horas
Ementa – P1
1.Trabalho e Energia: Princípios do Trabalho; Princípios da Energia; Conceito
de Potência; Conceito de Eficiência; Principio da Conservação de Energia.
2.Cinemática dos Corpos Rígidos: Movimento de Translação Retilínea; 
Movimento de Translação Curvilínea; Rotação em torno de um eixo fixo; 
Equações que definem a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo;
Movimento plano geral; Velocidade absoluta e relativa no movimento plano;
Centro instantâneo de rotação no movimento plano; Aceleração absoluta e 
relativa no movimento plano.
Ementa – PEA
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Carga Horária Teórica Carga Horária Outros Carga Horária Total
60 horas 20 horas 80 horas
Ementa – P2
3.Engrenagens : Engrenagens cilíndricas de dentes retos; Engrenagens 
cilíndricas de dentes helicoidais; Engrenagens cônicas de dentes retos;
Engrenagens cônicas de dentes curvos; Perfil evolvente; Circunferência de 
base; Reta geratriz; Ângulo de incidência; Raio da evolvente; Cinemática do 
Engrenamento; Lei fundamental do engrenamento; Perfis conjugados; 
Engrenamento de duas evolventes; A Roda Dentada; Roda dentada cilíndrica 
de dentes retos; Roda dentada cilíndrica de dentes helicoidais.
4. Trens de Engrenagens: Relações de transmissão; Determinação de um 
trem de engrenagens para uma dada relação de transmissão; Método das 
frações contínuas; Aplicação do método das frações contínuas para
determinação dos números de dentes; Caixa de redução de máquinas 
ferramentas; Transmissão automotiva.
Procedimentos
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Procedimentos Metodológicos
Aulas expositivas, utilizando-se do quadro e 
projeções de datashow, com base em livros 
texto e apostilas.
Discussões em sala de aula, reuniões em 
grupo e elaboração de listas de exercícios 
(manuscritas e entregues na data), para 
resolução individual e/ou em grupo e 
desenvolvimento de projeto (ATPS).
Avaliações e Pesos
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Sistema de Avaliação
1ª Avaliação: Peso: 4 2ª Avaliação: Peso: 6
Atividades avaliativas a critério do
professor
Prova escrita
Oficial da Universidade
8,0 pontos (Avaliação) 8,0 pontos (Avaliação)
1,0 pontos (ATPS) 1,0 pontos (ATPS)
1,0 pontos (Média aritmética das listas 
de exercícios e atividades propostas 
pela professora)
1,0 pontos (Média aritmética das listas 
de exercícios e atividades propostas 
pela professora)
Atividades práticas: 2 Atividades práticas: 2
Atividades teóricas: 8 Atividades teóricas: 8
Total: 10 Total: 10
NOTA: A nota de recuperação é a nota pura da prova (desconsiderando a
nota de ATPS e das listas de exercícios e atividades).
ALTERAÇÕES DO REGIMENTO
�MÉDIA PARAAPROVAÇÃO: 6,0
�ARREDONDAMENTO: 1 CASA DE PRECISÃO.
�FREQUÊNCIA PARA APROVAÇÃO: 75% E ALUNOS
REPROVADOS POR FALTA TERÃO QUE CURSAR A
DISCIPLINA INTEGRALMENTE.
�RDR: APENAS PARA OS ALUNOS
REPROVADOS POR NOTA.
�CHAMADA EM SALA DE AULA.
Cronogramas de Aulas
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Cronograma de Aulas
Semana: Tema:
1 Trabalho e Energia
2 a 6 Cinemática dos Corpos Rígidos
7 Avaliação parcial (individual / sem consulta) e entrega
da primeira parte da ATPS
8 a 14 Engrenagens e atividades de engrenagens
15 Trens de Engrenagens
16 Prova Escrita Oficial (individual / sem consulta) e
entrega da segunda parte da ATPS
22 e 23/06/15 Dias de vista de Prova Oficial
17 Prova Substitutiva (individual / com consulta)
Datas das avaliações:
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� Turmas de Segunda-feira: B1 => 06/04/2015
B2 => 15/06/2015
Sub => 29/06/2015
� Turmas de Sexta-feira: B1 => 10/04/2015
B2 => 19/06/2015
Sub => 26/06/2015
� Turmas de Quarta-feira: B1 => 01/04/2015
B2 => 17/06/2015
Sub => 24/06/2015
Introdução:
�Perguntas fundamentais
�Visão geral da disciplina
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 14
Pergunta Fundamental:
Do que trata esta disciplina?
Esta disciplina assim tem por objetivo estudar a forma 
como elementos se comportam e interagem entre 
si, ao longo do tempo, considerando o movimento 
desses elementos e as suas causas.
Por que este conhecimento é importante para o 
engenheiro?
Ele é a base teórica às áreas de direta aplicação 
de engenharia.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 15 
Visão geral da disciplina:
O que é trabalho?
É uma medida da energia transferida pela aplicação de uma 
força ao longo de um deslocamento. Representado por: W 
(work) ou por (tau)
O que é energia?
É a capacidade que um corpo tem de realizar uma ação ou um 
trabalho. A energia relaciona-se diretamente com o trabalho, ou 
seja, se um sistema possui energia, ele é capaz de realizar 
trabalho.
