INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

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ANÁLISE
 CONFIRMATÓRIA
 DE DADOS
		
	(INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
		OU 
	ESTATÍSTICA INDUTIVA)
	Prof. José Fletes
 		UFSC
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OBJETIVOS
1- DA ESTATÍSTICA
		A TOMADA DE DECISÃO EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA.
2- DA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
		OBTER CONCLUSÕES SOBRE UMA POPULAÇÃO BASEADO EM DADOS DE UMA AMOSTRA.
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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARAMÉTRICA
Inferência Estatística Paramétrica
é o conjunto de técnicas analíticas utilizado para se identificar e caracterizar relações entre variáveis procurando obter os parâmetros () da população:
 ; 2; p
ou a função de comportamento:
Caso discreto -P(x; p)  função massa de probabilidade
ou Caso contínuo- f(x; ; 2).  função densidade de probabilidade.
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VISÃO GERAL
POPULAÇÃO (N) amostra (n<<N)
PARÂMETRO
( =? )
estimador
( ê=f(xi;n) )
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DEFINIÇÕES BÁSICAS
- PARÂMETRO (  )
	CARACTERÍSTICA DE UMA POPULAÇÃO, CUJO VALOR NUMÉRICO É, EM GERAL, DESCONHECIDO.
PARÂMETROS: 
MÉDIA; VARIÂNCIA; PROPORÇÃO DE SUCESSO:
 2 p 
ESTIMADOR (OU ESTATÍSTICA  ê )
	É UMA MEDIDA DESCRITIVA NUMÉRICA OBTIDA A PARTIR DA AMOSTRA E QUE FORNECE INFORMAÇÃO SOBRE O PARÂMETRO.
ESTIMADORES:
média; variância; proporção de sucesso:
 X¯ s2 þ^ 
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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
PARAMÉTRICA
Principais métodos a abordar:
	- Estimação de Parâmetros: 1- Pontual
					 2- Intervalar
	- Teste de Hipóteses: 1-Paramétricos
				 2 – Não Paramétricos 
- Outros métodos:
	- Análise de Correlação e de Regressão Linear
	- Análise de Séries Temporais
	- Tomada de Decisão
Análise Multivariada
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TEORIA DA ESTIMAÇÃO
É A TEORIA QUE FORNECE OS MÉTODOS QUE PERMITEM ESTIMAR UM PARÂMETRO POPULACIONAL.
MÉTODOS: 
	CLÁSSICO - BASEADO NOS DADOS DA AMOSTRA RETIRADA DA POPULAÇÃO.
 BAYESIANO – BASEADO NO CONHECIMENTO PRÉVIO SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DA POPULAÇÃO DE PARÂMETROS DESCONHECIDOS EM CONJUNTO COM OS DADOS DA AMOSTRA.
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MÉTODO CLÁSSICO
1- PONTUAL
		UM VALOR NUMÉRICO É OBTIDO DA AMOSTRA COMO ESTIMATIVA DO PARÂMETRO.
2- INTERVALAR
		DETERMINAM-SE LIMITES, A PARTIR DA AMOSTRA, NOS QUAIS COM CERTA PROBABILIDADE O VALOR DO PARÂMETRO ESTARÁ CONTIDO (INTERVALO DE CONFIANÇA).
	P (l    L) = 1 - 
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PROPRIEDADES DE UM ESTIMADOR
1- NÃO TENDENCIOSO (NÃO VIESADO)
		E ( ê ) -  = 0 ou E ( ê ) =  
 VIÉS ou BIAS
EXEMPLOS:
- média da amostra (X¯) é não tendenciosa da média da população ();
- variância da amostra (s2 ) é não tendenciosa da variância da população (2);
- proporção de sucesso da amostra (p^) é não tendenciosa da proporção de sucesso da população (p). 
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PROPRIEDADES DE UM ESTIMADOR
2- EFICIÊNCIA
		Se ê1 e ê2 são estimadores não-tendenciosos de 
		e V( ê1 ) < V( ê2 ) 
		Então, ê1 é mais eficiente que ê2 
		
