Algebra superior 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
DEPARTAMENTO DE MATMA´TICA
A´LGEBRA I
NEUZA KAKUTA
SA˜O JOSE´ DO RIO PRETO - 2005
Conteu´do
Cap´ıtulo 1. Conjuntos 1
Operac¸o˜es entre conjuntos 1
Cap´ıtulo 2. A Aritme´tica dos Inteiros 5
1. Princ´ıpio da Boa Ordem e Induc¸a˜o Finita 5
2. Divisibilidade 6
3. Equac¸a˜o Diofantina Linear 9
4. Congrueˆncias 11
Cap´ıtulo 3. Relac¸o˜es de Equivaleˆncia e de Ordem 13
1. Relac¸a˜o de Equivaleˆncia 14
2. Relac¸a˜o de Ordem 15
Cap´ıtulo 4. Operac¸o˜es 19
Ta´bua de uma Operac¸a˜o sobre um Conjunto Finito 21
Cap´ıtulo 5. Grupos 23
1. Homomorfismo de Grupos 25
2. Grupos C´ıclicos 29
3. Grupo Gerado por um Conjunto 31
4. Classes Laterais e Teorema de Lagrange 32
5. Subgrupos Normais 34
6. Grupo das Permutac¸o˜es 35
Cap´ıtulo 6. Ane´is e Corpos 39
1. Domı´nios e Corpo de Frac¸o˜es 40
2. Ideais de um Anel Comutativo 42
3. Homomorfismos de Ane´is 43
4. Ane´is Quocientes e Teorema de Isomorfismo 44
5. Domı´nios Principais 46
i
ii CONTEU´DO
6. Anel de Polinoˆmios sobre um Corpo 47
7. Ra´ızes de um Polinoˆmio 48
8. Polinoˆmios Irredut´ıveis 48
Apeˆndice 1 53
Induc¸a˜o Finita 53
Teorema Fundamental da Aritme´tica 53
Apeˆndice 2 55
Func¸a˜o de Euler 55
Apeˆndice 3 57
Construc¸a˜o do Anel dos Inteiros 57
Apeˆndice 4 59
Construc¸a˜o do Corpo dos Racionais 59
CAP´ıTULO 1
Conjuntos
Definic¸a˜o 0.1. Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A e´ subconjunto de B e escrevemos
A ⊆ B se ∀x ∈ A⇒ x ∈ B.
Claramente ∅ ⊆ A e A ⊆ A para todo A.
Definic¸a˜o 0.2. Sejam A e B conjuntos. Dizemos que eles sa˜o iguais se A ⊆ B e B ⊆ A.
Neste caso escrevemos A = B.
Operac¸o˜es entre conjuntos
Sejam X um conjunto universal e A,B ⊆ X.
Definic¸a˜o 0.3. A unia˜o de A com B e´ o conjunto
A ∪B := {x ∈ X | x ∈ A ou x ∈ B},
e intersec¸a˜o de A com B e´
A ∩B := {x ∈ X | x ∈ A e x ∈ B}.
Proposic¸a˜o 0.4. Sejam A,B,C ⊆ X. Enta˜o temos:
(1) A ⊆ A ∪B e B ⊆ A ∪B
(2) A ∩B ⊆ A e A ∩B ⊆ B
(3) A ∪B = B ∪ A e A ∩B = B ∩ A
(4) A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅
(5) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
(6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
Definic¸a˜o 0.5. Sejam A,B ⊆ X. A diferenc¸a entre A e B e´:
A \B := {x ∈ X | x ∈ A e x 6∈ B}.
O conjunto Ac := X \ A e´ chamado de complementar de A.
Proposic¸a˜o 0.6. Sejam A,B ⊆ X.
1
2 1. CONJUNTOS
(1) Leis de Morgan:
(a) (A ∪B)c = Ac ∩Bc
(b) (A ∩B)c = Ac ∪Bc
(2) A \B = A ∩Bc.
(3) (Ac)c = A
(4) Xc = ∅.
(5) ∅c = X.
(6) A ∩ Ac = ∅.
(7) A ∪ Ac = X.
0.1. Exerc´ıcios. Sejam A,B ⊆ X. Prove que sa˜o equivalentes:
(1) A ⊆ B
(2) A ∩Bc = ∅
(3) A ∪B = B
(4) Bc ⊆ Ac
(5) A ∩B = A
Definic¸a˜o 0.7. Sejam A,B ⊆ X. A diferenc¸a sime´trica entre A e B e´ definida por
A∆B := (A \B) ∪ (B \ A).
Proposic¸a˜o 0.8. Sejam A,B,C ⊆ X. Enta˜o:
(1) A∆B = B∆A
(2) A∆A = ∅
(3) A∆∅ = A
(4) A∆B = (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B)
(5) (A∆B)c = (Ac ∩Bc) ∪ (A ∩B)
(6) (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆(B ∩ C)
(7) (A∆B)∆C = A∆(B∆C)
Demonstrac¸a˜o. ¤
Definic¸a˜o 0.9. (Unia˜o e Intersec¸a˜o Generalizadas) Seja {Ai}i∈I uma famı´lia de subcon-
juntos de X. Por definic¸a˜o ⋃
i∈I
Ai = {x | ∃i tal que x ∈ Ai}
OPERAC¸O˜ES ENTRE CONJUNTOS 3
e ⋂
i∈I
Ai = {x | ∀i, x ∈ Ai}
Definic¸a˜o 0.10. Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano entre A e B e´ A × B :=
{(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}. Se {Ai}i∈I uma famı´lia de conjuntos, enta˜o
n∏
i=1
Ai = {(a1, . . . , an) | ai ∈ Ai,∀i = 1, . . . , n}
e ∏
i∈I
Ai = {(ai)i∈I | ai ∈ Ai, ∀i ∈ I}.
Definic¸a˜o 0.11. Seja A um conjunto. Enta˜o o conjunto de todos os subconjuntos de A e´
chamado de partes de A. Este conjunto e´ denotado por ℘(A) := {Y | Y ⊆ A}.
Claramente se #A = n enta˜o #℘(A) = 2n.
Proposic¸a˜o 0.12. Sejam A e B conjuntos.
(1) ℘(A) 6= ∅
(2) A ⊆ B ⇔ ℘(A) ⊆ ℘(B)
0.2. Exerc´ıcios.
(1) Se para todo B ⊆ X, A ∩B = ∅ enta˜o A = ∅.
(2) Se para todo B ⊆ X, A ∪B = X enta˜o A = X.
(3) Sejam A,B ⊆ X. Prove que sa˜o equivalentes as afirmac¸o˜es
(a) A ⊆ B
(b) A ∩Bc = ∅
(c) A ∪ (B \ A) ⊆ B
(4) Sejam A,B ⊆ X. Mostre que
(a) ℘(A ∩B) = ℘(A) ∩ ℘(B)
(b) ℘(A) ∪ ℘(B) ⊆ ℘(A ∪B)
(5) Sejam {Ai}i∈I uma famı´lia de conjuntos e X um conjunto. Mostre que
(a) X ∩ (⋃i∈I Ai) = ⋃i∈I(X ∩ Ai).
(b) X ∪ (⋂i∈I Ai) = ⋂i∈I(X ∪ Ai).
(c) X \ (⋃i∈I Ai) = ⋂i∈I(X \ Ai).
(d) X \ (⋂i∈I Ai) = ⋃i∈I(X \ Ai).
4 1. CONJUNTOS
(6) Sejam A,B,C,D ⊆ X. Prove:
(a) A∆B = (A ∪B) \ (A ∩B).
(b) (A× C) ∪ (B ×D) ⊆ (A ∪B)× (C ∪D).
(c) (C ×D) \ (A×B) = (C × (D \B)) ∪ ((C \ A)×D).
CAP´ıTULO 2
A Aritme´tica dos Inteiros
A Teoria dos Nu´meros Inteiros se embasa em treˆs princ´ıpios fundamentais: Princ´ıpio da
Boa ordem e os Princ´ıpios da Induc¸a˜o Finita.
1. Princ´ıpio da Boa Ordem e Induc¸a˜o Finita
Princ´ıpio da Boa Ordem (P.B.O.) Todo subconjunto na˜o vazio e limitado inferiormente de
Z, possui um mı´nimo.
O princ´ıpio acima e´ equivalente a:
(P.B.O.)’ Todo subconjunto na˜o vazio limitado superiormente de Z, possui um ma´ximo.
Isto segue do seguinte fato: S e´ limitado inferiormente se, e somente se, −S e´ limitado
superiormente, onde −S = {−x ∈ Z | x ∈ S}.
Teorema 1.1. (Primeiro Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita (PIF)) Dado n0 ∈ N, seja P (n) uma
sentenc¸a associada a cada n ∈ N, com n ≥ n0. Se as condic¸o˜es abaixo sa˜o verificadas
(1) P (n0) e´ verdadeira.
(2) Se P (k) e´ verdadeira para k ≥ n0, enta˜o P (k + 1) tambe´m e´ verdadeira.
Enta˜o P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N tal que n ≥ n0.
Demonstrac¸a˜o. Veja Apeˆndice 1. ¤
Substituindo-se (2) por
(2)’ Dado r > n0, se P (k) e´ verdadeira para todo k, n0 ≤ k < r, enta˜o P (r) tambe´m e´
verdadeira.
O princ´ıpio se mante´m verdadeiro e sera´ chamado de Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜ Finita.
1.1. Exerc´ıcios. Mostre que para todo n ∈ N,
(1) 1 + · · ·+ n = n(n+1)
2
(2) 1 + 3 + · · ·+ (2n− 1) = n2
(3) n2 ≥ n+ 1
(4) 13 + · · ·+ n3 = (1 + · · ·+ n)2
5
6 2. A ARITME´TICA DOS INTEIROS
(5) 1(1 + 1) + . . . n(n+ 1) = n(n+1)(n+2)
3
(6) (1 + · · ·+ n)2 = n(n+1)(2n+1)
6
2. Divisibilidade
Definic¸a˜o 2.1. Dados a, b ∈ Z. Dizemos que a divide b se existe q ∈ Z tal que b = a.q.
Neste caso escrevemos a | b. Caso contra´rio escrevemos a - b.
Proposic¸a˜o 2.2. Dados a, b, c ∈ Z, enta˜o
(1) a | 0 e a | a.
(2) Se a | b enta˜o a | bc.
(3) Se a | b e b | c enta˜o a | c.
(4) Se a | b e a | c enta˜o a | b± c.
(5) Se a|b e b|a enta˜o a = ±b.
Definic¸a˜o 2.3. Seja p ∈ Z tal que p 6= 0,±1. Dizemos que p e´ um nu´mero primo se os
u´nicos divisores de p sa˜o 1 e p.
Teorema 2.4. (Teorema Fundamental da Arime´tica (TFA)) Seja a ∈ Z tal que a 6= 0,±1.
Enta˜o existem u´nicos nu´meros primos positivos p1, . . . , pn (a menos da ordem) tais que a =
±p1 · · · pn.
Demonstrac¸a˜o. Veja Apeˆndice 1. ¤
Teorema 2.5. (Euclides) Existe um nu´mero infinito de nu´meros primos.
Demonstrac¸a˜o. Suponha por absurdo que existe um nu´mero finito de nu´meros primos,
a saber: p1, . . . , pn. Seja a = p1 · · · pn + 1. Como a 6= 0,±1 segue pelo TFA que
a = p1
m1 · · · pnmn ,m1, . . . ,mn ∈ N
Sendo a 6= ±1, existe algum mi > 0 e portanto pi | p1 · · · pn + 1 e pi|p1 · · · pn enta˜o pi | 1
(absurdo!). ¤
2.1. Exerc´ıcios. Sejam a, b, c, d ∈ Z.
(1) Se a | b e c | d. Enta˜o ac | bd.
(2) Se p um nu´mero primo tal que p | ab, enta˜o p | a ou p | b.
(3) Para todo p nu´mero primo,
√
p 6∈ Q.
2. DIVISIBILIDADE 7
Teorema 2.6. (Algoritmo da Divisa˜o de Euclides) Sejam a, b ∈ Z tais que b 6= 0. Enta˜o
existem u´nicos q, r ∈ Z tais que a = bq + r com 0 ≤ r < |b|.
Demonstrac¸a˜o. Se a ≥ 0, existe n ∈ N tal que n|b| ≤ a < (n+1)|b| e enta˜o 0 ≤ a−n|b| <
|b|. Tomando-se r = a− n|b| temos que a = n|b|+ r com 0 ≤ r < |b|.
Se a < 0, existe n ∈ N tal que −(n + 1)|b| ≤ a < −n|b| e enta˜o 0 ≤ a + (n + 1)|b| < |b|.
Tomando-se r = a+ (n+ 1)|b| temos que a = −(n+ 1)|b|+ r com 0 ≤ r < |b|.Para a unicidade, suponha que a = b.q + r e a = b.q′ + r′, com 0 ≤ r, r′ < |b|, enta˜o
b.q+r = b.q+r′ ou seja b(q−q′) = r′−r enta˜o b | r−r′. Como |r′−r| < |b| obtemos r′−r = 0,
ou r′ = r, logo q = q′. ¤
Definic¸a˜o 2.7. Dados a, b ∈ Z. Um nu´mero inteiro d e´ o ma´ximo divisor comum de a e b
se
(1) d | a e d | b,
(2) Se d′ ∈ Z tal que d′ | a e d′ | b enta˜o d′ | d,
(3) d ≥ 0.
Neste caso escrevemos d = mcd(a, b).
Definic¸a˜o 2.8. Dizemos que a e b sa˜o primos entre si ou relativamente primos semcd(a, b) =
1.
Definic¸a˜o 2.9. Dados a, b ∈ Z. Um nu´mero inteiro m e´ o mı´nimo mu´ltiplo comum de a
e b se
(1) a | m e b | m,
(2) Se m′ ∈ Z tal que a | m′ e b | m′ enta˜o d | m′,
(3) m ≥ 0.
Neste caso escrevemos m = mmc(a, b).
Observac¸o˜es
(1) mdc(0, 0) = 0, mmc(0, 0) = 0.
(2) Para todo a 6= 0, mdc(0, a) = |a|.
(3) mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|) e mmc(a, b) = mdc(|a|, |b|).
2.2. Exerc´ıcios. Sejam a, b ∈ Z \ {0} e d = mdc(a, b).
(1) mdc(a
d
, b
d
) = 1.
8 2. A ARITME´TICA DOS INTEIROS
(2) Se m = mmc(a, b) enta˜o ab = ±dm.
Teorema 2.10. Sejam a, b ∈ Z \ {0}. Seja r o resto da divisa˜o de a por b. Enta˜o
(1) mdc(a, b) = |b| se r = 0,
(2) mdc(a, b) = mdc(b, r) se r > 0.
Demonstrac¸a˜o. Como r e´ o resto da divisa˜o de a por b temos que a = bq + r, com
0 ≤ r < b. Se r = 0 enta˜o b | a e mdc(a, b) = |b|. Se r > 0, sejam d = mdc(a, b) e
d′ = mdc(b, r). Temos
d | a e d|b⇒ d | a− bq ⇒ d | r ⇒ d|d′
e
d′ | b e d′ | r ⇒ d′ | bq e d′ | a− bq ⇒ d′ | a⇒ d′|d.
