Gabarito-Prova-2-Calc4-2014.1 - Selene

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Instituto de Matemática - IM / UFRJ
Segunda Prova Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC 248
11/06/2014
Questão 1 : (2:5 pontos)
Seja f a função de…nida por:
f (x) =
����� 1; �1 6 x < 0x; 0 6 x < 1 ; f(x+ 2) = f(x)
a) (0:8 ponto) Determine a série de Fourier da função.
Solução:
B Cálculo de a0:
Temos que:
a0 =
Z 0
�1
dx+
Z 1
0
xdx =)
a0 = [x]
1
0 +
1
2
�
x2
�1
0
=)
a0 = 1 +
1
2
=) a0 = 3
2
: (1)
B Cálculo de an:
Temos que:
an =
Z 0
�1
cosn�xdx+
Z 1
0
x cosn�xdx =)
an =
1
n�
[sinn�x]
1
0 +
1
n�
[x sinn�x]
1
0 +
1
n2�2
[cosn�x]
1
0 =)
an =
1
n2�2
[cosn� � 1] =) an = 1
n2�2
[(�1)n � 1] : (2)
B Cálculo de bn:
Temos que:
bn =
Z 0
�1
sinn�xdx+
Z 1
0
x sinn�xdx =)
bn = � 1
n�
[cosn�x]
0
�1 �
1
n�
[x cosn�x]
1
0 +
1
n2�2
[sinn�x]
1
0 =)
1
bn = � 1
n�
[1� cos�n�]� 1
n�
cosn� =) bn = � 1
n�
: (3)
De (1); (2) e de (3) temos que a série de Fourier da função f é da forma:
3
4
+
1X
n=1
1
n2�2
[(�1)n � 1] cosn�x+
1X
n=1
� 1
n�
sinn�x: (4)
b) (1:2 pontos) Qual é o valor da série de Fourier em x = 0? Justi…que sua
resposta e esboce o grá…co da série de Fourier no intervalo [�3; 3] :
Solução:
Pela de…nição da função f temos que:������
f(0�) = lim
x!0�
f(x) = 1
f(0+) = lim
x!0+
f(x) = 0
=) f(0�) + f(0+)
2
=
1
2
: (5)
De (5) temos que o valor da série de Fourier em x = 0 é
1
2
:
c) (0:5 ponto) Utilizando os itens a) e b) prove que:
�2
8
=
1X
n=1
1
(2n� 1)2 = 1 +
1
3
+
1
5
+ :::+
1
(2n� 1)2 + :::
Solução:
Temos que:
1
2
=
3
4
+
1X
n=1
1
n2�2
[(�1)n � 1] cos 0 +
1X
n=1
� 1
n�
sin 0 =)
1
2
� 3
4
=
1X
n=1
1
n2�2
[(�1)n � 1] =)
�1
4
= � 2
�2
1X
n=1
1
(2n� 1)2 =)
�2
8
=
1X
n=1
1
(2n� 1)2 = 1 +
1
3
+
1
5
+ :::+
1
(2n� 1)2 + ::: (6)
pois:
(�1)n � 1 =
���� 0; se n é par,�2; se n é ímpar.
Questão 2 : (2:5 pontos)
Seja f a função de…nida por:
2
f (x) =
����� x; 0 6 x < 1;�2; 1 6 x < 2;
a) (1:2 pontos) De…na a extensão par e periódica de período T = 4 da função
f e esboce seu grá…co no intervalo [�6; 6]:
Solução:
Denotando por g(x) a extensão par e periódica de período T = 4 da função
f temos que:
g(x) =
����� f (x); 0 6 x 6 2f(�x); � 2 < x < 0 ; g(x+ 4) = g(x):
Logo:
g(x) =
���������
x; 0 6 x < 1
�2; 1 6 x < 2
�x; � 1 < x < 0
�2; � 2 < x < �1
; g(x+ 4) = g(x): (7)
b) (1:3 pontos) De…na a extensão ímpar e periódica de período T = 4 da
função f e esboce seu grá…co no intervalo [�6; 6]:
Solução:
Denotando por h(x) a extensão ímpar e periódica de período T = 4 da função
f temos que:
h(x) =
�������
f (x); 0 < x < 2
0; se x = 0 e x = 2
f(�x); � 2 < x < 0
; h(x+ 4) = h(x):
Logo:
h(x) =
����������
x; 0 < x < 1
�2; 1 < x < 2
0; se x = 0 e x = 2
x; � 1 < x < 0
2; � 2 < x < �1
; h(x+ 4) = h(x): (8)
Questão 3 : (2:5 pontos)
Considere o seguinte problema de Sturm-Liouville:
(i)
(ii)
(iii)
�������
X 00(x) + �X(x) = 0;
X(0) = 0;
X(1) = 0:
a) (0:8 ponto) Mostre que � < 0 é inaceitável, justi…cando sua resposta.