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PROPRIEDADES DE UM ESTIMADOR
3- CONSISTÊNCIA
	
NA PRÁTICA: verifica-se através de
 lim E(ê)   e lim V(ê)  0
 n tende n tende
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EFICIÊNCIA
EXEMPLO:
SE X1; X2; ........; Xn COMPÕEM UMA AMOSTRA ALEATÓRIA
ONDE E(Xi) =  e V(Xi) = 2 
 ENTÃO X¯ É UM ESTIMADOR NÃO TENDENCIOSO DE  MAS QUALQUER TAMBÉM É (POR EX. X1). QUAL É MAIS EFICIENTE: X1 OU X¯ ? 
 V(X1) = 2 e V(X¯ ) = 2/n
 f = 2 / 2/n = n
 Se n =1  V(X1) = V(X¯ ) 
 Se n > 1  X¯ é MAIS EFICIENTE que X1 pois tem menor variância
 		
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DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
1- DA PROPORÇÃO AMOSTRAL ( p )
1.1- COM REPOSIÇÃO (POP. INFINITA: N  )
		E(p^) = p
 V(p^) = (p*q)/n
1.2- SEM REPOSIÇÃO (POP. FINITA: N)
		E(p^) = p
 V(p^) = ((p*q)/n)*((N-n)/(N-1))
 
		((N-n)/(N-1))  FATOR DE POPULAÇÃO FINITA
	
	
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DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
2- DA MÉDIA AMOSTRAL ( Ȳ )
2.1- COM REPOSIÇÃO (POP. INFINITA: N  )
		E(Ȳ) = 
 V(Ȳ) = ²/n
2.2- SEM REPOSIÇÃO (POP. FINITA: N)
		E(Ȳ) = 
 V(Ȳ) = (²/n)*((N-n)/(N-1))
 
		((N-n)/(N-1))  FATOR DE POPULAÇÃO FINITA
	
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DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
A ABORDAR:
3- DA VARIÂNCIA AMOSTRAL
	
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INTERVALOS DE CONFIANÇA
	DETERMINAR LIMITES, CONSIDERANDO A DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ASSOCIANDO UMA PROBABILIDADE DE QUE O VALOR DO PARÂMETRO VENHA ESTAR CONTIDO DENTRO DESSE INTERVALO DE CONFIANÇA:
	P (l  p  L) = 1 - 
 P (l    L) = 1 - 
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INTERVALOS DE CONFIANÇA
1- PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL
	 _____
Z = (p^ - p) / (p^*q^/n)
2- PARA A MÉDIA POPULACIONAL
 __
Z = (Ȳ - ) / (/ n)
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INTERVALOS DE CONFIANÇA (I.C)
1.1- PARA A PROPORÇÃO ( p ) 
 I.C : P (   p  L ) = 1 - 
		 P ( p^ -   p  p^ +  ) = 1 - 
Sendo:
 ___________
= z*((p^*q^)/n)  Pop. Infinita
 
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INTERVALOS DE CONFIANÇA (I.C)
1,2- PARA A PROPORÇÃO ( p ) 
 I.C : P (   p  L ) = 1 - 
		 P ( p^ -   p  p^ +  ) = 1 - 
Sendo:
 _________________________
= z*((p^*q^)/n)*((N-n)/(N-1))  Pop. Infinita
 
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INTERVALOS DE CONFIANÇA (I.C)
2,1 - PARA A MÉDIA ( Ȳ ) 
 I.C : P (     L ) = 1 - 
		 P ( Ȳ -     Ȳ +  ) = 1 - 
Sendo:
 __
= z*(/n )  Pop. Infinita
 
