Relatividade_Capitulo1_FisicaModerna

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Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita 
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori 
 
1 
 Introdução. Relatividade Newtoniana 
 
A relatividade é o campo de estudo de 
eventos medidos na física; onde e quando eles 
acontecem, e como dois eventos são separados 
no espaço e no tempo. Há uma relação de 
transformação entre as medidas feitas quando 
ocorrem em referenciais em movimento um 
em relação ao outro. 
Essas relações eram bem conhecidas 
pelos físicos até 1905, quando Albert Einstein 
publicou sua Teoria Especial da Relatividade. 
O termo especial significa que a teoria trata 
somente fenômenos quie ocorrem em 
referenciais inerciais, nos quais as Leis de 
Newton são válidas. A teoria geral da 
Relatividade de Einstein considera a situação 
na qual o sistema referencial pode estar sujeito 
a uma aceleração gravitacional. 
Com dois postulados básicos, Einstein 
demonstrou ao mundo científico que as 
antigas idéias sobre relatividade estavam 
erradas, pois estavam baseadas em um bom 
senso comum, que era apoiado no estudo do 
movimento de objetos com velocidades 
baixas, muito menores que a velocidade da 
luz. A relatividade de Einstein demonstrou 
que fenômenos eram explicados para 
quaisquer velocidades das entidades presentes 
no experimento. Einstein demonstrou que o 
espaço e o tempo estão interligados; ou seja, o 
tempo entre dois eventos depende como ele 
ocorre e vice versa. Um resultado disso é que 
o tempo não passa a uma taxa fixa, como se 
estivesse interligado a um mecanismo regular 
de um relógio que controla o universo. A taxa 
é ajustável: movimento relativo pode mudar a 
uma taxa a qual o tempo passa. 
Hoje, experimentos comprovam essa 
teoria, como a engenharia envolvida com o 
sistema de posicionamento global (GPS – 
Global Positioning System) dos satélites 
NAVSTAR, cujas rotinas de controle utilizam 
relatividade (especial e geral) para determinar 
a taxa a qual o tempo passa nos satélites 
devido às diferenças medidas na superfície da 
Terra. Caso os engenheiros não incluíssem a 
teoria da relatividade nos cálculos do sistema 
GPS, haveria falhas no sistema em menos de 
um dia. 
 
 O éter e a velocidade da luz 
 Adaptado de: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_de_Michelso
n-Morley 
 
A experiência de Michelson-Morley, uma 
das mais importantes e famosas experiências da 
história da física, realizada em 1887 por Albert 
Michelson (1852 - 1931) e Edward Morley (1838-
1923), é considerada uma das provas forte contra 
a teoria do éter. 
A teoria física no fim do século XIX postulava 
que, tal como as ondas de água têm de ter um meio 
por onde propagar-se (a água) e as ondas sonoras 
audíveis também requerem o seu meio (o ar), as 
ondas luminosas iriam necessitar, também elas, de 
um meio próprio, o "éter". 
A cada ano, a Terra viaja tremendas distâncias 
em sua orbita ao redor do sol, a uma velocidade 
em torno de 30km/segundo, em torno 100.000 km 
por hora. Estava-se proposto que a terra poderia 
estar a todo instante se movendo através de um 
éter e produzindo um "Vento Etéreo" detectável. A 
qualquer ponto da superfície da Terra, a 
intensidade e a direção do vento poderia variar 
com o horário do dia e a estação do ano. Através 
da análise do vento aparente em vários momentos 
diferentes do dia, deveria ser possível a separação 
dos componentes devido à movimentação da terra 
em relação ao sistema solar em qualquer situação 
de movimento desde mesmo sistema. 
O efeito do vento etéreo em ondas de luz 
deveria ser semelhante ao efeito do vento sobre as 
ondas de som. Ondas de som viajam em uma 
velocidade constante em relação ao meio em que 
se encontram (isso varia de acordo com a pressão, 
temperatura, mas é normalmente de 340m/s). 
Então, se a velocidade do som em nossas 
condições é de 340m/s, em uma condição de vento 
de 10m/s em relação ao chão, dentro da corrente de 
vento, a viajem do som terá 330m/s(340 - 10). Ao 
percorrer contra a corrente de vento, parecerá que 
o som está viajando a 350m/s(340 + 10). Medindo 
a velocidade do som em comparação ao solo em 
direções diferentes nos permite calcular a 
velocidade do ar em relação ao chão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A experiência de Michelson-Morley foi 
planejada com a intenção de estudar o movimento 
da Terra em relação ao referencial do éter. Como a 
Terra se move em relação ao Sol, pareceria não 
realístico fazer a hipótese de que o éter se movia 
com a Terra, e, já eram conhecidas na época 
evidências experimentais que contradiziam essa 
hipótese. Seria mais razoável considerar que o éter 
estaria em repouso em relação ao centro de massa 
do sistema solar, ou o centro de massa do universo. 
No primeiro caso, a velocidade da Terra relação ao 
éter teria um módulo de 10
4
m/s; no segundo caso, 
ela seria um pouco maior. A idéia básica da 
experiência era de medir a velocidade da luz em 
duas direções perpendiculares, a partir de um 
sistema de referência fixo em relação à Terra. Se 
considerarmos por momentos a teoria clássica 
resumida pela adição vetorial: a velocidade da luz 
em relação a referencial em movimento é igual à 
velocidade da luz em relação ao éter menos a 
velocidade do referencial em movimento em 
relação ao éter, veremos que a teoria prevê que as 
velocidades medidas deverão ter valores diferentes 
em relação à direção de movimento do observador 
em relação ao éter. 
 Embora a diferença observada entre as 
duas velocidades medidas fosse pequena, devido 
ao fato da velocidade da Terra em relação ao éter 
ser pequena comparada à velocidade da luz em 
relação ao éter, Michelson e Morley construíram 
um aparelho com um interferômetro que seria 
suficientemente sensível para detectar e medir essa 
diferença. Eles se surpreenderam extremamente ao 
verificar que não puderam detectar nenhuma 
diferença. Eles, e muitos cientistas depois deles, 
repetiram a experiência com equipamentos 
aperfeiçoados, porém nunca se observou diferença 
nenhuma. A experiência de Michelson-Morley 
mostrou que a velocidade da luz tem o mesmo 
valor, c, medida em direções perpendiculares em 
um sistema de referência que se supõe estar em 
movimento em relação através do referencial do 
éter. 
 Assim, a velocidade da luz no vácuo 
independe do movimento do observador e do 
movimento da fonte. 
 
