Apostila de Dinâmica Veícular

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Dinâmica 
Veicular 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto 
Departamento de Materiais, Aeronáutica e Automobilística. 
Escola de Engenharia de São Carlos 
Universidade de São Paulo 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 2 
 
CONTEÚDO 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................. 3 
1.1 SISTEMAS MULTICORPOS .............................................. 4 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS VEÍCULOS ................................... 5 
1.3 HISTÓRIA DO AUTOMÓVEL ............................................. 7 
1.4 MODELOS MATEMÁTICOS ............................................... 8 
1.5 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE VEÍCULOS ................... 17 
1.6 CLASSIFICAÇÃO DA DINÂMICA VEICULAR .................. 23 
1.7 COORDENADAS E GRANDEZAS FÍSICAS .................... 28 
1.8 DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO CG ................... 35 
 
2. DINÂMICA LONGITUDINAL .......................................... 42 
2.1 DESEMPENHO EM ACELERAÇÃO ................................ 44 
2.2 HABILIDADE PARA VENCER RAMPAS .......................... 53 
2.3 DESEMPENHO EM DESACELERAÇÃO ......................... 56 
 
3. DINÂMICA VERTICAL ................................................... 64 
3.1 DESCRIÇÃO DAS IRREGULARIDADES DA VIA ............ 68 
3.2 MODELOS DO CONJUNTO CHASSI E SUSPENSÃO ... 82 
3.3 TOLERÂNCIA DO SER HUMANO A VIBRAÇÕES ........ 113 
 
4. DINÂMICA LATERAL .................................................. 117 
4.1 INTRODUÇÃO ................................................................ 118 
4.2 SISTEMA DE DIREÇÃO ................................................. 123 
4.3 MODELO DO PNEUMÁTICO ......................................... 126 
4.4 MODELO SINGLE TRACK ............................................. 132 
4.5 TENDÊNCIA DE ESTERÇAMENTO .............................. 154 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................ 165 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
Os objetivos deste curso são: 
 
Introdução à MODELAGEM MATEMÁTICA 
Introdução à DINÂMICA VEICULAR: 
 Dinâmica Longitudinal 
 Dinâmica Lateral 
 Dinâmica Vertical 
 
 
 
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1.1 SISTEMAS MULTICORPOS 
 
(No inglês: Multibody Systems - MBS) 
 
São sistemas mecânicos RÍGIDOS compostos de 
várias partes que possuam grande movimento 
relativo entre si. Estas partes são interconectadas 
por juntas, influenciadas por esforços, acionadas por 
movimentos pré-estabelecidos e sujeitas a vínculos. 
Exemplos: 
 Robôs 
 Satélites 
 Mecanismos 
 AUTOMÓVEIS: 
 Suspensões 
 Sistema de direção 
 Trem de força, etc. 
 
 
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1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS VEÍCULOS 
Os veículos atualmente existentes são baseados em 
vários princípios de funcionamento. 
Uma forma de classificá-los é através: 
 Meio no qual operam: 
  Ar, mar ou terra. 
 Forma de propulsão: 
  Forças de escoamento 
  Forças magnéticas 
  Atrito, etc. 
 Veículos terrestres movidos por atrito 
  Guiados: ferroviários 
  Não guiados: rodoviários, fora de estrada. 
 Rodoviários com pneumático de borracha 
  passeio 
  carga 
  competição 
 
 
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Neste curso: 
 
 
 
VEÍCULOS TERRESTRES, MOVIDOS POR 
ATRITO, NÃO GUIADOS, RODOVIÁRIOS, DE 
PASSEIO COM PNEUMÁTICO DE BORRACHA: 
 
 
 
VEÍCULO 
 
 
 
 
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1.3 HISTÓRIA DO AUTOMÓVEL 
 
 1769 - Nicholas Cugnot - Veículo a vapor 
 1784 - James Watt - Não Funcionou! 
 1802 - Richard Trevithick - Até 1865: pegou fogo! 
 1886 - Karl Benz e Gottlieb Daimler - Primeiro 
veículo a gasolina 
 1909 - Mais de 600 fabricantes nos EUA 
 Primeiros artigos: William Lanchester (1868-1946) 
 Limitação: falta de conhecimento sobre o pneu 
 1931 - Becker - Dinamômetro para pneus 
 1952-56 - Milliken, Segel et al. - Trabalhos 
extensos e completos em estabilidade e controle, 
utilizando terminologia aeronáutica. 
 
 
 
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1.4 MODELOS MATEMÁTICOS 
 
Em engenharia, a palavra MODELO possui dois 
significados: 
  MODELO EM ESCALA: 
 Arranjo similar à situação real (leis e escalas 
apropriadas). 
  MODELO MATEMÁTICO: 
 Estabelecimento de equações matemáticas 
correspondentes a princípios ou leis físicas ou ainda 
a relações empíricas. 
 
 
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Observações: 
 
 Modelagem: HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS a 
respeito do comportamento do sistema real. 
 O estabelecimento das hipóteses mais 
apropriadas é CENTRAL no processo de 
modelagem. 
 Todo modelo deve procurar descrever da forma 
mais SIMPLES e da maneira mais PRECISA o 
sistema real. 
 Esta é a contradição do processo de 
modelagem, cuja solução é a ENGENHARIA. 
 
 
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 Passos de uma modelagem 
 
Vários são os possíveis níveis de complexidade 
envolvidos em um problema de modelagem. 
 
A capacidade de definir adequadamente os 
aspectos relevantes de uma modelagem em cada 
nível é um atributo exigido de engenheiros e 
cientistas. 
 
 
 
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Independentemente a que nível se refira, os 
seguintes passos são partes integrantes de uma 
modelagem: 
 
1. Descrever um modelo físico do sistema que 
contenha os aspectos relevantes ao estudo, juntamente 
com as hipóteses simplificadoras estabelecidas. 
2. Obter equações constitutivas que descrevam 
matematicamente o comportamento das grandezas do 
sistema 
3. Resolver as equações, analítica ou numericamente a 
fim de obter o comportamento estimado do sistema. 
4. Verificar os resultados do modelo por comparação 
com o comportamento do sistema real 
5. Modificar o modelo físico, se necessário, ou utilizá-
lo para análise e projeto. 
 
 
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Esta situação pode ser ilustrada pelo diagrama da 
figura dada abaixo. 
 