De d, d′ > 0 com d | d′ e d′ | d segue que d = d′. ¤
2.3. Exerc´ıcios. Sejam a, b ∈ Z \ {0}. Prove:
(1) Se p um nu´mero primo tal que p - a enta˜o mdc(a, p) = 1.
(2) Para todo n ∈ Z, seja nZ := {nx | x ∈ Z}. Se m = mmc(a, b), enta˜o aZ ∩ bZ = mZ.
Teorema 2.11. (Algoritmo de Euclides para ca´lculo de mdc) Sejam a, b ∈ Z\{0}. Suponha
que a = bq1 + r1, b = r1q2 + r2, r1 = r2q3 + r3, . . . , rn−1 = rnqn+1 + rn+1 com rn+1 = 0. Enta˜o
mdc(a, b) = rn.
Demonstrac¸a˜o. Aplicando-se o teorema acima item (2) sucessivamente obtemosmdc(a, b) =
mdc(b, r1) = mdc(r1, r2) = · · · = mdc(rn−1, rn). Sendo rn+1 = 0 temos que rn | rn−1 e enta˜o
pelo item (1) do teorema acima, mdc(rn−1, rn) = rn. Donde segue que mdc(a, b) = rn. ¤
Teorema 2.12. (Identidade de Be´zout) Sejam a, b ∈ Z e d = mdc(a, b). Enta˜o existem
r, s ∈ Z tais que d = ra+ sb.
Demonstrac¸a˜o. Temos 3 casos:
Caso 1. a = b = 0. Neste caso d = 0 = 0.a+ 0.b.
Caso 2. b = 0 e a 6= 0. Temos d = |a| = ±1.a+ 0.b.
Caso 3. b 6= 0 e a 6= 0. Sendo mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|), podemos supor que a > 0 e b > 0.
Seja I = {xa + yb | x, y ∈ Z} ∩ N. Como a = 1.a + 0.b segue que I 6= ∅ e I e´ limitado
inferiormente pois I ⊆ N. Assim pelo P.B.O., existe δ := min I. Enta˜o δ > 0 e existem r, s ∈ Z
tais que δ = ra+ sb. Mostremos que δ = d.
3. EQUAC¸A˜O DIOFANTINA LINEAR 9
Inicialmente provemos que δ | a e δ | b. Como δ > 0 e a ∈ Z enta˜o pelo algoritmo da
divisa˜o, a = δq + r, onde 0 ≤ r < δ. Assim
r = a− δq = a− (ra+ sb)q = (1− rq)a+ (−sq)b.
Sendo δ = min I com δ > 0 e 0 ≤ r < δ conclu´ımos que r = 0. Portanto a = δq ou seja δ | a.
Analogamente prova-se que δ | b.
Como δ | a e δ | b e d = mdc(a, b) segue que δ | d.
Por outro lado
d = mdc(a, b)⇒ d | a e d | b⇒ d | ra e d | sb⇒ d | ra+ sb = δ ⇒ d | δ.
Das concluso˜es d | δ e δ | d com δ > 0 e d > 0 segue que δ = d. ¤
2.4. Exerc´ıcios. Sejam a, b, c,m, n ∈ Z.
(1) Se a | c, b | c e mdc(a, b) = d, enta˜o ab | cd.
(2) Se mdc(a, b) = 1 e mdc(a, c) = d enta˜o mdc(a, bc) = d.
(3) Se existem x, y ∈ Z tais que ax+ by = 1, enta˜o mdc(a, b) = 1.
(4) Seja p um nu´mero primo tal que p | ab enta˜o p | a ou p | b.
(5) Se p e q sa˜o dois nu´meros primos distintos tais que p | a e q | a, mostre que pq | a.
(6) Sejam m,n ∈ Z \ {0} e mdc(m,n) = 1, enta˜o mZ ∩ nZ = mnZ
(7) mdc(2n+ 1, n(n+1)
2
) = 1.
(8) mdc(ac, bc) = |c|.mdc(a, b).
(9) mdc(a, b) = mdc(a+ bc, a+ b(c− 1)).
(10) Se mdc(b, c) = 1 enta˜o mdc(a, bc) = mdc(a, b).mdc(a, c).
(11) Se mdc(a, 4) = mdc(b, 4) = 2 enta˜o mdc(a.b, 4) = 4.
(12) mdc(a+ b, b) = 1⇔ mdc(a, b) = 1.
(13) mdc(a, b) = mdc(a+ nb, b).
3. Equac¸a˜o Diofantina Linear
Toda equac¸a˜o do tipo ax+ by = c, onde a, b, c ∈ Z, e´ chamada de equac¸a˜o diofantina linear
em duas varia´veis.
Teorema 3.1. Seja a, b, c ∈ Z e mdc(a, b) = d. A equac¸a˜o diofantina ax + by = c tem
soluc¸a˜o inteira se e somente se d | c. Se (x0, y0) e´ uma soluc¸a˜o, enta˜o todas as soluc¸o˜es sa˜o
dadas por x = x0 +
b
d
t, y = y0 − adt, t ∈ Z.
10 2. A ARITME´TICA DOS INTEIROS
Demonstrac¸a˜o. Se (x0, y0) e´ uma soluc¸a˜o de equac¸a˜o enta˜o ax0 + by0 = c. Como d =
mdc(a, b) obtemos d | c.
Agora seja d | c enta˜o c = dq para algum q ∈ Z. Pela Identidade de Be´zout, existem r, s ∈ Z
tais que d = ra+ sb. Enta˜o
c = dq = (ra+ sb)q = (rq)a+ (sq)b.
Ou seja (rq, sq) e´ uma soluc¸a˜o.
Para obter todas as soluc¸o˜es, seja (x, y) uma outra soluc¸a˜o, enta˜o
c = ax+ by = ax0 + by + 0⇒ a(x− x0) = b(y0− y).
Como d = mdc(a, b) existem q, q′ ∈ Z tais que a = dq, b = dq′ e mdc(q, q′) = 1. Enta˜o
dq(x− x0) = dq′(y0 − y)⇒ q(x− x0) = q′(y0 − y)⇒
q | q′(y0 − y) e q′ | q(x− x0).
Como mdc(q, q′) = 1 conclu´ımos que q|y0 − y e q′ | x − x0. Da´ı existem t, t′ ∈ Z tais que
x−x0 = q′t′ e y0− y = qt, mas como q(x−x0) = q′(y0− y), temos t = t′ e obtemos x = x0+ bdt
e y = y0 − adt. ¤
Exemplos.
(1) Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o diofantina 172x+ 20y = 1000.
Como mdc(172, 20) = 4 e 4 | 1000, a equac¸a˜o tem soluc¸a˜o. Multiplicando 4 =
172.2 + 20.(−17) por 250 = 1000/4 obtemos 1000 = 172.(500) + 20.(−4250). Enta˜o
uma soluc¸a˜o e´ (500,−4250), portanto
x = 500 + (20/4)t, y = −4250− (172/4)t, t ∈ Z
e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o.
(2) Determine o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa restos 6 e 13,
respectivamente.
Seja a ∈ Z tal que a = 8x + 6 e a = 15y + 13. Enta˜o, 8x + 6 = 15y + 13 ou seja
8x− 15y = 7. Como mdc(8, 15) = 1, a equac¸a˜o diofantina 8x− 15y = 7 tem soluc¸a˜o.
Claramente (14, 7) e´ uma soluc¸a˜o particular e x = 14 − 15t, y = 7 − 8t, t ∈ Z sa˜o
todas as soluc¸o˜es. Para t = 0 temos que x e´ o menor inteiro tal que a a > 0 Assim,
a = 8x+ 6 = 8.14 + 6 = 118 e´ o nu´mero procurado.
4. CONGRUEˆNCIAS 11
4. Congrueˆncias
Definic¸a˜o 4.1. Seja m ∈ Z, m > 1. Dizemos que a, b ∈ Z sa˜o congruentes e screvemos
a ≡ b(modm) se m|a− b.
Proposic¸a˜o 4.2. Sejam a, b, c ∈ Z.
(1) a ≡ a(modm).
(2) Se a ≡ b(modm) enta˜o b ≡ a(modm).
(3) Se a ≡ b(modm) e b ≡ c(modm) enta˜o a ≡ c(modm).
(4) Se a ≡ b(modm) e c ≡ d(modm) enta˜o a+ c ≡ b+ d(modm) e ac ≡ bd(modm). (Em
particular a ≡ b(modm)⇒ ac ≡ bc(modm))
(5) Se a ≡ b(modm) enta˜o an ≡ bn(modm), para todo n ∈ N.
(6) Se a ≡ b(modm) enta˜o os restos da divisa˜o de a por m e de b por m sa˜o iguais.
4.1. Exerc´ıcios.
(1) Determine o resto da divisa˜o de 375 por 17.
(2) Mostre que para todo n ∈ N
(a) 2 | 3n − 1.
(b) 3 | n(n2 − 1).
(c) 32n+1 + 2n+2 e´ divis´ıvel por 7.
(d) 34n+2 + 2.43n+1 e´ divis´ıvel por 17.
(e) 22n−13n+2 + 1 e´ divis´ıvel por 11.
(3) Sejam a, b,m, n ∈ Z. Prove:
(a) a ≡ b(modm) e mdc(c,m) = d enta˜o a ≡ b(modm
d
)
(b) Se mdc(m,n) = 1 enta˜o a ≡ b(modm) e a ≡ b(modn) se e somente se a ≡
b(modmn).
(c) a3 ≡ a(mod3).
(d) a ≡ b(mod3)⇔ a3 ≡ b3(mod3).
4.2. Crite´rios de Divisibilidade. Seja a = anan−1 · · · a0 ∈ N. A expansa˜o de a na base
decimal e´ dada por
a = a0 + a110 + a210
2 + · · ·+ an10n, 0 ≤ ai < 9, i = 0, . . . , n.
(1) a e´ divis´ıvel por 2⇔ 2 | a0.
(2) a e´ divis´ıvel por 3⇔ 3 | a0 + a1 + · · ·+ an.
12 2. A ARITME´TICA DOS INTEIROS
4.3. Exerc´ıcios.
(1) (a) a e´ divis´ıvel por 9 se e somente se 9 | a0 + a1 + · · ·+ an.
(b) a e´ divis´ıvel por 5 se e somente se a0 = 0 ou a0 = 5.
(c) a e´ divis´ıvel por 10 se e somente se a0 = 0.
(d) a e´ divis´ıvel por 4 se e somente se 4 | a1a0 = a0 + a110.
(e) a e´ divis´ıvelpor 11 se e somente se 11 | a0 − a1 + a2 − · · ·+ (−1)nan.
(2) Exprima 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divis´ıvel
por 7 e o segundo divis´ıvel por 11.
(3) Determine x, y ∈ Z tais que x+ y seja o menor inteiro positivo que satisfaz 18x+5y =
48. (Resp: 1 e 6)
(4) Seja p um nu´mero primo. Prove que: se p - c e ac ≡ bc(modp) enta˜o a ≡ b(modp).
(5) Seja a ∈ Z tal que mdc(a, 4) = 2. Mostre que a ≡ 2(mod4).
(6) Determine r, s ∈ Z tais que 10 = 390r + 70s.
(7) Ache o algarismo das unidades de 99
9
e 77
7
.
(8) Mostre que 6 | n(2n+ 7)(7n+ 1) e 30 | n(n2 − 49)(n2 + 49), para todo n ∈ N.
(9) Sejam a, b, c ∈ N primos entre si, tais que a2 + b2 = c2. Mostre que
(a) a ou b e´ par.
(b) a ou b e´ mu´ltiplo de 3.
(10) Seja a ∈ Z tal que 5 - a. Mostre que a4 ≡ 1(mod5).
(11) Num cassino existem duas espe´cies de fichas, uma de 62, 00 e outra de 11, 00 reais. De
quantas e quais sa˜o as poss´ıveis maneiras de se obter 788, 00 reais.
CAP´ıTULO 3
Relac¸o˜es de Equivaleˆncia e de Ordem
Definic¸a˜o 0.3. Sejam A e B conjuntos na˜o vazios. Todo conjunto R 6= ∅, R ⊆ A × B e´
chamado de relac¸a˜o bina´ria de A em B. Diremos que R e´ uma relac¸a˜o sobre A se R ⊆ A×A.
Notac¸a˜o. Escrevemos aRb em vez de (a, b) ∈ R e diremos que a esta´ relacionado com b. Caso
(a, b) 6∈ R, escrevemos a 6Rb.
Definic¸a˜o 0.4. Seja R e´ uma relac¸a˜o sobre A.
(1) R e´ reflexiva se ∀a ∈ A, aRa.
(2) R e´ sime´trica se aRb⇒ bRa.
(3) R e´ transitiva se aRb e bRc⇒ aRc.
(4) R e´ anti-sime´trica se aRb e bRa⇒ a = b.
Definic¸a˜o 0.5. Diremos que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia se R e´ reflexiva, sime´trica
e transitiva; e que R e´ uma relac¸a˜o de ordem se R e´ reflexiva, anti-sime´trica e transitiva.
Exemplos.
(1) Seja a, b,m ∈ Z, m > 1. A relac¸a˜o definida por
a ≡ b(modm)⇔ m | a− b
sobre Z e´ de equivaleˆncia.
(2) A relac¸a˜o de “divisibilidade”sobre N e´ uma relac¸a˜o de ordem.
(3) Sejam a, b ∈ R. Define-se a ≤ b se existe c ∈ R+ tal que b = a+ c. Esta relac¸a˜o e´ uma
relac¸a˜o de ordem sobre R, chamada de ordem “abitual”,“natural”ou “usual”sobre R.
(4) Seja
∏
um plano e sejam as retas r, s ∈∏. Define-se
r ‖ s se r = s ou r ∩ s = ∅.
A relac¸a˜o de “paralelismo”e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(5) Seja X um conjunto. A relac¸a˜o de inclusa˜o sobre ℘(X) e´ uma relac¸a˜o de ordem.
13
14 3. RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA E DE ORDEM
1. Relac¸a˜o de Equivaleˆncia
Definic¸a˜o 1.1. Seja R uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A. Para cada a ∈ A, define-se
a¯ := {x ∈ A | aRx}.
Este conjunto e´ chamado de classe de equivaleˆncia de a.
Proposic¸a˜o 1.2. Seja R uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A. Sejam a, b ∈ A enta˜o,
(1) a¯ 6= ∅.
(2) a ∈ b¯⇔ a¯ = b¯.
(3) a¯ = b¯ ou a¯ ∩ b¯ = ∅.
(4)
⋃
a∈A a¯ = A.
Definic¸a˜o 1.3. Denotamos por A/R := {a¯ | a ∈ A} o conjunto das classes de equivaleˆncia
e sera´ chamada de conjunto quociente, termo que justifica o fato que R “particiona”o conjunto
A em subconjuntos na˜o vazios e disjuntos.
Exemplos.
(1) Seja a relac¸a˜o “≡ modm” sobre Z. Temos que
a¯ = {b ∈ Z | a ≡ b(modm)}.
Seja r o resto da divisa˜o de a por m enta˜o existe q ∈ Z tal que a = mq+ r, 0 ≤ r < m.
