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Universidade Federal de Sergipe -UFS Departamento de Arquitetura e Urbanismo - DAU Professor: Rafael Oliveira Lista 4 Ca´lculo I. 1. Mostre que as func¸o˜es abaixo sa˜o descont´ınua no nu´mero x0. Se a descon- tinuidade for remov´ıvel, redefina f(x) de tal modo que seja removida. (a) f(x) = 9x2 − 4 3x− 2 , se x 6= x0; 0, se x = x0. ; onde x0 = 2 3 ; (b) f(s) = 1 s + 5 , se s 6= x0; 0, se s = x0. ; onde x0 = −5; (c) f(t) = { 9− t2, se t ≤ x0; 3t + 2, se t > x0. ; onde x0 = 2; (d) f(x) = x2 − x− 12 x2 + 2x− 3 , se x 6= x0; 1, se x = x0. ; onde x0 = −3; (e) f(x) = { |x− 3|, se x 6= x0; 2, se x = x0. ; onde x0 = 3; (f) f(x) = x2 − 4x + 3 x− 3 , se x 6= x0; 5, se x = x0. ; onde x0 = 3; (g) f(t) = { t2 − 4, se t ≤ x0; t, se x > x0. ; onde x0 = 2; (h) f(x) = √ x + 5−√5 x , se x 6= x0; −1, se x = x0. ; onde x0 = 0. 2. Verificar se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas, isto e´, se sa˜o cont´ınuas em todos os pontos do seu domı´nio. (a) f(x) = 3x3 − 2x2 − 1; (b) g(x) = x4 − x2 − 3x− 1 x− 1 ; (c) h(x) = x10− x7 + 2x3 − 5 x6 − 1 ; (d) r(x) = sen(x2 − 1); (e) t(x) = √ cos( 1 x ); (f) p(x) = ln(e x2−1 x+1 ); (g) q(x) = 9x2 − 4 3x− 2 , se x 6= 2 3 ; 4, se x = 2 3 . ; (h) s(x) = 1 s + 5 , se x 6= −5; 0, se x = −5. ; (i) u(x) = { 9− x2, se x ≤ 2; 3t + 2, se x > 2. ; (j) f(x) = |x|; (k) f(x) = |x| x (l) f(x) = |x| x , se x 6= 0; 1, se x = 0. ; (m) f(x) = x2 − x− 12 x2 + 2x− 3 , se x 6= −3; 1, se x = −3. ; (n) f(x) = 3−√x + 9 x , se x 6= 0; −1 6 , se x = 0. ; 3. Defina a func¸a˜o composta (f ◦ g)(x) e determine os nu´meros nos quais f ◦ g e´ cont´ınua. (a) f(x) = √ x; g(x) = 9− x2; (b) f(x) = 1 x ; g(x) = x− 2; (c) f(x) = √ x; g(x) = 1 x− 2; (d) f(x) = x3; g(x) = √ x; (e) f(x) = 1 x2 ; g(x) = x + 3; (f) f(x) = 3 √ x; g(x) = √ x + 1; (g) f(x) = 1 x− 2; g(x) = √ x; 2 (h) f(x) = √ 4− x2√ x− 1 ; g(x) = |x|; 4. Ache os valores das constantes c e k que tornam as func¸o˜es abaixo cont´ınua e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o resultante. (a) f(x) = { 3x + 7, se x ≤ 4; kx− 1, se x > 4. (b) f(x) = { kx− 1, se x < 2; kx2, se x ≥ 2. (c) f(x) = x, se x ≤ 1; cx + k, se 1 < x < 4; −2x, se x ≥ 4. (d) f(x) = x + 2c, se x ≤ −2; 3cx + k, se − 2 ≤ x ≤ 1; 3x− 2k, se x > 1. (e) f(x) = x2 − 1 x + 1 , se x 6= −1; kx + 1, se x = −1. 5. Nos itens abaixo, sa˜o dados uma func¸a˜o f e um intervalo fechado [a, b]. Determinar se o teorema do valor intermedia´rio se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplica´vel, ache um nu´mero c ∈ (a, b) tal que f(c) = k. Caso cotra´rio, explique porqueˆ. Fac¸a um esboc¸o da curva f e da reta y = k. (a) f(x) = −x2 + x + 2; [a, b] = [0, 3]; k = 1; (b) f(x) = x2 + x + 2; [a, b] = [0, 3]; k = 1; (c) f(x) = −x2 + 5x− 6; [a, b] = [−1, 2]; k = 4; (d) f(x) = 4 x + 2 ; [a, b] = [−3, 1]; k = 1 2 ; (e) f(x) = 4 x + 2 ; [a, b] = [−1, 1]; k = 3; 6. Use o teorema do valor intermedia´rio para mostrar que existe pelo menos uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada no intervalo especificado. (a) x4 + x− 3 = 0, (1, 2); (b) 3 √ x = 1− x, (0, 1); (c) cos(x) = x, (0, 1); 3 (d) ln(x) = e−x, (1, 2). 7. Use a contiuidade para calcular o limite. (a) lim x→4 5 + √ x√ 5 + x (b) lim x→pi sen(x + sen(x)) (c) lim x→1 e(x 2−x) (d) lim x→2 arctg ( x4 − 4 3x2 − 6x ) 8. Calcule os limites baixo: (a) lim x→pi 2 + tag(x); (b) lim x→pi 2 − tag(x); (c) lim x→−pi 2 + tag(x); (d) lim x→−pi 2 − tag(x); (e) lim x→+∞ ex; (f) lim x→−∞ ex; (g) lim x→−∞ ( 1 2 )x ; (h) lim x→+∞ ( 1 2 )x ; (i) lim x→+∞ ln(x) (j) lim x→0+ ln(x) (k) lim x→+∞ arctg(x) (l) lim x→−∞ arctg(x) (m) lim x→0− e 1 x 4
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