 
 
Figura 1.1: Ilustração do processo de modelagem 
 
 
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O uso de computadores para executar as tarefas 2 e 
3 é uma prática bastante comum nos dias de hoje. 
(MEF, MBS, Simulação geral, etc.). 
Esta prática permite aos engenheiros e cientistas 
concentrarem-se nos aspectos mais importantes do 
processo de modelagem, 1 e 5. 
 
O uso de MODELOS MATEMÁTICOS na DINÂMICA 
DE VEÍCULOS é um dos mais importantes recursos 
de desenvolvimento de produto para a indústria 
automobilística. Ele proporciona grande redução de 
custos e tempo de análise e desenvolvimento do 
automóvel. 
 
 
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Na dinâmica de veículos encontram-se duas 
abordagens: 
 
 Modelos simples 
 Obtidos manualmente, através da aplicação de 
princípios físicos a modelos bastante simplificados 
do comportamento do veículo. 
 
Figura 1.2: Exemplos de modelos simplificados 
 
 
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 Modelos complexos 
 
Obtidos com o auxílio de computadores baseados 
em descrição detalhada do veículo e seus 
subsistemas (motor/transmissão, suspensão, 
sistema de freios, sistema de direção, etc.). 
 
Suspensãode 5 barras: 
 
 
Figura 1.3: Suspensão de 5 barras 
 
 
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Veículo completo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suspensão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4: Veículo completo 
 
 
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1.5 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE VEÍCULOS 
 
Os principais OBJETIVOS da engenharia 
automobilística são tornar os veículos: 
  Mais seguro 
  Fáceis de operar 
  Confortáveis 
  Emissões minimizadas 
  Relação cont reduzida 
 
 
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As áreas do conhecimento envolvidas são: 
 
 Mecânica 
 Física 
 Teoria de sistemas e controle 
 Eletrônica 
 Informática 
 Instrumentação 
 
 
 
 
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DINÂMICA, em seu sentido mais amplo, significa o 
estudo do MOVIMENTO e dos ESFORÇOS que o 
originaram. 
 
 MOVIMENTO: 
  Posições 
  Velocidades 
  Acelerações 
 
 ESFORÇOS: 
  Forças 
  Momentos 
 
 
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A DINÂMICA DE VEÍCULOS estuda o movimento do 
veículo e de suas partes em resposta aos esforços 
aplicados pelo ambiente e aos comandos do 
motorista, conforme a figura. 
 
 
 
Figura 1.5: Diagrama ambiente/motorista/veículo 
 
 
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 MOVIMENTOS 
 
  Translação 
  Posição 
  Velocidade 
  Aceleração 
 
  Rotação 
  Orientação 
  Velocidade angular 
  Aceleração angular 
 
  Movimento relativo entre as partes 
  Deslocamentos de suspensões 
  Movimentos no motor e transmissão 
  Movimentos no sistema de direção 
 
 
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 ESFORÇOS 
 
  Externos 
  Gravitacionais 
  Aerodinâmicos 
  Contato pneumático/pavimento 
 
  Internos 
  Suspensão 
  Motor/transmissão 
  Sistema de freios 
 
Os esforços dominantes são aqueles originados no 
contato pneumático/pavimento. 
 
Portanto, é fundamental uma compreensão dos 
mecanismos explicativos de seu comportamento. 
 
 
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1.6 CLASSIFICAÇÃO DA DINÂMICA VEICULAR 
 
O conjunto veículo e seus subsistemas utilizados 
nos estudos da dinâmica de veículos podem ser 
ilustrados pelo diagrama da figura. 
 
 
Figura 1.6: Diagrama veículo / subsistemas 
 
 
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Embora o motorista seja uma parte ativa do 
diagrama anterior, este curso não irá abordar a 
questão das dinâmicas associadas ao ser humano 
no que se refere à sua capacidade de seguir 
comandos (tracking ability). Devido à grande 
variabilidade de talentos é bastante difícil quantificar 
a resposta do veículo nesta situação de malha 
fechada. A solução normalmente adotada em 
dinâmica de veículos é desprezar o motorista e 
considerar o automóvel como um sistema isolado, 
isto é, em malha aberta. 
 
 
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Na dinâmica de veículos 2 tipos de entradas: 
 
 Entradas do motorista 
 Distúrbios do ambiente 
 
As principais entradas do motorista são: 
  Entradas na direção 
  Deslocamento (fixed control) 
  Torque (free control) 
  Acelerador 
  Freios 
  Transmissão (embreagem e câmbio) 
 
Os principais distúrbios são: 
  Irregularidades da pista 
  Distúrbios aerodinâmicos 
 
 
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Por uma questão de conveniência de estudo e 
análise preliminar, costuma-se dividir o estudo da 
dinâmica de veículos em três grandes áreas: 
 
 Dinâmica longitudinal 
 Estuda o movimento longitudinal (x) e rotações 
em torno de (y) em resposta a torques aplicados às 
rodas. 
 
 Dinâmica vertical 
 Compreende o movimento vertical (z) e as 
rotações em torno de (x) e (y) em função de 
irregularidades da pista 
 
 Dinâmica lateral 
 Envolve o movimento lateral (y) e as rotações (z) 
e (x) como resultado da atuação na direção 
 
 
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A suspensão é parte fundamental do veículo e afeta 
vários aspectos de seu comportamento dinâmico: 
 
  Na dinâmica longitudinal ela é responsável 
pelas alterações de atitude (dive e squat ou pitch) do 
chassi durante acelerações e desacelerações. 
 
  Na dinâmica vertical ela é responsável pela 
isolação de vibrações do chassi e da manutenção do 
contato pneu/via. 
 
  Na dinâmica lateral ela afeta as características 
de esterçamento (over, neutral ou understeer), bem 
como o movimento de rolamento do chassi. 
 
 
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1.7 COORDENADAS E GRANDEZAS FÍSICAS 
 
Um veículo é composto de muitos subsistemas. 
Porém, para análises elementares pode se 
considerar que todos os seus componentes 
movimentam-se em conjunto. Desta forma, ele pode 
ser representado como uma única massa localizada 
no CG, com as propriedades inerciais adequadas. 
 
Para as dinâmicas longitudinal e lateral esta 
hipótese é suficiente. Para a dinâmica vertical 
normalmente é necessário tratar a suspensão como 
uma massa separada. 
 
 
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As leis físicas utilizadas na dinâmica de veículos são 
as leis de Newton. Elas descrevem as relações de 
esforços que atuam em um sistema, em relação a 
um referencial INERCIAL. 
 