3
Solução:
Da equação (i) obtemos que:
r2 + � = 0 =) r = +�p��: (9)
Considerando � = ��2 na equação (9) obtemos pela tabela que:
X (x) = c1 e
�x + c2 e
��x: (10)
Substituindo x = 0 em (10) obtemos que:
X(0) = c1 + c2
(ii)
= 0 =) c2 = �c1:
Substituindo o valor de c2 em (10) resulta que:
X (x) = c1 e
�x � c1 e��x: (11)
Substituindo x = 1 em (11) obtemos que:
X (1) = c1 e
� � c1e�� (iii)= 0 =)
c1 e
� = c1e
�� =) c1 = 0; pois, � 6= 0:
Substituindo o valor de c1 em (11) resulta que:
X (x) = 0 =) � < 0 é inaceitável, (12)
pois, contraria a de…nição de autovetor.
b) (0:7 ponto) Mostre que � = 0 é inaceitável, justi…cando sua resposta.
Solução:
Substituindo � = 0 na equação (9) e da tabela obtemos que:
X(x) = c1 + c2 x: (13)
Substituindo x = 0 em (13) obtemos que:
X(0) = c1
(ii)
= 0 =) c1 = 0:
Substituindo o valor de c1 em (13) resulta que:
X(x) = c2 x: (14)
Substituindo x = 1 em (14) obtemos que:
X (1) = c2
(iii)
= 0:
Substituindo o valor de c2 em (14) resulta que:
4
X (x) = 0 =) � = 0 é inaceitável, (15)
pois, contraria a de…nição de autovetor.
c) (1:0 ponto) Mostre que � > 0 é aceitável e determine os autovalores e
autovetores correspondentes.
Solução:
Considerando � = �2 na equação (9) obtemos pela tabela que:
X (x) = c1 cos�x+ c2 sin�x: (16)
Substituindo x = 0 em (16) obtemos que:
X(0) = c1
(ii)
= 0:
Substituindo o valor de c1 em (16) resulta que:
X (x) = c2 sin�x: (17)
Substituindo x = 1 em (17) obtemos que:
X (1) = c2 sin�
(iii)
= 0: (18)
Como desejamos obter autovetores segue de (18) que c2 6= 0: Logo:
sin� = 0 =) � = n� ; n = 1; 2; 3; ::: (19)
Como � = �2 então de (19) os autovalores �n e os aotovetores Xn(x) são
dados por: ����� �n = n2�2; n = 1; 2; 3; :::Xn(x) = sinn�x; n = 1; 2; 3; ::: (20)
Questão 4 : (2:5 pontos)
Suponha que u (x; t) = X (x)T (t) e considere o seguinte problema de valor
inicial e de fronteira (PVIF):
����������
@u
@t
(x; t) = 9
@2u
@x2
(x; t); 0 < x < 1; t > 0;
u (0; t) = u (1; t) = 0; t > 0;
u (x; 0) = x = f(x); 0 < x < 1:
(21)
a) (0:8 ponto) Analise as condições de fronteira e conclua que X (0) = 0 e
X(1) = 0; justi…cando sua resposta.