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INTERVALOS DE CONFIANÇA (I.C)
2,1 - PARA A MÉDIA ( Ȳ ) 
 I.C : P (     L ) = 1 - 
		 P ( Ȳ -     Ȳ +  ) = 1 - 
Sendo:
 __ ____________
= z*( /  n )*((N-n)/(N-1))  Pop. Infinita
 
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INTERVALOS DE CONFIANÇA
A ABORDAR:
2- PARA A VARIÂNCIA
			Explicitar!
(USAR O FLUXOGRAMA)
 
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TESTES DE HIPÓTESES
OBJETIVO
	VERIFICAR SE É VERDADEIRA A AFIRMAÇÃO QUE SE FAZ SOBRE O PARÂMETRO DA POPULAÇÃO.
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TESTE DE HIPÓTESES PARAMÉTRICOS
Conjunto de procedimentos para calcular a probabilidade 
	- da diferença entre duas médias (ou duas proporções)
	ou 
	- da razão entre duas variâncias
	ser devida ao acaso ou ao motivo (causa)
(1°PRINCÍPIO DA DECISÃO ESTATÍSTICA)
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PRINCÍPIOS DA DECISÃO ESTATÍSTICA
PRINCÍPIO 1: ACASO X MOTIVO ou CAUSA
			 ( A ) ( M )
 ACASO COMO AUSÊNCIA DE CAUSA PARA EXPLICAR A DIFERENÇA.
 MOTIVO COMO CAUSA SISTEMÁTICA ATRIBUÍDA À DIFERENÇA. 
			Se M   A 
 e VICE-VERSA
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PRINCÍPIOS DA DECISÃO ESTATÍSTICA
PRINCÍPIO 1:	ACASO X CAUSA (MOTIVO)
 
	 Indesejável!
 Desejável!
A
C
A
C
A
C
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TESTE DE HIPÓTESES 
Parte-se de uma hipótese estatística composta de duas hipóteses:
Hipótese nula ou de igualdade  H0
Hipótese alternativa ou experimental  H1
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HIPÓTESE ESTATÍSTICA
Hipótese nula ou de igualdade  H0
REPRESENTA A CIRCUNSTÂNCIA QUE ESTÁ SENDO TESTADA ( “STATUS QUO”).
Hipótese alternativa ou experimental  H1
REPRESENTA O QUE SE DESEJA PROVAR OU ESTABELECER.
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HIPÓTESE ESTATÍSTICA
PRINCÍPIO BÁSICO:
	ACEITAR H0 COMO VERDADEIRA 
E 
SOMENTE REJEITÁ-LA ATRAVÉS DA SUFICIENTE EVIDÊNCIA CONTIDA NA AMOSTRA ALEATÓRIA.
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Hipótese estatística (Problema 1) 
Se o julgamento de uma pessoa, que é acusada de roubo, for avaliado como um teste de hipóteses, quais as hipóteses nula e alternativa?
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Hipótese estatística (Problema 1)
	
	 H0: a pessoa é INOCENTE, até prova(s) em contrário
	 H1: a pessoa É CULPADA,
após as prova(s) e evidências avaliadas pelo júri
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Hipótese estatística (Problema 2)
Testes médicos laboratoriais são desenvolvidos para minimizar a probabilidade de que produzirá um resultado FALSO POSITIVO (FP) ou um resultado FALSO NEGATIVO (FN). Um resultado FP refere-se a um teste positivo para um indivíduo que não tem a doença , e um falso negativo é um teste que deu negativo para uma pessoa que realmente está doente. 
A) Se um teste médico é visto como sendo um teste de hipóteses, quais as hipóteses nula e alternativa?
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Hipótese estatística (Problema 2)
	 
	H0: a pessoa não tem a doença, até prova(s) em contrário pelo(s) exame(s)
	 
	H1: a pessoa tem a doença, após análise do(s) exame(s)
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TESTE DE CLARIVIDÊNCIA (Problema 3)
	 