Pessoa realiza trabalho e a 
caixa ganha energia cinética e 
térmica
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� Quais são os tipos de energia?
Visão geral da disciplina:
Potencial: gravitacional, elástica ou 
elétrica
Cinética: relacionada
a velocidade
Energia mecânica: soma da potencial 
gravitacional e da cinética
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� Quais são os tipos de energia?
Visão geral da disciplina:
Energia Cinética
(Velocidade)
Energia Potencial
(Altitude)
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 18
� Quais são os tipos de trabalho?
Visão geral da disciplina:
- Trajetória retilínea
- Trajetória curvilínea
- Força elástica
Visão geral da disciplina:
O que vamos estudar na cinemática do movimento plano 
de um corpo rígido?
� Movimento Plano de um Corpo Rígido;
� Movimento de Translação Curvilínea;
� Movimento de Rotação;
� Rotação em torno de um eixo fixo;
� Equações que definem a rotação de um corpo rígido em 
torno de um eixo fixo;
� Movimento plano geral;
� Velocidade absoluta e relativa no movimento plano;
� Centro instantâneo de rotação no movimento plano;
� Aceleração absoluta e relativa no movimento plano.
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Visão geral da disciplina:
O que vamos estudar sobre engrenagens?
� Engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais;
� Engrenagens cônicas de dentes retos;
� Perfil evolvente, circunferência de base, reta geratriz, ângulo 
de incidência, raio da evolvente;
� Cinemática e lei fundamental do engrenamento;
� Perfis conjugados;
� Engrenamento de duas evolventes;
� Roda dentada cilíndrica de dentes retos e helicoidais;
� Trens de engrenagens;
� Relações de transmissão;
� Determinação de um trem de engrenagens para uma dada 
relação de transmissão.
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Visão geral da disciplina:
Engrenagens (Cilíndricas de dentes retos e helicoidais, cônicas de dentes retos 
e curvos, trem de engrenagens)
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Visão geral da disciplina:
Trens de Engrenagens
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 22
Introdução:
� O trabalho de uma força
� Princípios do trabalho e energia
� Potência e eficiência
� Conservação de energia
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Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 24
O trabalho de uma força:
Tipos de trabalho
� Trabalho de uma força constante e paralela ao deslocamento
Calculado quando se tem a força sendo aplicada no mesmo sentido do 
deslocamento da seguinte forma:
Como α é zero, o cosseno deste ângulo é igual a 1, a expressão torna-se:
( )αF.d.cosτ =
F.dτ =
F = força aplicada [N]
d = deslocamento sofrido pelo corpo [m]
α = ângulo entre força e deslocamento [rad]
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 25
O trabalho de uma força:
Tipos de trabalho
� Trabalho de uma força constante e não paralela ao deslocamento
Calculado quando se tem a força sendo aplicada no mesmo sentido do 
deslocamento da seguinte forma:
Como α é diferente de zero, o cosseno deste ângulo também é diferente de 
zero.
( )αF.d.cosτ = F = força aplicada [N]d = deslocamento sofrido pelo corpo [m]
α = ângulo entre força e deslocamento [rad]
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 26
O trabalho de uma força:
Tipos de trabalho
� Trabalho de uma força constante em trajetória curvilínea
Calculado quando se tem a força sendo aplicada no mesmo sentido do 
deslocamento, porém em trajetória curvilínea, da seguinte forma:
∫= F.dτ F = força aplicada [N]d = deslocamento sofrido pelo corpo [m]
d
O trabalho depende diretamente da 
intensidade da força aplicada e do espaço 
percorrido pelo corpo.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 27
O trabalho de uma força:
Tipos de trabalho
� Trabalho da força elástica
Calculado quando uma mola comprimida ou alongada exerce uma força no 
bloco da seguinte forma:
K.xFel =
K = constante da mola [N/m] 
x = deformação da mola [m]
[N.m] = [J] 
(Joule)
O trabalho de uma força:
Tipos de trabalho
� Trabalho da força normal, da força peso e da força centrípeta
Forças perpendiculares ao deslocamento não realizam trabalho, pois não 
causam variação na energia cinética.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 28
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
1) Calcule o trabalho que a força F realiza, no 
deslocamento de 0 a 6 m. Analise os casos:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 29
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao
J 60N.m 6010 * 6h * bretângulo do área
J 90N.m 90
2
30 * 6
2
h * b
 triângulodo área a)
====
====
J 150 J 60 J 90τ =+=
J 160N.m 160
2
40 * 2)(6
2
h * b)(B
 trapéziodo área b) ==+=+=
J 160τ =
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
2) Seu Joaquim arrasta uma caixa ao longo de um plano inclinado 
visando colocá-la na carroceria de um caminhão.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 30
Ele aplica na caixa uma força paralela ao plano 
inclinado e cuja intensidade F varia com a distância, 
conforme indica o gráfico abaixo. São dadas as 
intensidades das outras forças que agem na caixa:
• Peso: P = 60 N
• Força de atrito: Fat = 7,0 N
• Força normal: FN = 58 N
Calcule o trabalho realizado pelas forças que agem 
na caixa no deslocamento do solo (C) até a 
carroceria do caminhão (A).