 
 Os Postulados de Einstein 
1
o
 Postulado: 
 O Postulado da Relatividade 
 As leis da física são as mesmas para todos os 
sistemas referenciais inerciais. Nenhum 
sistema é preferido em relação a outro. 
 
 Galileo Gallilei afirmou que as Leis da 
mecânica eram as mesmas em todos os referenciais 
inerciais; Einstein estendeu esse resultado 
incluindo todas as Leis da Física, destacando-se 
aqui o eletromagnetismo e a ótica. O postulado não 
diz que as medições de quantidades físicas feitas 
em referenciais inerciais são iguais para 
observadores inerciais. 
 
 2
0
Postulado: O postulado da velocidade 
da Luz. 
 A velocidade da luz no vácuo tem o 
mesmo valor em todas as direções e em todos os 
sistemas referenciais inerciais. 
 A velocidade da luz é um limite para as 
velocidades de quaisquer objetos ou partículas. 
 Atualmente, considera-se de acordo com 
experimentos realizados, o valor da velocidade da 
luz (para o vácuo): 
299792458
m
c
s

 
onde usualmente utiliza-se nos livros o 
valor aproximado: 
83 10
m
c
s
 
 
 A Transformação Galileanas e a 
Transformação de Lorentz 
 
Suponha que há um sistema referencial 
inercial S com uma velocidade v em relação a um 
sistema fixo S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 z z’ 
 
 As transformações Galileanas para as 
coordenadas desses sistemas são: 
 
xx v t   
 
t t 
 
 As transformações de Lorentz entre os 
dois sistemas S e S’ são dadas por: 
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3 
 x x v t    
 
y y 
 
z z 
 
2
v x
t t
c

 
    
 
 
 
É assumido que em t’ = t = 0 as origens 
dos dois sistemas S e S’ coincidam. 
A demonstração dessa transformação 
obtém-se pelos postulados estudados. Sua prova, 
juntamente com o valor de  será visto a seguir. 
 
 A Dilatação do tempo 
 
Observadores que possuem movimentos 
relativos entre si (ou separados temporalmente) 
medem o mesmo intervalo de tempo, eles obterão 
diferentes resultados. 
Porque? Por causa da separação espacial pode 
afetar o intervalo de tempo medido pelos 
observadores. 
 
