Gabarito Prova 1 2014 (outra p1) - Selene

Prévia do material em texto

Instituto de Matemática - IM / UFRJ
Primeira Prova - Cálculo Diferencial e Integral IV
Professora Selene Alves Maia
Questão 1 : (2:5 pontos)
Utilizando a transformada de Laplace resolva o problema de valor inicial:
y0(t) + 2y(t) +
Z t
0
y(�)d� = h(t); y(0) = 1; onde:
h(t) =
��������
t; 0 6 t < 1;
2� t; 1 6 t < 2;
0; t > 2:
Temos que:
$
�
y0(t) + 2y(t) +
Z t
0
y(�)d�
�
= $ fh(t)g :
$ fy0(t)g+ 2$ fy(t)g+$
�Z t
0
y(�)d�
�
= $ fh(t)g : (1)
�Determinar $ fy0(t)g :
Temos que:
$ fy0(t)g = s$ fy(t)g � y(0) =)
$ fy0(t)g = s$ fy(t)g � 1: (2)
�Determinar $
�Z t
0
y(�)d�
�
:
Temos que:
$
�Z t
0
y(�)d�
�
= $ f1g �$ fy(t)g =)
$
�Z t
0
y(�)d�
�
=
1
s
�$ fy(t)g : (3)
�Determinar $ fh(t)g :
Reescrevendo a função h em termos de funções degraus obtemos:
h(t) = t [u0(t)� u1(t)] + (2� t) [u1(t)� u2(t)] =)
$ fh(t)g = $ ft [u0(t)� u1(t)]g+$ f(2� t) [u1(t)� u2(t)]g : (4)
1
�Determinar $ ft [u0(t)� u1(t)]g :
Temos que:
t [u0(t)� u1(t)] = tu0(t)� (t� 1)u1(t)� u1(t) =)
$ ft [u0(t)� u1(t)]g = $ ftu0(t)g �$ f(t� 1)u1(t)g �$ fu1(t)g =)
$ ft [u0(t)� u1(t)]g = 1
s2
� 1
s2
� e�s � e
�s
s
: (5)
�Determinar $ f(2� t) [u1(t)� u2(t)]g :
Temos que:
(2� t) [u1(t)� u2(t)] = (2� t)u1(t) + (t� 2)u2(t) =)
(2� t) [u1(t)� u2(t)] = u1(t)� (t� 1)u1(t) + (t� 2)u2(t) =)
$ f(2� t) [u1(t)� u2(t)]g = $ fu1(t)g�$ f(t� 1)u1(t)g+$ f(t� 2)u2(t)g =)
$ f(2� t) [u1(t)� u2(t)]g = e
�s
s
� 1
s2
� e�s + 1
s2
� e�2s: (6)
Substituindo (5) e (6) em (4) obtemos que:
$ fh(t)g = 1
s2
� 1
s2
� e�s � e
�s
s
+
e�s
s
� 1
s2
� e�s + 1
s2
� e�2s =)
$ fh(t)g = 1
s2
� 2
s2
� e�s + 1
s2
� e�2s: (7)
Substituindo (2); (3) e (7) em (1) obtemos que:
s$ fy(t)g � 1 + 2$ fy(t)g+ 1
s
�$ fy(t)g = 1
s2
� 2
s2
� e�s + 1
s2
� e�2s =)
s$ fy(t)g+ 2$ fy(t)g+ 1
s
�$ fy(t)g = 1 + 1
s2
� 2
s2
� e�s + 1
s2
� e�2s =)
�
s2 + 2s+ 1
s
�
$ fy(t)g = 1 + 1
s2
� 2
s2
� e�s + 1
s2
� e�2s =)
2
(s+ 1)2$ fy(t)g = s+ 1
s
� 2
s
� e�s + 1
s
� e�2s =)
$ fy(t)g = s
(s+ 1)2
+
1
s(s+ 1)2
� 2
s(s+ 1)2
� e�s + 1
s(s+ 1)2
� e�2s =)
���������
y(t) = $�1
�
s
(s+ 1)2
�
+$�1
�
1
s(s+ 1)2
�
� 2$�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�s
�
+
$�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�2s
�
:
(8)
�Determinar $�1
�
s
(s+ 1)2
�
:
Temos que:
$�1
�
s
(s+ 1)2
�
= $�1
�
s+ 1� 1
(s+ 1)2
�
=)
$�1
�
s
(s+ 1)2
�
= $�1
�
s+ 1
(s+ 1)2
�
�$�1
�
1
(s+ 1)2
�
=)
$�1
�
s
(s+ 1)2
�
= $�1
�
1
s+ 1
�
�$�1
�
1
(s+ 1)2
�
=)
$�1
�
s
(s+ 1)2
�
= e�t � te�t: (9)
�Determinar $�1
�
1
s(s+ 1)2
�
:
Temos que:
1
s(s+ 1)2