Solução:
5
Da hipótese que u (x; t) = X (x)T (t) e substituindo x = 0 nesta igualdade
resulta que:
u (0; t) = X (0)T (t)
(21)2
= 0 =)
X (0) = 0; e ou T (t) = 0:
Mas, se T (t) = 0 =) u (x; t) = 0; 8 t > 0: Em particular, u (x; 0) = 0; o que
é um absurdo, pois, por (21)3 u (x; 0) = x: Logo:
X (0) = 0: (22)
Por outro lado, da hipótese que u (x; t) = X (x)T (t) e substituindo x = 1
nesta igualdade resulta que:
u (1; t) = X (1)T (t)
(21)2
= 0 =)
X (1) = 0; e ou T (t) = 0:
De forma análoga resulta que:
X (1) = 0: (23)
(b) (0:6 ponto) Determine a solução T (t) correspondente aos �n obtidos
no item c):
Solução:
Da hipótese que u (x; t) = X (x)T (t) resulta que:��������
@u
@t
= X(x)T 0(t);
@2u
@x2
= X 00(x)T (t):
(24)
Substituindo (24)1 e (24)2 em (21)1 obtemos que:
X(x)T 0(t) = 9X 00(x)T (t)
X(x)T 0(t)
9X (x)T (t)
=
9X 00(x)T (t)
9X (x)T (t)
=)
T 0(t)
9T (t)
=
X 00(x)
X (x)
= �� =)
����� X 00(x) + �X (x) = 0;T 0(t) + 9�T (t) = 0: (25)
6
De (25)2 e de (20)1 resulta que:
T (t) = ke�9n
2�2t: (26)
c) (0:6 ponto)Considerando que u (x; 0) = x = f(x) prove que devemos
estender f de maneira ímpar e períodica de período T = 2:
Solução:
Do que foi exposto temos que a solução de (21)1 e de (21)2 é da forma:
u(x; t) = c2 sinn�x � ke�9n2�2t: =)
u(x; t) = k0 sinn�xe�9n
2�2t:: (27)
Substituindo t = 0 em (27) obtemos que:
u(x; 0) = k0 sinn�x
(21)3
= x = f(x);
o que é um absurdo. Portanto, a solução de (21)1, (21)2 e (21)3 é da forma:
u(x; t) =
1X
n=1
bn sinn�xe
�9n2�2t:: (28)
Substituindo t = 0 em (28) obtemos que:
u(x; 0) =
1X
n=1
bn sinn�x
(21)3
= x = f(x): (29)
De (29) devemos estender f de maneira ímpar e períodica de período T = 2:
d) (0:5 ponto) Determine a solução u (x; t) do PVIF.
Solução:
Do item c) temos que:
bn = 2
Z 1
0
x sinn�xdx =)
bn = 2
�
� 1
n�
[x cosn�x]
1
0 +
1
n2�2
[sinn�x]
1
0
�
=)
bn = � 2
n�
cosn� =) bn = 2(�1)
n+1
n�
: (30)
Substituindo (30) em (28) obtemos que:
u(x; t) =
1X
n=1
2(�1)n+1
n�
sinn�xe�9n
2�2t:: (31)
7
FORMULÁRIOZ b
a
x cos
n�x
L
dx =
L
n�
h
x sin
n�x
L
ib
a
+
L2
n2�2
h
cos
n�x
L
ib
aZ b
a
x sin
n�x
L
dx = � L
n�
h
x cos
n�x
L
ib
a+
L2
n2�2
h
sin
n�x
L
ib
a
.
Tabela de EDO Linear de 2a ordem Homogênea
X 00(x) + �X (x) = 0 =) r2 + � = 0 =) r = +�p��:
Raízes Solução
r1; r2 2 R; r1 6= r2 X (x) = c1 er1x + c2 er2x:
r1; r2 2 R; r1 = r2 X (x) = c1 er1x + c2 x er1x:
r1 = �+ �i; r1 = �� �i X (x) = c1 e�x cos�x+ c2 e�x sin�x:
T 0(t) + 
T (t) = 0 =) T (t) = ke�
t:
8