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II-Espaços Vetoriais Prof. Hugo Pedro Boff Um espaço vetorial de dimensão n (notado Vn) sobre um corpo de escalares F , é um conjunto dotado da operação de adição , fechado para a soma de seus elementos (chamados vetores) e para a multiplicação escalar. Vamos primeiro definir o que é um corpo. 2.1 Corpos Um conjunto F munido das operações () e () entre seus elementos é chamado corpo se os seguintes axiomas forem satisfeitos: i ∀x,y ∈ F, x y y x x y y x (comutatividade) ii ∀x,y, z ∈ F, x y z x y x z (distributividade de em relação à ) iii ∃ x ∈ F e ∃ x∘ ∈ F elementos neutros para () e () respectivamente, tais que: ∀x ∈ F, x x x e x x∘ x iv ∀x ≠ 0,x ∈ F existem xs ∈ F e x∘s ∈ F , elementos ditos simétricos para () e () respectivamente, tais que: x xs x e x x∘s x∘. Se F for um conjunto de números, então, é a operação soma e x 0;xs −x ; é a operação multiplicação e x∘ 1, , e x∘s 1/x. Neste caso, F é dito corpo de escalares. Exemplos: , Q são corpos. , Z não são corpos (Por quê?). 2.2 Espaços vetoriais Seja V um conjunto não vazio de elementos u, v, w etc. (chamados vetores) e F um corpo qualquer, sobre o qual estão definidas as operações () entre os elementos de V e () entre um elemento de F e um de V de maneira que: i u,v ∈ V → ∃! u v ∈ V ii u ∈ V, k ∈ F → ku ∈ V Se estas operações satisfazem os seguintes postulados: 1. u,v ∈ V → u v v u (comutatividade) 2. u,v,w ∈ V → u v w u v w (associatividade) 3. ∃ 0 ∈ V : v 0 v (contém a origem) 4. v ∈ V → −v ∈ V : v −v 0 (simétrico para ) 5. u,v ∈ V, k ∈ F → ku v ku kv então, V é dito espaço vetorial sobre F. Notas: 1. Pelos axiomas i- ii V é um espaço fechado para a soma e a multiplicação escalar. Pelas condições 1 à 4, V é um grupo aditivo unitário; 2. Note que um vetorial deve necessariamente conter a origem 0 (por 3) e o negativo de cada vetor (por 4). Exemplos: 1. Seja P o conjunto dos polinômios em x de ordem inteira, com coeficientes reais, ai ∈ R. Um elemento típico de P é Pmx a0 a1x a2x2 . . .amxm. É fácil verificar que P é um espaço vetorial: Pm,Pn ∈ P → Pm Pn é um polinômio a coeficientes reais de ordem maxn,m. Logo Pm Pn ∈ P. Pm também é um polinômio. Todavia, se definirmos P como o conjunto dos polinômios em x com coeficientes inteiros, então P não será um espaço vetorial (Por quê?). 2. Seja C f : a,b → , contínua, é um vetorial. Com efeito, kf , f g e −f são contínuas se f e g o forem. Por outro lado, 0 é uma função contínua. 2.3 Subespaços vetoriais Seja V um vetorial sobre um corpo F. O conjunto S é um subespaço vetorial de V , se as seguintes condições forem verificadas: i S ⊂ V ii u,v ∈ S → u v ∈ S iii v ∈ S, k ∈ F → kv ∈ S As condições i − iii são necessárias e suficientes para erigir S em subespaço de V. Tomando k −1, por iii teremos −v ∈ S e, usando ii, v −v 0 ∈ S. Exemplos: 1. Seja Vn n o espaço vetorial de dimensão n. Um elemento do vetorial é, x x1,x2, . . . ,xn′. O conjunto S x y, x,y ∈ n é um subespaço do n( S é um cone); 2. Subespaço gerado por uma família de r vetores do n r ≤ n. Sejam xii1r r vetores do n. O conjunto S y ∈ n : y ∑ i1r ixi; i ∈ F é um subvetorial den, chamado, subespaço gerado por x1,x2, . . . ,xr; 3. Sejam Vn n e Sy x ∈ n : x y 0, y ∈ n. Sy é o subvetorial ortogonal ao vetor y. 2.4 Soma e interseção de subvetoriais Sejam S e T dois subespaços de um espaço vetorial V sobre o corpo F. Então S T v vs vt, vs ∈ S, vt ∈ T é chamado subespaço soma de S e T e S ∩ T v ∈ V : v ∈ S, v ∈ T é chamado subespaço interseção. É fácil verificar que S T e S ∩ T são subvetoriais. Exercício 2.1: Verifique que S T e S ∩ T são subvetoriais do Vn. Os elementos de S T são gerados como soma entre um elemento de S e um elemento de T . O subvetorial S ∩ T é constituído dos vetores de S que podem ser gerados como combinação linear de vetores de T ou vice-versa (dos vetores de T que podem ser gerados como combinação linear de vetores de S . Na figura abaixo, S e T são dois planos não paralelos no 3. O subvetorial S T é o próprio V3F. Se a interseção de ambos inclui a origem então o subespaço S ∩ T é a reta interseção. S⌠ ⎞TT S O S + T s t s+ t Fig.2.1: S T (Espaço usual); S Exemplo 1: Seja o sistema linear homogêneo de r equações nas n incógnitas x1,x2, . . . ,xn a11x1 a12x2 . . .a1nxn 0 a21x1 a22x2 . . .a2nxn 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1x1 ar2x2 . . .arnxn 0 Definido-se ai ai1,ai2, . . . ,ain e x x1,x2, . . . ,xn então Si x ∈ Rn : xai 0 é o espaço solução da equação i. Naturalmente, o espaço solução do sistema é o espaço interseção dos r subvetoriais Si : S ∩i1r Si. Mostraremos à frente que se r n, então S é um subvetorial. Soma direta Se os subevetoriais S e T são tais que S ∩ T 0 (vetor nulo) então o espaço soma leva o nome de soma direta, e nota-se S ⊕ T . Neste caso, pode-se mostrar que se v ∈ S ⊕ T, então v pode ser escrito de maneira única como