	Uma pessoa é submetida a um teste para verificar o seu poder de clarividência. Mostra-se para a pessoa a parte de trás de vinte e cinco (25) cartas de um baralho comum. Tendo poder clarividente ela precisa acertar a qual naipe a carta pertence. 
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TESTE DE CLARIVIDÊNCIA (Problema 3)
a) Quais as hipóteses a testar: hipótese nula - H0 e hipótese alternativa - H1 ? 
b) Que estatística Você recomenda como adequada. Justifique a indicação. 
c) Qual seria a decisão estatística se o valor crítico para decidir a clarividência fosse fixado em acertar no mínimo vinte (20) cartas? 
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TESTE DE CLARIVIDÊNCIA (Problema 3)
Seja X é o número de acertos. Como desejamos encontrar evidência quanto às habilidades de clarividência da pessoa, a hipótese nula é que ela não possui essa habilidade. A alternativa é que ela tem esse dom, mesmo que em diferentes graus.
Se a hipótese nula é válida, a pessoa em teste pode apenas chutar um naipe. Como existem quatro naipes em um baralho comum, ela possui 0,25 de probabilidade de acertar o naipe. Se a hipótese alternativa for válida, então quem está sendo testado irá acertar os naipes com probabilidade maior que 0,25. 
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TESTE DE CLARIVIDÊNCIA (Problema 3)
Se quem está sendo testado acertar todas as cartas, o consideraremos clarividente, e rejeitaremos a hipótese nula. Podemos aceitar o mesmo com 24 ou 23 acertos. 
E com 19, ou 17 acertos? Qual o valor crítico para o qual passamos a atribuir 'verdadeira clarividência' ao invés de apenas sorte? Como determinamos esse valor? Fica claro que se escolhermos um valor crítico que chamaremos de c = 25, pouquíssimas pessoas testadas serão consideradas clarividentes. Mas podemos escolher um valor para c=10, e um número maior de pessoas serão considerados clarividentes. 
Na prática, quem constrói o teste é que decide o quão crítico ele será. Em outras palavras, escolher o valor de c  é definir quão frequente serão os erros do tipo I (quantas pessoas acertam o valor crítico apenas com chutes, sem possuírem o dom).
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TESTE DE CLARIVIDÊNCIA (Problema 3)
O que indica que com um c=10, a probabilidade de um falso positivo é muito maior.
Mas e se a pessoa não acertar nenhuma das cartas? Também pode existir uma clarividência reversa. A probabilidade de errar o naipe é de 3/4, então existem considerações diferentes no momento de construirmos o teste para essa situação.
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TESTE DE CLARIVIDÊNCIA (Problema 3)
É bastante improvável que alguém erre todas as cartas. 
Todavia, rejeitar a hipótese nula nesse caso seria ignorar a característica do testado de 'evitar o naipe correto'. 
É comum para esse tipo de problema associar uma estatística para o erro do tipo II (avaliar alguém de não ser clarividente, sendo que a pessoa tem o dom). 
Para o problema, uma solução seria considerar um nível de significância 1% apenas se o testado conseguisse prever corretamente pelo menos duas cartas (que não teria uma probabilidade tão pequena quanto errar todas).
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PRINCÍPIOS DA DECISÃO ESTATÍSTICA
PRINCÍPIO 2: DECISÃO X REALIDADE
 H0 é V H0 é F
D
E
C
I
S
Ã
O
REALIDADE
DECISÃO
ACERTADA
(Nível de Confiança=1-  )
ERRO II
(  )
ERRO I
(  =Nível de significância)
DECISÃO
ACERTADA
(Poder do Teste= 1- )
H0 não é Rej
H0 é Rej
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ERROS
Erro tipo I (): rejeitar como falsa uma hipótese verdadeira; 
Erro tipo II (): aceitar como verdadeira uma hipótese falsa.
Como informação complementar: 
Erro tipo 3: refere-se a situação de solucionar de forma correta o problema errado. 
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Hipótese estatística (Problema 1)
B) Identifique os erros de tipos I(alfa) e II(beta):
 Erro I () : culpar a pessoa quando é inocente
 Erro II (): inocentar a pessoa quando devia ser culpada
C) Qual dos erros, acima, é mais grave?
 Erro I ()! 
Considerando esse erro, é mais importante minimizar o tipo I ou tipo II? Justifique.
	 MINIMIZAR Erro I () ! Aumentando !
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Hipótese estatística (Problema 2)
B) Identifique os erros de tipos I(alfa) e II(beta), relacionando-os com o FP e o FN.
		Erro I  FP ... DIZER QUE A PESSOA TEM A DOENÇA QUANDO NA REALIDADE NÃO TEM
		Erro II  FN ... DIZER QUE A PESSOA NÃO TEM A DOENÇA QUANDO NA REALIDADE TEM
C)Mais grave: Erro II  Por que?
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ERRO TIPO III
A idéia do erro tipo 3 foi proposto pelo estatístico John Tukey, que argumentava que a maior parte dos erros ocorre porque tentamos resolver os problemas errados e não porque falhamos em conseguir as soluções certas para os problemas certos.
A denominação de erro tipo 3 foi dada por Howard Raiffa, um pesquisador da teoria das decisões. 
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TESTE DE HIPÓTESES PARAMÉTRICOS
PROCEDIMENTO:
1- ESTABELECER A HIPÓTESE ESTATÍSTICA;
2- INFORMAÇÃO (AMOSTRA) COMO EVIDÊNCIA;
3- DECISÃO ESTATÍSTICA.
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TESTE DE HIPÓTESES PARAMÉTRICOS
ETAPAS – PROCEDIMENTO COMPLETO:
1- ESTABELECER A HIPÓTESE ESTATÍSTICA;
2- FIXAR O NIVEL DE SIGNIFICÂNCIA ou ERRO TIPO I
 DO TESTE: ( = 0,10; 0,05; 0,01; 0,005; 0,001 );
3- OBTER A AMOSTRA COMO FONTE DE PROVA (DE EVIDÊNCIA);
4- CALCULAR A ESTATÍSTICA DO TESTE 		 			(Fluxograma);
5- COMPARAR O VALOR CALCULADO COM O VALOR 	CRÍTICO (TABELADO);
6- DECISÃO ESTATÍSTICA.
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TESTE DE HIPÓTESES para a MÉDIA POPULACIONAL
