AL Lista 05-Matrizes e Sistemas

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EXERCÍCIOS 
 
1) Escreva as matrizes: 
 
a) A = (aij) 2x3 tal que aij = i
2 + j2 
 
b) M = (aij) , com 1≤ i ≤ 3 e 1≤ j ≤ 3 tal que aij = 3i + 2j – 5 
 
c) X = (aij) 4x2 de modo que aij = 2i
2 - j 
 
d) A = (aij) 2x4, com 
 
2) Considere as matrizes A = (aij) 2x2 , tal que aij = i + j, i = j e 
B = (bij) 2x2 , tal que b ij = 2i - 3j. Determine A + B. 0, i ≠ j 
 
 
3) Determine x.y para que se tenha 
 
 
 
 
 
 
4) Considerando as matrizes A = 
 
 
 , B = 
 
 
 e C = 
 
 
 mostre 
que são verdadeiras as seguintes propriedades: 
 
a) (A + B) + C = A + ( B + C) 
b) A + B = B + A 
c) A + (- A ) = 0 
d) k ( A + B) = kA + kB, k R 
e) (A.B).C = A. (B.C) 
f) ( A + B). C = AC +BC 
g) A.B ≠ B.A 
h) (At)t = A 
i) (A + B)t = At + Bt 
j) (k.A)t = k. At, k R 
k) (A.B)t = Bt.At 
 
5) Considere as seguintes matrizes: 
 
A = 
 
 
 , B = 
 
 
 , C = 
 
 
 , D = 
 
 
 , B = 
 
 
 
 
a) Determine 5A – 2B e 2A + 3B 
 
b) A2 = A.A e A.C 
 
c) Mostre que as matrizes D e E comutam e A e B não comutam, isto é que 
D.E = E.D e A.B ≠ B.A 
 
 
6) Encontre as matrizes de ordem 2 e 3 que comutam respectivamente com: 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
7) Determine, se possível, x R para que a matriz 
 
 
 
 seja 
simétrica. 
 
 
8) Dada a matriz A = 
 
 
 
 mostre que S = A. At é uma matriz simétrica. 
 
9) Seja A = 
 
 
 . Ache uma matriz B = (bij)2x3, com todos os elementos 
distintos, tal que A.B = 0 
 
 
10) Dada a matriz M = 
 
 
 
 , calcule M.Mt e conclua que 
Mt = M-1 
 
 
11) Considere o polinômio g(x) = x2 + 3x. Calcule g(A), sendo A = 
 
 
 Em 
seguida, diga o que podemos afirmar sobre g(A). 
 
12) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem resolva as equações 
em X sabendo-se que: 
 
a) A.X.B = C 
 
b) A. (B + X) = A 
 
13) Determine X de modo que: 
 
 
 + X = 
 
 
 
 
14) Determine X na equação de modo que: 
 
 
 + 2X = 
 
 
 
 
15) Determine X e Y tal que: X + Y = A + 3B 
 X – Y = A + B 
Em que: 
 
A = = 
 
 
 e B = 
 
 
 . 
 
16) Resolva a equação matricial 
 
X. 
 
 =