Todavia, antes que se possam escrever as 
equações de movimento, é necessária a adoção de 
um SISTEMA DE COORDENADAS. 
 
 
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Os tipos de coordenadas mais comuns são: 
 
  Coordenadas globais 
 Expressa as grandezas do movimento no 
referencial inercial 
  Coordenadas locais 
 Expressa as grandezas de movimento em um 
referencial local 
 
É importante observar que embora as grandezas de 
movimento possam ser expressas em referenciais 
locais, elas são definidas em relação ao referencial 
inercial ou ABSOLUTO! 
 
 
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 Coordenadas locais. 
 
  Sistema da mão direita 
  Chassi ou veículo como massa única 
 
 
 
Figura 1.7: Sistema de coordenadas locais SAE 
 
  Para a dinâmica vertical o conjunto 
roda/suspensão deve ser considerado 
separadamente. 
 
z 
Y 
 
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 As principais grandezas do movimento são: 
 
  Deslocamentos, velocidades e acelerações 
longitudinais, laterais e verticais (x, y, z). 
 
  Ângulos de orientação (body-three 3-2-1) e 
velocidades angulares 
  Yaw e yaw rate (z) 
  Pitch e pitch rate (y) 
  Roll e roll rate (x) 
 
  Deslocamentos e ângulos do sistema de 
direção e suspensão 
 
 
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 Coordenadas globais. 
 
 Não é muito utilizado devido ao fato das 
propriedades inerciais (momentos e produtos de 
inércia) variarem com o movimento. 
 
Figura 1.8: Sistema de coordenadas globais (plano) 
 
Grandezas normalmente do referencial global são: 
  Direção do veículo 
  Direção da trajetória 
  Trajetória (X, Y) 
 
 
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 No caso de sistemas multicorpos, trabalha-se 
com diversos sistemas locais, como por exemplo, a 
figura abaixo. 
 
Figura 1.9: Vários sistemas locais 
 
 
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1.8 DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO CG 
 
Um dos parâmetros mais importantes em toda a 
dinâmica veicular, principalmente nos estágios 
preliminares de projeto, onde os modelos 
simplificados são utilizados é a localização do centro 
de massa ou centro de gravidade. Em muitos casos, 
só é possível determiná-lo experimentalmente. 
 
 
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 Localização Horizontal (xy) 
 
Figura 1.10 Localização horizontal do cg 
Onde: 
L = entre-eixos 
tf = bitola dianteira 
tr = bitola traseira 
x1-x1 = linha pelo centro da roda traseira 
LC = linha de centro 
y’’ = distância de x1 -x1 à linha de centro 
y' = distância de x1-x1 ao cg 
 
Condição de ensaio: 
W 
W1 
W2 
W3 
W4 
a b 
L 
tf 
tr 
x1 x1 
y’ 
y’’ 
cg 
d 
LC 
 
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 Plano, na altura de trabalho 
 Empurre o veículo sobre 4 balanças niveladas 
 Verifique a pressão dos pneus 
 Condição de carga 
 
Anote: 
 Peso individual por roda (Wi) 
 Bitolas dianteira e traseira, no meio do pneu 
 Entre-eixos (média) 
 
 Use dimensões consistentes!!! 
 
Peso total (W): 
 
4321 WWWWW 
 
 
21 WWWF 
 
 
43 WWWR 
 
 
 
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Somatória de momentos em relação ao eixo traseiro: 
 longitudinal: 
bLa , 
W
LW
b
F



 
 
Supondo que o CG: 
  não esteja sobre a linha de centro 
  bitolas traseira e dianteira são diferentes 
 
Somatória de momentos em relação à linha x1–x1 
(pelo centro da roda traseira): 
 lateral  
W
tW
d
W
W
dt
W
W
' y
f
f
412
 
 
Para y’’ (offset da LC) 
 
2
412 rf
f
t
W
tW
d
W
W
dt
W
W
'' y  
para 
ttt rf 
: 
2
42 t
t
W
WW
'' y 

 
 
 
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 Localização Vertical (z) 
 
 
Figura 1.11 Localização vertical do cg 
 
Condição de ensaio: 
 suspensão travada na altura de trabalho (soldar 
amortecedor velho!!) 
 o método para levantar a traseira não pode gerar 
esforço horizontal 
 pendurar, colocar em plano mais alto (não brecar) 
 prender carga móvel 
 tanque cheio ou vazio (fechar respiros) 
 
 
 

 a b 
 L 
 L1 
 b 
 c 
W 
h1 h O 
b1 
Wf 
 
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Fazendo somatória de momentos em relação a O e 
utilizando as identidades trigonométricas da figura: 
 



tanW
WbLW
h
f
1
 
 
Mas h1  altura acima da linha ligando o centro da 
roda dianteira e traseira. Se RF = Rr = R 
 
1hRh 
 
 
Se forem diferentes: 
 
L
a
R
L
b
RR rFCG 
 
 
E a altura h: 
1hRh CG 
 
 
 
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Outra forma é: 



tanW
LW
h
f
1
 
 
Onde 
FW
 é a variação de 
FW
 para 
0
 no valor do 
ensaio (não muito preciso). (Faça vários ensaios 
para diferentes 

 e tire a média) 
 
 
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2. DINÂMICA LONGITUDINAL 
 
A dinâmica longitudinal estuda o comportamento do 
veículo na direção (x) e a rotação em torno do eixo 
(y) (pitch). Também é estudado o comportamento do 
veículo quando sujeito a baixas acelerações laterais. 
No caso de estudos de sistemas ABS e ASR, as 
rotações das rodas também devem ser 
consideradas, assim como um modelo do 
pneumático que represente a força longitudinal do 
pneu em função do escorregamento longitudinal. 
Aplicando-se as leis de Newton às inércias 
correspondentes: 
Para a direção x: 
 yzxx vVMF  
 
Para rotação y: 
yyyy IT 
 
 
 
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Para o estudo da dinâmica longitudinal o modelo 
físico ilustrado pela figura abaixo é adequado para 
uma compreensão dos aspectos fundamentais 
 
Figura 2.1: Modelo plano para a dinâmica longitudinal [Gillespie] 
 
Onde: 

i
W
 Peso de veículo 

xi
F
 Força de tração ou frenagem 

xi
R
 Resistência ao rolamento 

h
R
 Força do implemento 

a
D
 Arrasto aerodinâmico 
 
 
 