v s t, s ∈ S, t ∈ T. Com efeito, suponha S ∩ T 0 e v s t s′ t ′. Então, s − s′ t ′ − t. Como s − s′ ∈ S e t ′ − t ∈ T e ambos são iguais, então s − s′ ∈ S ∩ T → s − s′ 0 → t ′ − t 0. Inversamente, se v tem representação única, então S ∩ T 0. Com efeito, tome v ∈ S ∩ T. Como 0 ∈ S ∩ T, temos v 0 ∈ S ∩ T e 0 v ∈ S ∩ T com v 0 0 v. Como a representação é única vem v 0, ou S ∩ T 0. O S T S⊕ Τt s s+ t Fig.2.2: Soma direta de dois Quando S ⊕ T V, os subvetoriais S e T são ditos suplementares. Exemplo 2: Sejam Vn n e, dado o vetor n, os espaços S x ∈ n : x n 0 e S v ∈ n : v tn; t ∈ F. S é dito o complemento ortogonal de S em Vn: S ⊕ S Vn. Temos S ∩ S 0: o único vetor pertencente ao hiperplano S que está sobre a reta de suporte da normal n é o 0. Logo, todo vetor v do Vn pode ser escrito de maneira unívoca como v x n, x ∈ S, n ∈ S. 2.5 Sistemas equivalentes Dois sistemas de equações lineares em x1,x2, . . . ,xn são ditos equivalentes se eles tiverem as mesmas soluções. Isto significa que seus espaços solução coincidem. A equivalência é obtida mostrando-se que o segundo sistema pode ser obtido efetuando-se operações algébricas elementares sobre as equações do primeiro. As operações elementares consistem em se multiplicar uma equação por uma constante e em somá-la com outra do sistema, de modo que uma icógnita x seja eliminada da equação resultante. Exemplo 3: Os sistemas 6x y − 4z 0 1 2x y − 8z 0 2 e 10x y 0 1′ x z 0 2′ são equivalentes; portanto, tem o mesmo espaço solução. O segundo sistema é obtido do primeiro mediante as seguintes operações elementares: 1′ 21 − 2 e 2′ 1 − 2. 2.6 Sistemas lineares homogêneos Um sistema de r equações lineares nas n incógnitas x1,x2, . . . ,xn é dito homogêneo se x̂ x̂1, x̂2, . . . , x̂n e x̄ x̄1, x̄2, . . . , x̄n forem duas soluções do sistema então toda combinação linear c1x̂ c2x̄ também é uma solução do sistema. De um modo geral, se o sistema tiver mais de duas soluções distintas, então toda combinação linear entre estas soluções é também uma solução. Seja o sistema homogêneo S a11x1 a12x2 . . .a1nxn 0 a21x1 a22x2 . . .a2nxn 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1x1 ar2x2 . . .arnxn 0 Coloque Li ai1x1 ai2x2 . . .ainxn , e suponha a11 ≠ 0. Considere o seguinte sistema transformado, com r equações e n incógnitas: L1 0 S′ L2 − a21a11 L1 0.x1 b22x2 . . .b2nxn 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lr − ar1a11 L1 0.x1 br2x2 . . .brnxn 0 Os sistemas S e S′ são equivalentes. Teorema 2.1 (existencia de soluções não triviais) Seja o sistema linear homogêneo S de r equações em n incógnitas, com coeficientes aij reais. Se n r, então S possui pelo menos uma solução x̂ não trivial x̂ ≠ 0. Prova: (por indução) O teorema é válido para r 1. Neste caso, dados x2, . . . ,xn, temos: x1 −1a11 a12x2 . . .a1nxn ∗ Suponha o teorema válido para um sistema de r − 1 equações com n incógnitas. Seja então x̂2, . . . , x̂n a solução das r − 1 equações de S′, e x̂1 a solução obtida por ∗, de modo que L1 0. Então, x̂1, x̂2, . . . , x̂n que resolve S′, também resolve o sitema S, com r equações. Inversamente, se x̂1, x̂2, . . . , x̂n resolve S, L1 L2 . . . Lr 0 e esta solução também resolve S′. Pode-se mostrar que o espaço-solução S de um sistema homogêneo linear com n r, é um subespaço vetorial. Com efeito, se x̄, x̂ ∈ S, então x̂ ∈ S ∈ F, x̂ x̄ ∈ S, −x̂ ∈ S e x̂ −x̂ 0 ∈ S. Logo, S é um grupo comutativo. Sendo F um corpo, SF é um espaço vetorial. Exemplo 4: Descreva o espaço solução do sistema: x − 2y z − t 0 1; 2x 4y − 3z 0 2; 3x 2y 2z − t 0 3 . Fazendo 2 − 21 : 8y − 5z 2t 0 4; fazendo 3 − 31 : 8y − z 2t 0 5. Assim, 5 − 4 implica: 4z 0 → z 0, t −4y, x −2y. Todo vetor na direção de −2,1,0,−4 é uma solução; logo, na notação vetorial o espaço-solução é: S x̂ ∈ 4 : x̂ −2,1,0,−4; ∈ . 2.7 Dependência linear Seja VF um vetorial sobre um corpo F, e xii1r uma família de r vetores de V. Definição 1: A família xii1r é linearmente dependente LD sse ∃ 1,2, . . . ,r i ∈ F não todos nulos tal que ∑ i1r ixi 0. Caso contrário, i.e., se ∑ i1r ixi 0 1 2 . . . r 0 então a família de vetores é dita linearmente independente LI. Note que se a família de vetores for LI, então a única combinação linear entre seus membros apta a gerar o vetor O é a combinação trivial. Exemplo 1: Considere a família de 3 vetores do V4 seguinte: x1 1,2,0,4, x2 −1,0,5,1 e x3 1,6,10,14. Vamos determinar 1,2,3 tais que 1x1 2x2 3x3 0. Esta equação gera o seguinte sistema: 1 − 2 3 0 ; 21 6 3 0 ; 52 103 0 e 41 2 143 0. É fácil verificar que se 3 −1, então 2 2 e 1 3 resolvem o sistema (evidentemente, qualquer múltiplo destes valores também resolve). Assim, 3x1 2x2 − x3 0, e a família é LD. Exemplo 2: A família de vetores do V3, x1 2,1,4, x2 1,−1,2 e x3 3,1,−2 é LI. Com efeito, temos a resolver: 21 2 33 0 1, 1 − 2 3 0 2 e 41 22 − 23 0 3. Mas, 12 3 2 leva à 31 0. Então, 1 0 em 2 e 1 leva à2 3 e 2 −33 