O intervalo de tempo entre dois eventos 
depende como eles ocorrem no espaço e no tempo; 
ou seja, as separações espaciais e temporais estão 
interligadas. 
Exemplificaremos através de um experimento 
no qual Sally conduz. Ela utiliza um espelho, um 
relógio e uma fonte luminosa B e realiza o 
experimento em um trem que se move com 
velocidade constante v. 
 Um pulso de luz deixa a fonte luminosa B 
(Evento 1), propaga-se verticalmente e reflete-se 
no espelho e é detectado sua volta na fonte (Evento 
2). Sally mede um certo intervalo de tempo 
0t
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, podemos afirmar que: 
0
2D
t
c
 
 
Os dois eventos ocorrem no mesmo local, o 
sistema referencial inercial de Sally, no interior do 
trem com velocidade constante v. 
Considere agora que esses dois eventos são 
observados por Sam, que está de pé sobre uma 
plataforma da estação de trem, portanto, parado em 
relação a plataforma fixa. Para ele os dois eventos 
ocorrem em diferentes locais de seu sistema 
referencial inercial, e, para medir seu intervalo de 
tempo, Sam utiliza dois relógios sincronizados C1 
e C2, um para cada evento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o tempo medido por Sam será: 
 
2 2L
t t L
c c
    
 
Como: 
2
2 2
2
v t
L D
 
   
 
 
2
2 2 2 2
2 2
4 4
2
v t
t L t D
c c
  
       
   
2 2 2
2
2 2
4 4
4
D v t
t
c c

  
 
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 4
1
v D v D
t t t
c c c c
 
        
 
 
2
2
2
2
2
4
1
D
ct
v
c
 
 
 
 
 
2
2
2
2
4
1
D
ct
v
c
 
 
 
 
 
2
2
2
1
D
ct
v
c
 
 
 
 
 
0
2
2
1
t
t
v
c

 
 
 
 
 
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4 
0
2
2
1
1
t t
v
c
     

 
2
1
1
v
c
 

  

 
Denominamos  de fator de Lorentz e  de 
parâmetro de velocidade. 
 O intervalo de tempo medido no referencial no 
qual os eventos ocorrem no mesmo local é 
chamado de tempo próprio. O efeito relacionado 
ao fato que o intervalo de tempo medido no 
referencial S’ é maior que o intervalo de tempo 
medido no referencial S é chamado de dilatação do 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Contração das distâncias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0L v t 
 
L v t  
 
0
L L
v
t t

 
 
 
0 1tL L L L
t 

    

 
 
 Outra demonstração: Imagine uma 
experiência imaginária onde no referencial S´do 
trem em movimento colocamos uma régua e em 
uma das extremidades dela uma fonte de luz e na 
outra um espelho. A régua está em repouso em 
relação a S´ que se move com velocidade constante 
u em relação ao referencial S. No referencial S´ o 
comprimento da régua é l0. Portanto o intervalo de 
tempo t0 que um pulso de luz leva para ir da fonte 
ao espelho e retornar é: 
0
0
2l
t
c
 
 
 Esse intervalo de tempo é o tempo próprio 
porque a ida e a volta ocorrem no mesmo ponto de 
S´. 
 No sistema de referência S, a régua se 
desloca da esquerda para a direita com velocidade 
u durante a propagação do pulso de luz. O 
comprimento da régua no referencial S í igual a l e 
o intervalo de tempo que leva a luz para ir da fonte 
até ao espelho é t1. Durante esse intervalo de 
tempo, a régua, juntamente com a fonte e o 
espelho, já andou u t1. Portanto a distância total d 
entre a fonte e o espelho não é l e sim: 
1d l u t  
 
 O pulso de luz se desloca com velocidade 
c, portanto podemos afirmar que: 
1d c t 
 
 Assim: 
1 1 1
l
d l u t c t t
c u
       

 
 Analogamente, podemos mostrar que a 
distância d entre a fonte e o espelho quando a luz 
percorre do espelho à fonte é: 
2d l u t  
 
Como: 
2d c t 
 
2 2 2
l
d l u t c t t
c u
       

 
 O intervalo de tempo total que o pulso de 
luz leva para ir da fonte até o espelho e retornar ao 
ponto inicial é: 
1 2t t t   
 
l l
t
c u c u
  
 
 
 
   
 
   
l c u l c u
t
c u c u c u c u
   
  
     
 
2 2
2l c
t
c u

 

 
2
2
2
1
l
ct
u
c
 

 
2 2lt
c
  
 
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5 
0
0
2l
t
c
 
 
2
00
2
2
l
t c
lt
c
 



 
2
0 0
t l
t l


 

 
 Porém sabemos que: 
0t t  
 
20
0 0
t l
t l



 

 
2
0
0
1l
l l
l
 

    
 
2
02
1
u
l l
c
  
 
 Ou: 
2
01l l  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O comprimento l0 é chamado de 
comprimento próprio e o fenômeno descrito é 
chamado de contração de Lorentz. 
 
 Sincronização de relógios e 
simultaneidade. 
 