Assim, a ≡ r(modm) com 0 ≤ r < m ou seja a ∈ r¯ . Pela propriedade (2) temos que
a¯ = r¯ e pela propriedade (3), 0¯, . . . , m¯ sa˜o distintos. Assim, a¯ ∈ {0¯, . . . , m¯} e portanto,
{a¯ | a ∈ Z} = {0¯, . . . , m¯}. O conjunto quociente sera´ chamado de conjunto das classes
dos restos mo´dulo m e sera´ denotado por Zm := {0¯, . . . , m¯}.
(2) Sejam u, v ∈ R2 e defina uRv ⇔ ∃λ ∈ R \ {0} tal que u = λv. Temos que R e´ uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia e
v¯ = {u ∈ R2 | u = λv para algum λ ∈ R \ {0}}.
Note que v¯ = {(0, 0)} se v = (0, 0) e que se v 6= (0, 0), v¯ e´ uma reta sem a origem,
na direc¸a˜o do vetor v. Note que R2 e´ a reunia˜o de todas essas retas paralelas com a
origem.
2. RELAC¸A˜O DE ORDEM 15
2. Relac¸a˜o de Ordem
Seja ¹ uma relac¸a˜o de ordem sobre A. Nesse caso diremos que (A,¹) e´ parcialmente
ordenado.
Quando a ¹ b escrevemos tambe´m b º a.
Diremos que A e´ totalmente ordenado se para quaisquer a, b ∈ A uma das treˆs alternativas
abaixo ocorre:
a ≺ b ou a = b ou b ≺ a.
Ou seja, quaisquer dois elementos de A sa˜o compara´veis.
Exemplos.
(1) (R,≤) e´ totalmente ordenado pela ordem usual.
(2) Seja X = {1, 2, 3}. Temos que (℘(X),⊆) e´ parcialmente ordenado, mas na˜o e´ total-
mente ordenado, pois {1, 2} e {3} na˜o sa˜o compara´veis.
Definic¸a˜o 2.1. Sejam (A,¹) parcialmente ordenado e ∅ 6= X ⊆ A. Dizemos que:
(1) X e´ limitado superiormente (resp. limitado inferiormente) se
∃a ∈ A tal que x ¹ a, ∀x ∈ X(resp.a ¹ x,∀x ∈ X).
Todo a ∈ A tal que x ¹ a, para todo x ∈ X (resp. a ¹ x, para todo x ∈ X) e´ chamado
de limite superior de X ou majorante de X (resp. limite inferior de X ou minorante
de X).
Denotamos por
lim supX = {a ∈ A | x ¹ a, para todo x ∈ X}
e
lim infX = {a ∈ A | a ¹ x, para todo x ∈ X}
(2) Um elemento a ∈ A e´ um ma´ximo de X (resp. mı´nimo de X) se
a ∈ X ∩ lim supX (resp. a ∈ X ∩ lim infX).
Escrevemos a := maxX (resp. a := minX)
(3) Um elemento a ∈ A e´ o supremo de X (resp. ı´nfimo de X) se a = min lim supX (resp.
a = max lim infX). Escrevemos a := supX (resp. a := infX).
16 3. RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA E DE ORDEM
(4) Um elemento a ∈ X e´ um elemento maximal de X (resp. elemento minimal de X) se
para todo x ∈ A tal que a ≺ x (resp. x ≺ a) tem-se que x 6∈ X. Denotamos por
Elem.MaxX := { elementos maximais de X}
e
Elem.MinX := { elementos minimais de X}.
Observac¸o˜es.
• Tem-se que maxX (resp. minX) quando existe, e´ u´nico.
• supX e infX podem na˜o pertencer ao conjunto X.
• Se x ∈ A tal que x ≺ supX (resp. infX ≺ x) enta˜o existe x0 ∈ X tal que x0 ≺ x (resp.
x ≺ x0.)
Exemplos.
(1) Seja R ordenado pela relac¸a˜o de ordem habitual e seja X = [0, 1). Temos lim supX =
[1,+∞), lim infX = (−∞, 0], Elem.Max = Elem.Min = {0}, @maxX, minX = 0,
supX = 1 e infX = 0.
(2) Seja ℘(R3) ordenado pela relac¸a˜o de inclusa˜o.
(a) Seja X = {S ⊆ R3 | S e´ L.I.}, enta˜o
Elem.MaxX = { bases do R3}.
De fato se B e´ uma base de R3 enta˜o B e´ L.I. e portanto B ∈ X. Se B ( S enta˜o
S e´ L.D. e portanto S 6∈ X. (todo subconjunto do R3 com mais de 3 vetores e´
L.D.)
(b) Seja X = {S ⊆ R3 | S gera R3}, enta˜o
Elem.MinX = { bases do R3}.
Se se B e´ uma base de R3 enta˜o B gera R3 e portanto, B ∈ X. Se S ( B temos
que S na˜o gera R3 e portanto S 6∈ X. (todo subconjunto de R3 com menos que 3
vetores na˜o gera o R3.)
2.1. Exerc´ıcios.
(1) Determine lim supX, lim infX, Elem.Max X, Elem.Min X, maxX, minX, supX e
infX caso existam.
(a) Sejam N ordenado pela relac¸a˜o de “divisibilidade”e seja X = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 18}.
2. RELAC¸A˜O DE ORDEM 17
(b) Sejam A = ℘({a, b, c}) ordenado pela inclusa˜o e X = {{a}, {b}, {b, c}, {a, b, c}}.
(2) Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Sobre X defina a relac¸a˜o
xRx′ ⇔ f(x) = f(x′).
Prove que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(3) Seja f : [0, 1] → R uma func¸a˜o estritamente decrescente e S = Imf . Mostre que
f(0) = maxS e f(1) = minS.
(4) Prove que as relac¸o˜es R abaixo sa˜o de equivaleˆncia.
(a) Sobre R definida por xRy ⇔ x = y ou x = −y.
(b) Sobre C definida por (x+ yi)R(z + ti)⇔ x2 + y2 = z2 + t2.
(5) Mostre que a relac¸a˜o ¹ definida sobre N× N por
(a, b) ¹ (c, d)⇔ a | c e b ≤ d
e´ uma relac¸a˜o de ordem. Seja A = {(1, 2), (2, 1)}. Determine lim supA, lim inf A,
maxA, minA, supA, inf A, Elem.Max A e Elem.Min A.
(6) Mostre que a relac¸a˜o sobre N definida por
a ≤ b⇔ ∃x ∈ N tal que b = a+ x,
e´ uma ordem total.
(7) Seja A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ordenado pela relac¸a˜o de “divisibilidade”. Seja B =
{3, 6, 9}. Determine lim supB, lim supB, Elem.Max B, Elem.Min B e caso existam,
determine maxB, minB, supB e inf B.
(8) Mostreque a relac¸a˜o x ∼ y ⇔ xy > 0 sobre R \ {0} e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e
determine R \ {0}/ ∼.
(9) Seja R a relac¸a˜o definida sobre N× N por
(a, b)R(c, d)⇔ a+ d = b+ c.
(a) Mostre que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Represente geometricamente (0, 0)
e (1, 0).
(b) Sejam x = (a, b) e y = (c, d) e defina
x ¹ y ⇔ a+ d ≤ b+ c.
Mostre que ¹ e´ de ordem total.
18 3. RELAC¸O˜ES DE EQUIVALEˆNCIA E DE ORDEM
(10) Seja R a relac¸a˜o definida sobre Z× (Z \ {0}) por
(a, b)R(c, d)⇔ ad = bc.
(a) Mostre que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Represente geometricamente (0, 1)
e (1, 1).
(b) Sejam x = (a, b) e y = (c, d) e defina
x ¹ y ⇔ ad ≤ bc.
Mostre que
(i) A relac¸a˜o ¹ e´ de ordem total.
(ii) (a, b) = (−a,−b).
(c) Seja R uma relac¸a˜o sobre A tal que R e´ reflexiva e satisfaz a seguinte propriedade:
∀x, y, z ∈ A, xRy e yRz ⇒ zRx.
Mostre que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(d) Seja A = {a1, . . . , an} ⊂ N ordenado pela relac¸a˜o de divisibilidade. Se d =
mdc(a1, . . . , an) e m = mmc(a1, . . . , an), mostre que d = inf A e m = supA.
(e) Mostre que a relac¸a˜o R definida sobre Q por
xRy ⇔ x− y ∈ Z,
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e determine 1¯.
CAP´ıTULO 4
Operac¸o˜es
Definic¸a˜o 0.2. Seja A um conjunto. Toda func¸a˜o ∗ : A×A → A e´ chamada de operac¸a˜o
sobre A.
Definic¸a˜o 0.3. Sejam A uma conjunto munido de operac¸a˜o ∗ e B ⊆ A. Dizemos que B e´
fechado para a operac¸a˜o se a ∗ b ∈ B, para todo a, b ∈ B.
Exemplo. Sejam m ∈ Zm,m > 1 e Zm := {a¯ | a ∈ Z}, onde a¯ = {x ∈ Z | x ≡ a(modm)}.
As operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sobre Zm sa˜o dadas por
a¯⊕ b¯ := a+ b e a¯¯ b¯ := ab.
Mostremos que as operac¸o˜es esta˜o bem definidas.
Suponha que (a¯, b¯) = (c¯, d¯), enta˜o
a¯ = c¯, b¯ = d¯⇒ a ≡ c(modm), b ≡ d(modm)
Logo, a + b ≡ c + d(modm) e ab ≡ cd(modm). Enta˜o a+ b = c+ d e ac = bd, portanto
a¯⊕ b¯ = c¯⊕ d¯ e a¯¯ b¯ = c¯¯ d¯.
Definic¸a˜o 0.4. Seja ∗ : A×A → A uma operac¸a˜o. Dizemos que:
(1) A operac¸a˜o e´ associativa se ∀a, b, c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
(2) A operac¸a˜o e´ comutativa se ∀a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a.
(3) A admite um elemento neutro para a operac¸a˜o se
∃e ∈ A tal que ∀a ∈ A, e ∗ a = a = a ∗ e.
(4) Suponha que A admite um elemento neutro e. Um elemento a ∈ A e´ simetriza´vel com
relac¸a˜o a operac¸a˜o se existe a′ ∈ A tal que a∗a′ = e = a′ ∗a. O elemento a′ e´ chamado
de sime´trico de a com respeito a operac¸a˜o.
(5) Um elemento a ∈ A e´ regular para a operac¸a˜o se satisfizer as seguintes condic¸o˜es:
x ∗ a = y ∗ a⇒ x = y (regular a` direita),
a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y (regular a` esquerda).
19
20 4. OPERAC¸O˜ES
Exemplos.
(1) Seja F(R) = {f : R → R | f e´ uma func¸a˜o }. As operac¸o˜es adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e
composic¸a˜o sobre F(R) sa˜o definidas respectivamente por: (f + g)(x) := f(x) + g(x),
(f · g)(x) := f(x).g(x) e (f ◦ g)(x) := f(g(x)).
(a) {f ∈ F(R)|f(x) = f(−x),∀x ∈ R} e´ fechado para a adic¸a˜o.
(b) {f ∈ F(R)|f(x) = −f(−x), ∀x ∈ R} e´ fechado para a adic¸a˜o, mas na˜o e´ fechado
para a multiplicac¸a˜o.
(c) {f ∈ F(R)|f e´ bijetora} e´ fechado para a composic¸a˜o.
(d) {f ∈ F(R)|f e´ deriva´vel} e´ fechado para a multiplicac¸a˜o.
(2) Seja Mn(R) = {(aij)n×n | aij ∈ R}.
(a) {A ∈Mn(R)|A = At} e´ fechado para a adic¸a˜o.
(b) {A ∈Mn(R)|A e´ invers´ıvel e A−1 = At} e´ fechado para a multiplicac¸a˜o.
0.2. Exerc´ıcios.
(1) Seja ∗ uma operac¸a˜o definida sobre A, que e´ associativa. Prove que:
(a) a ∈ A e´ regular a` esquerda se e somente se f : A → A dada por f(x) = a ∗ x e´
injetora.
(b) B = {a ∈ A|a e´ regular} e´ fechado para a operac¸a˜o ∗.
(2) Seja ∗ uma operac¸a˜o definida sobre A, que e´ associativa e tem um neutro e. Defina o
centro de A como sendo
Z(A) := {x ∈ A | a ∗ x = x ∗ a,∀a ∈ A}.
Mostre que Z(A) e´ fechado com relac¸a˜o a` operac¸a˜o ∗.
(3) Mostre que A =
{ cos a sin a
− sin a cos a
 | a ∈ R} e´ fechado para a multiplicac¸a˜o.
(4) Seja ∗ uma operac¸a˜o sobre A com elemento neutro e. Mostre que esta operac¸a˜o e´
associativa e comutativa se e somente se ∀a, b, c, d ∈ A, (a∗ b)∗ (c∗d) = (a∗ c)∗ (b∗d).
(5) Seja ∗ uma operac¸a˜o sobre A. Mostre que
S := {a ∈ A | a ∗ (x ∗ y) = (a ∗ x) ∗ y, ∀x, y ∈ A}
e´ fechado para a operac¸a˜o ∗.
(6) Definem-se a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de duas sequ¨eˆncias nume´ricas por: (xn) + (yn) =
(xn + yn) e (xn).(yn) = (xnyn). Mostre que os conjuntos abaixo sa˜o fechados com
relac¸a˜o essas operac¸o˜es.
TA´BUA DE UMA OPERAC¸A˜O SOBRE UM CONJUNTO FINITO 21
(a) {(xn) | (xn) e´ convergente}
(b) {(xn) | (xn) e´ limitada}
Ta´bua de uma Operac¸a˜o sobre um Conjunto Finito
Seja A = {a1, . . . , an} munido da operac¸a˜o ∗. A ta´bua de (A, ∗) e´ constru´ıda como na tabela
abaixo. A primeira linha e´ chamada de linha fundamental e a primeira coluna a` esquerda e´
chamada de coluna fundamental.
∗ a1 . . . . . . ai . . . aj . . . . . . an
a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai . . . . . . . . . . . . . . . ai ∗ aj . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aj . . . . . . . . . aj ∗ ai . . . . . . . . . . . . aj ∗ an
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an . . . . . . . . . . . . . . . an ∗ aj . . . . . . . . .
Listaremos algumas propriedades da operac¸a˜o:
• A operac¸a˜o ∗ e´ comutativa se a ta´bua e´ sime´trica em relac¸a˜o ao diagonal principal.
• Existe um elemento neutro, se existirem uma linha e uma coluna ideˆnticas a`s fundamentais.
• Seja Li a linha iniciada por ai. Se nesta linha o elemento neutro e, se situa na coluna Cj
enta˜o o sime´trico de a′i inicia coluna Cj, ou seja no cruzamento da linha Li com a coluna Cj se
encontra o elemento neutro e.
• Um elemento ak e´ regular para a operac¸a˜o ∗, se na linha Lk e na coluna Ck na˜o tem
elementos repetidos. Na coluna Ck da ta´bua acima figuram os elementos ai ∗ ak e aj ∗ ak que
devem ser distintos, pois caso contra´rio implicaria em ai = aj.
