A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
83 pág.
Limites e Derivadas - Pág. 83

Pré-visualização | Página 3 de 16

8º) Trinômio do 2º grau: ( )( )''xx'xxacbxax2 −−=++ , onde 'x e ''x são as raízes obtidas pela 
fórmula de Bháskara 


 −=∆∆±−= ac4b,
a2
bx 2 onde . 
9º) Soma de cubos: ( )( )2233 babababa +−+=+ . 
10º) Diferença de cubos: ( )( )2233 babababa ++−=− . 
 
Conjugado de radicais: 
 
11º) Conjugado de ba − é ba + , pois ( ) ( ) bababa −=+⋅− . 
12º) Conjugado de 33 ba − é 3 233 2 baba ++ , pois ( ) ( ) babababa 3 233 233 −=++⋅− . 
 
 
Proposição (unicidade do limite). 
 
Se ( ) 1ax Lx flim =→ e ( ) 2ax Lx flim =→ , então 21 LL = . Se o limite de uma função num ponto existe, 
então ele é único. 
 
 
Principais propriedades dos limites. 
 
Se ( )x flim
ax→
 e ( )x glim
ax→
 existem, e k é um número real qualquer, então: 
 
a) ( ) ( )[ ] ( ) ( )x glimx flimxgxf lim
axaxax →→→
±=± . 
 
b) ( ) ( )x flim.kxf. klim
axax →→
= . 
 
c) ( ) ( )[ ] ( ) ( )x glimx flimxgxf lim
axaxax →→→
⋅=⋅ . 
 
d) ( )( )
( )
( ) ( ) 0x glim,x glim
x flim
xg
xf lim
ax
ax
ax
ax
≠=
→
→
→
→
 . 
 
e) kklim
ax
=
→
 . 
Álvaro Fernandes 9
Exemplo 6. Calcule 
4x2
7xlim
2
1x +
−
→
 usando as propriedades. 
 
( )
( ) ( ) 1
6
6
21
71
2
1
2limxlim
7limxlim
2
1
2xlim
7xlim
2
1
2x
7xlim
2
1
2x2
7xlim
4x2
7xlim
2
1x1x
1x
2
1x
1x
2
1x
2
1x
2
1x
2
1x
−=−=+
−+⋅=+
−+⋅=+
−⋅=+
−⋅=+
−=+
−
→→
→→
→
→
→→→ 
 
 
 
 
 
 
Ufa, quanto trabalho!!! Bastaria substituir o ponto 1x = diretamente na expressão, obtendo logo 
1
6
6 −=− . 
 
 
Atividades (grupo 1). 
 
Calcule os limites abaixo: 
 
a) 
x2
x4lim
2
2x +
−
−→
 b) 
6xx
3x4xlim 2
2
3x −−
+−
→
 c) 5x5
1xlim
3
1x −
−
→
 
 
d) 2
3
2x x4
x8lim −
+
−→
 e) 3
4
2x x8
16xlim −
−
→
 f) 1x
1xlim
1x −
−
→
 
 
g) 
x2x
x1lim
2
1x ++
−
−→
 h) 
49x
3x2lim 27x −
−−
→
 i) 
x51
x53lim
4x −−
+−
→
 
 
 
Atividades (grupo 2). 
 
Calcule os limites indicados: 
 
a) ( )f x x x
x x
= − ≤+ >

2 1 0
1 0
,
,
 
 
 , calcule: ( ) ( ) ( )lim , lim lim
x x x
 f x f x f x→− → →1 2 0 e . 
 
b) ( )g x x x
x
= ≠=

2 2
3 2
,
,
 
 
 , calcule: ( )lim
x
 g x→2 . 
 
c) ( )h x x x
x x
= −− >

4
5 2 1
2 ,
,
 < 1
 
 , calcule: ( )lim
x
 h x→1 . 
 
d) ( )



≥−
<≤−
<
=
2x,6x2
2x0,x1
0x,2
xl 2
x
 
 
 
 , calcule: ( ) ( ) ( ) ( )xllimxllim,xllim,xllim
xx2x0x
 e 
+∞→−∞→→→
. 
 
 
Álvaro Fernandes 10
Continuidade 
 
Definição: Seja 0x um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto 
0x se: 
 ( ) ( )0xx xfx flim0 =→ . 
 
Exemplo 7. A função do exemplo 1 (pág. 3) é contínua no ponto 2x0 = , pois ( ) ( ) 32fx flim2x ==→ . 
Na verdade esta função é contínua em ℜ , isto é, em todos os pontos da reta (do seu domínio). 
 
Exemplo 8. Algumas funções que não são contínuas no ponto 0x : 
 
a) 
 
b) c) 
 
 
Pois... 
 
a) não existe ( )x flim
0xx→
, apesar de ( )0xf existir, neste caso ( ) Lxf 0 = ; 
 
b) existe ( )x flim
0xx→
, isto é ( ) 1xx Lx flim0 =→ . Existe ( )0xf , neste caso ( ) 20 Lxf = , mas ( ) ( )0xx xfx flim0 ≠→ ; 
 
c) não existe ( )x flim
0xx→
, apesar de ( )0xf existir, neste caso ( ) Lxf 0 = . 
 
