CDI II Lista 04- Funções de mais de uma variável

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Preceptores: Cesar Postingel Ramos e Juniormar Organista.
Co´digo da mate´ria: CDI II
Cursos atendidos: Estat´ıstica, F´ısica e Qu´ımica.
Lista IV
1. Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dw
dt
.
(a) w = 3 cos(x)− sen(xy); x = 1
t
, y = 3t
(b) w = 5 cos(xy)− sen(xz); x = 1
t
, y = t, z = t3
2. Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar ∂z
∂u
e ∂z
∂v
.
(a) z = 8x2y − 2x + 3y; x = uv, y = u− v
(b) z = ex
2y; x =
√
uv, y = 1
v
3. Encontre ∂z
∂x
e ∂z
∂y
por derivac¸a˜o impl´ıcita e confirme que o resultado obtido e´ consistente
com o teorema 1:
(a) x2 − 3yz2 + xyz − 2 = 0 (b) yex − 5sen(3z) = 3z
Teorema 1 : Suponha que F (x, y, z) = 0 defina z implicitamente como uma func¸a˜o de x
e y. Se ∂F
∂z
6= 0, enta˜o
∂z
∂x
= −
∂F
∂x
∂F
∂z
e
∂z
∂y
= −
∂F
∂y
∂F
∂z
4. Encontre Duf em P , quando f(x, y, z) = 4x
5y2z3, P (2,−1, 1) e u = 1
3
i + 2
3
j− 2
3
k.
5. Encontre a derivada direcional de f em P na direc¸a˜o de a.
(a) f(x, y) = y2 ln(x); P (1, 4); a = −3i + 3j
(b) f(x, y, z) = z−y
z+y
; P (1, 0,−3); a = −6i + 3j− 2k.
6. Encontre o gradiente de f no ponto indicado.
(a) f(x, y) = (x2 + xy)3; P (−1,−1) (b) f(z, y, z) = y ln(x + y + z); P (−3, 4, 0)
1
7. Seja z = 3x2 − y2. Determine todos os pontos nos quais ||∇z|| = 6.
8. Encontre uma equac¸a˜o para o plano tangente e equac¸o˜es parame´tricas para a reta normal
a` superf´ıcie no ponto P.
(a) z = xe−y; P (1, 0, 1) (b) z = e3ysen(3x); P (pi
6
, 0, 1)
(c) x2 + y2 + z2 = 25; P (−3, 0, 4)
9. Encontre todos os pontos do elipsoide 2x2 + 3y2 + 4z2 = 9 nos quais o plano tangente e´
paralelo ao plano x− 2y + 3z = 5.
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