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2.1 DESEMPENHO EM ACELERAÇÃO 
 
O desempenho em aceleração está associado ao 
movimento longitudinal resultante da aplicação de 
torque às rodas pelo conjunto motor e transmissão. 
Os principais aspectos estudados são: 
 
  Máxima aceleração de partida 
  Velocidade Máxima 
  Capacidade de vencer rampas 
  Manutenção da estabilidade lateral 
  Consumo 
  Emissões 
 
 
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Devem ser levados em consideração os seguintes 
subsistemas: 
  Motor (Combustível) 
  Torque x velocidade ou rotação 
  Potência x velocidade ou rotação 
  Consumo específico 
 
Figura 2.2: Curvas de desempenho de motores 
 
  Transmissão (discreta (manual/automática),CVT). 
  Forma de tração (TD, TT, 4WD). 
  Tipo de diferencial 
 
 
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 Máxima aceleração de partida 
 
A relação peso/potência é o fator preponderante na 
determinação da aceleração máxima para baixas 
velocidades. 
Desprezando-se as perdas e supondo pista plana 
 
WV
gPotC
ax
x
max


 
Onde: 
C = Constante 
Pot = Potência nominal do motor 
Vx = Velocidade longitudinal do veículo. 
 
 
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Desta forma, o efeito da velocidade na capacidade 
de aceleração pode ser ilustrado pelo gráfico da 
figura abaixo para automóveis e caminhões. 
 
 
Figura 2.3: Efeito da velocidade nas acelerações de carros e 
caminhões 
 
 
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Levando-se em consideração o efeito das inércias 
do conjunto motor e transmissão e as perdas 
 
A força trativa, supondo não ocorra escorregamento 
pode ser obtida da 2
a
 lei de Newton aplicada às 
inércias rotativas referidas ao eixo da roda. Isto é, 
 
  
2
x
w
2
fd
2
tfte
tftfe
x
r
a
ININII
r
NT
F 

 
 
Onde: 
Te = Torque do motor 
Ntf.f = Relações de transmissão 
tf = Eficiência do sistema 
 
 
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O termo 
 
 
Onde: 

e
I
 Momento de inércia do motor 

t
I
 Momento de inércia da transmissão vista do eixo 
do motor 

d
I
 Momento de inércia do cardã 

w
I
 Momento de inércia da roda 
 
Possui unidade de massa e corresponde à massa 
de translação equivalente das inércias rotativas 
 
r
M
. 
Desta forma, 
 
 









 sinWDR
r
NT
MM
1
ax
ax
tftfe
r
max
 
 
 
   2
w
2
fd
2
tfte
rININII 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 50Uma tabela indicando o efeito das inércias 
rotativas na massa equivalente do veículo pode 
ser vista abaixo, onde é apresentado o fator de 
massa (fm): 
 
 
 
 
 
 
 
M
)MM(
fm r


Fator de massa (fm) 
Veículo Marcha Alta Segunda Primeira Reduzida 
Pequeno 1.11 1.20 1.50 2.4 
Grande 1.09 1.14 1.30 
Caminhão 1.09 1.20 1.60 2.5 
 
 
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Uma curva típica da força trativa x velocidade pode 
ser vista na figura abaixo: 
 
 
Figura 2.4: Característica força trativa x velocidade (manual). 
 
A curva ilustrada é para uma transmissão manual de 
4 marchas e as perdas incluem 10% de inclinação. 
 
 
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 Aceleração limitada pela tração disponível 
 
 
rf,f,rmax
W
M
1
ax  
 
E a força normal a ser considerada depende do tipo 
de veículo e do efeito de transferência de carga. 
É importante observar que a massa a ser 
considerada é somente a massa total do veículo M, 
sem considerar Mr. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 53 
2.2 HABILIDADE PARA VENCER RAMPAS 
 
Nestes casos supõe-se que nas marchas inferiores 
o veículo é capaz de fornecer a potência necessária 
e o fator limitante é a adesão disponível. 
 
O critério utilizado é o do coeficiente de atrito 
mínimo, min, necessário para vencer uma rampa de 
uma certa inclinação. Definindo 
 
  1
e
tan
 
 
Como a inclinação equivalente, têm-se as seguintes 
relações: 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 54 
 Tração Traseira 
   lhlb
e
e
min



 
 
 Tração Dianteira 
   lhlc
e
e
min



 
 
 Tração nas 4 Rodas (uniforme) 
 
 Para Wr > Wf 
   lhlc
2
e
e
min



 
 
 Para Wf > Wr 
   lhlb
2
e
e
min



 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 55 
Esta situação é ilustrada na figura abaixo para os 
casos citados. 
 
 
Figura 2.5: Habilidade de rampa e tipo de tração 
 
 Tração dianteira: b/l = 0.43; h/l = 0.2 
 Tração traseira: b/l = 0.49; h/l = 0.2 
 Tração nas 4 rodas: b/l = 0.43; h/l = 0.2 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 56 
2.3 DESEMPENHO EM DESACELERAÇÃO 
 
O desempenho em desaceleração é uma das 
características mais importantes do comportamento 
do veículo, uma vez que está intimamente 
relacionado à segurança de operação do mesmo. 
 
Aspectos de interesse: 
  Distância de frenagem 
  Tempo de frenagem 
  Máxima desaceleração 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 57 
Estas grandezas dependem dos seguintes fatores: 
  Tipo de freio 
  Distribuição da força de frenagem 
  Geometria do veículo 
  Características do contato pneu/pavimento 
 
O comportamento do veículo durante a frenagem 
é crítico e pode ter implicações em seu 
comportamento lateral (instabilidade). 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 58 
 Efeito das perdas 
 
Atuam no sentido de melhorar o desempenho em 
frenagem. São elas: 
 
 - Resistência do rolamento (0.01g) 
 - Arrasto aerodinâmico (0.03g) 
 - Efeito freio motor: 
  Atrito interno 
  Bombeamento de ar 
 
Se as válvulas flutuarem não há efeito motor. Só 
terá efeito se a desaceleração for baixa o suficiente. 
Caso contrário, uma parcela da força de frenagem 
deverá desacelerar ainda as inércias rotativas do 
motor e transmissão. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 59 
 Distribuição das forças de frenagem 
 
 A máxima desaceleração é obtida se todas as 
rodas forem freadas simultaneamente de acordo 
com a máxima adesão disponível. 
 