0.3. Exerc´ıcios.
(1) Fac¸a a ta´bua para (Z6,⊕), (Z∗6,¯) e (Z∗5,¯).
(2) Sejam G = {f1, f2, f3, f4}, fi : R \ {0} → R \ {0} dadas por f1(x) = x, f2(x) = −x,
f3(x) =
1
x
e f4(x) = − 1x . Fac¸a a ta´bua para (G, ◦).
22 4. OPERAC¸O˜ES
(3) Sejam G = {f1, f2, f3, f4}, fi : R2 → R2 dadas por
f1(x, y) = (x, y), f2(x, y) = (−x, y),
f3(x, y) = (x,−y), f4(x, y) = (−x,−y).
Fac¸a a ta´bua para (G, ◦).
CAP´ıTULO 5
Grupos
Definic¸a˜o 0.5. Seja ∗ : G×G→ G uma operac¸a˜o. Dizemos que G e´ um grupo se satisfaz
as seguintes condic¸o˜es:
(1) A operac¸a˜o e´ associativa: ∀a, b, c ∈ G; (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
(2) Existe um elemento neutro e ∈ G: ∀a ∈ G; e ∗ a = a ∗ e = a.
(3) ∀a ∈ G, ∃a′ ∈ G, sime´trico de a tal que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.
Definic¸a˜o 0.6. Se ale´m disso, ∀a, b ∈ G; a ∗ b = b ∗ a, diremos que G e´ um grupo abeliano.
Notac¸o˜es: Seja (G, ∗) um grupo. Quando G e´ um grupo aditivo (resp. multipliucativo)
usaremos “ + ” (resp “ · ”) para a operac¸a˜o, “0” (resp. “1”) para o elemento neutro e “ − a”
(resp. “a−1”) para o elmento sime´trico.
Proposic¸a˜o 0.7. Seja (G, ∗) e´ um grupo. Enta˜o
(1) O elemento neutro e´ u´nico.
(2) Para cada a ∈ G, o sime´trico de a e´ u´nico e (a′)′ = a.
(3) ∀a, b ∈ G; (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′.
(4) Todo elemento de G e´ regular.
Demonstrac¸a˜o. (de item (4)) Suponha que x ∗ a = y ∗ a, com x, y ∈ G. Enta˜o:
(x ∗ a) ∗ a′ = (y ∗ a) ∗ a′ ⇒ x ∗ (a ∗ a′) = y ∗ (a ∗ a′)⇒ x ∗ e = y ∗ e⇒ x = y.
Analogamente prova-se que a ∗ x = a ∗ y, com x, y ∈ G implica que x = y. ¤
Definic¸a˜o 0.8. Seja (G, ∗) um grupo e H ⊆ G. Dizemos que H e´ um subgrupo de G se
(H, ∗) e´ um grupo. Neste caso escrevemos H 6 G.
Proposic¸a˜o 0.9. Seja∅ 6= H ⊆ G. Enta˜o H 6 G se e somente se ∀a, b ∈ H; a ∗ b′ ∈ H.
Exemplos.
(1) (Z,+) e (Q,+) sa˜o grupos abelianos.(Veja Apeˆndice 2)
(2) (C,+) e´ um grupo abeliano e Z, Q e R sa˜o subgrupos de C.
23
24 5. GRUPOS
(3) (C∗, ·) e´ um grupo abeliano e Q∗ e R∗ sa˜o subgrupos de C∗.
(4) (Zn,⊕) e´ um grupo abeliano.
(5) Seja (G,+) um grupo abeliano. O conjunto F(X) = {f | f : X → X e´ uma func¸a˜o}
munido de operac¸a˜o soma de func¸o˜es e´ um grupo abeliano.
(6) SX := {f : X → X | f e´ uma func¸a˜o bijetora}. Se #X > 2, (SX , ◦) e´ um grupo na˜o
abeliano, chamado degrupo das permutac¸o˜es sobre X. Se X = {1, · · · , n} enta˜o SX
sera´ denotado por Sn e todo σ ∈ Sn sera´ denotado por
σ =
 1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
 .
(Sn, ◦) e´ chamado de grupo de permutac¸o˜es de grau n. Por exemplo
S3 =

 1 2 3
1 2 3
 ,
 1 2 3
2 3 1
 ,
 1 2 3
3 1 2
 ,
 1 2 3
1 3 2
 ,
 1 2 3
3 2 1
 ,
 1 2 3
2 1 3
 .
(7) Mm×n(R) = {(aij) | aij ∈ R} e´ um grupo aditivo abeliano.
(8) GLn(R) = {A ∈Mn(R) | A e´ invert´ıvel} e´ um grupo multiplicativo na˜o abeliano.
0.4. Exerc´ıcio.
(1) Sejam H1 e H2 subgrupos de G. Prove que H1 ∪H2 e´ um subgrupo de G se e somente
se H1 ⊆ H2 ou H1 ⊆ H2.
(2) Seja (Hi)i∈I e´ uma famı´lia de subgrupos de G. Enta˜o
⋂
i∈I Hi e´ um subgrupo de G.
(3) Z(G) = {a ∈ G | a ∗x = x ∗a,∀x ∈ G} e´ um subgrupo de G, chamado de centro de G.
Definic¸a˜o 0.10. Sejam (G, ∗) um grupo e a ∈ G. Para cada n ∈ Z, denotaremos por
a0 = e, an = a ∗ (an−1) se n > 0 e an = (a′)−n se n < 0. Definamos [a] := {an | n ∈ Z}. Se G
e´ um grupo aditivo, escrevemos na em vez de an e [a] = {na | n ∈ Z}.
Proposic¸a˜o 0.11. Seja G um grupo e a ∈ G. Enta˜o [a] e´ um subgrupo de G, chamado de
subgrupo gerado por a.
Definic¸a˜o 0.12. Seja G um grupo e a ∈ G. Se existe m ∈ Z tal que am = e dizemos que
a e´ de ordem finita. O menor m ∈ Z , m > 0 tal que am = e e´ chamado de ordem de a. Se
m = 0 e´ o u´nico natural am = e, diremos que a ordem de a e´ zero. Usaremos o(a) para ordem
de a.
Observac¸a˜o. Alguns autores escrevem o(a) =∞, em vez de o(a) = 0.
1. HOMOMORFISMO DE GRUPOS 25
0.5. Exerc´ıcios.
(1) Seja (G, ∗) um grupo e a ∈ G.
(a) Se o(a) = n > 0 e am = e enta˜o n | m.
(b) Se ∀a ∈ G; a ∗ a = e, enta˜o a = a′ e G e´ abeliano.
(c) Prove que o(a) = o(a′).
(2) Sejam (G, ∗) um grupo abeliano e H = {x ∈ G | x ∗ x = e}. Mostre que
(a) H e´ um subgrupo de G.
(b) Se ∀a, b, c ∈ G; a ∗ b = c e a ∗ c = b, enta˜o H = G.
(3) Dado o grupo (Z, ∗), onde a ∗ b = a+ b− 3. Mostre que 3Z e´ um subgrupo de (Z, ∗).
(4) Sejam G = R×R∗ e ∗ uma operac¸a˜o definida sobre G por (a, b) ∗ (c, d) = (ad+ bc, bd).
Mostre que
(a) (G, ∗) e´ um grupo abeliano.
(b) H = {(a, 1) | a ∈ R} e´ um subgrupo de G.
(5) Seja X um conjunto. Mostre que
(a) (℘(X),∆) e´ um grupo abeliano.( ∆ e´ a diferenc¸a sime´trica)
(b) Seja B ⊆ X. Enta˜o H = {A ∈ ℘(X) | A ∩B = ∅} e´ um subgrupo de (℘(X),∆).
(6) Seja G = {f : R→ R | f(x) = ax+ b, a 6= 0}. Prove que (G, ◦) e´ um subgrupo de SR
(7) Seja G = {e, a, b, c} munido de operac¸a˜o definada pela ta´bua abaixo.
∗ e a b c
e e a b c
a e e c b
b b c e a
c c b a e
Determine [e], [a], [b], [c] e a ordem de cada elemento.
1. Homomorfismo de Grupos
Definic¸a˜o 1.1. Sejam (G1, ∗) e (G2, ◦) dois grupos. Uma func¸a˜o f : G1 → G2 e´ um
homomorfismo de grupos se ∀a, b ∈ G; f(a ∗ b) = f(a) ◦ f(b).
Proposic¸a˜o 1.2. Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos.
(1) Se e1 e e2 sa˜o os neutros de G1 e G2 respectivamente enta˜o f(e1) = e2.
(2) ∀a ∈ G1; f(a′) = (f(a))′.
26 5. GRUPOS
1.1. Exerc´ıcio. Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos.
(1) Se H1 6 G1 enta˜o f(H1) 6 G2.
(2) Se H2 6 G2 enta˜o f−1(H2) 6 G1.
Definic¸a˜o 1.3. Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos e e2 o elemento neutro de
G2. O nu´cleo de f e´
ker f := {a ∈ G1 | f(a) = e2}
e a imagem de f e´
Imf := {f(a) | a ∈ G1}.
Definic¸a˜o 1.4. Um homomorfismo f : G1 → G2 e´ dito monomorfismo se f e´ injetora,
epimorfismo se f e´ sobrejetora e isomorfismo se f e´ bijetora. Um isomorfismo f e´ um auto-
morfismo se G1 = G2. Dizemos que G1 e G2 sa˜o isomorfos se f : G1 → G2 um isomorfismo e
escrevemos G1 ' G2.
Proposic¸a˜o 1.5. Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos.
(1) ker f 6 G1.
(2) Imf 6 G2.
(3) f e´ um monorfismo se ker f = {e1}.
1.2. Exerc´ıcios. Mostre que f e´ um homomorfismo e determine o ker f .
(1) f : R→ C∗ tal que f(θ) = cos(θ) + i sin(θ).
(2) f : Z→ Zm tal que f(x) = x¯
Proposic¸a˜o 1.6. Sejam f : G1 → G2 e g : G2 → G3 homomorfismos de grupos. Enta˜o;
(1) g ◦ f e´ um homomorfismo.
(2) Se f e´ um isomorfismo enta˜o f−1 e´ um isomorfismo.
1.3. Exerc´ıcio.
(1) Seja Aut(G) = {f : G → G | f e´ um automorfismo}. Mostre que (Aut(G), ◦) e´ um
grupo.
(2) Seja f : G→ H um homomorfismo. Prove:
(a) Para todo a ∈ G; o(f(a)) | o(a).
(b) Se f e´ um monomorfismo enta˜o o(f(a)) = o(a).
1. HOMOMORFISMO DE GRUPOS 27
(3) Seja f : G → G definida por f(x) = x−1. Mostre que: f e´ um homomorfismo se e
somente se G e´ abeliano.
(4) Se (G, ·) e´ abeliano e a, b ∈ G tais que mdc(o(a), o(b)) = 1 enta˜o o(a · b) = o(a)o(b).
(5) Seja f : Z4 → C∗ tal que f(n¯) = in. Prove que f e´ um monomorfismo.
(6) Sejam (G, ·) um grupo, a ∈ G e fa : G → G definida por fa(x) = a · x · a−1. Mostre
que;
(a) fa e´ um automorfismo.
(b) fa ◦ fb = fa·b.
(c) o(x) = o(a · x · a−1).
(d) I(G) := {fa | a ∈ G} e´ um subgrupo de Aut(G), chamado de grupo dos automor-
fismos internos de G.
(e) ϕ : G→ I(G) dada por ϕ(a) = fa e´ um homomorfismo e kerϕ = Z(G).
(7) Sejam (G,+) e (J, ·) grupos e f : G → J um homomorfismo. Prove por induc¸a˜o que
para todo n ∈ Z que f(nx) = (f(x))n.
(8) Sejam (G, ∗) e (J, ◦) grupos e defina sobre G× J a operac¸a˜o dada por (a, b)+ (c, d) :=
(a ∗ c, b ◦ d). Mostre que;
(a) (G× J,+) e´ um grupo.
(b) f : G× J → G tal que f(x, y) = x e´ um homomorfismo e determine ker f .
(9) Mostre que;
(a) G = {A ∈M2×2(R) | A e´ invert´ıvel e A−1 = At} e´ um grupo.
(b) H =

 cos a − sin a
sin a cos a
 | a ∈ R
 6 G.
(c) f : R→ H dada por f(a) =
 cos a − sin a
sin a cos a
 e´ um homomorfismo de determine
o ker f .
(10) Seja f : Z6 → Z2 dada por f(x¯) = r¯, onde r e´ o resto da divisa˜o de x por 2. Verifique
se
(a) f esta´ bem definida?
(b) f e´ um homomorfismo?
(c) f e´ injetora?
(d) f e´ sobrejetora?
(11) Sejam (G, ∗) um grupo, H 6 G e a ∈ G. Prove:
28 5. GRUPOS
(a) a ∗H ∗ a−1 := {a ∗ x ∗ a−1 | h ∈ H} e´ um subgrupo de G.
(b) Se f : G→ G e´ um homomorfismo e G e´ abeliano enta˜o H := {a−1 ∗f(a) | a ∈ G}
e´ um subgrupo de G.
(c) Seja R uma relac¸a˜o sobre G definida por
xRy ⇔ ∃a ∈ G tal que y = a ∗ x ∗ a−1,
enta˜o R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(12) Seja f : C∗ → C∗ tal que f(z) = zn. Mostre que f e´ um homomorfismo e determine
ker f .
2. GRUPOS CI´CLICOS 29
2. Grupos C´ıclicos
Definic¸a˜o 2.1. Seja G e´ um grupo. Dizemos que G e´ c´ıclico se existe a ∈ G tal que
G = [a].
Exemplos.
(1) Z = [1] = [−1].
(2) Zm = [1¯].
(3) Se H = {z ∈ C | zn = 1} enta˜o H = [ω] onde ω = cos 2pi
n
+ i sin 2pi
n
.
Proposic¸a˜o 2.2. Se G e´ c´ıclico e H 6 G enta˜o H e´ c´ıclico.
Demonstrac¸a˜o. Sejam G = [a] e n := min{k | k > 0, ak ∈ H}. Mostramos que H = [an].
Temos que [an] ⊆ H. Seja x ∈ H. Enta˜o x = am para algum m ∈ Z. Como H e´ subgrupo
podemos supor m > 0. Pela minimalidade de n temos m ≥ n. Pelo algoritmo de divisa˜o seja
m = nq + r, onde r, q ∈ Z e 0 ≤ r < n. Enta˜o ar = am−nq que claramente e´ um elemento de
H. Mas pela minimalidade de n, obtemos que r = 0 ou seja m = nq e x ∈ [an]. ¤
Proposic¸a˜o 2.3. Seja G = [a]. Enta˜o:
(1) Se o(a) = n > 0 enta˜o G ' Zn.
(2) Se o(a) = 0 enta˜o G ' Z.
Demonstrac¸a˜o. (1) Seja f : Zn → G dada por f(x¯) = ax. Temos claramente que f e´ um
homomorfismosobre. Seja x¯ ∈ ker f , enta˜o
f(x¯) = e⇔ ax = e⇔ n | x⇔ x¯ = 0¯.
Ou seja f e´ injetora, portanto f e´ um isomorfismo e temos G ∼= Zn.