Anteriormente, observamos a medida de um 
intervalo de tempo entre dois eventos que ocorrem 
no mesmo ponto em determinado sistema 
referencial. Ele pode ser medido utilizando um 
relógio simples. No referencial em movimento em 
relação ao primeiro, os mesmos dois eventos 
ocorrem em diferentes lugares, portanto são 
necessário dois relógios para medir o intervalo de 
tempo. O tempo de cada evento é medido em 
relógios diferentes, e o intervalo é encontrado pela 
subtração. Esse procedimento requer que os 
relógios estejam sincronizados. 
É possível demonstrar que: 
Dois relógios que estão sincronizados em um 
sistema referencial não estão necessariamente 
sincronizados em algum outro sistema referencial 
movendo-se relativamente em relação ao sistema 
referencial. (Relógios sincronizados). 
Um corolário desse resultado: Dois eventos 
que são simultâneos em um sistema referencial 
tipicamente não são simultâneos em um outro 
sistema referencial que se move em relação ao 
primeiro. (Eventos simultâneos). 
Definição de eventos simultâneos: Dois 
eventos em um sistema referencial são simultâneos 
se o sinal luminoso dos eventos chegam ao mesmo 
tempo para um observador situado no meio 
caminho entre os eventos. 
 Para mostrar que dois eventos são 
simultâneos num referencial S e não são 
simultâneos num referencial S’, utilizaremos um 
exemplo importante proposto por Einstein. 
 Um trem, movendo-se a velocidade v, 
passa por uma plataforma. Considere o trem em 
repouso em S’ e a plataforma estar em repouso em 
S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Há observadores A’, B’, e C’ localizados 
na frente, atrás e no meio do trem. Suponha 
que a plataforma e o trem sejam atingidos por 
relâmpagos, na frente e atrás do trem e que os 
relâmpagos são simultâneos no referencial da 
plataforma S. 
 O observador C, no meio da plataforma 
entre as posições A e B, vê os relâmpagos no 
mesmo tempo. É conveniente supor que a luz 
chamusca o trem e a plataforma e os eventos 
podem ser facilmente localizados. Como C’ está 
no ponto médio do trem, o ponto médio das marcar 
feitas pelo relâmpago, os eventos são simultâneos 
em S’ somente se C’ observa os flashes ao mesmo 
tempo. A luz à frente de C’ é vista por C’ antes 
que a luz atrás. Entendemos assim por considerar o 
movimento de C’ como é visto no referencial S. 
No momentoem que a luz da frente atinge C’ C’ 
move-se alguma distância para frente do flash da 
frente e alguma distância para o flash de trás. 
Então, a luz do flash de trás ainda não atinge C’, 
como é indicado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O observador C’ deve então concluir que 
os eventos não são simultâneos e que a parte da 
frente do trem foi atingida antes que a de trás. 
 Conseqüentemente, todos os observadores 
em S’ concordam com C’ quando é considerada a 
correção do tempo que leva a luz para chegar a 
eles. 
 A figura a seguir mostra a luz que é vista 
no referencial do trem (S’). Nessa fotografia, a 
plataforma está se movendo, estão a distância entre 
as duas marcas da plataforma está contraída. A 
plataforma é menor do que está em S e, desde que 
o trem está em repouso, o trem é maior do que seu 
comprimento contraído em S. Quando a luz a 
frente do trem atinge o ponto A’, a frente do trem é 
o ponto A, e a luz ainda não atingiu o ponto B. 
Quando a luz atinge a parte de trás do trem em B’, 
atinge o ponto B da plataforma. 
 A discrepância no tempo dos dois relógios 
sincronizados em S, como é vista em S’, pode ser 
encontrada pelas equações da transformações de 
Lorentz. Suponha que tenhamos relógios em x1 e 
x2, que estão sincronizados em S. O que são os 
tempos t1 e t2 nesses relógios como observados de 
S’ no tempo t0’? Utilizando a transformação de 
Lorentz, teremos: 
1
0 1 2
v x
t t
c

     
 
 
2
0 2 2
v x
t t
c
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então: 
0 1
1 2
t v x
t
c
 
 
 
0 2
2 2
t v x
t
c
 
 
 
 2 1 2 12
v
t t x x
c
  
 
 Como o comprimento próprio é dado por: 
2 1pL x x 
 
2 1 2 p
v
t t L
c
 
 
 A transformação das velocidades 
 x x v t    
 
y y 
 
z z 
 
2
v x
t t
c

 
    
 
 
 
2
1
1
v
dx dx v dt
c


      

 
22
1
1
v dx
dt dt
c
 
    
 
 
 
2
22
1
1
1
1
x x
dx v dt
dx
v v
v dxdt
dt
c


  
 