 Os fatores preponderantes na força de frenagem 
são a força normal e o coeficiente de atrito. 
 
 Porém durante a frenagem ocorre uma 
transferência de carga de uma roda (eixo) para outra 
(o) e que varia de acordo com o nível de 
desaceleração. 
 
 Portanto a distribuição ideal das forças de 
frenagem varia com esta transferência de carga e 
conseqüentemente com a desaceleração sendo 
aplicada. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 60 
 Distribuição ideal da força de frenagem 
 
A força de frenagem será máxima se: 
 
 Dianteira 
  






g
ax
1MgWF
fxf
 
 
 Traseira 







g
ax
MgWF
rxr
 
Onde: 
 = b/l 
 = h/l 
 = ax/g 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 61 
Representando as forças dianteira e traseira 
normalizadas e somando-as, 
 
W
F
g
ax
W
F
xfxr 
 
 
Que resulta quando se expressa Fxr/W como função 
de Fxf/W somente: 
 













2
1
W
F
W
F
2
1
W
F
xfxf
2
xr 
 
O que representa uma curva de uma função raiz 
quadrada em Fxf ou uma parábola em Fxr. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 62 
O diagrama da figura abaixo é utilizado para analisar 
o desempenho de um freio em função de sua 
distribuição de forças de frenagem dianteira/traseira. 
 
Figura 2.6: Diagrama de distribuição de força de frenagem 
 
  Veículos de passeio: distribuição constante 
 Portanto, máxima capacidade não é utilizada 
  Ela está sempre abaixo da parábola 
  Distribuição típica: 85-65/15-35 
  Veículo carregado ocorre deteriora a frenagem. 
 Solução: Válvulas proporcionadoras e ABS !! 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 63 
 Estabilidade lateral na frenagem 
 
A principal razão para se evitar travamento das 
rodas traseiras é manter a estabilidade lateral do 
veículo.O travamento das rodas dianteiras ocasiona 
perda de esterçabilidade, porém não a estabilidade. 
 
 
Figura 2.7: Estabilidade lateral na frenagem 
 
Obs: Pneus escorregando longitudinalmente não 
possuem capacidade de esterçamento. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 64 
3. DINÂMICA VERTICAL 
 
 
Em inglês: Ride 
 
A dinâmica vertical estuda o comportamento do 
veículo e de seus ocupantes quando eles estão 
submetidos a excitações. Estas excitações podem 
ser externas (via) ou internas (roda, motor, 
transmissão). 
 
A suspensão desempenha um papel fundamental 
nas características de isolação de vibrações do 
chassi. 
 
Grandezas de interesse: 
 Deslocamento vertical (z) 
 Rotações (y) (pitch) e (x) (roll) 
 Deslocamento roda/suspensão 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 65 
Objetivos: 
 
Melhoria do conforto dos passageiros e 
integridade das cargas através da isolação de 
vibrações que são transmitidas ao veículo 
 
Aumentar a segurança na operação 
proporcionando a melhor condição de aderência 
no contato pneu/via 
 
Respeitando-se as limitações no espaço de 
trabalho. 
 
Vibrações em veículos (NHV): 
 Até 25 Hz: Ride 
 Acima de 25 até 20000 Hz: Noise 
 Entre 25 e 100 Hz: Harshness 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 66 
A dinâmica vertical pode ser dividida em 3 
subproblemas: 
 
1. Modelagem e caracterização das fontes de 
excitação 
2. Previsão do movimentodo veículo 
3. Previsão e caracterização da resposta dos 
passageiros a vibrações 
 
Em diagrama de blocos: 
Figura 3.1: Subproblemas na dinâmica vertical 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 67 
 Irregularidades da via 
  Determinísticas (tempo e freqüência) 
  Aleatórias (tempo e freqüência) 
 
 Veículos 
  Modelos simples, 1 ou 2 dof, unidimensionais 
  Modelos complexos (e.g., 18dof), tridimensionais 
 
 Tolerância do ser humano a vibrações 
  Sensibilidade interna (desconforto e saúde) 
  Fortemente experimental 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 68 
3.1 DESCRIÇÃO DAS IRREGULARIDADES DA 
VIA 
 Eventuais 
  Imperfeições no pavimento 
  Lombadas 
 
 Inerentes 
  Variações aleatórias do perfil, oriundas do 
próprio processo construtivo e do material da via 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 69 
Irregularidades eventuais 
 
 Funções determinísticas no tempo: 
 
  Degrau 
  Rampas terminadas 
  Funções harmônicas 
 
 Exemplos: 
 
 
Figura 3.2: Modelos de irregularidades eventuais 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 70 
Irregularidades inerentes 
 
Funções aleatórias 
 
 Propriedades estatísticas 
  Média quadrada ou raiz média quadrada 
 (RMS - Root mean square) 
  Autocorrelação e correlação cruzada 
  Densidade espectral média quadrada 
 (PSD - Power spectral density) 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 71 
As irregularidades da via são descritas em termos 
da freqüência espacial [número de onda ( - 
wavenumber)] cujas unidades são [ciclos /m]. 
Para a conversão em freqüência temporal,  [Hz] ou 
 [rd/s], deve-se fazer: 
 
  Hz V . f
x

 
 srd V2
x

 
 
Onde: 

x
V
 Velocidade do veículo 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 72 
Um gráfico típico, com 2 tipos de via, asfáltica e de 
cimento, pode ser visto na figura abaixo. 
 
 
Figura 3.3: Densidade espectral típica de perfis de vias 
 
Podem-se observar as seguintes características: 
 Diminuição da PSD com o aumento de  
  Grandes irregularidades - grandes distâncias 
  Pequenas irregularidades - distâncias curtas 
 Nível geral: Está associado à qualidade da via 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 73 
 Modelos de S() da literatura 
 
Thompson 
 
2
G
S


 
 
Hác 
 
222 a
a
S



 
 
Gillespie 
 
  
2
2
oo
2
1S
S



 
 
Robson 
 










o
KS 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 74 
Têm-se os seguintes valores dos parâmetros das 
expressões anteriores: 
 
Gillespie 
o
 1.5 ciclos/m para asfalto betuminoso 
o
 0.06 ciclos/m para cimento Portland 
 
Robson 
76.014.3,
o

 
38.011.2,
o

 
ou simplesmente  = 2.5 
 
81010K  - Auto-estrada 
81050K  - Estrada principal 
810500K  - Estrada secundária 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 75 
Uma outra forma de se especificar vibrações é 
através de acelerações. Isto é: 
 
Irregularidade 
da via 
Acelerações 
aplicadas 
às rodas 
 
Supondo S() como proposto por Gilllespie e 
representando o nível das irregularidades em [db] 
tem-se os gráficos da figura abaixo. 
 