(2) Seja f : Z → G dada por f(n) = an. Temos claramente que f e´ um homomorfismo
sobre. Seja n ∈ ker f , enta˜o
f(n) = e⇔ an = e⇔ n = 0.
Ou seja f e´ injetora, portanto f e´ um isomorfismo e temos G ∼= Z. ¤
Corola´rio 2.4. (1) Se H 6 Z enta˜o H = [m] para algum m ∈ Z.
(2) Se H 6 Zn enta˜o H = [m¯] para algum m ∈ Z.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio! ¤
30 5. GRUPOS
Proposic¸a˜o 2.5. Seja G = [a] com o(a) = n > 0. Enta˜o G = [am] se e somente se
mdc(n,m) = 1.
Demonstrac¸a˜o. Seja G = [am]. Como a ∈ G existe m ∈ Z tal que a = (am)q. Enta˜o
a = amq, portanto amq−1 = e e n | mq − 1. Enta˜o existe q′ ∈ Z tal que mq − 1 = nq′; ou
mq−nq′ = 1. Pela identidade de Be´zout mdc(n,m) = 1. Para a rec´ıproca seja mdc(n,m) = 1,
enta˜o pela identidade de Be´zout existem r, s ∈ Z tais que rn+ sm = 1. Como [am] ⊆ [a], basta
mostrar que [a] ⊆ [am]. Sendo a = arn+sm = anrasm = (am)s conclu´ımos que a ∈ [am]. Logo
[a] ⊆ [am]. ¤
Exemplos. Utilizando o Corola´rio 2.4 acima temos:
(1) Z4 = [1¯] = [3¯].
(2) Sejam ω = exp(2pii
8
) e G = [ω]. Enta˜o G = [ω3] = [ω5] = [ω7].
Observac¸o˜es.
A func¸a˜o de Euler φ : N→ N e´ definida por
φ(n) := #{m ∈ N | 1 ≤ m ≤ n e mdc(n,m) = 1}.
(1) Se n = pn11 · · · pnrr , onde p1, . . . , pr sa˜o nu´meros primos distintos enta˜o
φ(n) = n(1− 1
p1
) · · · (1− 1
pr
).
(Veja apeˆndice 2)
(2) O nu´mero de geradores de G = [a] quando o(a) = n > 0 e´ φ(n).
(3) Segundo a equivaleˆncia
a¯ e´ invert´ıvel em Zn ⇔ mdc(a, n) = 1,
temos tambe´m que o nu´mero de elementos invert´ıveis em Zn e´ φ(n).
2.1. Exerc´ıcios.
(1) Seja f : G→ J um epimorfismo de grupos. Prove que:
(a) Se G e´ abeliano enta˜o J e´ abeliano.
(b) Se G e´ c´ıclico enta˜o J e´ c´ıclico.
(2) Se G 6= {e} e´ um grupo tal que os u´nicos subgrupos de G sa˜o os triviais enta˜o G e´
c´ıclico.
(3) Se G e´ um grupo c´ıclico infinito e G = [a] = [b] enta˜o b = a ou b = a−1.
(4) Sabendo-se que G = {e, a, b, c, d, f} e´ um grupo isomorfo ao grupo (Z6,⊕) pede-se:
3. GRUPO GERADO POR UM CONJUNTO 31
(a) Construir uma ta´bua para G.
(b) Verificar se G e´ c´ıclico, e no caso afirmativo determinar os seus geradores.
(5) SejaH=

 1 2 3 4
1 2 3 4
 ,
 1 2 3 4
3 4 1 2
 ,
 1 2 3 4
2 1 4 3
 ,
 1 2 3 4
4 3 2 1
 um subgrupo
de S4. Determine a ordem de cada elemento de H. Verifique se H e´ c´ıclico e se H
pode ser isomorfo a Z4.
(6) Seja
H =

 1 2 3 4
1 2 3 4
 ,
 1 2 3 4
2 3 4 1
 ,
 1 2 3 4
3 4 1 2
 ,
 1 2 3 4
4 1 2 3
 .
Mostre que H e´ c´ıclico.
(7) Sejam a, b ∈ Z e H = {ax+ by | x, y ∈ Z}. Mostre que:
(a) H 6 Z.
(b) Se d = mdc(a, b) enta˜o H = [d].
(8) Dado n ∈ N seja H = {z ∈ C | zn = 1}. Prove que:
(a) H 6 C∗ c´ıclico gerado por w = cos(2pi
n
) + i sin(2pi
n
).
(b) f : Zn → H dada por f(x¯) = cos(2pixn ) + i sin(2pixn ) e´ um isomorfismo.
3. Grupo Gerado por um Conjunto
Definic¸a˜o 3.1. Sejam (G, ·) um grupo e ∅ 6= S ⊆ G. Define-se [S] = {an11 · · · anrr |
a1, . . . , ar ∈ S e n1, . . . , nr ∈ Z}. Este conjunto e´ um subgrupo de G e sera´ chamado de grupo
gerado por S.
Quando G e´ um grupo aditivo, define-se [S] = {n1a1+· · ·+nrar | a1, . . . , ar ∈ S e n1, . . . , nr ∈
Z}
Exemplos.
(1) Considere Z2 × Z2. Este grupo e´ chamado de grupo de Klein. Pondo a = (1¯, 0¯) e
b = (0¯, 1¯). Temos que Z2 × Z2 = [a, b].
(2) Considere S3. Sejam σ =
 1 2 3
2 3 1
 e τ =
 1 2 3
1 3 2
. Temos τ ◦ σ2 = σ ◦ τ e
S3 = [σ, τ ].
(3) Seja σ, τ ∈ S4 dadas por σ =
 1 2 3 4
2 3 4 1
 e τ =
 1 2 3 4
1 4 3 2
. Temos τ ◦ σ3 = σ ◦ τ
e τ ◦ σ2 = σ2 ◦ τ . Cosidere D4 := [σ, τ ]. este grupo e´ chamado de grupo de Diedral de
ordem 8. Este grupo pode ser visto como o grupo de permutac¸o˜es de um quadrado.
32 5. GRUPOS
Os sugrupos de D4 sa˜o: [σ] ' Z4, K4 = {1, τ ◦ σ, τ ◦ σ3, σ2} e V4 = {1, τ, τ ◦ σ2, σ2},
onde 1 e´ a permutac¸a˜o identidade. Temos K4 ' V4 ' Z2 × Z2.
(4) Seja Q3 o grupo dos Quate´rnios de ordem 8. Isto e´:
Q3 =
±
 1 0
0 1
 ,±
 0 i
i 0
 ,±
 0 1
−1 0
 ,±
 −i 0
0 i
 .
Sejam A =
 0 i
i 0
 e B =
 0 1
−1 0
. Temos AB = BA3 e Q3 = [A,B].
4. Classes Laterais e Teorema de Lagrange
Sejam G um grupo finito e H 6 G. O nosso objetivo nessa sec¸a˜o e´ obter uma relac¸a˜o entre
#H e #G. Primeiro definiremos as classes laterias e estudaremos as suas propriedades ba´sicas.
Vale a pena observar que estas definic¸o˜es e propriedades na˜o dependem da finitude de G.
Definic¸a˜o 4.1. Sejam (G, ·) um grupo e H 6 G. Para cada a ∈ G, definamos a classe
lateral de a a` esquerda por a · H := {a · h | h ∈ H} e a classe lateral de a a` direita por
H · a := {h · a | h ∈ H}.
Proposic¸a˜o 4.2. Sejam (G, ·) um grupo, H 6 G e a, b ∈ G. Enta˜o:
(1) a ·H = b ·H ⇔ b−1 · a ∈ H. Em particular a ·H = H ⇔ a ∈H.
(2) fa : H → a ·H tal que fa(h) = a · h e´ bijetora. Em particular |H| = |a ·H|.
(3) Seja
ϕ : {classes laterais a` esquerda} → {classes laterais a` direita}
a ·H 7→ H · a−1,
enta˜o ϕ e´ bijetora.
(4) Considere a relac¸a˜o dada por a ∼ b ⇔ a · H = b · H. Esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia. Segue da´ı que:
(a) a ·H 6= ∅.
(b) a ·H = b ·H ou (a ·H) ∩ (b ·H) = ∅.
(c) G =
⋃
a∈G(a ·H).
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio! ¤
Notac¸a˜o. Denotaremos por (G : H) o nu´mero de classes laterais a` esquerda que e´ igual ao
nu´mero de classes laterais a` direita, pelo item (3) da proposic¸a˜o acima.
4. CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE 33
Observac¸a˜o. Analogamente,
a ∼ b⇔ H · a = H · b,
e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Teorema 4.3. (Lagrange) Se G e´ um grupo finito e H 6 G, enta˜o |G| = |H|(G : H). Em
particular |H| divide |G| e |G||H| = (G : H).
Demonstrac¸a˜o. Pelo item (4) da proposic¸a˜o acima podemos escrever
G = (a1 ·H)
⋃
(a2 ·H)
⋃
· · ·
⋃
(ar ·H),
com (ai · H)
⋂
(aj · H) = ∅, para i 6= j. Assim r = (G : H). Sendo, |ai · H| = |aj · H| = |H|,
segue que:
|G| = |a1 ·H|+ |a2 ·H|+ · · ·+ |ar ·H| = r.|H| = (G : H)|H|.
Portanto |G||H| = (G : H). ¤
Corola´rio 4.4. Sejam G e´ um grupo finito e a ∈ G, enta˜o o(a) divide |G| . Em particular
a|G| = e.
Demonstrac¸a˜o. Como [a] 6 G e |[a]| = o(a), pelo teorema de Lagrange temos que o(a)
divide |G| . Assim exsite q ∈ Z tal que |G| = q.o(a), enta˜o a|G| = (ao(a))q = e. ¤
Corola´rio 4.5. Todo grupo de ordem prima e´ c´ıclico.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que |G| = p, onde p e´ um nu´mero primo. Seja a ∈ G \ {e}
enta˜o o(a) | p e da´ı o(a) = 1 ou p. Como a 6= e, temos que o(a) = p. Portanto G = [a]. ¤
Corola´rio 4.6. (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um nu´mero primo enta˜o para todo
a¯ ∈ Z∗p temos a¯p−1 = 1¯.
Demonstrac¸a˜o. Como (Z∗p,¯) e´ um grupo e |Z∗p| = p−1 enta˜o pelo corola´rio (4.4) temos
a¯p−1 = 1¯. ¤
Corola´rio 4.7. Para todo a¯ ∈ Zp temos a¯p = a¯; i.e´, todos os elementos de Zp sa˜o ra´ızes
do polinoˆmio f(x) = xp − x.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio! ¤
34 5. GRUPOS
4.1. Exerc´ıcios.
(1) Seja f : G→ G um homomorfismo e H = ker f . Mostre que a ·H = b ·H se e somente
se f(a) = f(b).
(2) Sejam H1 e H2 subgrupos de G. Prove se |H1| = m e |H2| = n e mdc(m,n) = 1 enta˜o
H1 ∩H2 = {e}.
(3) Se um grupo G tem ordem prima enta˜o os u´nicos subgrupos de G sa˜o os triviais.
(4) Para todo a¯, b¯ ∈ Zp, temos (a¯⊕ b¯)p = a¯p ⊕ b¯p.
5. Subgrupos Normais
Definic¸a˜o 5.1. Sejam (G, ·) um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos que H e´ um
subgrupo normal de G se para todo a ∈ G, a ·H = H · a. Neste caso escrevemos H E G.
Exemplos.
(1) Os subgrupos triviais {e} e G sa˜o subgrupos normais de G.
(2) Se G e´ um grupo abeliano enta˜o todos os subgrupos de G sa˜o normais.
(3) Se G e´ um grupoH e´ um subgrupo de G tal que (G : H) = 2, enta˜o H E G.
Proposic¸a˜o 5.2. Sejam (G, ·) um grupo e H um subgrupo de G. Enta˜o H E G se e
somente se para todo a ∈ G, a ·H · a−1 ⊆ H.
Demonstrac¸a˜o. Sejam H E G e x ∈ a ·H ·a−1. Enta˜o existe h ∈ H tal que x = a ·h ·a−1.
Portanto
x · a = a · h⇒ x · a ∈ a ·H = H · a⇒ ∃h1 ∈ H  x · a = h1 · a⇒ x = h1 ⇒ x ∈ H.
Para a rec´ıproca, mostremos que H · a ⊆ a ·H. Seja x ∈ H · a. Enta˜o exsite h ∈ H tal que
x = h · a. Da´ı
x = (a · a−1) · h · a⇒ x = a · (a−1 · h · a).
Como pela hipo´tese, a−1 · h · a ∈ H, segue que x ∈ a · H. Analogamente, prova-se que
a ·H ⊆ H · a. ¤
5.1. Exerc´ıcios.
(1) Sejam (G1, ·) e (G2, ◦) grupos e f : G1 → G2 um homomorfismo. Enta˜o ker f E G1.
(2) Seja (G1, ·) um grupo. Enta˜o
Z(G) := {x ∈ G | a · x = x · a para todo a ∈ G}
6. GRUPO DAS PERMUTAC¸O˜ES 35
e´ um subgrupo normal de G chamado de centro de G.
6. Grupo das Permutac¸o˜es
Definic¸a˜o 6.1. Seja X um conjunto(finito ou infinito) e considere SX := {σ : X →
X | σ e´ bijetora}. Esse conjunto munido de composic¸a˜o de func¸o˜es e´ um grupo, chamado de
grupo das permutac¸o˜es sobre X. Se X = {1, · · · , n} denotaremos SX por Sn e σ ∈ Sn por 1 2 · · · n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
 .
Teorema 6.2. (Cayley) Seja G e´ um grupo finito tal que |G| = n, enta˜o G e´ isomorfo a
um subgrupo de Sn.
Demonstrac¸a˜o. Seja Φ : G → SG = Sn dada por Φ(x) = Φx, onde Φx : G → G e´
dada por Φx(a) = xa. Mostremos que e´ um homomorfismo injetor. Sejam x, y ∈ G tais que
Φ(x) = Φ(y). Enta˜o:
Φx = Φy ⇒ ∀a ∈ G,Φx(a) = Φy(a)⇒ xa = ya⇒ x = y.
Ou seja Φ e´ injetora. Seja G := ImΦ. Pela proposic¸a˜o (1.5), G 6 Sn e claramente G ' G. ¤
Definic¸a˜o 6.3. Uma permutac¸a˜o σ ∈ Sn e´ um r-ciclo, r ≥ 2, se existem a1, · · · , ar ∈
{1, . . . , n} tais que σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, . . . , σ(ar) = a1 e σ(i) = i, para todo i 6∈ {a1, . . . , ar}.
Um 2-ciclo e´ chamado de uma transposic¸a˜o.
Notac¸a˜o. Denotamos um r-ciclo por (a1, a2, . . . , ar) = (a2, a3, . . . , ar, a1) = · · · = (ar, a1, . . . , ar−1).
Exemplos.
(1) σ =
 1 2 3 4 5 6 7
1 3 5 4 2 6 7
 = (235), e´ um 3-ciclo.