respectivamente. Logo, 3 2 0. São verdadeiras as seguintes proposições: 1. Uma família finita de vetores do VF é LD sse um dos vetores pertencer ao subespaço gerado pelos outros elementos da família. Com efeito, se a família xii1r é LD então existe k ≠ 0 tal que a equação∑ i1r ixi 0 pode ser escrita como xk −1k ∑ ii≠k ixi. Assim, xk pertence ao subvetorial gerado por x1, . . . ,xk−1,xk1, . . . ,xr. Inversamente, se a equação de xk é válida, então ∑ixi e xii1r é LD. 2. Qualquer família de vetores que contenha uma subfamília LD é LD; Esta proposição é consequência da anterior. Se a subfamília xjj1k da família xjj1r for LD k ≤ r, então existem 1,2, . . . ,k não todos nulos tais que 1x1 . . .kxk 0 xk1 . . .0 xr 0. Logo, x1, . . . ,xk−1,xk1, . . . ,xr é LD. 3. Toda família de vetores contendo O é LD. Com efeito, 0 x1 . . .0 xr 0 0 para ≠ 0. Logo, xjj1r é LD. 2.8 Bases e dimensão de um espaço vetorial Nesta seção apresentamos dois conceitos fundamentais em álgebra linear. O conceito de base e o conceito de dimensão. Bases Definição 2: Um conjunto de vetores x1,x2, . . . ,xn é um sistema gerador do espaço vetorial VF se ∀y ∈ VF, ∃ 1,2, . . . ,n ∈ F tal que y ∑ i1n ixi. O vetorial VF é finito se ele conter um sistema gerador x1,x2, . . . ,xn finito n . Qualquer vetor do VF pode ser gerado como combinação linear dos n vetores do sistema gerador. Exemplo 1: Os vetores x1 1,1 e x2 1,−1 formam um sistema gerador do V2F. Com efeito, qualquer vetor y y1,y2 pode ser expresso como y 1x1 2x2 onde 1 12 y1 y2 e 2 12 y1 − y2. Se x3 é um outro vetor qualquer do V2R, o conjuntox1,x2,x3 também gera o V2F. Definição 3: Seja x1,x2, . . . ,xn um sistema gerador de VF. Se esta família de vetores for LI, então x1,x2, . . . ,xn é uma base de VF. O teorema seguinte institui uma base B de V como o maior subconjunto de vetores LI contido em um sistema gerador de VF. Teorema 2.2 (finitude das bases) Todo espaço vetorial não nulo e finito tem uma base finita. Prova : Sendo VF de dimensão finita, o sistema gerador x1,x2, . . . ,xn é finito. Seja B o maior conjunto de vetores LI contido no sistema gerador: B xii1m , com m ≤ n. Logo, os conjuntos x1,x2, . . . ,xm,xmp p 1,2, . . . ,n − m são todos LD, isto é,∑ i1m ixi mpxmp 0 para escalares 1,2, . . . ,m,mp não nulos. Isto significa que xmp − 1mp 1x1 . . .mxm. Como B gera todos os outros vetores xm1, . . . ,xn do conjunto gerador, segue-se que B também gera VF. Como os vetores de B são LI, B é uma base finita de VF. Como corolário deste teorema, temos que todo sistema gerador finito do VF ( de dimensão finita) contém um subconjunto que é uma base de V. Exemplo 2: Qualquer conjunto de n vetores LI do VnF forma uma base deste espaço. O conjunto de vetores E1 1,0,0, . . . . , 0; E2 0,1,0, . . . . , 0; E3 0,0,1, . . . . , 0; . . . ; En−1 0,0,0, . . . . , 1, 0;En 0,0,0, . . . . , 1 é chamado base natural (ou canônica) do VnF. Com efeito, qualquer vetor y y1, . . . ,yn do VnF pode ser gerado por uma combinação linear dos vetores desta base: y y1E1 . . .ynEn. Naturalmente E1,E2, . . . ,En,y é um conjunto gerador de VnF mas não é uma base deste espaço. Teorema 2.3 (minimalidade das bases) Se VF tem uma base B contendo n vetores, x1, . . .xn então qualquer conjunto contendo n p vetores y1,y2, . . . ,ynp, p 1,2, . . . ,m é LD. Prova : Visto que B é uma base, temos y1 11x1 12x2 . . .1nxn y2 21x1 22x2 . . .2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . yn n1x1 n2x2 . . .nnxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ynp np1x1 np2x2 . . .np,nxn Interessemo-nos às combinações lineares: c1y1 c2y2 . . .cnpynp. Esta combinação (não trivial) gera o vetor nulo sse o sistema de n equações com n p incógnitas c1,c2, . . . ,cnp : 11c1 21c2 . . .np,2cnp 0 12c1 22c2 . . .np,2cnp 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1nc1 2nc2 . . .np,ncnp 0 tiver ao menos uma solução não trivial. Ora, como n p n, pelo teorema 2.1 anterior esta solução existe, de modo que o conjunto acima é LD. Como corolário deste teorema temos que todas as bases de um vetorial VF de dimensão finita contém o mesmo número de vetores. Dimensão de um espaço vetorial A dimensão dim V de um vetorial finito VF é igual ao número de vetores de qualquer base B de V: dimV no de vetores em B. O lema seguinte é de utilidade. Lema (ampliação de familias LI) Seja x1,x2, . . . ,xr um conjunto de r vetores LI do VF. Se xr1 não está no subespaço gerado por x1,x2, . . . ,xr, então x1,x2, . . . ,xr,xr1 é LI. Prova: Como ∀1,2, . . .,r ∈ F temos 1x1 2x2 . . .rxr ≠ xr1. Então 1x1 2x2 . . .rxr − xr1 ≠ 0 para ’s todos não nulos. Logo, x1,x2, . . . ,xr,xr1 é LI. O teorema seguinte estabelece a multiplicidade de bases. Teorema 2.4 (multiplicidade das bases) Se dimV n, então qualquer conjunto de n vetores LI de V é uma base de VF. Prova: Sejam x1,x2, . . . ,xn um conjunto LI e y ∈ VF. Como dimV n, as bases de Vn contêm n