Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Quinta Lista de Exerc´ıcios - Geometria Anal´ıtica Prof.a Mariana PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE 1. Verifique se as retas r e s sa˜o ortogonais; em caso afirmativo, verifique se sa˜o tambe´m perpendiculares. a)r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + γ(−1, 1,−1) b)r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e s : X = (−1, 1, 0) + γ(1, 0, 1) c)r : x− 1 2 = y − 3 5 = z 7 e s : X = (1, 3, 0) + γ(0,−7, 5) 2. Deˆ equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por P e e´ perpendicular a r nos casos: a) P = (2, 6, 1) e r : X = (−3, 0, 0) + λ(1, 1, 3) b) P = (1, 0, 1) e r passa por A = (0, 0,−1) e B = (1, 0, 0) 3. Ache equac¸o˜es sob forma sime´trica da reta perpendicular comum a`s retas reversas r : x = 2 + λy = λ z = −1 + λ e s : { x+ y = 2 z = 0 4. Verifique se r e´ perpendicular a pi nos casos: a)r : X = (3, 1, 4) + λ(1,−1, 1) pi : X = (1, 1, 1) + γ(0, 1, 0) + µ(1, 1, 1) b)r : X = (3, 1, 4) + λ(−1, 0, 1) pi : X = (1, 1, 1) + γ(0, 2, 0) + µ(1, 1, 1) c)r : x = 1 + 3λy = 1− 3λ z = λ e pi : 6x− 6y + 2z − 1 = 0 5. Ache equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por P e e´ perpendicular ao plano pi nos casos: a)P = (1,−1, 0) pi : X = (1,−1, 1) + γ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1) b)P = (1, 3, 7) pi : 2x− 2y + 4z = 1 6. Ache uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa por P e e´ perpendicular a` reta r nos seguintes casos: a)P = (0, 1,−1) e r : X = (0, 0, 0) + λ(1,−1, 1) b)P = (0, 0, 0) e r passa por A = (1,−1, 1) e B = (−1, 1,−1) 7. Dados os planos pi1 : x − y + z + 1 = 0 e pi2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´ ortogonal ao vetor (1,1,-1). 8. Verifique se os planos dados sa˜o perpendiculares nos casos: a) X = (1,−3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) e X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1,−1, 0) b) X = (1, 1, 1) + λ(−1, 0,−1) + µ(4, 1, 1) e X = (3, 1, 1) + λ(1,−3,−1) + µ(3, 1, 0) 9. Ache uma equac¸a˜o geral do plano por (2, 1, 0) que e´ perpendicular aos planos x+ 2y − 3z + 4 = 0 e 8x− 4y + 16z − 1 = 0. 10. Dados os planos pi1 : x− y + z + 1 = 0, pi2 : x+ y − z − 1 = 0 e pi3 : x+ y + 2z − 2 = 0. Ache uma equac¸a˜o do plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´ perpendicular a pi3. DISTAˆNCIAS 1. Calcule a distaˆncia entre os pontos P e Q nos casos: a) P = (0,−1, 0) Q = (−1, 1, 0) b) P = (−1,−3, 4) Q = (1, 2,−8). 2. Calcule a distaˆncia entre o ponto P = (1,−1, 4) e a reta r : { x− 2 4 = y −3 = z − 1 −2 (resp. d(r, s) = √ 270 29 ). 3. Calcule a distaˆncia entre o ponto P = (−2, 0, 1) e a reta r : x = 3t+ 1y = 2t− 2 z = t 4. Calcule a distaˆncia entre o ponto P = (0,−1, 0) e s : { x = 2z − 1 y = z + 1 5. Calcule a distaˆncia entre as retas paralelas nos casos: a)r : { x = y − 3 2 = z − 2 e s : { x− 3 = y + 1 2 = z − 2 (resp. d(r, s) = 5 √ 30 6 ) b) x− 1 −2 = y 1 2 = z e X = (0, 0, 2) + λ(−2, 12 , 1) 6. Calcule a distaˆncia entre o ponto o plano nos casos: a)P = (1, 1, 1516 ) e pi : {4x− 6y + 12z + 21 = 0 (resp. d(P, pi) = 72 ) b)P = (1, 1, 156 ) e pi : 4x− 6y + 12z + 21 = 0. c)P = (9, 2,−2) e pi : X = (0,−5, 0) + λ(0, 512 ) + µ(1, 0, 0). 7. Calcule a distaˆncia entre a reta e o plano paralelos nos seguintes casos: a)r : x = 1 + ty = 1 + 3t z = 1 + 4t e pi : {2x− 2y + z − 10 = 0 (resp. d(r, pi) = 3) 8. Calcule a distaˆncia entre os planos paralelos nos seguintes casos: a)pi1 : {2x− y + 2z + 9 = 0 e pi2 : {4x− 2y + 4z − 21 = 0 (resp. d(pi1, pi2) = 13 2 ) b)r : x = 2− λ− µy = µ z = λ e x+ y + z = 52 9. Calcule m para que a distaˆncia entre o ponto P = (m, 3m,m − 2) e o plano pi : {2x+ y − z + 3 = 0 seja√ 6.(resp.m = 14 ou m = −114 ) 10. Ache os pontos de r : { x+ y = 2 x = y + z que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1). 11. Ache os pontos de r : x− 1 = 2y = z que equidistam dos pontos A = (1, 1, 0) e B = (0, 1, 1). 12. Determine o ponto de pi : 2x− y + z − 2 = 0 tal que a soma de suas distaˆncias a P e Q seja mı´nima nos casos: a) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1, 1) b) P = (2, 1, 0) e Q = (1,−1, 2) 13. Ache os pontos da reta r : { x+ y = 2 x = y + z que distam √ 6 de pi : x− 2y − z = 1. 14. Ache os pontos da reta r : x − 1 = 2y = z que equidistam dos planos pi1 : 2x − 3y − 4z − 3 = 0 e pi2 : 4x− 3y − 2z + 3 = 0. 15. Ache uma equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m a reta r : X = (1, 0, 1) + λ(1, 1,−1) e que dista √2 do ponto P = (1, 1,−1). 16. Deˆ uma equac¸a˜o geral do plano que passa pelos pontos P = (1, 1,−1) e Q = (2, 1, 1) e que dista 1 da reta r : X = (1, 0, 2) + λ(1, 0, 2).
Compartilhar