=
A
s
+
B
(s+ 1)2
+
C
s+ 1
=)
1 = A(s+ 1)2 +Bs+ Cs(s+ 1) =)
1 = As2 + 2As+A+Bs+ Cs2 + Cs =)
0 � s2 + 0 � s+ 1 = s2(A+ C) + s(2A+B) +A =)������
A = 1;
2A+B = 0;
A+ C = 0
=) B = �2; C = �1:
3
Logo:
1
s(s+ 1)2
=
1
s
� 2
(s+ 1)2
� 1
s+ 1
=)
$�1
�
1
s(s+ 1)2
�
= $�1
�
1
s
�
� 2$�1
�
1
(s+ 1)2
�
�$�1
�
1
s+ 1
�
: (10)
Logo:
$�1
�
1
s(s+ 1)2
�
= 1� 2te�t � e�t: (11)
�Determinar $�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�s
�
:
De (10) obtemos que:
$�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�s
�
= $�1
�
1
s
� e�s
�
�2$�1
�
1
(s+ 1)2
� e�s
�
�$�1
�
1
s+ 1
� e�s
�
=)
$�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�s
�
= u1(t)
�
1� 2(t� 1)e�(t�1) � e�(t�1)� : (12)
�Determinar $�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�2s
�
:
De (10) obtemos que:
$�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�2s
�
= $�1
�
1
s
� e�2s
�
�2$�1
�
1
(s+ 1)2
� e�2s
�
�$�1
�
1
s+ 1
� e�2s
�
=)
$�1
�
1
s(s+ 1)2
� e�2s
�
= u2(t)
�
1� 2(t� 2)e�(t�2) � e�(t�2)� : (13)
Substituindo (9); (11); (12) e (13) em (8) obtemos que:
y(t) = e�t�te�t+1�2te�t�e�t�2u1(t)
h
1� 2(t� 1)e�(t�1) � e�(t�1)
i
+u2(t)
h
1� 2(t� 2)e�(t�2) � e�(t�2)
i
;
ou equivalentemente:����� y(t) = 1� 3te�t � 2u1(t)
�
1� 2(t� 1)e�(t�1) � e�(t�1)�+
u2(t)
�
1� 2(t� 2)e�(t�2) � e�(t�2)� : (14)
4
Questão 2 : (2:5 pontos)
Considere a seguinte equação diferencial:����� (x2 + 1)y00(x) + 2xy0(x) = 0;y(0) = 3; y0(0) = 1:
a) (1:2) Determine a relação de recorrência da equação diferencial.
Considere:
y(x) =
1X
n=0
cnx
n: (15)
De (15) obtemos que:
y0(x) =
1X
n=1
ncnx
n�1; y00(x) =
1X
n=2
n(n� 1)cnxn�2: (16)
Substituindo (15); (16)1 e (16)2 na equação diferencial dada obtemos que:
(x2 + 1)
1X
n=2
n(n� 1)cnxn�2 + 2x
1X
n=1
ncnx
n�1 = 0 =)
1X
n=2
n(n� 1)cnxn +
1X
n=2
n(n� 1)cnxn�2 +
1X
n=1
2ncnx
n = 0: (17)
�Análise da série
1X
n=2
n(n� 1)cnxn�2:
Seja m = n� 2:Logo:
(i) m+ 2 = n ;m+ 1 = n� 1:
(ii) Se n = 2 =) m = 0:
De (i) e de (ii) obtemos que:
1X
n=2
n(n� 1)cnxn�2 =
1X
m=0
(m+ 2)(m+ 1))cm+2x
m =)
1X
n=2
n(n� 1)cnxn�2 =
1X
m=0
(n+ 2)(n+ 1))cn+2x
n: (18)
Substituindo (18) em (17) resulta que:
1X
n=2
n(n� 1)cnxn +
1X
m=0
(n+ 2)(n+ 1)cn+2x
n +
1X
n=1
2ncnx
n = 0 =)
5
2c2 + 6c3x+ 2c1x+
1X
n=2
�
(n2 � n+ 2n)cn + (n+ 2)(n+ 1)cn+2
	
xn = 0 =)
2c2+(6c3+2c1)x+
1X
n=2
fn(n+ 1)cn + (n+ 2)(n+ 1)cn+2gxn = 0+0�x+
1X
n=2
0�xn = 0 =)
����� 2c2 = 0; 6c3 + 2c1 = 0;n(n+ 1)cn + (n+ 2)(n+ 1)cn+2 = 0 =)������
c2 = 0; c3 = � 13c1;
cn+2 = � n
n+ 2
cn; n = 2; 3; :::
(19)
A igualdade (19)3 é denominada relação de recorrência.