H0 :   0 = 0 ou  = 0 (VALOR DE TESTE)
H1 :   0  0 ou   0 (TESTE BILATERAL)
	Em que 0 é um valor de teste suposto, em princípio verdadeiro para H0, e para rejeitar deve-se ter evidência suficiente através dos dados coletados (amostra).
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TESTE DE HIPÓTESES para a MÉDIA POPULACIONAL
H0 :   0 = 0 ou  = 0 
ESTATÍSTICA DO TESTE: 
			Z = [ ( Ȳ-  )n ]  
			( z  Gaussiano)
Ou t = [ (Ȳ -  )n ]  s
		 ( t–Student)
Onde: Ȳ = média da amostra
		 s = desvio padrão da amostra
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APLICAÇÃO DO TESTE t
1- Observações independentes;
2- Populações-base com distribuição Gaussiana (Normal);
3- Populações homocedásticas;
4- Variáveis em análise medidas pelo menos em escala intervalar.
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TESTE DE HIPÓTESES para a MÉDIA POPULACIONAL
H0 :   0 = 0 ou  = 0 
DECISÃO ESTATÍSTICA:
	Se | Z calc. Z tab. |  Rejeitar H0
	 Uma diferença estatisticamente significativa é aquela onde a probabilidade de ter ocorrido por acaso é considerada baixa o suficiente (geralmente 5% ou menos). 
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PROBLEMA 1
O PROPRIETÁRIO DE UM POSTO DE GASOLINA DESEJA ESTUDAR OS HÁBITOS DE CONSUMO DE GASOLINA DOS MOTORISTAS QUE ABASTECEM EM SEU POSTO. PARA ISSO SELECIONA UMA AMOSTRA ALEATÓRIA DE 60 MOTORISTAS, DURANTE UMA SEMANA, OBTENDO OS RESULTADOS ABAIXO:
 média da amostra = 11, 3 galões 
	desvio padrão = 3,1 galões
	SABE-SE QUE UMA PESQUISA EM VÁRIOS POSTOS MOSTROU QUE OS MOTORISTAS ABASTECEM EM MÉDIA 10,0 GALÕES .
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PROBLEMA 1
A- QUE HIPÓTESE ESTATÍSTICA PODE SER ELABORADA?
		H0 :  = 10,0 
 	H1 :   10,0 
B- HÁ EVIDÊNCIA AO NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 5% QUE O CONSUMO MÉDIO SEJA DIFERENTE DE 10 GALÕES?
IMPORTANTE: SUPOSIÇÃO
DE NORMALIDADE (MODELO GAUSSIANO) PARA ANÁLISE DA SITUAÇÃO.
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EXERCÍCIO 2
Um fornecedor apresenta uma caixa, e afirma que o peso médio desta é de 350 g. De experiências anteriores, sabe-se que o desvio-padrão da população vale 15 g e que os valores se comportam segundo o modelo Gaussiano. Para verificar se a afirmação é verdadeira, levantou-se uma amostra de 25 caixas, pesam-se e calcula-se o peso médio da amostra, obtendo 362,5 g.
Qual a conclusão a respeito da afirmação do fornecedor? Use um nível de significância de 5%.
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TESTE DE HIPÓTESES para a MÉDIA POPULACIONAL
H0 :   350g  0 ou   350g  afirmação do fabricante
	 H1:   350g > 0 ou  > 350g  verificação do consumidor
 = 15 g (dado de experiências anteriores)
Informação: amostra n= 25 caixas  Ȳ = 362,5 g
ESTATÍSTICA DO TESTE: Modelo Gauss 
			Z = 1 . [ ( Ȳ-  )n ]
			Z = 1/15.[ ( 362,5- 350 )25 ]= 4,17
Tabela Normal Padrão: Z (alfa=0,05) = 1,65
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TESTE DE HIPÓTESES para a PROPORÇÃO POPULACIONAL
H0 : p  0,50 = 0 ou p = 0,50 
H1 : p  0,50 > 0 ou p > 0,50 
	Em que p0 = 0,50 é um valor de teste suposto, em princípio verdadeiro, e para rejeitá-lo deve-se ter evidência suficiente através da simulação (amostra).
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TESTE DE HIPÓTESES para a PROPORÇÃO POPULACIONAL
H0 :p  p0 = 0 ou p = p0 
DECISÃO ESTATÍSTICA:
	Se | Z calc. Z tab. |  Rejeitar H0
	 Uma diferença estatisticamente significativa é aquela onde a probabilidade de ter ocorrido por acaso é considerada baixa o suficiente (geralmente 5% ou menos). 
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EXERCÍCIO 3
Em qualquer tipo de jogo, uma estratégia é uma conduta para aumentar as chances de ganho. Bancas de jornais vendem publicações que garantem determinado número de acertos, na média. 
Um consumidor que perdeu muito dinheiro ao utilizar um desses sistemas resolveu processar uma publicação por propaganda enganosa com base no Código de Defesa do Consumidor.
Para justificar seus argumentos, o advogado do consumidor simulou 1 milhão de jogos, a partir do esquema publicado. O jogador ganhou, na simulação, 493.675 vezes.
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EXERCÍCIO 3
Verifique se a proporção de ganhos do jogador é maior que 50%, admitindo um erro de 1%;
O resultado desse teste contradiz a propaganda? Justifique.
Caso não houvesse tempo nem equipamento para simular 1 milhão de vezes, e sim 100.000 vezes, os resultados seriam os mesmos se o jogador ganhasse, 49.367 vezes (isto é, 10% do valor obtido na simulação)?
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TESTE DE HIPÓTESES para a PROPORÇÃO POPULACIONAL
H0 : p  0,50
H1 : p > 0,50
ESTATÍSTICA DO TESTE: 		 ______
			Z = (p^ - p)/ p^.q^/n
 ________________________
	Z = (0,493675 – 0,50)/0,493675x 0,506325/1.000.000= -12,65
Tabela: Z (alfa=1%) = -2,33  Rejeitar H0
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TESTE DE HIPÓTESES para a PROPORÇÃO POPULACIONAL
H0 : p  0,50
H1 : p > 0,50
ESTATÍSTICA DO TESTE: 			 ______
			Z = (p^ - p)/ p^.q^/n
 _____________________
	Z = (0,49367 – 0,50)/0,49367x 0,50633/100.000= - 4,003
Tabela: Z (alfa=1%) = -2,33  Rejeitar H0
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TESTE DE HIPÓTESES para a VARIÂNCIA POPULACIONAL
H0 : 2 / 20 = 1 ou	 2 = 20 
H1 : 2 / 20  1 ou 	2  20 
	Em que 20 é um valor de teste suposto, em princípio verdadeiro, e para rejeitá-lo deve-se ter evidência suficiente através dos dados coletados (amostra).
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TESTE DE HIPÓTESES para a VARIÂNCIA POPULACIONAL
H0 : 2 / 20 = 1 ou	 2 = 20 
ESTATÍSTICA DO TESTE:
			2 = (n – 1) s2 / 2 
(Distribuição Qui-Quadrado)
Onde s2 é a variância da amostra.
		