 
 
Figura 3.4: Irregularidades verticais em aceleração 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 76 
Exemplo deste caso pode ser visto na figura abaixo: 
 
 
 
Figura 3.5: Exemplos de irregularidades verticais em aceleração 
 
Desta forma: 
Freqüências mais altas: Maiores entradas 
A atenuação é obtida através da suspensão primária 
Freqüências de corpo rígido do chassi: 1.0 a 2.0Hz 
Freqüência de corpo rígido do conjunto 
roda/suspensão: 10 a 15Hz 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 77 
 Irregularidade direita/esquerda 
Uma forma de gerar estas irregularidades pode ser 
vista na figura abaixo [Rill]. 
 
 
 
Figura 3.6: Modelo de irregularidade bidimensional 
 
Irregularidade longitudinal central 
Utiliza-se um ângulo de variação aleatória usando 
correlação conhecida direita/esquerda para gerar os 
dois perfis 
Limitação: veículo realizando curvas 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 78 
Outra forma de especificar a excitação 
direita/esquerda é normalizando-a em relação à 
amplitude vertical (ruído branco de banda limitada). 
Um exemplo desta abordagem pode ser vista na 
figura 
 
 
 
Figura 3.7: Entrada em roll normalizada 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 79 
Em termos do raciocínio anterior 
 
 
 
Figura 3.8: Explicação entrada em roll normalizada 
 
Isto é, para número de onda baixo (grandes 
comprimentos de onda) a entrada de rolamento é 
muito menor que a vertical e iguala-se em 
comprimentos de onda curtos. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 80 
Outras formas utilizadas por Rill para a 
representação do perfil da via são: 
 Modelo bidimensional 
 
 
 
Figura 3.9: Geração do perfil da via 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 81 
 Modelo tridimensional 
 
 
 
Figura 3.10: Modelo tridimensional 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 82 
3.2 MODELOS DO CONJUNTO CHASSI E 
SUSPENSÃO 
 
Um grande número de modelos é utilizado 
atualmente, dependendo do tipo de estudo que se 
deseja efetuar, em função dos objetivos principais 
da dinâmica vertical. 
 
Conforto: 
 
  Minimizar acelerações e deslocamentos 
verticais da massa do chassi do veículo (sprung 
mass) 
 
Segurança: 
 
  Minimizar a variação da força normal nos 
pneus (unsprung masses) 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 83 
 Modelo simples de 1 dof 
Para conforto ótimo Para segurança ótima 
 
Figura 3.11: Modelos simples da dinâmica vertical 
 
Neste caso para ambos modelos 
 
0ZZ.2Z 2n    
 
Com condições iniciais: 
  oz0Z 
 e 
  00Z 
 
Para conforto Para segurança 








ss
2
n
ss
s
MK 
MB 2
Z Z

 
 






ust
2
n
us
u
MKK 
MB 2
Z Z

 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 84 
 Teoria de Controle Ótimo 
 
Uma maneira de se especificar características de 
comportamento desejado de sistemas dinâmicos é 
através de índices de desempenhos quadráticos da 
forma: 
 
  d)(Qx)(xPI
t
to
T2 
 
Para a dinâmica vertical 
 
 Conforto ótimo 
  dtZZPI
2
0
2
s
2
n
2
s
2
s 

 
 
 
 Segurança ótima 
 


0
2
ut
2
u
dtZKPI
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 85 
Da teoria de controle ótimo para sistemas lineares 
da forma 
Axx  
 
Tem-se solução da forma 
 
   tRxtxRxxPI T
o
T
o
2 
 
 
E a matriz R satisfaz a equação de Lyapunov 
 
0QRARAT Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 86 
Para o nosso caso 
 







Z
Z
x

 ; 








2 
1 0
A
2
n
 
 







0
z
x
o
o
 ;   






0
0
tx 
 
E portanto 
 
 
11
2
o
o
2221
2111
o
2 rz
0
z
 
r r
r r
 0zPI 











 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 87 
 Para conforto ótimo 
   2s2n
2
s
2
ns
T ZZZ2Qxx    
Que resulta 
 









22
n
2
n
4
n
4 2
2 2 
Q   2r 2n2n11 
 
Logo 
  2ZPI 2
n
2
nso
2 
 
2PI é mínimo se 
0
PI


 
Isto é 
  2
n
2
22 
 
Substituindo 
 
sss
MK2
conforto
ótimo 
B 




 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 88 
 Para segurança ótima 
 2
utx
T ZKQx 
 
Que resulta 
 







0 0 
0 K
Q
2
t 2
t2
n
11
K
4
1
r 









 
 
Logo 










4
1
KZ
2
n
2
tuo
 
 
2PI é mínimo se 
0
PI


 
Isto é 
  2
n
2
2 
 
Substituindo 
 
 
usts
MKK
segurança
ótima 
B 




 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 89 
 Exemplo 
Ms = 250kg Mu = 50kg 
Ks = 12000 N/m Kt = 250000 N/m 
 Bs = 2450 Ns/m Para conforto 
 Bs = 3620 Ns/m Para segurança 
 
 Aplicação prática [Rill] 
 
Figura 3.12: Amortecedor BMW série 7 
 
Normalmente o amortecimento em extensão 
(rebound) é da ordem de 3 vezes o coeficiente em 
compressão (jounce), pois este tipo de esforço se 
transmite à carroceria. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 90 
 Modelo quarter-car 
 
Um modelo mais complexo do que os anteriores é o 
quarter-car, ilustrado na figura: 
 
 
 
Figura 3.13: Modelo quarter-car 
 
Mesmo este modelo mais simples já resulta em 
equações matemáticas complexas, conforme será 
visto posteriormente. Inicialmente, serão tecidas 
algumas considerações iniciais a respeito do 
comportamento deste sistema. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 91 
A rigidez vertical efetiva, dada pela associação em 
série da suspensão e do pneumático, é chamada de 
ride rate. Ele é dado pela equação 
 
st
ts
KK
KK
RR

 
 
A freqüência natural vertical aproximada de cada 
quarto de veículo é dada pela equação 
 
s
1n
M
RR
 
 
Todavia, o veículo (Ms) vibra na freqüência natural 
amortecida dada por 
 
2
snd
1 
 
 
Onde: 
ss
s
s
MK2
B

 (0.2  0.4) 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 92 
Uma relação bastante usada nos estágios 
preliminares do projeto é a deflexão estática, 
ss
KgM
, 
da suspensão. Traçando-se o gráfico deflexão 
estática x freqüência natural, tem-se a figura 
 
 
Figura 3.14: Deflexão estática x n. 
 