(2) σ =
 1 2 3 4
2 1 4 3
 = (12)(34), e´ produto(composic¸a˜o) de duas transposic¸o˜es.
Obsevac¸o˜es.
• Se σ e´ um r-ciclo enta˜o o(σ) = r.
• Se σ e´ uma transposic¸a˜o enta˜o σ = σ−1.
Definic¸a˜o 6.4. Dizemos que dois ciclos σ e τ em Sn sa˜o ciclos disjuntos, se σ(i) 6= i ⇒
τ(i) = i e τ(j) 6= j ⇒ σ(j) = j, para todo i, j ∈ {1, . . . , n}.
6.1. Exerc´ıcios. Se σ = α ◦ β, onde α e β sa˜o ciclos disjuntos, enta˜o σ = β ◦ α e o(σ) =
mmc(o(α), o(β)).
36 5. GRUPOS
Exemplos.
(1) S3 = {(1), (123), (132), (12), (13), (23)}.
(2) D4 = {(1), (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (24), (13)}.
(3) S4 = {(1), (34), (23), (243), (234), (24), (12), (12)(34), (123), (1234), (1243), (124), (132),
(1342), (13), (134), (13)(24), (1324), (1432), (142), (143), (14), (1423), (14)(23)}.
Definic¸a˜o 6.5. Seja p =
∏
1≤i<j≤n(xi − xj) ∈ Z[x1, · · · , xn]. Para cada σ ∈ Sn, seja
pσ :=
∏
1≤i<j≤n(xσ(i) − xσ(j)).
Tem-se que pσ = ±p. Diremos que σ e´ uma permutac¸a˜o par se pσ = p e e´ uma permutac¸a˜o
ı´mpar se pσ = −p.
Proposic¸a˜o 6.6. Sejam σ, τ ∈ Sn.
(1) Se σ e´ ma transposic¸a˜o enta˜o pσ = −p.
(2) pσ◦τ = (pτ )σ.
Teorema 6.7. Seja σ ∈ Sn, σ 6= (1). Enta˜o existem σ1, . . . , σm, ciclos disjuntos tais que
σ = σ1 ◦ · · · ◦ σm.
Demonstrac¸a˜o. Seja X = {1, · · · , n}. Sendo σ 6= (1), existe i1 ∈ X tal que σ(i1) 6= i1.
Como X1 := {i1, σ(i1), σ2(i1), · · · } ⊆ X, enta˜o X1 e´ finito, da´ı existe r1 tal que σr1(i1) = i1.
Logo σ1 := (i1σ(i1) · · · σr1−1(i1)) e´ um r1-ciclo. Se σ = σ1, acabou a demonstrac¸a˜o. Se σ 6= σ1,
enta˜o X 6= X1 e da´ı existe i2 ∈ X \ X1 tal que σ(i2) 6= i2. Enta˜o r2 tal que σr2(i2) = i2 e
assim σ2 = (i2σ(i2) · · · σr2−1(i2)) e´ um r2-ciclo. Se σ = σ1 ◦ σ2, acabou a demonstrac¸a˜o, caso
contra´rio X 6= X1 ∪ X2, onde X2 = {i2, σ2(i2), · · · , σr2−1(i2)}. Usando o mesmo argumento
acima sucessivamente, podemos encontrar r1, r2, · · · , rm e X1, · · · , Xm disjuntos tais que X =
X1 ∪ · · · ∪Xm e σ = σ1 ◦ · · · ◦ σm, onde σi e´ ri-ciclo, i = 1, · · · ,m. ¤
Corola´rio 6.8. Se σ ∈ Sn. Enta˜o existem transposic¸o˜es σ1, · · · , σm tais que σ = σ1 ◦ · · · ◦
σm ou seja Sn e´ gerado por transposic¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. Se σ = (1) enta˜o σ = (ab) ◦ (ab). Se σ 6= (1) enta˜o existem ciclos
disjuntos σ1, . . . , σm, tais que σ = σ1 ◦ · · · ◦σm. Agora, todo r-ciclo (a1, . . . , ar) pode ser escrito
como (a1ar) ◦ (a1ar−1) ◦ · · · ◦ (a1a2). Agora utilize o teorema acima. ¤
Definic¸a˜o 6.9. A func¸a˜o sinal sgn : Sn → {−1,+1} e´ definida por:
sgn(σ) :=
 +1, se σ e´ par ;−1, se σ e´ ı´mpar.
6. GRUPO DAS PERMUTAC¸O˜ES 37
Proposic¸a˜o 6.10. A func¸a˜o sinal e´ um homomorfismo de grupos, i.e´.
Demonstrac¸a˜o. Sejam σ, τ ∈ Sn. Enta˜o pσ = (sgnσ)p e pτ = (sgnτ)p. Como,
pσ◦τ = (pσ)τ = ((sgnτ)p)σ = (sgn(τ))pσ = (sgn(τ)sgn(σ))p,
segue que sgn(σ ◦ τ) = sgn(σ).sgn(τ). Logo, sgn e´ um homomorfismo. ¤
6.2. Exerc´ıcios.
(1) Mostre que
(a) Se σ e´ um transposic¸a˜o enta˜o sgn(σ) = −1
(b) Se σ = (a1 · · · ar) enta˜o sgn(σ) = (−1)r−1.
(2) Determine as ordens e os sinais dos elementos de D4.
(3) Se σ = (135)(12) e τ = (1579), determine σ ◦ τ ◦ σ−1.
Definic¸a˜o 6.11. O grupo alternado de grau n e´ An := ker(sgn) = {σ ∈ Sn | σ e´ par}.
Proposic¸a˜o 6.12. An £ Sn.
Aplicac¸a˜o. Seja Mn×n(R) = {(aij) | aij ∈ R}. A func¸a˜o determinante sobre Mn×n(R) e´
definida por:
det :Mn×n(R)→ R
(aij)→
∑
σ∈Sn
sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n).
CAP´ıTULO 6
Ane´is e Corpos
Definic¸a˜o 0.13. Seja A 6= ∅ um conjunto munido de duas operac¸o˜es + : A × A → A e
· : A× A→ A. Dizemos que A e´ um anel se as seguintes condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
(1) (A,+) e´ um grupo abeliano.
(2) ∀a, b, c ∈ A; (a · b) · c = a · (b · c).
(3) ∀a, b, c ∈ A; a · (b+ c) = a · b+ a · c e (b+ c) · a = b · a+ c · a.
Se ale´m disso, a · b = b · a para todo a, b ∈ A, diremos que A e´ um anel comutativo. Se
existe 1 ∈ A tal que ∀a ∈ A; a · 1 = a = 1 · a, diremos que A e´ um anel com unidade 1.
Notac¸a˜o. Durante este cap´ıtulo, (A,+, ·) denotara´ um anel e 0 = 0A, o elemento neutro da
adic¸a˜o.
Observac¸a˜o. Se 0 = 1, enta˜o A = {0}; de fato para todo x ∈ A, temos x = x · 1 = x · 0 = 0.
Exemplos.
(1) (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) e (Zm,⊕,¯), m > 1 sa˜o ane´is comutativos com
unidades.
(2) R[x] := {∑ni=1 aixi | ai ∈ R, n ∈ N} e´ um anel comutativo com unidade.
(3) Mn(R) = {(aij) | aij ∈ R} e´ um anel na˜o comutativo com unidade In.
(4) Seja F(R,R) := {f : R → R | f e´ uma func¸a˜o}. Este conjunto munido de soma e
produto dde func¸o˜es e´ um anel comutativo com unidade 1F(R,R) = 1. (1(x) = 1 para
todo x ∈ R.) Observe que na˜o teremos um anel se considerarmos composic¸a˜o em lugar
de produto, pois em geral
f ◦ (g + h) 6= f ◦ g + f ◦ h.
(5) Seja L(Rn) := {T : Rn → Rn | T e´ uma transformac¸a˜o linear}. Este conjunto munido
de soma e composic¸a˜o e´ um anel na˜o comutativo com unidade 1L(Rn) = idRn
Definic¸a˜o 0.14. Sejam (A,+, ·) um anel e ∅ 6= B ⊆ A. Dizemos que B e´ um subanel de
A se (B,+, ·) e´ um anel. Neste caso escrevemos B 6 A.
39
40 6. ANE´IS E CORPOS
Proposic¸a˜o 0.15. Sejam A um anel e ∅ 6= B ⊆ A. Enta˜o B e´ um subanel de A se e
somente se, para todo a, b ∈ B; a− b ∈ B e a · b ∈ B.
Definic¸a˜o 0.16. Seja (K,+, ·) um anel comutativo com unidade 1. Dizemos que K e´ um
corpo se para todo a ∈ K \ {0}, existe a−1 ∈ K, tal que a · a−1 = 1.
Observac¸a˜o. Se (K,+, ·) e´ um corpo enta˜o (K \ {0},+, ·) e´ um grupo abeliano.
Definic¸a˜o 0.17. Seja (K,+, ·) um corpo e ∅ 6= L ⊆ K. Dizemos que L e´ um subcorpo de
K se (L,+, ·) e´ um corpo.
Proposic¸a˜o 0.18. Sejam K um corpo e ∅ 6= L ⊆ K. Enta˜o, L e´ um subcorpo de K se e
somente se, para todo a, b ∈ L; a− b e a · b ∈ L e para todo a ∈ L \ {0}; a−1 ∈ L.
Exemplos.(1) (Q,+, ·), (R,+, ·) e (C,+, ·) sa˜o corpos.
(2) Z[i] := {a+ bi | a, b ∈ Z} e´ um subanel de C, chamado de anel dos inteiros de Gauss.
(3) Q[i] := {a+ bi | a, b ∈ Q} e´ um subcorpo de C.
(4) Q[
√
p] = {a + b√p | a, b ∈ Q} e´ um subcorpo de R se p > 0 e e´ um subcorpo de C se
p < 0.
1. Domı´nios e Corpo de Frac¸o˜es
1.1. Domı´nios.
Definic¸a˜o 1.1. Seja (A,+, ·) um anel comutativo com unidade. Dizemos que A e´ um anel
de integridade ou domı´nio de integridade ou simplesmente domı´nio se A satisfaz a seguinte
condic¸a˜o:
a · b = 0⇒ a = 0 ou b = 0.
Se A na˜o e´ um domı´nio enta˜o existem a, b ∈ A tais que a · b = 0, mas a 6= 0 e b 6= 0. Tais
elementos sa˜o chamados de divisores pro´prios do zero.
Exemplos.
(1) Todo corpo e´ um domı´nio.
(2) Zm e´ um domı´nio, se o somente e m e´ um nu´mero primo.
(3) Se A e´ um domı´nio enta˜o A[x] = {∑ni=1 aixi | ai ∈ A, n ∈ N} e´ um domı´nio. (Anel dos
Polinoˆmios com coeficientes em A na varia´vel x)
1. DOMI´NIOS E CORPO DE FRAC¸O˜ES 41
1.2. Exerc´ıcios.
(1) Num anel de integridade, resolva as equac¸o˜es x2 = x e x2 = 1.
(2) Sejam f, g : R → R tais que f(x) = x + |x| e g(x) = x − |x|. Mostre que f e g sa˜o
divisores pro´prios do zero.
(3) Seja A um anel e 0 6= a ∈ A. Mostre que (a, 0) e (0, a) sa˜o divisores pro´prios do zero
de A× A.
(4) Seja (A,+, ·) um anel. Verifique se
(a) B = {x ∈ A | ∀y ∈ A; x · y = y · x} e´ um subanel de A.
(b) B = {x ∈ A | x2 = x} e´ um subanel de A.
(5) Quais sa˜o os divisores de zero e os elementos invert´ıveis de Z4 e Z2 × Z3.
(6) Defina a ∗ b = a + b − 1 e a ◦ b = a + b − ab. Mostre que (Z, ∗, ◦) e´ um domı´nio e
(Q, ∗, ◦) e´ um corpo.
(7) Seja p um nu´mero primo. Mostre que A = {a
b
∈ Q | p - b} e´ um subanel, mas na˜o e´
um subcorpo de Q.
1.3. Corpo de Frac¸o˜es. Seja (A,+, ·) um domı´nio. Definimos a seguinte relac¸a˜o sobre
A× A \ {0};
(a, b) ∼ (c, d)⇔ a · d = b · c
Claramente esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Denotamos a classe de (a, b) por a
b
e
seja K = (A× A \ {0})/ ∼. Agora definimos as seguintes operac¸o˜es sobre K;
a
b
+
c
d
:=
ad+ bc
bd
e
a
b
· c
d
:=
ac
bd
Essas operac¸o˜es esta˜o bem definidas e (K,+, ·) e´ um corpo.
Definic¸a˜o 1.2. Sejam A um domı´nio, o corpo obtido na construc¸a˜o acima e´ chamado de
corpo de frac¸o˜es de A, denotado por cf(A).
Observac¸o˜es.
• Via aplicac¸a˜o injetora f : A → K, a 7→ a
1
, os elementos de A podem ser identificados
como os elementos da Imf e podemos dizer que A e´ um subconjunto de K.
• O corpo de frac¸o˜es de A e´ o menor corpo contendo A.
42 6. ANE´IS E CORPOS
Exemplos.
(1) cf(Z) = Q.
(2) Seja Z[
√
n] := {a+ b√n | a, b ∈ Z}, onde n e´ livre de quadrados. Enta˜o cf(Z[√n]) =
Q[
√
n].
2. Ideais de um Anel Comutativo
Definic¸a˜o 2.1. Sejam A um anel comutativo e ∅ 6= I ⊆ A. Dizemos que I e´ um ideal de
A se
∀x, y ∈ I, x− y ∈ I e ∀a ∈ A, x ∈ I, ax ∈ I.
Observac¸o˜es. Seja A um anel comutativo com unidade 1.
• Se 1 ∈ I enta˜o I = A.
• Todo ideal e´ um subanel, mas a rec´ıproca na˜o vale; por exemplo {∑ni=0 aix2i | ai ∈ Z, n ∈
N} e´ subanel de Z[x] mas na˜o e´ ideal.
Exemplos.
(1) {0} e A sa˜o ideais de A, chamados de ideais triviais de A.
(2) Sejam x1, . . . , xn ∈ A. O conjunto
(x1, . . . , xn) := {a1x1 + . . .+ anxn | a1, . . . , an ∈ A}
e´ um ideal de A, chamado de ideal gerado por x1, . . . , xn. Quando n = 1, este ideal e´
chamado de ideal principal gerado por x1.
2.1. Exerc´ıcios.
(1) Seja K um domı´nio. Mostre que K e´ um corpo se e somente se os u´nicos ideais de K
sa˜o os triviais.
(2) Sejam A um anel comutativo com unidade e I, J ideais de A. Mostre que I ∩ J e´ o
maior ideal de A contido em I e J . Define-se I + J := {x+ y | x ∈ I, y ∈ J}. Mostre
que I + J e´ o menor ideal de A contendo I e J .
(3) Seja A = {f : R → R | ∀x ∈ R, f(x) ∈ Q} ⊂ F(R,R) Mostre que A e´ um subanel de
F(R,R), mas na˜o e´ um ideal de F(R,R).
(4) Seja p um nu´mero primo. Mostre que I = {a
b
∈ Q | p | a, p - b} e´ um ideal de Q.