Sabe-se que AC = 6,0 m e AB = 1,5 m
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao
J 90 1,5)*(60τP
h)*(PτP
peso força da Trabalho
=−=
−=
J 120N.m 12020 * 6h * bretângulo do área
J 60N.m 60
2
20 * 6
2
h * b
 triângulodo área
homem do força da Trabalho
====
====
J 180 J 120 J 60τ =+=
J 42 6)*(7τFat
d)*(FatτFat
atrito de força da Trabalho
=−=
−=
caixa) da todeslocamen de
plano aoular (perpendic
 0τFN
normal força da Trabalho
=
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
3) Uma mola tem constante elástica K = 100 N/m. 
Seu comprimento quando não deformada é de 0,30 
m. Qual é o trabalho da força elástica quando a mola 
é alongada de modo que seu comprimento passe 
para 0,40 m?
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 31
4) Um bloco esta preso a uma mola de constante elástica K 
= 200 N/m. Seu comprimento quando na posição de 
equilíbrio é de 0,20 m (posição O). A mola é alongada até 
que seu comprimento passe a 0,40 m (posição A). Qual é o 
trabalho da força elástica no deslocamento de A até O?
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao
m 0,10 x 
m 0,30 - m 0,40 x
Li - Lf x oAlongament
mola da Trabalho
3)
=
=
==>
J 50,0 
2
(0,10)*100
2
x*k
τFel
22
−=== m 0,20 x 
m 0,20 - m 0,40 x
Li - Lf x oAlongament
mola da Trabalho
4)
=
=
==>
J 00,4 
2
(0,20)*200
2
x*k
τFel
22
+===
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
5) Um homem arrasta um caixote com m=310 kg 
puxando por uma corda. A força que este exerce 
sobre a corda é de 450 N, estando esta inclinada em 
um ângulo de 38º. A força de atrito exercida pelo solo 
é de 125N. Calcule:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 32
a) O trabalho realizado pelo homem 
sobre o caixote.
b) O trabalho realizado pela força de 
atrito.
c) O trabalho total realizado sobre o 
caixote.
Atividade:
Exercícios para fixação dos conceitos
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao
( )
J
d*354,60τ
cos(38)*d*450τ
cos*d*Fτ
homem do força da Trabalho
=>=
=
= α
d*125τFat
d)*(125τFat
d)*(FatτFat
atrito de força da Trabalho
−=
−=
−=
J d*229,60τtotal
d)*(125-d*354,60)(τtotal
.realizados trabalhosos
 todosde soma Total Trabalho
=>=
=
=
Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 33
Tipos de energia
� Energia cinética ���� velocidade
É a forma de energia associada ao movimento relativo dos corpos, portanto, 
diretamente associada ao trabalho (velocidade do corpo em questão).
[(kg.m2)/s2] 
= [J] (Joule)
( )
2.a.dv
:)0(v repouso do Partindo
2.a.dvv
:Torricelli de equação a Usando
m.a.d.1τ
m.aF
:Newton de Lei 2ª Da
F.d.cosτ
2
0
2
0
2
=
=
+=
=∴
=
= α
c(inicial)c(final)
2
c
2
2
EEτ
m.v
2
1E
:força pela realizado trabalhoao
igual é cinética energia a Como
2
v
m.τ
2
v
a.d
−=
=
=∴
=
Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 34
Tipos de energia
� Energia potencial gravitacional ���� altura
É a forma de energia associada ao estado de separação entre dois objetos 
que se interagem por meio de um campo gravitacional (posição do objeto 
em relação a um nível de referência).
m.g.hE
altura . PesoE
pg
pg
=
=
m = massa do corpo [kg]
g = aceleração da gravidade [9,8 
m/s2 na Terra, 1,6 m/s2 na Lua]
h = altura do corpo [m]
[(kg.m2)/s2] 
= [J] (Joule)
Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 35
Tipos de energia
� Energia mecânica total (sistema conservativo => sem atrito)
É a capacidade de um corpo produzir trabalho, dada pela soma da energia 
cinética e da energia potencial gravitacional (energia do movimento).
m.g.h
2
m.vE
EEE
2
mec
pgcmec
+=
+=
m = massa do corpo [kg]
v = velocidade do corpo [m/s]
g = aceleração da gravidade [9,8 
m/s2 na Terra, 1,6 m/s2 na Lua]
h = altura do corpo [m]
[(kg.m2)/s2] 
= [J] (Joule)
Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 36
Tipos de energia
� Energia potencial elástica ���� molas ou cordas
É a forma de energia associada a uma mola ou a uma corda que possui 
elasticidade (trabalho realizado pela força elástica).
[N.m] = [J] 
(Joule)
2
K.xE
2
el =
K = constante elástica [N/m]
x = deformação (contração 
ou distensão) sofrida pela 
mola ou pela corda [m]
Atividade:
Exercício para resolução na aula para fixação dos 
conceitos
1) Um corpo de massa igual a 500 g é abandonado
de uma altura de 0,8m sobre uma mola ideal, cujo
comprimento é de 40cm quando não deformada. O
corpo choca-se contra a mola, comprimindo-a.