b) (1:3) Determine duas soluções linearmente independentes da equação
diferencial.
� Seja n = 2: Então, de (19)3 obtemos que:
c4 = �2
4
c2
(19)1
=) c4 = 0: (20)
� Seja n = 4: Então, de (19)3 obtemos que:
c6 = �4
6
c4
(20)
=) c6 = 0: (21)
� Seja n = 6: Então, de (19)3 obtemos que:
c8 = �6
8
c6
(21)
=) c8 = 0: (21)
Dos resultados obtidos obtemos que:
c2n = 0; n = 1; 2; ::: (22)
Por outro lado, substituindo x = 0 em (15) resulta que:
y(0) = c0: (23)
De (23) e da hipótese que y(0) = 3; obtemos que c0 = 3 e uma das soluções
linearmente independentes que denotaremos por y1(x) é dada por:
y1(x) = 3: (24)
� Seja n = 3: Então, de (19)3 obtemos que:
6
c5 = �3
5
c3
(19)2
=) c5 = 1
5
c1: (25)
� Seja n = 5: Então, de (19)3 obtemos que:
c7 = �5
7
c5
(25)
=) c7 = �1
7
c1: (26)
� Seja n = 7: Então, de (19)3 obtemos que:
c9 = �7
9
c7
(21)
=) c9 = 1
9
c1: (27)
Dos resultados obtidos obtemos que:
c2n+1 =
(�1)n
2n+ 1
c1; n = 1; 2; ::: (28)
Por outro lado, substituindo x = 0 em (16)1 resulta que:
y0(0) = c1: (29)
De (29) e da hipótese que y0(0) = 1; obtemos que c2n+1 =
(�1)n
2n+ 1
e a outra
solução linearmente independente que denotaremos por y2(x) é dada por:
y2(x) = c1x+
1X
n=1
c2n+1x
2n+1 =)
y2(x) = x+
1X
n=1
(�1)n
2n+ 1
x2n+1 =)
y2(x) =
1X
n=0
(�1)n
2n� 1x
2n�1 (30)
Questão 3 : (2:5 pontos)
Seja f (x) = ln(x+ 1): Determine:
a) (1:2) A série de Taylor desta função em torno de a = 0:
� Método 1 : Utilizar a série geométrica.
1
1 + t
=
1X
n=0
(�1)ntn;�1 < t < 1: (31)
Integrando a equação (31) obtemos que:
7
Z x
0
1
1 + t
dt =
Z x
0
1X
n=0
(�1)ntndt =)
Z x
0
1
1 + t
dt =
1X
n=0
(�1)n
Z x
0
tndt =)
[ln(1 + t)]
x
0 =
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
�
tn+1
�x
0
=)
ln(1 + x) =
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
xn+1: (32)
� Método 2 : Utilizar a fórmula da série de Taylor.
Considere:
f(x) = ln(1 + x): (33)
De (33) obtemos que:
B f(0) = 0;B f 0(x) = 1
1 + x
=) f 0(0) = 1;
B f 00(x) = � 1
(1 + x)2
=) f 00(0) = �1;
B f (3)(x) = 2
(1 + x)3
=) f (3)(0) = 2 = 2!;B f (4)(x) = � 6
(1 + x)4
=) f (4)(0) = �6 = �(3!);
B f (5)(x) = 24
(1 + x)5
=) f (5)(0) = 24 = 4!