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TESTE DE HIPÓTESES para a VARIÂNCIA POPULACIONAL
H0 : 21 / 22 =1
ESTATÍSTICA DO TESTE:
		F = S21 (n1 –1) /(n2 –1) S22  Para considerar variâncias iguais
(Distribuição F-Snedecor)
		
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TESTE DE HIPÓTESES para a VARIÂNCIA POPULACIONAL
H0 : 21 / 20 = 1 ou	 21 = 20 
DECISÃO ESTATÍSTICA:
	Se | F calc. F tab. |  Rejeitar H0
	 Uma diferença estatisticamente significativa é aquela onde a probabilidade de ter ocorrido por acaso é considerada baixa o suficiente (geralmente 5% ou menos). 
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APLICAÇÃO DO TESTE F
1- Observações independentes;
2- Populações-base com distribuição Gaussiana (Normal);
3- Populações homocedásticas;
4- Variáveis em análise medidas pelo menos em escala intervalar;
5- As médias das populações devem ser combinações lineares de efeitos aditivos.
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EXERCÍCIO 4
Um sistema operacional de um computador pessoal tem sido estudado extensivamente. O desvio padrão do tempo de resposta seguinte a um comando particular foi detectado como sendo de 8 milisegundos ().
	Uma nova versão do sistema operacional é instalada e deseja-se estimar o tempo médio de resposta do novo sistema, de modo a assegurar 95% de confiança para a média () com um intervalo com comprimento de no máximo 5 milisegundos.
	