A compressão máxima da mola é de 25% do seu
comprimento original.
Considerando-se a gravidade igual a 9,8 m/s2 e
desprezando-se as perdas devido à dissipação de
energia.
Quanto vale a constante elástica da mola?
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 37
Atividade:
Solução
Dados:
m = massa = 500 g = 0,5 kg
h = altura = 0,8 m
x = 40 cm = 0,4 m = 0,4.25/100 = 10/100 = 0,1 m
g = 9,8 m/s²
K = constante elástica da mola = ?
Epg = m.g.h
Epg = 0,5.9,8.0,8
Epg = 3,92 J
Epg = Eel (desprezando-se as perdas devido à dissipação de energia)
Eel = K.x²/2
3,92 = K . (0,1)² / 2
3,92.2 = K.0,01
7,84 = 0,01.K
7,84/0,01 = K
784 N/m = K
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 38
Potência:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 39
Definições:
� grandeza que determina a quantidade de energia concedida por uma 
fonte a cada unidade de tempo.
� taxa temporal na qual o trabalho é realizado e a energia é transformada.
� potência é a rapidez com a qual uma certa quantidade de energia é 
transformada ou é a rapidez com que o trabalho é realizado.
[1 (N.m)/s] = [1 J/s] = [1 W] (Watt)
( )
F.vP
∆t
∆dF.
∆t
F.d∆
∆t
∆τP
=∴
===
F = força aplicada [N]
d = deslocamento do corpo [m]
v = velocidade do corpo [m/s]
Tau = trabalho [J]
∆t = variação de tempo [s]
Exemplos Potência
Carro 1.6 100 CV
Chuveiro 2600-6800 W
Televisão 105 W
Geladeira 101 W
Itaipú 12000 MW
1 HP = 746 W 1 CV = 735 W
Eficiência ou rendimento:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 40
Definições:
� é a relação entre os resultados obtidos e os recursos empregados.
� é a relação entre a energia fornecida e a energia produzida.
� representa uma medida segundo a qual os recursos são convertidos em 
resultados de forma mais econômica.
entrada
saída
entrada
saída
fornecida
produzido
E
E
P
P
E
τ
η ===
Tau = trabalho útil produzido no 
processo [J]
E = quantidade de energia 
oferecida ao sistema [J]
P = potência [J/s]
A eficiência não pode exceder 
100% em sistemas fechados.
Conservação de Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 41
Forças conservativas => trabalho da força é independente da trajetória 
� O trabalho desse tipo de força depende somente das 
posições inicial e final da força na trajetória.
� Exemplos:
� Peso de uma partícula => depende somente do 
deslocamento vertical do peso.
� Força desenvolvida por uma mola => depende 
somente da extensão ou compressão da mola.
�A energia mecânica de um sistema é a soma da energia 
cinética e da energia potencial.
Conservação de Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 42
Forças conservativas => trabalho da força é independente da trajetória
� a energia total de um sistema isolado (não interage com outros
sistemas) é sempre constante.
� a energia mecânica de um sistema no qual agem somente forças
conservativas não se altera com o passar do tempo. Nesse caso,
podemos dizer que a soma das energias cinética e potencial é
constante, seja qual for o intervalo de tempo.
cteEEE
EEE
EEE
EEE
mec3mec2mec1
pg3c3mec3
pg2c2mec2
pg1c1mec1
===
+=
+=
+=
Conservação de Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 43
Forças dissipativas => trabalho da força é dependente da trajetória
� Em contraste com uma força conservativa, consideramos a
força de atrito exercida sobre um objeto deslizando por uma
superfície fixa.
� O trabalho realizado pela força de atrito depende da
trajetória.
� Isso significa que:
Quanto maior a trajetória, maior o trabalho.
� Ou seja, as forças de atrito não são conservadoras (o
trabalho é dissipado na forma de calor).
Conservação de Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 44
Forças dissipativas => trabalho da força é dependente da trajetória
� a energia mecânica de um sistema somente se conserva na
ausência de forças dissipativas.
� forças dissipativas são aquelas que agem em um sistema a fim de
modificá-lo.
� forças que transformam a energia mecânica em outras formas de
energia, como por exemplo, som, calor e deformação.
Força de resistência do ar Força de atrito
Conservação de Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 45
Forças dissipativas:
� A força de atrito é sempre contrária ao movimento. 
� Isso significa que, se o corpo se desloca, a força de atrito será um vetor 
de sentido oposto ao vetor deslocamento. 
� Quando calculamos o trabalho da força de atrito, obtemos um trabalho 
negativo. 
� E o sinal negativo significa que a força de atrito está retirando energia 
mecânica do corpo, durante o trajeto.
Conservação
de Energia:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 46
Atividade:
Exercício para resolução na aula para fixação dos 
conceitos
1) Considere que um objeto que está caindo possui 
10 kg de massa e está a uma altura de 10 m do nível 
de referência (a=10 m/s2). Calcular:
a) Energia potencial gravitacional e energia cinética 
no topo.
b) Velocidade de descida do objeto.
c) Energia potencial gravitacional e energia cinética 
no nível de referência.
d) Energia mecânica total inicial (topo) e final (nível 
de referência).