vetores. Então, pelo lema, o conjunto x1,x2, . . . ,xn,y é LD e assim x1,x2, . . . ,xn é um conjunto gerador LI. Logo, é uma base de VnF. Exercício 2.2 . Demonstre as seguintes proposições: 1. Seja VnF um vetorial de dimensão n. Todo conjunto de vetores LI de Vn é subconjunto de uma base de VnF; 2. Se S ⊂V e dimV n , e se B for uma base de S, então existe uma base B ′ de Vntal que B ⊂ B ′. O teorema seguinte estabelece um resultado fundamental em álgebra linear. Teorema 2.5 (dimensões dos espaços soma e interseção) Se S e T forem subespaços de um vetorial VnF de dimensão n finita, então dimS dimT dimS T dimS ∩ T. Prova: Seja dimS s, dimT t, dimS ∩ T m. Devemos mostrar que s t dimS T m. Seja x1,x2, . . . ,xm uma base de S ∩ T . Como S ∩ T ⊂ S, pela proposição 2 do exercício acima podemos formar uma base de S na forma x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m. Análogamente, seja x1,x2, . . . ,xm, z1, z2, . . . , zt−m uma base de T . Note que x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m, z1, z2, . . . , zt−m é um sistema gerador de S T. Vamos mostrar que este sistema é LI e que portanto, constitui uma base de S T . Notemos a1x1 a2x2 . . .amxm b1y1 b2y2 . . .bs−mys−m v e c1z1 c2z2 . . .ct−mzt−m −w. Suponha v − w 0. Isto implica v w. Neste caso, v ∈ S , w ∈ T , e a igualdade entre ambos leva à v w ∈ S ∩ T . Logo, existem coeficientes 1,2, . . . ,m não todos nulos tais que 1x1 . . .mxm w. Mas, x1,x2, . . . ,xm, z1, z2, . . . , zt−m é uma base de T de maneira que 1x1 . . .mxm −w 0 implica 1 2 . . . m c1 c2 . . . ct−m 0 e assim w 0. Por outro lado x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m é uma base de S e v 0 implica então a1 a2 . . . am b1 b2 . . . bs−m 0. Provamos assim que x1,x2, . . . ,xm,y1,y2, . . . ,ys−m, z1, z2, . . . , zt−m é LI e, portanto, uma base de S T . Esta base tem m s − m t − m s t − m vetores. Logo, dimS T dimS dimT − dimS ∩ T. Exercício 2.3 : Se S for o subvetorial do V3 gerado pelos vetores x1 1,2,−1 e x2 3,0,1 e T for o subvetorial gerado por y1 −1,1,0 e y2 2,1,3, ache um vetor não nulo pertencente à S ∩ T . Solução: Um vetor de S ∩ T deverá ser gerado por combinações lineares dos vetores gerados de S e de T . Logo, vamos determinar 3 que resolve a equação: 1x1 2x2 y2 − 3y1, ou 1x1 2x2 3y1 y2. 1 3 −1 2 0 1 −1 1 0 1 2 3 2 1 3 . Usando a regra de Cramér obtemos: 3 1 3 2 2 0 1 −1 1 3 1 3 −1 2 0 1 −1 1 0 −34−1−18−3−2−1 −18−6 3 Logo, os vetores de S ∩ T têm a direção de u y2 − 3y1, ou u 5,−2,3. Formalmente, S ∩ T v ∈ V3 : v 5,−2,3; ∈ . Temos dimS dimT 2 de modo que dimS T dimS dimT − dimS ∩ T 2 2 − 1 3. 2.9 Bases e coordenadas Seja V um vetorial de n dimensões sobre o corpo dos reais, Vn e F1,F2, . . . ,Fn uma base ordenada qualquer de Vn. Como F1,F2, . . . ,Fn é um sistema gerador LI, ∀v ∈ Vn, ∃1,2, . . . ,n ∈ tal que v 1F1 2F2 . . .nFn. Notemos que os escalares 1,2, . . . ,n são únicos. Com efeito, se 1′ ,2′ , . . . ,n′ também geram Vn pela base F, então v − v 0 ∑ i1n i − i′Fi. Mas como os F’s são LI então i i′ ∀i 1,2, . . . ,n o que demonstra a unicidade da representação. Os escalares 1,2, . . . ,n são chamados coordenadas do vetor v na base F1,F2, . . . ,Fn. Note que a base F1,F2, . . . ,Fn não é (necessariamente) um sistema de vetores ortogonais. 2.10 Mudança de base Seja y y1,y2, . . . ,yn′ o vetor coluna das coordenadas do vetor v na base ordenada F1,F2, . . . ,Fn e z z1, z2, . . . , zn′ o vetor das coordenadas deste mesmo vetor em outra base G1,G2, . . . ,Gn. Temos v ∑ i1n yiFi ∑ i1n ziGi. Escrevendo os vetores das bases Fe G em coluna, construímos as matrizes n,n : F F1,F2, . . . ,Fn e G G1,G2, . . . ,Gn de maneira que são válidas as seguintes equações matriciais: v Fy Gz. Como as matrizes F e G são regulares, |F| ≠ 0 e |G| ≠ 0 são inversíveis (veja seção 3.7) de modo que podemos obter as coordenadas de um vetor na base G pelas coordenadas deste vetor na base F pela relação: z G−1Fy e, as coordenadas na base F pelas coordenadas do vetor na base G: y F−1Gz. Exemplo 1: Vamos explicitar as coordenadas do vetor v 2,3′ relativas à base: G1 −1,5′ ; G2 3,1′ do V2. Representamos graficamente a solução usando as mesmas unidades de medida dos vetores da base natural E E1,E2. Solução: Aqui, v 2E1 3E2 E2,3′ G1z1 G2z2 Gz. Logo, z G−1E2,3′ G−12,3′. Usando o método de inversão pela matriz adjunta (veja seção 4.2) obtemos: G−1 −1 3 5 1 −1 −116 1 −3 −5 −1 e então z 116 −1 3 5 1 2 3 116 7 13 e v 716 G1 1316 G2 Para a representação de v nas coordenadas da base G, usando as mesmas unidades de medida empregadas na sua representação na base natural E, precisamos tomar os vetores de base G com comprimento unitário: G1∗ 1‖G1‖ G1 e G2∗ 1‖G2‖ G2, onde ‖G1‖ −12 52 26 e ‖G2‖ 32 12 10 . Logo, v 716 26 G1∗ 13 16 10 G2 ∗ 2,23G1∗ 2,57G2∗. A figura 2.3 abaixo ilustra a transformação das coordenadas usando as mesmas unidades de medida. G*2 1o (2,3) V 3E2 2E1 