   
  
  
 
 
2
1
x
dx
v
dt
v
dx
v
dt
c
 
 
  
 
 
 
 
 
 
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7 
2
1
x
x
x
v v
v
v v
c

 


 
22
1
1
y y
dy dy
v v
v dxdt
dt
c

   
  
  
 
 
22
1
1
y
dy
dtv
dx
v
dt dt
dt c
 
 
 
  
  
 
 
22
1
1
1
y
y
x
v
v
v v
c
 
 
  
 
 
2
2
1
1
y
y
x
v
v
v v
c
  


 
 Similarmente: 
2
2
1
1
z
z
x
v
v
v v
c
  


 
 
 
 O paradoxo dos gêmeos. 
 
Dois gêmeos fazem a seguinte experiência: 
um deles parte da Terra numa astronave, com 
destino a uma estrela distante, enquanto o outro 
permanece na Terra. Ao retornar, o viajante 
encontra-se com o gêmeo que permaneceu na 
Terra e observa que este estará anos mais velho do 
que ele. 
 
 Exemplo1. : Sua nave passa a 0.999c da 
Terra. Depois de 10 anos viajando (medido no seu 
tempo) você retorna à Terra com a mesma 
velocidade e leva os mesmos 10 anos para voltar 
(medido no seu tempo). Quanto tempo passará na 
Terra, desprezando efeitos da desaceleração? 
 
0
2
2
1
1
t t
v
c
     

 
 
2
2
1
10
0.999
1
t
c
c
  

 
222.7t 
 
(ida) 
448T a 
 
 
 Exemplo 2: Uma régua de comprimento 
próprio 1 m move-se com velocidade v relativa a 
você. Você mede um comprimento de 0.914m. 
Qual é a velocidade v? 
2
2
1p
v
L L
c
  
 
2
2
1
p
L
v c
L
  
 
2
2
0.914
1
1
v c  
 
0.406v c 
 
 
Exemplo 3: Um avião supersônico move-
se a uma velocidade de 1000 m/s (3 vezes a 
velocidade do som) ao longo de um eixo x em 
relação a você. Um segundo avião, move-se com 
velocidade de 500 m/s em relação ao primeiro 
avião e para longe de você. Qual a velocidade do 
segundo avião em relação a você? 
2
1
x
x
x
v v
v
v v
c

 


 
2
1 xx x
v v
v v v
c
 
    
 
 
2
1 xx x
v v
v v v
c
 
    
 
 
2
x
x x x
v v
v v v v
c

    
 
2
1 xx x
v v
v v v
c
  
    
 
 
2
1
x
x
x
v v
v
v v
c


 

 
12
2 8
1000 500
5.6 10
3 10
xv v
c
    

 
~ 500 1000 1500
1 0
x
x
v v m
v
s

   

 
 
 Exemplo 4: Um observador numa 
espaçonave possui uma arma de fogo e um 
espelho, como mostra a figura. 
 A distância entre a arma e o espelho é de 
15 minutos-luz e a espaçonave, em S’ atravessa a 
velocidade v = 0.8c em relação a uma plataforma 
muito longa em S. A plataforma possui dois 
relógios sincronizados, um localizado na posição 
x1 da espaçonave e outro relógio a x2 quando a luz 
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita 
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori 
 
8 
retorna após a reflexão do espelho. Encontre o 
intervalo de tempo entre os dois eventos (explosão 
da arma de fogo e recebimento do sinal após a 
reflexão no espelho) 
(a) no referencial da espaçonave. 
(b) no referencial da plataforma. 
(c) Encontre a distância percorrida pela 
espaçonave. 
(d) o tempo de não sincronização dos 
relógios da plataforma de acordo com os 
observadores na espaçonave. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Na espaçonave, a luz atravessa a distância da 
arma ao espelho e percorre uma distância total de: 
 
D
D c t t
c
     
 
D
D c t t
c
     
 
Como os eventos ocorrem no mesmo lugar na 
espaçonave, o intervalo de tempo é o tempo 
próprio. 
30
p p
D c
t t
c c
    
 
30minpt 
 
(b) No referencial S, o intervalo de tempo 
entre os eventos é maior por um fator : 
2
2
1
1
p pt t t t
v
c
      

 
2
1 5
30 30
31 0.8
t t      

 
50mint 
 
 
(c) No referencial S, a distância percorrida 
pela espaçonave é: 
2 1x x v t  
 
2 1 2 10.8 50 40 minx x c x x c      
 
(d) Os relógios da plataforma estão fora de 
sincronização pela quantidade: 
2s P
v
t L
c
  