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 47
Atividade:
Solução
Dados:
m = massa = 10 kg
h = altura = 10 m
g = 10 m/s²
Topo: Epg = m.g.h Topo: Ecin = m.v2/2
Epg = 10.10.10 = 1000 J Ecin = 10.(0/2) = 0 J
Velocidade de descida (início do movimento, lembrando que V0=0): 
v2=v0
2+2.a.d => v2= 0 + 2.10.10 => v = 14,1 m/s
Ref.: Epg = m.g.h Ref: Ecin = m.v2/2
Epg = 10.10. 0 = 0 J Ecin = 10.(14,1)2/2 = 1000 J
Portanto, verificamos a conservação de energia do sistema!!!
Emec_topo = Emec_nível de referência
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 48
Disciplina: 
MECÂNICA APLICADA
INTRODUÇÃO AO CURSO 
INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE 
TRABALHO E ENERGIA
OBRIGADA E BOA NOITE!!!
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul
Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição
– Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 14 –
Pág.133.
Graduação em Eng. Mecânica / Produção
Aula_2_Cinemu00E1tica - Parte 01.pdf
MECÂNICA APLICADA 
4º e 5º CICLOS (ENGENHARIA MECÂNICA E ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO MECÂNICA)
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul - grace.ganharul@anhanguera.com
Graduação em Eng. Mecânica / Produção
Disciplina: 
MECÂNICA APLICADA
CINEMÁTICA DO MOVIMENTO 
PLANO DE UM CORPO RÍGIDO
PARTE 1
AULA 02
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul
Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição
– Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 16.1 ao
16.4 – Págs. 248 a 268.
Introdução:
� Movimento Plano de um Corpo Rígido
� Movimento de Translação Curvilínea
� Movimento de Rotação e rotação em torno de um eixo fixo
� Equações de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 03
Movimento Plano de um corpo rígido:
Do que trata a cinemática plana de um corpo rígido?
�Classificação dos tipos de movimento de um corpo rígido;
�Estudo do movimento plano; 
�Localização do Centro Instantâneo de Rotação (CIR);
�Análise do movimento relativo de velocidade e aceleração;
Por que este conhecimento é importante para o 
engenheiro?
Este estudo é importante para o projeto de engrenagens, 
cames e outros mecanismos, além disso, se bem 
compreendida, é possível aplicar as equações de movimento 
que relacionam as forças atuantes no corpo rígido ao seu 
movimento.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 04
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 05
Movimento Plano de um corpo rígido:
O que é o movimento plano?
É o movimento descrito por duas coordenadas espaciais. Um 
corpo possui movimento plano quando todas as suas partículas 
se movem ao longo de trajetórias equidistantes de um plano 
fixo. A trajetória do movimento pode ser retilínea, curva ou 
aleatória (irregular).
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 06
Movimento Plano de um corpo rígido:
O que é um corpo rígido?
É um conjunto de partículas agrupadas de forma que a 
distância entre as partes que constituem o corpo ou o sistema 
não sofram mudança, ou seja, a distância entre essas 
partículas que constituem o corpo não varia com o tempo.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 07
Movimento Plano de um corpo rígido:
O que é o movimento plano de um corpo rígido?
É o movimento no qual as trajetórias de todos os seus 
pontos são paralelas a um plano fixo.
Movimento Plano de um corpo rígido:
O que é o movimento plano de um corpo rígido?
Um corpo rígido tem um movimento plano se os seus pontos 
mantêm distâncias invariáveis a um plano fixo.
Quais são os tipos de movimentos planos?
� Translação,
� Rotação e
� Movimento plano geral.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 08
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 09
Movimento Plano de um corpo rígido:
Quais são os tipos de movimentos planos?
� Geral: combinação dos movimentos de rotação e de 
translação. A translação ocorre no plano de referência e 
a rotação ocorre em relação a um eixo perpendicular a 
esse plano de referência.
1) Movimento plano geral
2) Translação curvilínea
3) Translação retilínea
4) Rotação em torno de 
eixo fixo
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 10
Movimento Plano de um corpo rígido:
Quais são os tipos de movimentos planos?
� Translação: movimento no qual qualquer segmento de 
reta tomado a partir de quaisquer dois pontos distintos 
P1 e P2 do corpo, se mantém paralelo á posição inicial.
Posição inicial
Posição final
Movimento Plano de um corpo rígido:
Quais são os tipos de movimentos de translação?
� Translação:
Retilínea: uma linha qualquer do corpo rígido se mantém 
paralela em relação à sua posição inicial, em qualquer 
instante.
- direção não muda;
- orientação não muda;
- pontos do objeto percorrem a mesma distancia.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 11
Movimento Plano de um corpo rígido:
Quais são os tipos de movimentos de translação?
� Translação:
Curvilínea: as trajetórias de todos os pontos são curvilíneas e 
equidistantes (pontos se movem em curvas paralelas).
- direção muda constantemente;
- orientação não muda;
- pontos do objeto percorrem a mesma distancia.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 12
Cinemática do movimento plano:
Movimento de Translação Curvilínea
Todos os pontos materiais do corpo rígido possuem 
instantaneamente a mesma velocidade e aceleração 
vetoriais.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 13
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 14
Movimento Plano de um corpo rígido:
Quais são os tipos de movimentos planos?