*
EXERCÍCIO 4
A) Qual o tamanho da amostra que V. recomendaria, considerando que o tempo de resposta é normalmente distribuído e que o desvio padrão para o novo sistema pode ser aceito em 8 ms.
B) Um vendedor afirma que o desvio padrão de resposta do novo sistema seja menor, 6 ms, sob as mesmas condições anteriores. Qual o tamanho da amostra que se obtém? Comente o efeito que o valor do desvio padrão tem sobre o cálculo da amostra. 
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EXERCÍCIO 4
Nova situação:  = 6 ms, sob as mesmas condições anteriores. n=? Comente o efeito que o valor do desvio padrão tem sobre o cálculo da amostra. 
	 2,5 n / 6 = 1,96  n = 1,96* 6/2,5 = 4,7
		n=22
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EXERCÍCIO 4
n=?  = 8 ms.
	É dado: IC= 95% ; c  5 ms (comprimento do IC)
	X  Normal (=?;  = 8 ms)
	c/2 = 2,5 ms  47,5% de Probabilidade de que a média esteja entre o máximo e o limite superior  Z= 1,96
	z = (xLS - ) n /  = 2,5 n / 8 = 1,96
	 n = 1,96* 8/2,5  n = 6,2  n = 39
*
EXERCÍCIO 5
Dez indivíduos participaram de um programa de modificação alimentar para estimular a perda de peso. Seus pesos (em kg) antes e depois da participação no programa são dados a seguir. Use um erro de tipo I igual a 5%. Considere normalidade dos dados.
A) Que hipótese estatística se testaria?
B) Há evidência para confirmar a afirmação de que o programa é efetivo na redução do peso médio? 
*
EXERCÍCIO 5
IND	 ANTES	 DEPOIS
1			93		84
2			97		89
3		 112	 100
4 			91		86
5			85		80
6			95		90
7			98		90
8		 112 100
9		 134	 126
10		 141 130
*
EXERCÍCIO 5
B) Há evidência para constatar a afirmação de que o programa é efetivo na redução do peso médio? 
	 t calculado = -10,3
 t tabelado (crítico) = -1,83
Há suficiente evidência como para rejeitar a hipótese nula, atribuindo-se a redução do peso ao efeito do programa alimentar. 
*
EXERCÍCIO 5
Que hipótese estatística se testaria?
	 H0 : D  0  o programa não surte efeito
	H1 : D < 0  o programa surte efeito
	Dados: n= 10  média(Ȳ)= -8,3kg; 	d.p (s)=2,3kg
	Estatística do teste:
		t = (Ȳ - D ) n / s = (-8,3 – 0) 10 / 2,6 = - 10,3
	