A escolha preliminar da rigidez da suspensão deve 
ser um compromisso entre espaço de trabalho (de) e 
características de isolação (n). 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 93 
 O fator limitante é o espaço de trabalho 
 Menor n 
  Maior isolação 
  Maior espaço de trabalho 
 Limites práticos: 
   Hz 1f ;srd 2
nn

 
 Casos práticos: 
Hz 5.1 a 1:f
n
 
 Molas mais rígidas transmitem mais acelerações 
da pista para o chassi, piorando o ride. 
 Veículos esportivos: Melhor handling e pior ride: 
zn
H 0.2 f 
 
 Outras soluções: Molas progressivas 
 Veículos de mercado: espaço de trabalho: 
 +/- 125 a 200 [mm] 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 94 
A resposta dinâmica deste modelo pode ser obtida 
de várias maneiras. 
 
1) Resolvendo as equações matemáticas analítica 
ou numericamente no tempo 
 
2) Representando o sistema no domínio de 
Laplace e resolvendo no domínio da freqüência 
(Resposta em Freqüência (RF)) 
 
De qualquer forma, ambos os métodos requerem a 
obtenção do modelo matemático do sistema. 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 95 
O modelo matemático que descreve o 
comportamento do sistema para as várias entradas 
deve ser obtido através da aplicação da 2
a
 lei de 
Newton às massas Ms e Mu. 
Desta forma, aplicando a lei de Newton à massa 
massas Ms resulta 
 
    ssussusss ZMZZBZZKF  
 
 
E aplicando a lei de Newton à massa Mu fornece 
 
      uususussrutu ZMZZBZZKZZKF  
 
 
onde Fs e Fu. são, respectivamente, forças oriundas 
de vibrações do chassi e do conjunto 
roda/suspensão. 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 96 
Escrevendo estas equações em forma matricial 
 





 








































s
rtu
s
u
ss
sst
s
u
ss
ss
s
u
s
u
F
ZKF
Z
Z
 
KK
KKK
Z
Z
 
BB
BB
Z
Z
 
M0
0M




 
 
Isto é 
 
       tFzKzBzM   
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 97 
Que resulta nas seguintes funções transferência: 
 


































1
s2s
1
s2s
1
s2s
K
s
Z
Z
2n
2
2
2n
2
1n
1
2
1n
2
na
a
2
na
2
1
r
u
 
 
   
























1
s2s
1
s2s
1ssK
s
F
Z
2n
2
2
2n
2
1n
1
2
1n
2
1
2
2
u
s

 
 
 


































1
s2s
1
s2s
1
s2s
sK
s
F
Z
2n
2
2
2n
2
1n
1
2
1n
2
nb
b
2
nb
2
2
3
s
s

 
 
 
 



























1
s2s
1
s2s
1ssK
s
F
Z
2n
2
2
2n
2
1n
1
2
1n
2
2
2
4
u
s

 
 
onde 
1n

 é freqüência natural do chassi (1.0  1.5 
Hz) e 
2n

 é a freqüência natural da roda e 
suspensão (10  15 Hz). 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 98 
 A resposta em freqüência (RF) do sistema 
descreve como a saída senoidal de regime varia em 
função da freqüência , quando a entrada for 
senoidal. 
 
 Ela indica a relação de amplitudes 
   RARA
 e 
o ângulo de fase 
  
 entre o seno de saída e o 
seno de entrada, em função da freqüência do seno 
de entrada, . 
 
 Ela pode ser obtida substituindo-se o s por 
i
 
nas funções transferência dadas pelas equações 
anteriores. Oresultado será um número complexo 
cujo módulo é a relação de amplitudes entre a saída 
e a entrada e cuja fase é o ângulo de fase entre 
elas. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 99 
 Análise da RF para alguns pares entrada 
/saída 
 
As RFs para a saída aceleração do chassi, 
s
Z
, e 
entradas aceleração da via, 
u
Z
, força na roda, Fu, e 
força no chassi, Fs, podem ser vistas na figura 
 
Figura 3.15: Resposta do chassi para diferentes entradas 
 
Pode-se observar que a RA é bastante diferente 
para cada uma destas entradas. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 100 
 Entrada via - Saída chassi 
 
 - Baixas freqüências: RA é unitária, isto é o 
chassi acompanha a via. 
 
 - O valor do pico na ressonância é muito 
sensível ao amortecimento (1.5 a 3.0 para 

 de 0.2 
a 0.4). 
 
 - Altas freqüências: grande atenuação das 
excitações da via, conforme pode ser visto na figura 
 
Figura 3.16: Atenuação de acelerações da via pelo veículo 
 
in
2
out
PSD RA PSD 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 101 
 Entrada força na roda - Saída chassi 
 
 - RA tende a zero na freqüência  = 0 
 - RA aumenta através do valor de 1 Hz da 
freqüência natural do chassi até 10-12 Hz que 
corresponde à freqüência natural da roda e 
suspensão. 
 - Mede a sensibilidade da variação das forças 
radiais nos pneus 
 - O chassi responde mais às excitações 
devido à não uniformidade do pneu próximo da 
freqüência de ressonância dele e estas vibrações 
são transmitidas ao chassi. 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 102 
 Entrada força chassi - Saída chassi 
 
 - Semelhante à anterior, porém com uma 
maior influência na freqüência de ressonância do 
chassi 
 
 - Altas freqüências: RA tende para um valor 
constante. Isto implica que todas as forças externas 
que chegam ao chassi são prejudiciais à qualidade 
do ride 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 103 
 Efeito da rigidez da suspensão 
 
Pneu: muito rígido 
 
  Suspensão predomina no ride rate 
 
Figura 3.17: Efeito da rigidez da suspensão 
 
Como as acelerações da via crescem com a 
freqüência, a melhor saída é manter n1 o mais 
baixo possível. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 104 
 Efeito do amortecimento 
 
A função do amortecedor é dissipar a energia 
absorvida pela suspensão ao atravessar 
irregularidades da via. 
 