� Rotação: Movimento giratório de um corpo em torno de 
um eixo fixo.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 15
Movimento Plano de um corpo rígido:
Quais são os tipos de movimentos planos?
� Rotação em torno de um eixo fixo: as trajetórias de 
todos os pontos são circulares, concêntricas, com 
centros no eixo fixo (eixo de rotação).
- trajetórias dos pontos são curvas de raios
diferentes em planos paralelos;
- todos os pontos descrevem circunferências em
planos paralelos e cujos centros se acham sobre o
eixo de rotação.
- linha entre dois pontos muda continuamente de
direção;
- eixo de rotação não muda de posição.
Cinemática do movimento plano:
Movimento de Rotação
De acordo com a definição de rotação de um corpo rígido, 
quaisquer dois dos seus pontos distintos do eixo de 
rotação descrevem trajetórias circulares em planos 
paralelos com a mesma velocidade angular em cada 
instante e com centro na intercepção do plano das 
trajetórias com o eixo de rotação. 
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 16
Cinemática do movimento plano:
Movimento de Rotação em torno de um eixo fixo
Se este eixo interceptar o corpo, os seus pontos têm 
velocidade e aceleração nulas, isto é, permanecem 
imóveis durante o movimento.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 17
Grace Kelly
Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 18 
Equações de translação curvilínea
Pontos A e B tem localizações definidas em relação aos eixos x e y;
O sistema de coordenadas em translação (x´, y´) é fixo ao corpo e tem sua 
origem localizada em A;
A posição de B em relação a A é representada pelo vetor posição relativa 
rB/A, portanto, por adição vetorial, tem-se:
rA e rB = vetores de posição
x e y = referencial fixo
x´ e y´ = sistema de 
coordenadas em translação
A = ponto de base
B/AAB rrr +=
Cinemática do movimento plano:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 19
Equações de translação curvilínea
Velocidade: Derivando-se a equação de posição em relação ao tempo, 
obtém-se a relação entre as velocidades instantâneas de A e B:
vA e vB = velocidades absolutas medidas no sistema x, y
drB/A/dt=0 (pois o módulo e a direção de rB/A são constantes)
/dtdrvv B/AAB +=
Cinemática do movimento plano:
AB vv =
Aceleração: Derivando-se a equação de velocidade em relação ao tempo, 
obtém-se uma relação similar entre as aceleraçãoes instantâneas de A e B:
AB aa =
Essas equações mostram que todos os pontos de um corpo rígido sujeito a um 
movimento de translação curvilínea se movem com as mesmas velocidades e 
acelerações.
Cinemática do movimento plano:
O brinquedo se move numa trajetória circular, porém sempre 
mantém sua posição na horizontal.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 20 
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 21
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
Cinemática do movimento plano:
Quando um corpo gira em torno de um eixo 
fixo, todo ponto P desse corpo tem movimento 
circular.
Movimento angular: Por não ter dimensão, um 
ponto não apresenta movimento angular. 
Somente linhas e corpos podem ter esse 
movimento, como por exemplo a linha da 
figura.
r = linha radial orientada do ponto O 
(no eixo de rotação) ao ponto P
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 22
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
Grandezas do movimento angular: 
Cinemática do movimento plano:
Posição angular: Definida pelo 
ângulo θ, medido entre uma linha 
de referência fixa e a linha r.
Deslocamento angular: Definido 
como a variação na posição 
angular que pode ser medida como 
uma diferencial dθ [rad ou rev].
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 23
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
Grandezas do movimento angular: 
Cinemática do movimento plano:
Velocidade angular (ω): Definida 
como sendo a taxa de variação da 
posição angular no tempo. Uma 
vez que dθ ocorre num tempo 
infinitesimal dt, pode-se dizer que:
Aceleração angular (α): Definida 
como sendo a taxa de variação da 
velocidade angular num tempo 
infinitesimal, ou seja:
(1) 
dt
dθ
ω =
(2) 
dt
dω
α =
Módulo: [rad/s] = S.I.
Direção: do eixo de rotação = direção de 
dθ
Sentido: horário (-) ou anti-horário (+)
Módulo: [rad/s2] = S.I.
Direção: do eixo de rotação = direção de 
dθ
Sentido: horário (-) ou anti-horário (+)
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 24 
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
Grandezas do movimento angular: 
Cinemática do movimento plano:
Substituindo a equação da 
velocidade angular (ω) na equação 
da aceleração angular (α), a 
mesma pode ser expressa como:
A direção de α é a mesma de ω, 
entretanto, seu sentido depende de ω 
estar aumentando ou diminuindo.
Se ω é decrescente => α é chamado de 
desaceleração angular.