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EXERCÍCIO 6
Um estudo foi realizado para determinar se homens (M) e mulheres (F) diferem suas repetibilidades em arrumar componentes em placas de circuito impresso. Duas amostras de 25 homens e 21 mulheres foram selecionadas ao acaso, com cada indivíduo arrumando as unidades.
	Os dados amostrais forneceram os desvios-padrão dos tempos de disposição dos componentes:
		d.p (m) = 0,98 min  variância M= 0,96 min2
		d.p (f) = 1,02 min  variância F= 1,04min2
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EXERCÍCIO
6
Há evidência para confirmar a suspeita de que homens e mulheres diferem com relação à repetibilidade para essa tarefa de arrumar os componentes nas placas de circuito impresso?
	Use um erro de tipo I de 5%.
	Estabeleça as suposições necessárias sobre a distribuição dos dados em foco. 
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EXERCÍCIO 6
a)	Use um erro de tipo I de 5%.
	Suposições: distribuição gaussiana. 
H0 : 2F / 2M  1  2F  2M 
H1 : 2F / 2M > 1  2F > 2M 
ESTATÍSTICA DO TESTE:
		F = S2F (nF –1) /(nM –1) S2M 
F = 0,96 * 24/ 1,04*20 = 1,11
F critico = 2,10 (tabelado)= F(0,05; 24; 20)
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EXERCÍCIO 6
B) Suponha que o desvio padrão de uma população seja 50% maior do que o outro. O tamanho da amostra de 8 pessoas de cada sexo é adequado para detectar essa diferença com uma alta probabilidade? 
	Use um erro de tipo I igual a 1% para a resposta.
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BIBLIOGRAFIA
LEVINE, BERENSON & STEPHAN. Estatística- Teoria e aplicações usando microsoft Excel em Português. LTC Editora, R.J, 2000.
BUSSAB & MORETTIN. Estatística Básica.
	Ed. Siciliano, S.P, 2003.
FLETES, J. F. Notas de aula. UFSC, 2013.
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