2,23 G*1 2,57 G*2 G*1 2 Fig.2.3: Mudança de Base: E → G Explicitamente, se x1,x2,x3 forem as coordenadas de um vetor v ∈ V3 na base natural e y1,y2,y3 suas coordenadas em uma base F1,F2,F3 qualquer, temos as seguintes relações: F1 f11E1 f21E2 f31E3 F2 f12E1 f22E2 f32E3 F3 f13E1 f23E2 f33E3. Então v x1E1 x2E2 x3E3 y1F1 y2F2 y3F3 y1f11E1 f21E2 f31E3 y2f12E1 f22E2 f32E3 y3f13E1 f23E2 f33E3 y1f11 y2f12 y3f13E1 y1f21 y2f22 y3f23E2 y1f31 y2f32 y3f33E3, donde saem as seguintes equações: x1 y1f11 y2f12 y3f13 x2 y1f21 y2f22 y3f23 x3 y1f31 y2f32 y3f33 → F1 F2 F3 y1 y2 y3 x1 x2 x3 ou, em forma compacta: x Fy. Exemplo 2: Determinamos uma equação do círculo x12 x22 9 no sistema de coordenadas y cuja base é F1 2,1′ e F2 3,2′ do V2. Solução: Temos, x1 2y1 3y2 ; x2 y1 2y2. Então, 2y1 3y22 y1 2y22 5y12 16y1y2 13y22 9 é a equação do círculo nas novas coordenadas. Para dimensões maiores, existe vantagem em se usar a forma vetorial. Neste caso, teremos: x.x 9 ↔ Fy. Fy y ′F ′Fy y1,y2 5 8 8 13 y1 y2 9, que é a equação acima. Rotação dos eixos coordenados Seja v um vetor do Vn e x1E1 x2E2 . . .xnEn sua representação na base natural. Uma rotação de um ângulo dos eixos coordenados é uma transformação ortogonal dos vetores da base natural (que preserve as unidades de medida) na direção deste ângulo. A base F1,F2, . . . ,Fn obtida é construida pelos senos e cossenos diretores do ângulo da rotação. No caso n 2, para F1 f11, f21 e F2 f12, f22 temos as seguintes relações: f11 ‖F1‖cos, f21 ‖F1‖ sin, f12 ‖F2‖− sin, f22 ‖F2‖cos. A figura 2.4 abaixo ilustra a rotação efetuada no sentido anti-horário 0: 0 θ θ θ θ θ c o s c o s s e n s e n ||F 1 || | |F 1 || | |F 2 ||- ||F 2 || F 1 F 2 1 2 Fig.2.4: Rotação E → F de ângulo . Queremos que a nova base F1,F2 preserve as unidades de medida. Deste modo impomos a condição: ‖F1‖ ‖F2‖ 1. Assim, F1 cos, sin′ e F2 − sin, cos′. Então, todo vetor v x1,x2′ de coordenadas y1,y2 na base F escreve-se: v y1F1 y2F2, ou : x1 y1 cos − y2 sin x2 y1 sin y2 cos , e a transformação inversa será: y1 x1 cos x2 sin y2 −x1 sin x2 cos Exemplo 3: Calculamos as coordenadas y1,y2 do vetor v 1,3′ no sistema ortonormal F1,F2 obtido com a rotação de 45∘ dos vetores da base natural. Solução : Temos 4 → cos sin 12 . Então, y1 1 12 3 12 42 2 2 y2 −1 12 3 12 22 2 Exemplo 4: Vamos obter o ângulo da rotação efetuada com a transformação dos vetores da base natural E1, E2 para a base F1 1/ 5 ,2/ 5 , F2 −2/ 5 ,1/ 5 . Solução: Note que a base é ortonormal: ‖F1‖ ‖F2‖ 1 e F1 F2 0. Então tan f21f11 2/ 5 1/ 5 2 → Arc tan2 ≅ 63,435o. No capítulo VI , dedicado aos operadores lineares, analisaremos mais detalhadamente rotações, reflexões e outras transformações lineares que envolvem mudanças na base vetorial. 2.11 Isomorfismos Sejam S e T dois subvetoriais do VF e uma aplicação de S em T : : S → T : s → s. Definição 4: A aplicação é uma transformação biunívoca (ou injetiva) se ∀s1, s2 ∈ S, s1 s2 → s1 s2. A equação s t não somente define a imagem t de um dado vetor s ∈ S de maneira única como também define s de modo único como a contra-imagem por −1 de um vetor t ∈ T . A transformação é sobrejetora se S T isto é, se todo vetor t de T é imagem de um vetor s de S. A transformação, −1 : T → S é a transformação recíproca (ou inversa) satisfazendo −1t s sse s t. Note que −1 existe sse for biunívoca e sobrejetora, isto é, se for bijetora. Neste caso, ∀s ∈ S, t ∈ T, −1t t e −1s s. Definição 5: Uma transformação bijetora : S → T é chamada um isomorfismo sse ∀s, s′ ∈ S, k ∈ F, i ks ks ii s s′ s s′. Exemplos: 1. x x ∈ F. Esta transformação linear é um isomorfismo; 2. x x ≠ 0, ∈ F é uma transformação afim. Esta transformação não é um isomorfismo (Por quê?). Note que se é um isomorfismo então −1 também o é. Com efeito, sendo biunívoca temos: s t −1t s. Então, ks ks kt −1kt ks k−1t. Por outro lado, se t s e t ′ s′ então s s′ t t ′ −1t t ′ s s′ −1t −1t ′ o que erige −1 em isomorfismo de T sobre S. Os espaços S e T são ditos isomorfos. Uma propriedade importante do isomorfismo estabelece que a imagem da origem 0 de S é a própria origem 0′ de T , isto é: 0 0′. Com efeito, suponha 0 t ≠ 0′. Então, para k,k ′ ∈ F, k ≠ k ′ → k0 kt e k ′0 k ′t . Mas é injetiva, de maneira que k0 k ′0 deve implicar kt k ′t, isto é: t 0′. Teorema 2.6 (dependencia linear em isomorfismos) Se : S → T for um isomorfismo entre S e T , um conjunto de vetores s1,s2, . . . ,sr é LD em T sse o conjunto de vetores s1, s2, . . . , sr for LD em S. Prova: Assuma que s1, s2, . . . , sr seja LD em S . Então existe c1,c2, . . . ,cr ∈ F não todos nulos tal que c1s1 c2s2 . . . crsr 0 ∗. Logo, c1s1 c2s2 . . .crsr c1s1 c2s2 . . .crsr 0′ ∗ ∗, o que implica que s1,s2, . . . ,sr é LD em T . Inversamente se ∗ ∗ é válida então, como é um isomorfismo −10′ 0 e então ∗ é válida. Como corolário deste teorema, são válidas as seguintes proposições: 1. O conjunto de vetores s1,s2, . . . ,sr