Eliminando-se dt nas equações (1) e 
(2), obtém-se uma relação diferencial 
entre a aceleração angular, a 
velocidade angular e o deslocamento 
angular:(3) 
dt
θd
α 2
2
=∴
dt
dθ
ω = dt
dω
α =
(4) ω.dωα.dθ =
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 25
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
Grandezas do movimento angular: 
Cinemática do movimento plano:
Aceleração angular constante 
(αc): Se a aceleração do corpo é 
constante, as equações (1), (2) 
e (4) ao serem integradas, 
fornecem um conjunto de 
equações que relacionam ω, θ
e tempo:
θ0 = posição angular inicial do corpo
ω0 = velocidade angular inicial do corpo
(7) )θ(θ2.αωω
(6) .tα
2
1
.tωθθ
(5) .t αωω
0c
2
0
2
2
c00
c0
−+=
++=
+=
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 26
Movimento do Ponto P
Á medida que o corpo rígido gira, o ponto P percorre uma trajetória circular 
de raio r e centro no ponto O.
Posição de P: definida pelo vetor posição r, que se estende de O até P.
Cinemática do movimento plano:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 27
Movimento do Ponto P
Á medida que o corpo rígido gira, o ponto P percorre uma trajetória circular 
de raio r e centro no ponto O.
Velocidade de P: Obtida a partir de suas coordenadas polares vr e vθ, como 
r é constante, tem-se que: 
Cinemática do movimento plano:
(8) ω.r v =
:éescalar e velocidada
 ,θω :Como
θrv v
0rv
θ
r
&
&
&
=
==∴
==
Direção: tangente a trajetória 
circular
(9) r x ωv p=
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 28
Movimento do Ponto P
Velocidade de P
Cinemática do movimento plano:
(10) r x ωv =
Sentido: regra da mão 
direita, curvando-se os dedos 
no sentido de w para rp
Módulo:
(8)) Eq. a com acordo (de
ω.rv:Então
.senrr
.senω.rv
p
p
=
=
=
φ
φ
Caso especial: vetor de 
posição r escolhido como rp, a 
velocidade é dada por:
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 29
Movimento do Ponto P
Aceleração de P: pode ser expressa em termos de suas componentes 
tangencial e normal:
Cinemática do movimento plano:
(12).r ωa
(11) α.r a
:Portanto
2
n
t
=
=
dt
dω
 eω.r vr,ρ:onde
ρ
v
a e 
dt
dv
a
2
nt
===
==
α
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 30
Movimento do Ponto P
Aceleração de P
Cinemática do movimento plano:
dt
dr
 x ωr x 
dt
dω
dt
dv
a
p
p +==
Componente tangencial (at): taxa temporal de variação da 
velocidade escalar. Se v aumenta, at tem o sentido de v, se v diminui, 
at tem o sentido oposto de v e se v é constante, at vale zero.
Componente normal (an): taxa 
temporal de variação da direção da 
velocidade. O vetor an é sempre 
voltado para O, que é o centro da 
trajetória de P.
Derivando-se a Eq. (9):
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 31
Movimento do Ponto P
Aceleração de P
Cinemática do movimento plano:
:que se- tem,r x ωv
dt
dr
(9) Eq. a usando E
dt
dω
α :que Lembrando
p
p
==
=
(13) )r x (ω x ωr x αa pp +=
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 32 
Cinemática do movimento plano:
Movimento do Ponto P
Aceleração de P
(13) )r x (ω x ωr x αa pp +=
1º termo 2º termo
1º termo
Módulo: 
(tangencial)
Direção e sentido (RMD 
α x rp): 
α.r.senα.ra pt == φ
ta
2º termo
Módulo: 
(normal)
Direção e sentido (RMD 
vp=ω x rp e ω x vp): 
.rω.sen.rωa 2p
2
n == φ
.r-ωa
r- e a
2
n
n
=∴
Cinemática do movimento plano:
.rωr . α a
aaa
2
nt
−=
+=
2
t
2
n aaa +=
Movimento do Ponto P
Aceleração de P
A Eq. (13) pode ser reescrita utilizando-se seus dois componentes:
Como at e an são perpendiculares entre si, o módulo da aceleração pode ser 
determinado pelo Teorema d Pitágoras, ou seja:
)r x (ω x ωr x αa pp +=
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 33 
Atividade:
Exercícios para resolução na aula e fixação dos 
conceitos.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 34
1) Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em repouso, como indicado
na figura. Aplica-se uma força ao cabo, que então adquire uma aceleração a = (4t)
m/s2, onde t é dado em segundos. Determine como função do tempo:
a) velocidade angular do disco (ω)
a) posição angular do do segmento OP, (θ) em radianos
α.ra t = dt
dω
α = dt
dθ
ω =
Atividade:
Exercícios para resolução na aula e fixação dos 
conceitos.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 35
2) Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior do equipamento
mostrado na figura. Os detalhes do projeto estão na figura (a). Se a polia A
conectada ao motor inicia seu movimento a partir do repouso, com uma aceleração
angular de 2 rad/s2, determine os módulos da velocidade e da aceleração do
Ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução. Suponha que a
correia de transmissão não escorregue na polia e nem na roda.
1 revolução = 2.pi.rad
BBAA .rθ.rθs ==
 )θ(θ2.αωω 0c20A2 −+=
BBAAt
BBAA
.rα.rαa
r.ωr.ωv
==
==
( )
( ) BB2np
BBtp
BBp
r.ωa
.rαa
r.ωv
=
=
=
2
t
2
np aaa +=
Exercícios para resolução em sala de aula.