 
2
0.8
40 mins
c
t c
c
  
 
32minst  
 Momento relativístico 
 
As leis do movimento de Newton possuem a 
mesma forma em todos os sistemas de referenciais 
inerciais. Quando utilizamos uma transformação 
para i de um sistema á outro, as leis permanecem 
invariantes. Porém, o princípio da relatividade 
obriga a trocar as transformações de Galileo pelas 
de Lorentz, que são mais gerais. Isso exige 
generalizações correspondentes para as leis de 
movimento e para as definições de energia e 
momento linear. 
 O princípio da conservação do momento 
linear afirma que, quando dois corpos interagem, o 
momento linear total permanece constante, desde 
que a força externa resultante que atua sobre os 
corpos no sistema referencial inercial seja nula. 
 Suponha que observemos uma colisão em 
um sistema referencial inercial S e verifiquemos 
que o momento é conservado. Então, usa-se as 
transformações de Lorentz para obter as 
velocidades em um segundo sistema referencial S´. 
Verifica-se que, usando a definição de momento 
linear: 
p m v 
 
, o momento linear não é 
conservado no segundo sistema de referência! 
Como temos certeza que o princípio da 
relatividade e as transformações de Lorentz são 
corretos, a única maneira de salvar a lei da 
conservação do momento linear consiste em 
generalizar a definição de momento linear. 
 Suponha que, ao medirmos a massa de 
uma partícula que está em repouso em relação a 
nós, achamos um valor m; geralmente chamamos 
de massa de repouso a massa m. Vamos chamar de 
partícula material toda partícula com massa de 
repouso diferente de zero. Quando essa partícula 
tem velocidade 
v
 , seu momento linear 
relativístico 
p

é dado por: 
2
2
1
m v
p
v
c



 
Ou 
p m v   
 
 Exemplo 5 - Da segunda Lei de Newton: 
dp
F
dt

 
 Então, usando 
2
2
1
m v
p
v
c




 como 
momento linear (relativístico) e se a força 
resultante e a velocidade estiverem situadas num 
mesmo eixo, mostre que: 
3F m a  
 
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita 
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9 
2
2
1
d m v
F
dt v
c
 
 
 
 
 
 

 
1
1
2 2 2
2 2 2
2
2
2
1 2
1 1
2
1
dv v v v dv
m m v
dt c c c dt
F
v
c

   
          
  
 
 
 
  12 2 2
2 2 2
2
2
2
1 1
1
v v v
m a m v a
c c c
F
v
c

   
          
  
 
 
 
 
 
2
2 2
12
2 2
2
2
2
1
1
1
v
v c
c
v
c
F m a
v
c
 
 
 
  

 
2 2
2 2
1
2 2
2
2
2
1
1
1
v v
c c
v
c
F m a
v
c
 
 
 
  

 
2 2
2 2
1
1
2 2
2
1
1
v v
c cF m a
v
c

 
 
 
 
 
 
3
2 2
2
1
m
F a
v
c
 
 
 
 
 
3F m a  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Energia Relativística 
 
Suponha que a força resultante e o 
deslocamento estão numa mesma direção. O 
trabalho realizado por esta força é: 
W Fdx 
 
2
1
3
2 2
2
1
x
x
m dv
W dx
dt
v
c
 
 
 
 

 
3
20 2
2
1
v
m dx
W dv
dt
v
c
 
 
 
 

 
3
20 2
2
1
v
m v
W dv
v
c


 
 
 

 
2
2 2
1 2
v v
u du dv
c c
    
 
 
2
2
1
2
3
1 2
2
v
c m c
W du
u


 
 
2
2
1
32
2
1
2
v
cm c
W u du

 
 
 
2
2
1
1
2 2
1
12
2
v
u
c
u
m c u
W
 


 
 

 
2
2
1
2
1
1
v
u
c
u
W m c
u
 

  
 
2 2
2
2
1 1
1
1
W m c m c
v
c
     

 
2 2
2
2
1
1
W m c m c
v
c
    

 
  21W m c   
 
Utilizando o teorema trabalho – energia: 
  21W K m c    
 
 Energia total da partícula: 
2E K m c  
 
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita 
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10 
2E m c  
 
 A energia 
2m c
associada à massa de 
repouso m da partícula é a chamada energia de 
repouso da partícula. Se eliminarmos a velocidade 
v da partícula chega-se a: 
2 2 2
2
1
1
E E
m c m c v
c
  
 

 
2
22
2
1
1
E
vm c
c
 
 
 

 
2
2
1
m v
p
v
c




 
2
2
2
2
2
1
v
p c
vm c
c
 
 
 

 
   
2 22 2E m c p c   
 
(energia total, energia de repouso e momento 
linear.) 
 