é LI em T sse s1, s2, . . . , sr é LI em S; 2. Se F1,F2, . . . ,Fr for uma base de S, então F1,F2, . . . ,Fr é uma base de T. Com efeito, se s ∈ S, então s ∑ i1r ciFi. Logo, s ∑ i1r ciFi e o vetor t s é gerado univocamente pelos vetores Fi. Como estes são LI (pela afirmação 1), o sistema gerador F1,F2, . . . ,Fr forma uma base de T. Exercício 2.4: Sejam V e W vetoriais sobre o corpo F e : V → W um isomorfismo. Se S e T forem subespaços de V, prove que i S ∩ T S ∩T ; ii S T S T Solução: i Seja x ∈ S ∩ T. Então existe vs ∈ S e vt ∈ T: x vs vt 0 vs − vt vs − vt vs vt v (digamos) e x v onde v ∈ S ∩ T. Logo x ∈ S ∩ T. Inversamente, suponha x ∈ S ∩ T. Então, ∃v ∈ S ∩ T tal que x v. Ora, v ∈ S dado que v ∈ S e v ∈ T dado que v ∈ T. Logo, v x ∈ S ∩ T. ii Suponha x ∈ S T. Então, ∃vs ∈ S,vt ∈ T : x vs vt. Mas vs vt vs vt. Como vs ∈ S e vt ∈ Tvem x ∈ S T. Inversamente, suponha x ∈ S T. Então x xs xt onde xs ∈ S T xs vs, vs ∈ S e xt vt, vt ∈ T. Logo, x vs vt vs vt ∈ S T. ♣♣♣ Exercícios propostos Seção 2.1: Corpos 1. Quais dos seguintes subconjuntos de C (conjunto dos números complexos) são corpos com relação à adição e à multiplicação ordinárias: a N, conjunto dos inteiros positivos; b Z, conjunto de todos os inteiros (positivos, negativos e 0; c D 0,1; d Q, conjunto de todos os números racionais; e Cn x ∈ C : x a bi; a,b ∈ N; f Cq x ∈ C : x a bi; a,b ∈ Q; gRr x ∈ R : x a b 2 ; a,b ∈ Q; 2. Se m for um inteiro não negativo, prove que x ∈ R : x a b m ; a,b ∈ Q é um subcorpo de C; 3. Se no problema 2 m for um inteiro qualquer e m for substituído por 3 m , o conjunto resultante é um corpo ? Seção 2.2: Espaços vetoriais 1. Sejam (a) Vn −xo, 0,xo, onde xo é um vetor fixo do n é um vetorial sobre o corpo ? Justifique; (b) idem para Vn xo : ∈ . 2. Mostre que o conjunto A x ∈ 3 : x1 2x2 − x3 0 é um vetorial sobre o corpo ?. O que dizer do conjunto B x ∈ 3 : x1 2x2 − x3 1? 3. Generalize o resultado do exercício anterior. Qual a condição sobre os coeficientes ci e sobre a constante c para que o conjunto solução da equação c1x1 c2x2 . . .cnxn c seja um vetorial sobre um corpo F ? 4. Seja Pn o conjunto dos polinômios de grau m m n na variável x, com coeficientes reais (um elemento típico de Pn é: px ∑ j0m ajxj ; aj ∈ ). Verifique se Pn é um vetorial sobre corpo F ; 5. Considere o conjunto das funções Cn f : → : x → fx tal que fi dif dxi é contínua, i 1,2, . . . ,n e o subconjunto das funções y fx que resolvem a equação diferencial linear d ny dxn x cn d n−1y dxn−1 x . . .c2 dydx x c1y 0 , onde as constantes c1, . . . ,cn são reais. Usando as propriedades da diferencial, mostre que: (a) Cn é um vetorial; (b) O conjunto solução da equação diferencial é um subvetorial em Cn. Seção 2.3: Subespaços vetoriais 1. a Seja S um subespaço do V2 que contém 2 vetores não colineares. Prove que S V2; b Idem se S for um subespaço do V3 contendo três vetores não colineares; 2. Prove que se S for um subvetorial do V3, então S é: a S 0; b ou S é o conjunto dos vetores pertencentes à alguma reta de suporte passando pela origem; c ou S é o conjunto dos vetores pertencentes à algum plano passando pela origem; d ou S V3. 3. Seja S o conjunto de todos os vetores do V4F na forma: a x, x y, y, 2x 2y; b x, y, x 1, 2x − y; c 0, 0,−x, 0; d x, y, x2 y2, 2x onde, x,y ∈ F. Verifique, em cada caso, se S é um subespaço vetorial. 4. Seja VF um vetorial e x1,x2, . . . ,xr vetores de V. a Se S é o conjunto de todos os vetores na forma c1x1 c2x2 . . . crxr, onde c1, . . . ,cr são números inteiros, S é um vetorial ? Explique; b Se S v ∈ V : v c1x1 c2x2 . . . crxr c; c1, . . . ,cr ∈ F, qual a condição para que S seja um vetorial ? Seção 2.4: Somas e interseções de subespaços 1. Considere os seguintes subvetoriais do V3 : S x ∈ V3 : x1 − 2x2 x3 0 e T x ∈ V3 : 2x1 6x2 3x3 0. (a) Explicite os subespaços S T e S ∩ T ; (b) Interprete geométricamente estesconjuntos; 2. Se S, T e U forem subvetoriais de um vetorial V e se T ⊂ S, prove que S ∩ T U T S ∩ U. 3. Mostre que o conjunto solução S da equação x y − 3z 0 pode ser escrito como a soma de dois subvetoriais unidimensionais S1 e S2 sobre o corpo F , de maneira que vale a equação: S S1 S2. A soma direta aqui é possível ? 