Lista 7 (Cálculo 2)

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Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Ca´lculo II- 2015.1
Prof.: Naldisson dos Santos.
Lista de exerc´ıcios 7
1. Seja f(x, y) = ln(x+ y − 1),
a) Estime f(1, 1).
b) Estime f(e, 1).
c) Determine o domı´nio de f
d Determine o imagem de f
2. Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o
a) f(x, y) =
√
x+ y.
b) f(x, y) =
x− 3y
x+ 3y
.
3. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
a) lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 + 4x3y − 5xy2).
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
.
c) lim
(x,y)→(0,0)
8x2y2
x4 + y4
.
d) lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
x4 + y2
.
4. Determine o maior conjunto no qual a func¸a˜o e´ cont´ınua
a) f(x, y) =
1
x2 − y .
b) f(x, y) = arctan(x+
√
y).
1
c)
f(x, y) =

x2y3
2x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
5. Determine as derivadas parciais de primeira orem da func¸a˜o.
a) f(x, y) = 3x− 2y4.
b) f(x, y) =
x− y
x+ y
c) f(x, y, z) = x2eyz.
6. Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para achar fx, onde
f(x, y) = x2 − xy + 2y2.
7. Use a diferenciac¸a˜o impl´ıcita para determinar
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
a) z = xy + yz = xz.
b) x2 + y2 − z2 = 2x(y + z).
8. Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no ponto indicado.
a) y2 − x2, (−4, 5, 9).
b) z = ln(2x+ y), (−1, 3, 0).
9. Determine a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o
f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2
em (2, 1) e use-a para aproximar f(1, 95; 1, 08).
10. Determine o diferencial da func¸a˜o.
a) z = x2y3.
b) z = ex cos y.
11. Use a regra da cadeia para determinar
dz
dt
.
2
a) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1− t3.
b) z = sinx cos y, x = pit, y =
√
t.
12. Use a regra da cadeia para determinar
∂z
∂s
e
∂z
∂t
.
a) z = x2 + xy + y2, x = s+ t, y = st.
b) z = exy tan y, x = s+ 2t, y =
s
t
.
13. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direc¸a˜o indicada pelo aˆngulo θ.
a) f(x, y) = x2y3 + 2x4y, (1,−2), θ = pi
3
.
b) f(x, y) =
√
5x− 4y, (4, 1), θ = −pi
6
.
14.
a) Determine o gradiente de f .
b) Calcule o gradiente no ponto P .
c) Determine a taxa de variac¸a˜o de f em P na direc¸a˜o do vetor u.
1. f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P = (1, 2), u =
(
5
13
,
12
13
)
.
2. f(x, y) = y lnx, P = (1,−3), u =
(
−4
5
,
3
5
)
.
15. Determine a taxa de variac¸a˜o ma´xima de f no ponto dado e a direc¸a˜o em que isso
ocorre.
a) f(x, y) = xe−y + 3y, (1, 0).
b) f(x, y) = sin(xy), (1, 0).
3