(5) Dados (A,+, ·) um anel comutativo com unidade e a ∈ A. Mostre que:
(a) B = {x ∈ A | ∀a ∈ A, a · x = x · a} e´ um subanel de A.
(b) I = {x ∈ A | a · x = 0} e´ um ideal de A.
3. HOMOMORFISMOS DE ANE´IS 43
(6) Em cada item, verifique se o conjunto dado e´ subanel ou ideal de Z[x].
(a) {∑ni=1 aixi ∈ Z[x] | a0 ∈ 2Z, n ∈ N}.
(b) {∑ni=1 aixi ∈ Z[x] | a0 = 0, n ∈ N}.
(c) {∑ni=1 aixi ∈ Z[x] | a0 + a1 = 0, n ∈ N}.
(7) Sejam A um anel comutativo com unidade e I e´ um ideal de A. Seja J := {x ∈ A |
∀a ∈ A, xa ∈ I}. Mostre que J £ A e I ⊆ J .
(8) Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A. Mostre que
√
I := {a ∈
A | ∃n ∈ N, anI} e´ um ideal de A e I ⊆ √I. ( Este ideal e´ chamado de ideal radical
de I.)
3. Homomorfismos de Ane´is
Definic¸a˜o 3.1. Sejam A e B ane´is. Uma func¸a˜o f : A→ B e´ um homomorfismo de ane´is
se
∀x, y ∈ A; f(x+ y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
O nu´cleo de f e´ ker f := {x ∈ A | f(x) = 0B}.
Dizemos que f e´ monomorfimo (resp. epimorfismo) se f e´ injetora (resp. sobrejetora). Se
f for uma bijec¸a˜o, diremos que f e´ um isomorfismo e escrevemos A ' B.
Proposic¸a˜o 3.2. Seja f : A→ B um homomorfismo de ane´is.
(1) ker f £ A e Imf 6 B.
(2) f e´ injetora se e somente se ker f = {0A}.
3.1. Exerc´ıcios.
(1) Seja f : A → B um homomorfismo de ane´is comutativos com unidades 1A e 1B
respectivamente.
(a) Se f e´ um epimorfismo enta˜o f(1A) = 1B.
(b) Se I £ A enta˜o f(I) na˜o e´ necessariamente um ideal de B.
(c) Se J £B enta˜o f−1(J)£ A.
(2) Sejam A um anel e Aut(A) := {f : A → A | f e´ um isomorfismo}. Prove que
(Aut(A), ◦) e´ um grupo.
(3) Seja f : A → B um homomorfismo de ane´is comutativos com unidade. Se B e´ um
domı´nio e f 6= 0, enta˜o f(1A) = 1B.
44 6. ANE´IS E CORPOS
(4) Verificar se as seguintes aplicac¸o˜es sa˜o homomorfismo de ane´is e no caso afirmativo
determine o nu´cleo.
(a) f : Z× Z→ Z dada por f(x, y) = y.
(b) f : C→ C dada por f(a+ bi) = a− bi.
(c) f : Z× Z→ Z× Z dada por f(x, y) = (0, y).
(d) f : Z→ Z dada por f(x) = 2x.
(5) Mostrar que L =

 a 0
0 b
 | a, b ∈ R
 6 M2(R), comutativo e com unidade.
Mostre que na˜o existe um isomorfismo de ane´is f : C→ L.(Dica: Usar f(−1) = −f(1)
e f(−1) = f(i.i))
4. Ane´is Quocientes e Teorema de Isomorfismo
4.1. Ane´is Quocientes. Sejam A um anel comutativo e I£A. Seja A/I := {a+I | a ∈ A}
e defina:
(a+ I) + (b+ I) := (a+ b) + I e (a+ I) · (b+ I) := (ab) + I.
Essas operac¸o˜es esta˜o bem definidas e A/I munido dessas operac¸o˜es e´ um anel comuttivo,
chamado de anel quociente de A por I. Se A e´ um anel com unidade enta˜o A/I e´ com unidade,
1A/I = 1A + I.
Notac¸a˜o. Em lugar de a+ I, escrevemos a¯.
4.2. Teorema de Isomorfiso.
Teorema 4.1. Seja f : A→ B um homomorfismo de ane´is, enta˜o A/ ker f ' Imf .
Demonstrac¸a˜o. Seja f¯ : A/ ker f → Imf tal que f¯(x¯) = f(x). Primeiro mostremos que
f¯ esta´ bem definida e injetora;
x¯ = y¯ ⇔ x− y ∈ ker f ⇔ f(x− y) = 0B ⇔ f(x) = f(y)⇔ f¯(x¯) = f¯(y¯).
Claramente f¯ e´ sobrejetora e temos
f¯(x¯+ y¯) = f(x+ y) = f(x) + f(y) = f¯(x¯) + f¯(y¯)
e
f¯(x¯y¯) = f¯(xy) = f(xy) = f(x)f(y) = f¯(x¯)f¯(y¯)
Portanto, f e´ um isomorfismo de ane´is.
¤
4. ANE´IS QUOCIENTES E TEOREMA DE ISOMORFISMO 45
Exemplos.
(1) Z/(n) ' Zn.
(2) Z[x]/(x) ' Z.
(3) R[x, y] = {∑ni=0∑mj=0 aijxiyj | aij ∈ R;n,m ∈ N}. Enta˜o, R[x, y]/(x) ' R[y].
(4) Z[x]/(m,x) ' Zm.
4.3. Exerc´ıcios.
(1) Seja f : Zm → Zn tal que n | m, definida por f(x¯) = y¯, se x ≡ y(modn). Mostre que
f e´ um homomorfismo de ane´is.
(2) Seja f : C→M2(R) dada por f(a+ bi) =
 a −b
b a
. Mostre que f e´ um monomor-
fismo.
(3) Sejam A um domı´nio, 0 6= a ∈ A e f : A → A tal que f(x) = ax. Mostre que f e´
injetora. Quando f e´ um homomorfismo de ane´is?
(4) Mostre que f : Z→Zp dada por f(a) = a¯p e´ um homomorfismo de ane´is.
(5) Seja f : Z[
√
2] → Z[√2] definida por f(a + b√2) = a − b√2. Mostre que f e´ um
isomorfismo de ane´is.
(6) Se p, q sa˜o nu´meros primos e p 6= q enta˜o Q[√p] e Q[√q] na˜o sa˜o isomorfos.
(7) Mostre Aut(Q[√p]) = {idQ[√p], σ}, onde σ(a+ b√p) = a− b√p.
(8) Sejam A um corpo e f : A→ B um homomorfismo de ane´is. Prove f e´ um monomor-
fismo ou f e´ nulo.
(9) Seja (Z×Z,+, ·) um anel, onde (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d) e (a, b)·(c, d) = (ac, ad+bc).
Mostre que
(a) Z× 2Z 6 Z× Z.
(b) Se f : Z× Z→ Z× 2Z tal que f(x, y) = (x, 2y), enta˜o f e´ um epimorfismo.
(10) Seja A um anel e a ∈ A invert´ıvel. Seja fa : A → A tal que fa(x) = axa−1. Mostre
que fa e´ um isomorfismo e determine a sua inversa.
(11) Mostre que (Q, ∗, ◦) e´ um corpo, onde a ∗ b := a + b + 1 e a ◦ b = a + b + ab. Seja
f : (Q,+, ·)→ (Q, ∗, ◦) tal que f(x) = x− 1. Mostre que f e´ um isomorfismo.
(12) Considere o epimorfismo de ane´is f : Z× Z→ Z dado por f(x, y) = y. Determinar o
ker f e prove que (Z× Z)/ ker f ' Z.
(13) Mostre que Z[x]/(m) ' Zm[x] e Z[
√
2]/(
√
2) ' Z2.
46 6. ANE´IS E CORPOS
5. Domı´nios Principais
Definic¸a˜o 5.1. Um domı´nio A e´ principal se todo ideal de A e´ principal; i.e´, se I e´ um
ideal de A enta˜o I = (a), para algum a ∈ A.
5.1. Exerc´ıcios. Tente definir os conceitos de divisibilidade, maior divisor comum e menos
mu´ltiplo comum em um domı´nio qualquer.
(1) Sejam A um domı´nio e a, b ∈ A \ {0}. Enta˜o a | b⇔ (b) = (a).
(2) a | b e b | a⇔ (a) = (b)⇔ a = ub, para algum u invert´ıvel em A.
Teorema 5.2. Se A e´ um domı´nio principal e a, b ∈ A, enta˜o (a) + (b) = (d), onde
d = mdc(a, b).
Demonstrac¸a˜o. Como A e´ pincipal, existe d ∈ A tal que (a) + (b) = (d). Mostremos que
d = mdc(a, b).
Temos
a ∈ (a) ⊆ (a) + (b) = (d)⇒ d | a.
Da mesma forma d | b. Por outro lado
d ∈ (d) = (a) + (b)⇒ ∃r, s ∈ A  d = ar + bs.
Agora se d′ ∈ A tal que d′ | a e d′ | b, enta˜o d′ | ar+bs ou seja d′ | d. Portanto d = mdc(a, b). ¤
Observac¸a˜o. Se d = mdc(a, b) enta˜o d = ar+ bs. Essa igualdade e´ chamada de identidade de
Be´zout.
Teorema 5.3. O anel dos inteiros Z e´ um domı´nio principal.
Demonstrac¸a˜o. Seja I £ Z. Se I = {0} enta˜o I = (0). Se I 6= {0} enta˜o a ∈ I tal que
a 6= 0. Podemos supor que a > 0, pois caso contra´rio consideramos −a ∈ I. Enta˜o I ∩N 6= ∅ e
limitado inferiormente. Assim, pelo PBO, existe d = min I. Mostremos que I = (d).
Como, d ∈ I segue que (d) ⊆ I. Agora seja x ∈ I. Pelo algoritmo da divisa˜o que x = dq+r,
onde 0 ≤ r < d. Como r = x − dq ∈ I e d = min I, temos que r = 0, portanto, x = dq. Da´ı,
x ∈ (d). Enta˜o I = (d). ¤
6. ANEL DE POLINOˆMIOS SOBRE UM CORPO 47
6. Anel de Polinoˆmios sobre um Corpo
Outro exemplo muito importante de domı´nios principais e´ o anel de polinoˆmios sobre um
corpo. A seguir estudamos este exemplo.
Seja K um corpo e considere K[x] = {∑ni=0 aixi | ai ∈ K;n ∈ N}. Este anel e´ um domı´nio.
A func¸a˜o grau e´ definida por
deg : K[x]→ N
n∑
i=0
aix
i 7→ n, onde n e´ o maior inteiro tal que an 6= 0.
Teorema 6.1. (Algoritmo da Divisa˜o) Sejam f, g ∈ K[x] tal que g 6= 0. Enta˜o existem
q, r ∈ K[x] tais que f = g.q + r, onde r = 0 ou deg r < deg g.
Corola´rio 6.2. Sejam f ∈ K[x] \K e a ∈ K. Enta˜o f(a) = 0 se e somente se x− a | f .
Definic¸a˜o 6.3. Um corpo K e´ dito algebricamente fechado se todo f ∈ K[x] \K admite
todas as ra´ızes em K.
Teorema 6.4. (Teorema Fundamental da A´lgebra) O corpo dos nu´meros compleos e´ um
corpo algebricamente fechado.
Teorema 6.5. Seja K um corpo. Enta˜o K[x] e´ um domı´nio principal.
Demonstrac¸a˜o. Seja I£K[x]. Se I = {0} enta˜o I = (0). Se I 6= {0}, enta˜o existe p ∈ I,
p 6= 0 tal que deg p e´ mı´nimo em I. Mostremos que I = (p).
Claramente (p) ∈ I, pois p ∈ I. Agora se f ∈ I, pelo algoritmo da divisa˜o existem
q, r ∈ K[x] tais que f = p.q + r, onde r = 0 ou deg r < p. Como r = f − pq ∈ I, enta˜o pela
minimalidade do grau de p, temos que r = 0 ou seja f = pq. Portanto f ∈ (p). Da´ı conclu´ımos
que I = (p). Logo K[x] e´ principal. ¤
Exemplos.
(1) Q[x],R[x] e C[x] sa˜o principais.
(2) Z[x] na˜o e´ principal. Por exemplo o ideal gerado por 2 e x na˜o e´ principal.
(3) Seja K um corpo, enta˜o K[x, y] na˜o e´ principal. Por exemplo o ideal (x, y) na˜o e´
principal,
48 6. ANE´IS E CORPOS
7. Ra´ızes de um Polinoˆmio
Durante essa sec¸a˜o K reresenta um subcorpo de C.
Definic¸a˜o 7.1. Um elemento α ∈ C e´ uma raiz de multiplicidade k, k ≥ 1 se k e´ o maior
interiro tal que (x− α)k | f . Neste caso escrevemos (x− α)k ‖ f . Se k = 1, k = 2, k = 3, etc.
diremos respectivamente que α e´ uma raiz simples, dupla, tripla, etc.
Definic¸a˜o 7.2. Seja f = a0+a1x+ ·+anxn ∈ K[x]. A derivada de f e´ definida e denotada
por f ′ = a1 + 2a2x+ · · ·+ nanxn−1.
Proposic¸a˜o 7.3. α ∈ C e´ uma raiz simples de f se e somente se f ′(α) 6= 0.
Demonstrac¸a˜o. Temos
f(α) = 0⇔ x− α | f ⇔ ∃q ∈ K[x] tal que f = (x− α)q
Agora f ′ = (x−α)q′+ q, enta˜o f ′(α) = q(α). Logo, α e´ uma raiz simples de f se e somente
se f(α) = 0 e q(α) 6= 0 ou seja f ′(α) 6= 0. ¤
Exemplos.
(1) Seja f = xn − 1 ∈ C[x]. Temos que f(ωr) = 0, r = 0, . . . , n− 1, onde ω = e 2piin . Como
f ′ = nxn−1 e f ′(ωr) 6= 0, seque que 1, ω, ω2, . . . , ωn−1 sa˜o ra´ızes simples de f .
(2) Em geral todas as ra´ızes de f = xn−α ∈ C[x], α > 0, sa˜o n√α, n√αω, n√αω2, . . . , n√αωn−1,
onde ω = e
2pii
n .
8. Polinoˆmios Irredut´ıveis
Durante essa sec¸a˜o, sempre K representa um corpo.
Definic¸a˜o 8.1. Seja 0 6= f ∈ K[x]. Dizemos que f e´ irredut´ıvel em K, se f 6∈ K e se
f = gh com g, h ∈ K[x] enta˜o g ∈ K ou h ∈ K; i.e´, f na˜o admite nenhum divisor g tal que
0 < deg g < deg f .
Observac¸o˜es.
(1) Se deg f = 1, enta˜o f e´ irredut´ıvel.
(2) Se deg f = 2 ou deg f = 3 tal que f na˜o tem ra´ızes em K enta˜o f e´ irredut´ıvel em K.
(3) Seja f ∈ R[x] enta˜o f e´ irredut´ıvel se e somente se deg f = 1 ou f = ax2 + bx + c tal
que a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac < 0.
(4) Seja f ∈ C[x], enta˜o f e´ irredut´ıvel se e somente se deg f = 1.