4. Considere o subespaço S do exercício 1. (a) Explicite o seu complemento ortogonal S; (b) Mostre que S ∩ S 0 e que V3 S ⊕ S. Seção 2.5: Sistemas equivalentes 1. Prove que os dois sistemas de equações: 1 : x y − 3z 0 2 : 2x − y z 0 e 3x − 2z 0 7x − 2y 0 são equivalentes. Seção 2.6: Sistemas lineares homogêneos 1. Ache o conjunto solução S (na forma vetorial) dos seguintes sistemas de equações: a 2x − y z − t 0 y − z 4t 0 3x − y − t 0 ; b x y 2t − u 0 y − z − t 2u 0 x − 2z − t − u 0 c ix 3iy − 2z 0 2x − 3iy iz 0 d x 2y 0 2x 3iz 0 x − iy iw 0 2. Se Ar,n é uma matriz com elementos reais, prove que todo vetor solução complexo do sistema Ax 0 tem a forma x x1, . . . ,xn, onde x s it, s s1, s2, . . . , sn′ e t t1, t2, . . . , tn′ são vetores solução reais do sistema; Seção 2.7: Dependência linear 1. Verifique quais combinações lineares não triviais entre vetores dos conjuntos abaixo geram o vetor nulo: a x1 2,1; x2 −1,3; x3 4,2; b x1 2,1,1; x2 3,−4,6; x3 4,−9,11; c x1 1,0,2,4; x2 0,1,9,2; x3 −5,2,8,16; 2. (a) Mostre que os vetores x1 1,1,−1; x2 2,−3,5; x3 −2,1,4 são LI no V3; (b) Mostre que os vetores x1 1,1,−2; x2 2,−3,−4; x3 −2,1,4 são LD; 3. Se os três vetores X, Y e Z são LI , prove que X, Y aX e Z bY cX são também LI, quaisquer sejam os valores das constantes a,b e c. 4. Se os três vetores X, Y e Z são LI , dê a condição sobre as constantes a,b e c para que os vetores X Z, bY aX e bZ Y cX sejam LD ; 5. a Prove que dois vetores do V2F são LD sse eles estão sobre uma reta passando pela origem; b Prove que 3 vetores do V3F são LD sse eles são coplanares. 6. a Prove que qualquer conjunto de três vetores do V2F é LD; b Prove que se r e n forem inteiros positivos e r n, então qualquer conjunto de r vetores do VnF é LD (Sugestão: use o teorema 2.3). 7. Pn designa o conjunto dos polinômios de grau m m n na variável x, com coeficientes reais. Prove que n 2 polinômios de Pn (por exemplo, px ∑ j0m ajxj ; aj reais) são necessáriamente LD (veja problema 2.2.4). 8. Se pmx é um polinômio do conjunto Pn definido no exercício anterior, prove que pmx e suas m primeiras derivadas são vetores LI de Pn. 9. Se , e são três constantes reais distintas, prove que senx , senx e senx são vetores LD no espaço das funções contínuas definidas para x ∈ a,b ⊂ . 10. (a) Prove que as funções senx, sen2x e sen3x são LI no intervalo 0,; (b) Generalize provando (por indução) que senx, sen2x, sen3x, . . . senrx são LI r inteiro qualquer). Seção 2.8: Bases e dimensão 1. Dados os vetores X 2,−1,4,0; Y 1,1,2,3 e Z 4,−5,8,−6 : a Mostre que estes três vetores são LD; b Mostre que dois quaisquer dos três vetores formam uma base do espaço S gerado pelos três; c Contém S um vetor não nulo da forma a,b, 0, 0 ? d Contém S um vetor não nulo da forma 0,c, 0,d ?; e Se T é o subespaço do V4 consistindo de vetores da forma 0,c, 0,d, c,d ∈ , ache as dimensões de T ,S, T S e T ∩ S. 2. Ache os valores de a, b e c de maneira que os vetores a, 1, 0,0, b, 0, 1,0 e c, 0, 0,1 pertençam ao espaço solução ( S ) da equação 2x1 − x2 3x3 − 5x4 0. Mostre que estes três vetores geram S e dê a dimensão de S. 3. Seja S o vetorial gerado pelos vetores 1,2,−1 e 3,0,1 e T o vetorial gerado por 2,1,3 e −1,1,0. a Explicite uma base para S e uma base para T; b Ache uma base para S ∩ T ; c Dê as dimensões de S T e de S ∩ T. 4. Seja S o vetorial gerado pelos vetores 1,2,2,5 e −1,4,2,0 e T o vetorial gerado por 2,0,−1,−2 e 5,2,0,1. a Ache uma base para S e uma base para T; b Ache uma base para S ∩ T e dê as dimensões de S T e de S ∩ T; 5. Prove que se S for um subespaço próprio de um vetorial V (S ≠ V de dimensão finita, então dimS dimV. 6. Prove que se a1,a2, . . . ,an são números reais não todos nulos, o espaço solução da equação a1x1 a2x2 . . .anxn 0 é um subvetorial de dimensão n − 1 do Vn. 7. Se S for um subespaço de um vetorial V de dimensão finita, prove que existe um subvetorial T de V tal que S T S ⊕ T. 8. Seja x1,x2, . . . ,xn uma base do Vn e yj ∑ i1n aijxi. Dê a condição sobre os escalares aij garantindo que y1,y2, . . . ,yn seja uma base do Vn. Seção 2.9: Bases e coordenadas 1. Ache as coordenadas do vetor 4,1 do V2 relativas à base F1 1,−1′ e F2 3,5′. Represente este vetor no plano usando as mesmas unidades de medida das coordenadas retangulares. 2. Ache as coordenadas do vetor 2,1,−6 do V3 relativas à base F1 1,1,2 , F2 3,−1,0 e F3 2,0,−1; 3. Ache as coordenadas do ponto 3,4 relativas aos eixos que tem equação y −2x e y 2x nas coordenadas retangulares (usando as mesmas unidades de medida em ambos os sistemas). Represente o vetor 3,4 no plano usual. Seção 2.10: Mudança de base 1. Se E1, E2 e E3 for uma base qualquer do V3 e F1, F2 e F3 for uma segunda base tal que Fi aiE1 biE2 ciE3; i 1,2,3, ache as equações que ligam as coordenadas x,y, z de um vetor arbitrário v relativas à base E com as coordenadas x ′,y ′, z′ de v relativas à base F. 2. Ache uma equação do círculo x2 y2 r2 relativa aos eixos coordenados que fazem ângulos e com o eixo original dos x, usando em ambos os sistemas as mesmas unidades de medida. 3. Expresse a equação da hipérbole equilátera yx 1 nas coordenadas da base F do exercício 2.9.1 (usando as mesmas unidades de medida). 