 Efeito Doppler 
 
O Efeito Doppler é o deslocamento da 
freqüência de uma fonte produzido pelo 
movimento relativo entre a fonte e o observador. 
Para uma fonte emitindo ondas eletromagnética 
com freqüência f0 que se aproxima de um 
observador com velocidade relativa u, a freqüência 
f medida pelo observador é dada por: 
0
c u
f f
c u

 

 
 Se a fonte se afasta do observador: 
0
c u
f f
c u

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O Sistema GPS 
(Adaptado de http://pt.wikipedia.org/wiki/Gps) 
O sistema de posicionamento global, 
popularmente conhecido por GPS (acrônimo do 
original inglês Global Positioning System, ou do 
português "geo-posicionamento por satélite") é um 
sistema de navegação por satélite que fornece a um 
aparelho receptor móvel a posição do mesmo, 
assim como informação horária, sob todas 
quaisquer condições atmosféricas, a qualquer 
momento e em qualquer lugar na Terra, desde que 
o receptor se encontre no campo de visão de quatro 
satélites GPS. Encontram-se em funcionamento 
dois sistemas de navegação por satélite: o GPS 
americano e o GLONASS russo. Existem também 
dois outros sistemas em implementação: o Galileu 
da União Européia e o Compas chinês. O sistema 
americano é detido pelo Governo dos Estados 
Unidos e operado através do Departamento de 
Defesa. Inicialmente o seu uso era exclusivamente 
militar, estando atualmente disponível para uso 
civil gratuito. No entanto, poucas garantias 
apontam para que em tempo de guerra o uso civil 
seja mantido, o que resultaria num sério risco para 
a navegação. O GPS foi criado em 1973 para 
superar as limitações dos anteriores sistemas de 
navegação. 
O sistema foi declarado totalmente 
operacional apenas em 1995. Seu desenvolvimento 
custou 10 bilhões de dólares. Consiste numa 
"constelação" de 24 satélites. Os satélites GPS, 
construídos pela empresa Rockwell, foram 
lançados entre Fevereiro de 1978 (Bloco I), e 6 de 
Novembro de 2004 (o 29º). Cada um circunda a 
Terra duas vezes por dia a uma altitude de 20200 
quilômetros (12600 milhas) e a uma velocidade de 
11265 quilômetros por hora (7000 milhas por 
hora), de modo que, a qualquer momento, pelo 
menos 4 deles estejam “visíveis” de qualquer 
ponto da Terra. Os satélites têm a bordo relógios 
atômicos e constantemente difundem o tempo 
preciso de acordo com o seu próprio relógio, junto 
com informação adicional como os elementos 
orbitais de movimento, tal como determinado por 
um conjunto de estações de observação terrestres. 
O receptor não necessita de ter um relógio 
de tão grande precisão, mas sim de um 
suficientemente estável. O receptor capta os sinais 
de quatro satélites para determinar as suas próprias 
coordenadas, e ainda o tempo. Então, o receptor 
calcula a distância a cada um dos quatro satélites 
pelo intervalo de tempo entre o instante local e o 
instante em que os sinais foram enviados (esta 
distância é chamada pseudodistância). 
Decodificando as localizações dos satélites a partir 
dos sinais de microondas (tipo de onda 
eletromagnética) e de uma base de dados interna, e 
sabendo a velocidade de propagação do sinal, o 
receptor, pode situar-se na intersecção de quatro 
calotes, uma para cada satélite. Até meados de 
2000 o departamento de defesa dos EUA impunha 
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita 
Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori 
 