8. POLINOˆMIOS IRREDUTI´VEIS 49
8.1. Crite´rios de Irredutibilidade.
Definic¸a˜o 8.2. Seja f = a0+a1x+· · ·+anxn ∈ Z[x]. O nu´mero c(f) = mdc(a0, a1, . . . , an)
e´ chamado de conteu´do de f . Se c(f) = 1, diremos que f e´ primitivo.
Admitiremos o seguinte lema1.
Lema 8.3. (Gauss) Seja f ∈ Z[x] com c(f) = 1. Se f e´ irredut´ıvel sobre Z enta˜o f e´
irredut´ıvel sobre Q.
8.1.1. Crite´rio de Eisenstein (C.E.). Seja f = a0 + · · · + anxn ∈ Z[x]. Se existir p um
nu´mero primo tal que para todo 0 ≤ i ≤ n − 1, p | ai, p - an e p2 - a0. Enta˜o f e´ irredut´ıvel
sobre Q .
Demonstrac¸a˜o. Podemos supor quemdc(a0, a1, . . . , an) = 1, pois colocando em evideˆncia
mdc(a0, a1, . . . , an) os seus coeficientes satisfazem as condic¸o˜es acima. Assim, pelo lema de
Gauss basta provarmos que f e´ irredut´ıvel sobre Z.
Suponha que f seja redut´ıvel; i.e´, f = gh com g, h ∈ Z[x] com 1 ≤ deg g < deg f e
1 ≤ deg h < deg f . Pondo g = ∑ri=0 bixi e h = ∑si=0 cixi temos que ak = ∑i+j=k bicj. Como
p | a0 = b0c0 temos p | b0 ou p | c0 e na˜o ambos pois p2 - a0. Sem perder generalidade, suponha
que p | c0 e p - b0. Temos ainda p - an = brcs, enta˜o p - br e p - cs. Assim, p | c0 e p - cs enta˜o
existe o menor t tal que tal que p - ct.
Se t < n enta˜o b0ct = at − (b1ct−1 + · · · + btc0). Pela escolha de t temos que p | (b1ct−1 +
· · · + btc0) e por hipo´tese p | at, destes fatos segue que p | b0ct, e isto na˜o ocorre pois p - b0 e
p - ct. Logo, t = n. Sendo s ≤ n = t ≤ s conclu´ımos que n = s. Da´ı, deg h = deg f e enta˜o
deg g = 0. Portanto, f e´ irredut´ıvel em Z. ¤
Exemplos.
(1) Dado f = x5 − 6x3 + 12x2 − 4x+ 6 ∈ Z[x]. Tome p = 2. Temos as condic¸o˜es do C.E.
satisfeitas e portanto f e´ irredut´ıvel sobre Q.
(2) f = xn − p, onde p um nu´mero primo, e´ irredut´ıvel sobre Q pelo C.E.8.1.2. Sejam f ∈ K[x] e a ∈ K. Enta˜o f e´ irredut´ıvel sobre K se e somente se f(x+ a) e´
irredut´ıvel sobre K.
1Este lema sera´ provado em A´lgebra II, em domı´nios chamados de Domı´nios Fatoriais.
50 6. ANE´IS E CORPOS
Demonstrac¸a˜o. Claramente φa : K[x] → K[x] tal que φa(f(x)) = f(x + a) e´ um iso-
morfismo. Suponha f = gh, g, h ∈ K[x] enta˜o φa(f) = φa(g)φa(h). Como ∀p ∈ K[x]; deg p =
deg(φa(p)), segue que f e´ irredut´ıvel sobre K se e somente se φa(f) e´ irredut´ıvel sobre K. ¤
Exemplo. Seja Φp(x) = x
p−1+xp−2+ · · ·+x+1, onde p e´ um nu´mero primo. Temos que Φp
e´ irredut´ıvel sobre Q. De fato, Φp(x) = x
p−1
x−1 , enta˜o
Φp(x+ 1) =
(x+ 1)p − 1
x
= xp−1 +
 p
1
xp−2 + · · ·+
 p
p− 2
x+
 p
p− 1
 .
Como, p |
 p
i
, para todo 1 ≤ i ≤ p− 1 e p2 - p =
 p
p− 1
 segue pelo C.E. que Φp(x+1)
e´ irredut´ıvel sobre Q e portanto p e´ irredut´ıvel sobre Q.
8.1.3. Sejam p um nu´mero primo e ϕ : Z[x]→ Zp[x] definida por
f(x) = a0 + · · ·+ anxn 7→ f(x) := a0 + · · ·+ anxn.
Suponha que p - an e f e´ irredut´ıvel sobre Zp enta˜o f e´ irredut´ıvel sobre Z.
Demonstrac¸a˜o. Claramente ϕ e´ um homomorfismo. Suponha que f = gh com g, h ∈
Z[x]. Enta˜o f = gh. Pondo g =
∑r
i=0 bixi e h =
∑s
i=0 cix
i temos que an = brcs. Como p - an,
p - br e p - cs, da´ı deg g = deg g e deg h = deg h. Da irredutibilidade de f¯ sobre Zp conclu´ımos
que deg g = 0 ou deg h = 0. Da´ı deg g = 0 ou deg h = 0, e com isto conclu´ımos que f e´
irredut´ıvel sobre Z. ¤
Exemplos.
(1) Seja f = x3 + 6x2 + 5x+ 25 ∈ Z[x]. Tomando p = 3 obtemos f¯ = x3 + 2x+ 1 ∈ Z3[x].
Como, f(0) = f(1) = f(2) = 1 e deg f = 3, segue que f e´ irredut´ıvel sobre Z3. Logo,
f e´ irredut´ıvel sobre Z.
(2) Seja f = x4 + 10x3 + 15x2 + 2 ∈ Z[x]. Tomando p = 5, f = x4 + 2 ∈ Z5[x].
Como f(0) = 2, f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 3, f na˜o tem ra´ızes em Z5 ou seja
na˜o pode ser decomposto em produto de polinoˆmios de grau 1 e 3. Suponha que
f = (x2 + ax+ b)(x2 + cx+ d) temos enta˜o
8. POLINOˆMIOS IRREDUTI´VEIS 51

a+ c = 0, (i)
ad+ bc = 0, (ii)
d+ ac+ b = 0, (iii)
bd = 2, (iv)
De (ii) e (iii) conclu´ımos a = 0 ou b = d.
• a = 0⇒ c = 0 iii⇒ d = −b iv⇒ b2 = −2 = 3.
• b = d iv⇒ b2 = 2.
Mas como na˜o existe x ∈ Z5 tal que x2 = 2 ou x2 = 3, segue que f na˜o pode
ser decomposto em produto de polinoˆmios de grau 2. Logo f e´ irredut´ıvel em Z5 e
portanto f e´ irredut´ıvel em Z.
Definic¸a˜o 8.4. Sejam K ⊆ L corpos e α ∈ L. Dizemos que α e´ alge´brico sobre K se existe
0 6= f ∈ K[x] tal que f(α) = 0. Caso contra´rio α e´ dito transcendente sobre K. O polinoˆmio
moˆnico 0 6= p ∈ K[x] de menor grau tal que p(α) = 0 e´ chamado de polinoˆmio minimal de α
sobre K, denotado por irrα|K
Observac¸a˜o. Temos claramente que irrα|K e´ irredut´ıvel sobre K.
Exemplos.
(1) Seja α = 3
√
2. Temos que α3 = 2 e portanto para p = x3 − 2 ∈ Q[x] temos p(α) = 0.
Pelo C.E., p e´ irredut´ıvel e assim, p = irrα|Q.
(2) Seja α =
√
1 +
√
5. Temos
α2 = 1 +
√
5⇒ (α2 − 1)2 = 5⇒ α4 − 2α2 − 4 = 0.
Enta˜o p = x4 − 2x2 − 4 ∈ Q[x] tal que p(α) = 0. Mostremos que p = irrα|Q. Para
isso utilizamos o crite´rio (8.1.3). Tome p = 3, enta˜p p = x4 − 2x2 − 1 ∈ Z3[x].
Como p na˜o admite ra´ızes em Z3, na˜o tem fatores de grau 1 ou 3. Suponha que
p = (x2 + ax+ b)(x2 + cx+ d). Enta˜o

a+ c = 0
ad+ bc = 0
d+ ac+ b = 1
bd = 2
52 6. ANE´IS E CORPOS
Este sistema na˜o tem soluc¸a˜o em Z3; i.e´, p na˜o se fatora em produto de polinoˆmios
de graus 2. Assim, p e´ irredut´ıvel em Z3[x]. Enta˜o p e´ irredut´ıvel sobre Z e pelo lema
de Gauss e´ irredut´ıvel sobre Q.
8.2. Exerc´ıcios.
(1) Mostre que os polinoˆmios abaixo sa˜o irredut´ıveis sobre Q.
(a) f = xn − p, p e´ um primo.
(b) f = x3 + 6x2 + 5x+ 25 (Dica : use Z3[x])
(c) f = x3 + 6x+ 1 (Dica: use f(x− 1))
(d) f = x4 + x3 + x2 + x+ 1.
(2) Seja f ∈ K[x], irredut´ıvel. Mostre que:
(a) Se 0 6= g ∈ K[x] e f - g enta˜o mdc(f, g) = 1.
(b) Se g, h ∈ K[x] tais que f | gh enta˜o f | g ou f | h.
(3) Seja f ∈ Q[x], irredut´ıvel. Seja α ∈ C tal que f(α) = 0. Mostre se g ∈ Q[x] tal que
g(α) = 0 enta˜o g ∈ (f) .
(4) Mostre que todo elemento de Zp e´ raiz do polinoˆmio f = xp − x.
(5) Determine o polinoˆmio minimal de
√
2 +
√
3, n
√
p e e
2pii
p , sobre Q. (p e´ um primo.)
Apeˆndice 1
Induc¸a˜o Finita
Dado a ∈ N , seja P (n) uma sentenc¸a associada a cada n ∈ N, com n ≥ a. Se as condic¸o˜es
abaixo sa˜o verificadas:
(1) P (a) e´ verdadeira.
(2) Se P (k) e´ verdadeira para k ≥ a, enta˜o P (k + 1) tambe´m e´ verdadeira.
Enta˜o P (n) e´ verdadeira para todo n ≥ N tal que n ≥ a.
Demonstrac¸a˜o. Seja S := {x ∈ N | x ≥ a e P (x) seja falsa}. Mostremos que S = ∅. Se
S 6= ∅, como S e´ limitado inferiormente enta˜o pelo PBO, existe b = minS. Como por (1), P (a)
e´ verdadeira, temos que b > a. Sendo, b = minS conclu´ımos que P (x) e´ verdadeira para todo
x ∈ Z tal que a ≤ x < b. Enta˜o por (2) segue que P (b) e´ verdadeira, o que e´ um absurdo pois
b ∈ S. ¤
Observac¸a˜o. Substituindo-se (2) por
(2)’ Dado r > a, se P (k) e´ verdadeira para todo k, a ≤ k < r, enta˜o P (r + 1) tambe´m e´
verdadeira.
o teorema se mante´m verdadeiro.
Teorema Fundamental da Aritme´tica
Seja a ∈ Z, a 6= 0,±1. Enta˜o existem u´nicos nu´meros primos positivos p1, . . . , pn (a menos
da ordem) tais que a = ±p1 · · · pn.
Demonstrac¸a˜o. Provaremos o teorema usando a induc¸a˜o. Se a e´ um nu´mero primo, nada
ha´ para provar. Suponha enta˜o que a na˜o seja um nu´mero primo. Seja S = {x ∈ Z | x > 1, x |
a}. Temos que S 6= ∅, pois a ∈ S ou −a ∈ S. Como S e´ limitado inferiormente, enta˜o pelo
PBO, existe p = minS. Calaramente p e´ um nu´mero primo. Assim, p | a, enta˜o existe q ∈ Z
tal que a = bp com 0 < |b| < |a|. Pela hipo´tese da induc¸a˜o, existem u´nicos nu´meros primos
positivos p1, . . . , pr tais que b = ±p1 · · · pr e da´ı, a = bp = ±p1 · · · pn.
53
54 APEˆNDICE 1
Para a unicidade; se existem nu´meros primos positivos q1, . . . , qm tais que a = ±q1 · · · qm,
enta˜o p1 · · · pn = q1 · · · qm, enta˜o p1 | q1 · · · qm, da´ı existe i tal que p1 | qi ou qi = p1. Reordenando
os qi’s, podemos supor que i = 1 e da´ı, p2 · · · pn = q2 · · · qm. Usando o argumento acima
repetidas vezes, conclu´ımos que n = m e qi = pi, i = 1, · · · , n. ¤
Apeˆndice 2
Func¸a˜o de Euler
Como ja´ vimos a func¸a˜o de Euler e´ uma func¸a˜o φ : N→ N dada por
ϕ(n) = #{m ∈ N | 1 ≤ m < n tal que mdc(m,n) = 1}.
Teorema 8.5. Se mdc(m,n) = 1 enta˜o φ(mn) = φ(m)φ(n).
Demonstrac¸a˜o. Considere os nu´meros de 1 ate´ mn dispostos como na tabela abaixo.
1 m+ 1 2m+ 1 · · · · · · (n− 1)m+ 1
2 m+ 2 2m+ 2 · · · · · · (n− 1)m+ 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
r m+ r 2m+ r · · · · · · (n− 1)m+ r
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
m 2m 3m · · · · · · mn
Cada elemento x dessa tabela e´ da forma x = km+ r, 0 ≤ k ≤ n− 1 e 1 ≤ r ≤ m.
Afirmac¸a˜o 1. Se mdc(x,m) = 1 enta˜o mdc(r,m) = 1.
De fato,
d = mdc(r,m)⇒ d | r, d | m⇒ d | km+ r, d | m⇒ d | x, d | m⇒ d = 1.
Como, 1 ≤ r ≤ m, enta˜o da afirmac¸a˜o temos que φ(m) e´ o nu´mero de linhas tais que todo
x nessas linhas teˆm mdc(x,m) = 1.
Afirmac¸a˜o 2. {r,m+ r, . . . , (n− 1)m+ r} = {0, . . . , n− 1}.
Para provarmos a afirmac¸a˜o, bata provarmos que os elementos de {r,m+ r, . . . , (n− 1)m+ r}
sa˜o distintos ou seja se x = im+ r e y = jm+ r, i 6= j enta˜o x 6= y . Suponha que x = y enta˜o
x ≡ y(modn) e da´ı,
n | x− y ⇒ n | (i− j)m⇒ n | (i− j)⇒ i = j ⇒ x = y,
55
56 APEˆNDICE 2
que e´ absurdo.
Afirmac¸a˜o 3. Se mdc(x, n) = 1 e x ≡ s(modn) com 0 ≤ s < n enta˜o mdc(s, n) = 1.
De fato,
x ≡ s(modn)⇒ s = x+ nq, q ∈ Z
e
d = mdc(s, n)⇒ d | s, d | n⇒ d | s− nq, d | n⇒ d | x, d | n⇒ d = 1.
Como 0 ≤ s < n enta˜o das afirmac¸o˜es 2 e 3 temos que existem φ(n) elementos em cada
uma das φ(m)