Lista 4 (Cálculo 2)

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Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Ca´lculo II- 2015.1
Prof.: Naldisson dos Santos.
Lista de exerc´ıcios 4
1.
(a) Esboce a curva usando as equac¸o˜es parame´tricas para plotar os pontos. Indique com
uma seta a direc¸a˜o na qual a curva trac¸ada quando t aumenta.
(b) Elimine o paraˆmetro para encontrar uma equac¸a˜o cartesiana da curva.
1. x = 2t+ 4, y = t− 1, t ∈ R.
2. x = 1− 2t, y = t2 + 4, 0 ≤ t ≤ 3.
3. x =
√
t, y = 1− t, t ∈ R.
2.
(a) Elimine o paraˆmetro para encontrar uma equac¸a˜o cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direc¸a˜o na qual a curva e´ trac¸ada quando o
paraˆmetro aumenta.
1. x = sin θ, y = cos θ, 0 ≤ θ ≤ pi.
2. x = et, y = e−t, t ∈ R.
3. x = sin2 θ, y = cos2 θ, θ ∈ R.
3. Suponha que a posic¸a˜o de uma part´ıcula no tempo t seja dada por
x1 = 3 sin t, y1 = 2 cos t, 0 ≤ t ≤ 2pi
e a posic¸a˜o de uma segunda part´ıcula seja dada por
x2 = −3 + cos t, y2 = 1 + sin t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
(a) Plote as trajeto´rias de ambas as part´ıculas. Quantos pontos de intersecc¸a˜o existem?
1
(b) Essas part´ıculas alguma vez esta˜o no mesmo lugar ao mesmo tempo?
4. Encontre uma equac¸a˜o da tangente a` curva no ponto correspondente ao valor do paraˆmetro
dado.
(a) x = t2 + t, y = t2 − t; t = 0.
(b) x = t sin t, y = t cos t; t = pi.
5. Encontre
dy
dx
e
d2y
dx2
.
(a) x = t4 − 1, y = t− t2.
(b) x = 1 + t2, y = t ln t.
6. Encontre os pontos na curva
x = t(t2 − 3), y = 3(t2 − 3)
onde a tangente e´ horizontal ou vertical? Enta˜o use uma ana´lise dos intervalos nos quais a
curva sobe e desce, para esboc¸ar a curva.
7. Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a elipse
ε :
x2
a2
+
y2
b2
= 1
e em seguida encontre a a´rea limitada por ela.
8. Encontre a a´rea limitada pela curva
x = cos t, y = et, 0 ≤ t ≤ pi
2
e as retas y = 1 e x = 0.
9. Calcule o comprimento da curva
x = t3, y = t2, 0 ≤ t ≤ 4.
10. Plote a curva e calcule seu comprimento
x = et cos t, et sin t, 0 ≤ t ≤ pi.
11. Calcule a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva dada ao redor do eixo x
2
(a) x = t3, y = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
(b) x = 3t− t3, y = 3t2, 0 ≤ t ≤ 1.
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