11 
a chamada "disponibilidade seletiva", que consistia 
em um erro induzido ao sinal impossibilitando que 
aparelhos de uso civil operassem com precisão 
inferior a 90 metros. 
Porém, o presidente Bill Clinton foi 
pressionado a assinar uma lei determinando o fim 
dessa interferência no sinal do sistema, desse modo 
entende-se que não há garantias que em tempo de 
guerra o serviço continue a disposição ou com a 
atual precisão. 
No cenário militar, o GPS é também 
usado para o direcionamento de diversos tipos de 
armamentos de precisão, como as bombas JDAM 
(Joint Direct Attack Munition) e os famosos 
mísseis Tomahawk. Estas bombas "inteligentes" 
são guiadas a seus alvos por um sistema inercial 
em conjunto com um GPS. Este tipo de sistema de 
guiamento pode ser usado em qualquer condição 
climática e garante um alto índice de acertos. lém 
de sua aplicação óbvia na aviação geral e 
comercial e na navegação marítima, qualquer 
pessoa que queira saber a sua posição, encontrar o 
seu caminho para determinado local (ou de volta 
ao ponto de partida), conhecer a velocidade e 
direção do seu deslocamento pode-se beneficiar 
com o sistema. Atualmente o sistema está sendo 
muito difundido em automóveis com sistema de 
navegação de mapas, que possibilita uma visão 
geral da área que você está percorrendo. 
A comunidade científica utiliza-o pelo seu 
relógio altamente preciso. Durante experiências 
científicas de recolha de dados, pode-se registrar 
com precisão de micro-segundos (0,000001 
segundo) quando a amostra foi obtida. 
Naturalmente a localização do ponto onde a 
amostra foi recolhida também pode ser importante. 
Agrimensores diminuem custos e obtêm 
levantamentos precisos mais rapidamente com o 
GPS. Unidades específicas têm custo aproximado 
de 3.000 dólares e precisão de 1 metro, mas 
existem receptores mais caros com precisão de 1 
centímetro. A recolha de dados por estes 
receptores é mais lenta. Guardas florestais, 
trabalhos de prospecção e exploração de recursos 
naturais,geólogos, arqueólogos, bombeiros, são 
enormemente beneficiados pela tecnologia do 
sistema. O GPS tem-se tornado cada vez mais 
popular entre ciclistas, balonistas, pescadores, 
ecoturistas, geocachers, vôo livre ou por 
aventureiros que queiram apenas orientação 
durante as suas viagens. Com a popularização do 
GPS, um novo conceito surgiu na agricultura: a 
agricultura de precisão. Uma máquina agrícola 
dotada de receptor GPS armazena dados relativos à 
produtividade em um dispositivo de memória que, 
tratados por programa específico, produz um mapa 
de produtividade da lavoura. As informações 
permitem também otimizar a aplicação de 
corretivos e fertilizantes. 
 
 Latitude 
 
 
 
 
 
 
 
 
A latitude é a distância ao Equador 
medida ao longo do meridiano de Greenwich. Esta 
distância mede-se em graus, podendo variar entre 
0º e 90º para Norte ou para Sul. 
Por exemplo, Lisboa está à latitude de 38º 
4´N, o Rio de Janeiro à latitude de 22º 55´S e 
Macau à latitude de 22º 27´N. 
 
 
 Longitude 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A longitude é a distância ao meridiano de 
Greenwich medida ao longo do Equador. Esta 
distância mede-se em graus, podendo variar entre 
0º e 180º para Este ou para Oeste. 
Por exemplo, Lisboa está à longitude de 
9º 8´W, o Rio de Janeiro à longitude de 34º 53´W 
e Macau à longitude de 113º 56´E. 
 
 Altitude 
 
 A Terra é aproximadamente esférica, com 
um ligeiro achatamento nos pólos. Para se definir a 
altitude de um ponto sobre a Terra define-se uma 
esfera --- geóide --- com um raio de 6378 km. A 
altitude num ponto da Terra é a distância na 
vertical à superfície deste geóide. Por exemplo, a 
altitude média do Aeroporto de Lisboa é de 114 m, 
mas a altitude média da Holanda é negativa. 
Existem algumas páginas na Internet com 
a informação relativa à latitude e longitude de 
cidades: 
 
 
http://www.realestate3d.com/gps/world-latlong.htm 
Site do Google Earth: 
http://www.google.com.br/intl/pt-
BR/earth/index.html 
 
 
 
 
 
 
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita 
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12 
 Fatos interessantes 
 O primeiro satélite GPS foi lançado em 
1978. 
 O sistema atual é composto de satélites 
GPS de segunda geração, chamado Bloco II. 
 O primeiro satélite do Bloco II foi 
lançado em 1989. 
 O Departamento de Defesa dos Estados 
Unidos declarou o GPS inteiramente operacional 
em 1995. 
 Quando o sistema foi inicialmente 
introduzido, erros de cálculo eram programados 
em transmissões GPS para limitar a precisão de 
receptores GPS não-militares. Essa operação foi 
cancelada em maio de 2000. 
 Há 24 satélites GPS em órbita neste 
momento. 
 Os 24 satélites custaram cerca US$ 12 
bilhões para serem fabricados e lançados. 
 Cada satélite pesa aproximadamente 785 
kg. 
 Os satélites estão em órbita a cerca de 20 
mil km acima da Terra. 
 Um satélite leva 12 horas para orbitar a 
Terra completamente. 
 Os russos possuem um sistema idêntico 
ao sistema americano chamado GLONASS. 
Adaptado de: 
http://informatica.hsw.uol.com.br/receptores-gps2.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios 
 
1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
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13 
9. 
 
 
 
 
 
 
 
10.