4. Considere uma aplicação : V2 → V2 que transforma os vetores F1 12 1,1 e F2 12 −1,1 nos vetores G1 110 1,3 e G2 110 −3,1, respectivamente. a Verifique que ambas as bases são ortonormais; b Calcule o ângulo da rotação dos eixos realizada pela transformação . Represente no plano a mudança dos eixos; c Se x e y designam as coordenadas dos vetores do V2 no sistema retangular, dê a equação da elipse 3x2 y2 2 nas coordenadas y1,y2 da base F e nas coordenadas z1, z2 da base G. Seção 2.11: Isomorfismos 1. Se V e W são espaços vetoriais sobre um corpo F e : V →W um isomorfismo. a Se S for um subvetorial de V e S o conjunto dos vetores v tais que v ∈ S, prove que S é um subvetorial deW; b Prove que dimS dim(S ) ; c Se T for um subespaço deW e −1T o conjunto dos vetores v ∈ V tais que v ∈ T , prove que −1T é um subvetorial de V. d Prove que dim−1T dim(T ) . 2. Se e são transformações de V →W e W → U respectivamente, mostre que se é biunívoca então é biunívoca. ℶ✓ℷℵℸ Respostas aos exercícios Seção 2.1: 1/ Sómente os conjuntos Q , Cq e Rr são corpos; 2/ Contém os neutros para a soma e a multiplicação ( 0 e 1 e os simétricos para a soma e multiplicação (para este último, xos 1ab m aa2− mb2 − ba2− mb2 m pertence ao conjunto pois as duas últimas frações são números racionais); 3/ Não. Para m ≠ q3 ( q ∈ Q ) nada garante que 1 abm1/3 pertença ao conjunto. Seção 2.2: 1/ (a) Não; (b) Sim; 2/ A é um vetorial ; B não é (p.ex.: 0 ∉ B ); 3/ c 0 (nenhuma condição sobre os coeficientes ci); 4/ Pn é fechado para a soma e a multiplicação escalar, contém o polinômio nulo e o negativo de todo seu elemento; 5/ (a) Para f, g ∈ Cn e ∈ F , basta notar que 0 ∈ Cn, fi fi → f ∈ Cn, f gi fi gi → f g ∈ Cn; (b) Defina S f ∈ Cn : fnx cnfn−1x . . .c2f1x c1fx 0;x ∈ . Dado o resultado de (a) é imediato que S é um subvetorial (veja o problema 3 anterior). Seção 2.3: 1/ (a) Dados x1 e x2 ∈ S , e v ∈ V2, mostre que existem k1,k2 reais tais que v k1x1 k2x2 ∈ S . Logo, V2 ⊂ S ⊂ V2 → S V2; (b) Análogamente se S ⊂ V3; 2/ Escreva v ∈ S como: v xE1 yE2 zE3, onde E1 1,0,0; E2 0,1,0; E3 0,0,1 e x,y, z ∈ . Então: (a) x y z 0 → S 0; (b) x y 0 → S zE3 : z ∈ é a forma vetorial de uma reta; Análogamente para (c) e (d); 3/ Sòmente (a) e (c) são vetoriais; 4/ (a) Não, porque Z não é um corpo. (Por exemplo, escreva S Xc : c ∈ Zr onde X x1,x2, . . .xr matriz com r colunas e c c1,c2, . . .cr′. Se s Xc, e ∈ F , o vetor s Xc pode não pertencer à S se não for inteiro); (b) c 0. Seção 2.4: 1/ (a) S T 2,1,0 −1,0,1 1,0,0; ,, ∈ (resp.múltiplas); S ∩T s12,1,−10; s ∈ ; (b) S T V3 : soma de dois planos não paralelos; S ∩T Rs 12s, s,−10s; s ∈ reta interseção de dois planos; 3/ S1 s−1,1,0; s ∈ e S2 t3,0,1; t ∈ . A soma direta é possível porque S1 ∩ S2 0; 4/ (a) n 1,−2,1 vetor normal ao plano. S rn : r ∈ ; (b) v ∈ S → v.n 0; v ∈ S→ v rn. Logo, rn.n r6 0 → r 0. Então, v 0 e S1 ∩ S 0. Enfim, S1 ⊕ S s2,1,0 t−1,0,1 r1,−2,1; r, s, t ∈ V3; Seção 2.5: 1/ 1 2 primeira equação; 1 32 segunda equação; Seção 2.6: 1/ (a) S t− 32 , − 112 , − 32 , 1 ; t ∈ ; (b) S t− 53 , − 13 , − 43 , 1,0 u 73 ,− 43 , 23 , 0, 1; t,u ∈ ; (c) S z 2i12i−1 , 12i−1 , 1 ; z ∈ C; (d) S w 22i−1 , − 12i−1 , 4i 32i−1 ; 1 ; w ∈ C; 2/ Sendo A matriz real, a igualdade As −iAt é possível sse As At 0; Seção 2.7: 1/ (a) 2x1 − x3 0; (b) x1 − 2x2 x3 0; (c) Os vetores são LI; 2/ (a) Mostre que o sistema 1 22 − 23 0; 1 − 32 3 0 ;− 1 52 43 0 só possui solução trivial; (b) 4x1 3x2 5x3 0; 3/ 3 0; 2 b3 0 ; 1 a2 c3 0 implicam 1 2 3 0 ; 4/ b2 a − bc 0; 5/ (a) x1 − x2 0 → vetor direção da reta: , 1; (b) vo,v1,v2 são LD ↔ ∃1,2 : vo 1v1 2v2 ( vo está no plano formado por v1 e v2 ); 6/ (a) O sistema 1x1 2x2 3x3 0 sempre tem solução não trivial; (b) Use o teorema 2.3; 7/ Mostre que existe uma combinação linear não trivial dos polinômios pix aixi ( i 0,1,2, . . . ,n 1 que gera o polinômio nulo; 8/ Use indução. Mostre primeiro que px e p1x são LI. Suponha verdadeiro para p, p1, . . . pm−1. Mostre então que também o será para p, p1, . . . pm−1, pm; 9/ Use sinx sinx. cos sin. cosx; 10/ (b) Use o resultado de (a) e suponha válido para r − 1. Mostre então que o é para r. Seção 2.8: 1/ (a) 3X − 2Y − Z 0; (b) v ∈ S → v 1X 2Y Z 1 3X 2 − 2Y (em virtude de (a)); (c) Não; (d) Sim. d0, 12 , 0, 1; (e) dimS 2; dimT 2 ; dimS ∩ T 1;dimS T 3; 2/ a 12 ; b − 32 ; c 52 ; dim S 3; 3/ (a) base de S: 1,2,−1; 3,0,1; base de T: −1,1,0; 2,1,3; (b) 5,−2,3; (c) dimS ∩ T 1; dimS T 3; 4/ (a) base de S: 1,2,2,5; −1,4,2,0; base de T: 2,0,−1,−2; 5,2,0,1; (b) 1,2,2,5; (c) dimS ∩ T 1;dimS T 3; 5/ Use o fato que se B é uma base de V e B′ uma base de S, B′ ⊆ B; 6/ Os n − 1 vetores − a2a1 , 1, 0, . . . 0, − a3a1 , 0, 1, . . . , 0, . . . , − ana1 , 0, 0, . . . , 1 formam uma base do espaço solução; 7/ Defina T vetores não nulos de V que não são gerados por uma base X1, . . .Xs de S ; 8/ Os vetores coluna da matriz A a1,a2, . . .an devem ser LI (↔ |A|≠ 0, cf. cap.IV); Seção 2.9: 1/ 3, 3.64; 2/ −2.143; −5.93; 9.5; 3/ 52 , 5 52 . Seção 2.10: 1/ x a1x ′ a2y ′ a3z′; y b1x ′ b2y ′ b3z′; z c1x ′ c2y ′ c3z′; 2/ x ′2 y ′2 2x ′y ′ cos − r2; 3/ 1534 x ′2 − 12 y ′2 117 x ′y ′ 1 4/ (a) F1.F2 G1.G2 0;‖F1‖ ‖F2‖ ‖G1‖ ‖G2‖ 1; (b) cos 25 ; (c) base F : y12 y22 − y1y2 1; base G : 3z12 7z22 − 3z1z2 5.
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