Exemplo 9. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados: 
 
 
 
a) ( ) 4x,
4x,4x2
4x,
x28
16x
xf 0
2
=







=−
≠−
−
= . b) ( ) 1x,
1x,x51
1x,
x1
2x2
1x,
1x
x1
xg 0
2
2
=









=−
<−
−
>−
−
= . 
 
Soluções: a) Calculando o limite, temos: ( )( )( )
( ) 4
2
4x lim
x42
4x4x lim
x28
16x lim
4x4x
2
4x
−=+−=−
+−=−
−
→→→
. 
Calculando a imagem, temos: ( ) ( ) 44424f =−= . Como ( ) ( )4fx flim
4x
≠
→
, então a função não é 
contínua (ou descontínua) no ponto 4x0 = . 
Álvaro Fernandes 11
b) Calculando o limite, temos: 
 
 ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 41xx1 lim
1x
1xx1x1 lim
1x
1x
1x
x1x1 lim
1x
x1 lim
1x1x1x
2
1x
−=++−=−
++−=+
+⋅−
+−=−
−
++++ →→→→
 
 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4221x lim2
x1
1x1x lim2
x1
1x2 lim
x1
2x2 lim
1x1x
2
1x
2
1x
−=−=+−=−
+−=−
−=−
−
−−−− →→→→
 
 
Como os limites laterais são iguais, temos que ( ) 4x glim
1x
−=
→
. 
 
Calculando a imagem, temos: ( ) ( ) 41511g −=−= . 
 
 
Como ( ) ( )1gx glim
1x
=
→
, então a função é contínua no ponto 1x0 = . 
 
Atividades (grupo 3). 
 
Determine, se possível, a constante ℜ∈ a de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto 
ox , sendo: 
 
a) ( ) ( )1x
1x,2x
1x,2ax3
xf o
2
=


≥−
<+= 
 
 
. b) ( ) ( )1x
1x,a
1x,2ax
xg o2
2
=
 =
≠+= 
 
 
. 
 
 
Atividades (grupo 4). 
 
Determine, se possível, as constantes ℜ∈ba e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no 
ponto ox , sendo: 
c) ( ) ( )3x
3x,1bx
3x,ax
3x,3x3
xf o
2
−=



−<+
−=
−>−
= 
 
 
 
. d) ( )
( )
( )0x
0x,x2b
0x,a3x7
0x,1xcos.a2
xg o
2
=



>−
=−
<++π
= 
 
 
 
. 
 
 
 
Propriedades das funções contínuas. 
 
Se as funções f e g são contínuas em um ponto 0x , então: 
 
i) f ± g é contínua em 0x ; 
 
ii) f . g é contínua em 0x ; 
 
iii) f / g é contínua em 0x desde que ( ) 0xg 0 ≠ . 
Álvaro Fernandes 12
Limites infinitos 
 
 
Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim 
infinito ( ∞−∞+ ou ), dizemos então que o limite é infinito. 
 
Exemplo 10. Calcule 
1x
1x lim
2
1x −
−
−→
. 
 
Neste caso, quando fazemos a substituição de x por −1 na expressão x
x
2 1
1
−
− , encontramos 02
0 =− . 
Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer 
0
0
k
k, ≠ , o resultado 
do limite será sempre zero, naturalmente. 
 
E se na substituição do valor de x ocorrer 
k
k
0
0, ≠ ? 
 
Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra. 
 
Exemplo 11. Estude o seguinte limite: lim
x x→0
1
 . 
 
Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações: 
 
Aproximação do zero pela direita (notação x → +0 ) 
 
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 
f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000 
 
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), ( )f x x= 1 cresce 
indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 
 
lim
x x→ +
= +∞
0
1
 
 
Aproximação do zero pela esquerda (notação x → −0 ) 
 
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 
f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000 
 
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), ( )f x x= 1 decresce 
indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: 
 
lim
x x→ −
= −∞
0
1
 
 
Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim
x x→0
1
 . 
 
Veja ao lado o gráfico da função ( )f x x= 1 . 
 
 
 
Álvaro Fernandes 13
Regra (generalização) 
 
Se na substituição do valor de x no cálculo de um limite ocorrer 
k
k
0
0, ≠ , então diremos que a 
resposta do limite é: 
 
 



<∞+>∞−
<∞−>∞+
−−
++
0k,
0
k,0k,
0
k,
0k,
0
k,0k,
0
k,
 ocorre se e ocorre se 
 ocorre se e ocorre se 
 . 
 
Desta regra podemos perceber que 0k →∞± . Se o denominador tende ao infinito com o numerador