Derivando sucessivamente obtemos que:
f (n)(0) = (�1)n+1(n� 1)!; n = 1; 2; :::
Logo:
ln(x+ 1) =
1X
n=1
f (n)(0)
n!
xn =)
ln(x+ 1) =
1X
n=1
(�1)n+1(n� 1)!
n!
xn =)
ln(x+ 1) =
1X
n=1
(�1)n+1
n
xn =)
8
ln(x+ 1) =
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
xn+1: (34)
b) (1:3) O raio e o intervalo de convergência da série obtida no item a):
Temos que, raio R = 1;pois, o raio de convergência da série geométrica é
igual a 1: Portanto, só devemos se a série converge nos extremos.
� Seja x = 1:Então:
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
xn+1 =
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
: (35)
A série dada por (35) é:
(i) Alternada; (ii) fung =
�
1
n+ 1
�
é decrescente; (iii) lim
n!1
1
n+ 1
= 0:
Das três condições acima resulta por Leibniz que a série
1X
n=0
(�1)n
n+ 1
é con-
vergente.
(ii) Seja x = �1: Observe que se x = �1 a função logarítmica não está
de…nida.
De (i) e de (ii) conclui-se que o intervalo de convergência é (�1; 1]:
Questão 4 : (2:5 pontos)
a) (0:8) Veri…que se a série
1X
n�1
1:4:7:::(3n+ 1)
n3
é convergente ou divergente.
Temos que:
un =
1:4:7:::(3n+ 1)
n3
=)
un+1 =
1:4:7:::(3n+ 1):(3n+ 4)
(n = 1)3
:
Logo:
un+1
un
=
1:4:7:::(3n+ 1):(3n+ 4)
(n+ 1)3
� n
3
1:4:7:::(3n+ 1)
=)
un+1
un
= (3n+ 4) � n
3
(n+ 1)3
=)
un+1
un
= (3n+ 4) �
�
n
n+ 1
�3
=)
9
lim
n!1
un+1
un
= lim
n!1
(
(3n+ 4) �
�
n
n+ 1
�3)
=1;
pois, lim
n!1(3n+ 4) =1 e limn!1
�
n
n+ 1
�3
=
�
lim
n!1
n
n+ 1
�3
= 1:
Pelo teste da razão a série
1X
n�1
1:4:7:::(3n+ 1)
n3
é divergente.
b) (1:7) Seja f(x) =
1X
n�1
n!xn
nn
: Determine o raio e o intervalo de convergência
da série que representa f(x):
Temos que:
cn =
n!
nn
=) cn+1 = (n+ 1)!
(n+ 1)n+1
=)
cn
cn+1
=
n!
nn
� (n+ 1)
n+1
(n+ 1)!
=)
cn
cn+1
=
�
n+ 1
n
�n
=)
lim
n!1
cn
cn+1
= lim
n!1
�
n+ 1
n
�n
:
Considere h a função de…nida por:
h(x) =
�
x
x+ 1
�x
: (36)
De (36) obtemos que:
lnh(x) = x ln
x
x+ 1
=)
lim
x!1 lnh(x) = limx!1
�
x � ln x
x+ 1
�
=)
lim
x!1 lnh(x) = limx!1
ln
x
x+ 1
1
x
: (37)
lim
x!1 lnh(x) = limx!1
2666664
1
x
x+ 1
�
�
� 1
(x+ 1)2
�
� 1
(x+ 1)2
3777775 =)
10
lim
x!1 lnh(x) = limx!1
1
x
x+ 1
=)
lim
x!1 lnh(x) = limx!1
x+ 1
x
=)
lim
x!1 lnh(x) = limx!1
1
1
= 1 =)
ln lim
x!1h(x) = ln e =)
lim
x!1h(x) = e;
ou seja,
R = lim
n!1
cn
cn+1
= e:
Portanto, pelo teste da razão temos que a série converge absolutamente se
�e < x < e: A seguir testaremos os extremos.
(i) Seja x = e: Então:
f(e) =
1X
n�1
n!en
nn
:
Temos que:
un =
n!en
nn
=) un+1 = (n+ 1)!e
n+1
(n+ 1)n+1
=)
un+1
un
=
(n+ 1)!en+1
(n+ 1)n+1
� n
n
n!en
=)
un+1
un
= e �
�
n
n+ 1
�n
=)
lim
n!1
un+1
un
= e � lim
n!1
�
n
n+ 1
�n
11