Atividade (PLT – Cap. 16):
3) O disco da figura está girando inicialmente
com velocidade angular de 8 rad/s. Se ele for
submetido a uma aceleração constante de 6
rad/s2, determine os módulos da velocidade e
dos componentes normal e tangencial da
aceleração do ponto A no instante t = 0,5
segundos.
4) O disco da figura está girando inicialmente
com velocidade angular de 8 rad/s. Se ele for
submetido a uma aceleração constante de 6
rad/s2, determine os módulos da velocidade e
dos componentes normal e tangencial da
aceleração do ponto B, imediatamente após o
disco ter completado 2 revoluções.
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 36
1,5 pé = 0,4572 m
2 pés = 0,6096 m
Exercícios para resolução em sala de aula.
5) Considere as engrenagens A e B
mostradas na figura. Se A parte do repouso e
tem aceleração angular constante de 2
rad/s2, determine o tempo necessário para B
atingir uma velocidade angular de 50 rad/s.
6) Quando somente duas engrenagens estão
engrenadas, a engrenagem motora A e a
movida B sempre giram em sentidos
opostos. Para tê-las girando no mesmo
sentido, introduz-se uma engrenagem
intermediária C. Para o caso mostrado na
figura, determine a velocidade angular da
engrenagem B quando t=5 s, se A parte do
repouso e tem aceleração angular de (3t + 2)
rad/s2, onde t é dado em segundos
(lembrando que: dω=α.dt)
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 37
ωA.rA= ωC.rC
ωB.rB= ωC.rC
Atividade (PLT – Cap. 16):
Graduação em Eng. Mecânica / Produção
Disciplina: 
MECÂNICA APLICADA
CINEMÁTICA DO MOVIMENTO 
PLANO DE UM CORPO RÍGIDO
PARTE 1
OBRIGADA E BOA NOITE!!!
Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul
Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição
– Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 16.1 ao
16.4 – Págs. 248 a 268.
Lista 01 de Mecu00E2nica aplicada.pdf
Atividade – 1ª lista de exercícios:
Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início 
da próxima aula.
1) Uma roda tem velocidade angular inicial de 10 rad/s, no sentido horário
e aceleração angular de 3 rad/s2, determine o número de revoluções que
devem ocorrer para se atingir uma velocidade angular de 15 rad/s, no
sentido horário e qual o tempo necessário para isso. (0,2)
2) A velocidade angular de um volante aumenta uniformemente de 15
rad/s para 60 rad/s em 80 s. Se o diâmetro do volante é 2 pés, determine os
módulos dos componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto
de sua periferia quando t=80 s. Determine também a distância percorrida
pelo ponto durante esse tempo. (0,2)
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 01
Atividade – 1ª lista de exercícios:
Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início 
da próxima aula.
4) Exercício 16.1 do PLT 761 – Página 258 (0,4): Um disco com um raio de
0,15 m gira com uma velocidade angular inicial de 2 rad/s e tem uma
aceleração angular constante de 1 rad/s2. Determine os valores da
velocidade e da aceleração de um ponto na borda do disco quanto t = 2
segundos. (0,2)
3) Um disco gira inicialmente com velocidade angular
ω0 = 8 rad/s. Considerando uma aceleração angular
constante ac = 6 rad/s
2, determine os módulos de
velocidade e dos componentes n e t da aceleração
do Ponto A, no instante t = 3 s. (0,2)
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 02
2 pés
8 rad/s
Atividade – 1ª lista de exercícios:
Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início 
da próxima aula.
5) Exercício 16.3 do PLT 761 – Página 258 (0,4): O gancho da figura está
preso a uma corda que está enrolada em torno de um tambor. Se ela se
desloca do repouso com uma aceleração de 6 m/s2, determine a aceleração
angular do tambor e sua velocidade
angular após o tambor ter completado
10 revoluções. Quantas revoluções
mais o tambor realizará após ele ter
completado as 10 primeiras e o gancho
continuar a se deslocar para baixo
por 4 segundos? (0,2)
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 03
6 m/s2
Atividade – 1ª lista de exercícios:
Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início 
da próxima aula.
RESPOSTAS
01) θ = 3,32 revoluções, t = 1,67 s.
02) an = 1097,28 m/s
2, at = 0,17 m/s
2 , s = 914,4m
03) v = 15,85 m/s , an = 412,09 m/s
2, at = 3,66 m/s
2
04) v = 0,6 m/s, a = 2,40 m/s2
05) α = 10,0 rad/s2 , ω = 35,4 rad/s, θ = 35,3 revoluções
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 04
Atividade – 1ª lista de exercícios:
Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início 
da próxima aula.
DATAS DAS ENTREGAS:
Turma de segunda-feira:
09 de Março
Turma de terça-feira:
18 de Março
Turma de sexta-feira:
20 de Março
Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 05
NÃO SERÃO ACEITAS LISTAS 
ATRASADAS OU LISTAS 
DIGITADAS E TODOS OS 
CÁLCULOS FEITOS DEVEM 
ESTAR DESCRITOS.
NOTA: Podem resolver no 
Sistema Internacional ou 
no Sistema Inglês.