Normalmente ele é explicitado pelo fator de 
amortecimento () que é uma medida 
adimensionalizada do coeficiente de amortecimento. 
 
O valor da RA, para o sistema de 1 dof, na 
freqüência de ressonância é dada por 
 
2p 12
K
RA

 
 
Onde 
2
np
21 
 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 105 
Para o sistema mais complexo, com 2 dof, um 
gráfico da RA da RF é dado por 
 
Figura 3.18: Efeito do amortecimento na RA 
 
Observa-se que: 
 
  Amortecimento baixo  RA alta 
 Valores típicos para automóveis:  = 0.3 a 0.4 
 
0p
RA 0.25.1RA


 
  Amortecimento alto  Muito rígido. Chassi 
ressona nos pneus (3 a 4 Hz) 
  Na prática  Mais complicado. Razão 3:1 
extensão compressão 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 106 
 Ressonância do conjunto roda/suspensão 
 
As ressonâncias dos conjuntos rodas suspensões 
são muito mais altas do que as freqüências do 
chassi. Cada roda possui um modo de vibrar vertical 
que é excitado pela via, irregularidades do pneu, 
etc., que acaba se transmitindo na forma de 
vibração ao chassi. 
 
A freqüência de ressonância das rodas é dada por 
 
u
st
2n
M
KK 
 
 
 Valores típicos: 
 
n
f
 = 10 - 12 Hz (com atrito 12 - 15 Hz) 
 Mu = 40 - 50 kg 
 Kt = 150 - 200 kN/m 
 Ks = 15 - 20 kN/m 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 107 
 Efeito da massa da roda e suspensão 
 
 Este efeito é ilustrado na figura abaixo 
 
Figura 3.19: Efeito do valor da massa não suspensa 
 
 Valores típicos: 
 Mu/Ms = 0.1 típico 
 Mu/Ms = 0.05 leve 
 Mu/Ms = 0.2 pesada 
 
  Pequena massa não suspensa, melhor ride 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 108 
 Modelo bidimensional - 2 dof - 1 massa 
 
 Freqüências de bounce (z) e pitch (rotação x) 
 
O veículo real, devido à distância entre eixos, é um 
sistema de múltiplas entradas e responde com 
movimento vertical e rotação em x. 
 
É importante entender bounce e pitch pois sua 
combinação determina as vibrações verticais e 
longitudinais em qualquer ponto do veículo. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 109 
 Modelo Matemático para pitch e bounce 
 
Para a direção Z: 
 
 
 
 
Para a rotação θ: 
 
 
 
 
A entrada no eixo traseiro é a mesma do eixo 
dianteiro, porém atrasada de um certo tempo, dado 
pela equação abaixo 
 
xd
VLt 
 
 
r
Z
r
K
r
Z
r
B
f
Z
f
K
f
Z
f
Ba)θ
f
Kb
r
(K
θa)
f
Bb
r
(B)Z
r
K
f
(KZ)
r
B
f
(BZM.




rrrffff
frfr
2
r
2
f
2
r
2
fy
bZKrZbBaZKZaB
a)ZKb(KZa)Bb(B
)θbKa(Kθ)bBa(BθI






 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 110 
Este tempo de atraso funciona como um filtro nas 
RA das RF de bounce e pitch em função da 
irregularidade da pista. Este efeito é denominado 
wheelbase filtering . Ele pode ser visto na figura 
 
Figura 3.20: Efeito do wheelbase filtering 
 
 Só bounce: freqüências espaciais múltiplas 
inteiros da distância entre eixos. 
 Só pitch: freqüências espaciais iguais à metade 
dos múltiplos inteiros ímpares da distância entre 
eixos. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 111 
O ajuste das freqüências de bounce e pitch tem um 
efeito direto na qualidade do ride. 
 
Figura 3.21: Efeito do Modelo plano para pitch e bounce 
 
Cada freqüência natural possui o seu modo de vibrar 
associado. Normalmente há um acoplamento entre 
eles. 
 
Todavia, se um centro de oscilação estiver fora do 
entre eixos, o modo predominante é de bounce. 
Caso contrário, o modo predominante é de pitch. 
 
A localização destes centros depende das freqüên-
cias das suspensões dianteira e traseira. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 112 
A figura abaixo ilustra o lugar geométrico dos 
centros de oscilação em função da razão das 
freqüências naturais dianteira e traseira. 
 
Figura 3.22: Lugar geométrico dos centros de rotação 
 
Valor recomendado: Dianteira mais baixa 
 
 Centro de bounce atrás do eixo traseiro (front-
end bounce) 
 Centro de pitch próximo do eixo dianteiro (rear-
end bounce) 
 
Motivo: Do ponto de vista de conforto, bounce é 
menos irritante do que pitch. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 113 
3.3 TOLERÂNCIA DO SER HUMANO A 
VIBRAÇÕES 
 
A avaliação da tolerância do ser humano à vibrações 
é ainda uma área controversa na comunidade 
automobilística. 
 
Uma revisão é apresentada no 
  Manual of ride and vibration SAE 
Uma norma bastante utilizada é 
  ISO 2631-1978/1985/1997E uma série de estudos existe na literatura. 
 
Estes estudos focam sobre a tolerância humana à 
vibrações numa posição sentada e tentam 
quantificá-la em função da freqüência. 
Todavia, algumas características comuns entre as 
abordagens são observadas. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 114 
 Tolerância na direção vertical 
 Região de mínimo 
  4 - 8 Hz  Cavidade abdominal 
  10 - 20 Hz  Cabeça 
 
Figura 3.23: Tolerância humana à vibrações verticais 
 
Abaixo e acima destes valores a tolerância aumenta. 
De acordo com a norma ISO a duração da vibração 
também influencia. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 115 
Resultados da NASA em aviões de transporte de 
massa mostram que linhas de conforto constantes 
são dependentes do nível de aceleração. 
 
Figura 3.24: Curvas de desconforto da NASA 
 
Para níveis altos, o resultado coincide com o de 
outros pesquisadores Para baixas amplitudes ele é 
independente da freqüência. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 116 
 Tolerância na direção longitudinal 
 Mínimo na faixa de 1 - 2 Hz  Torso 
 Menor tolerância do que na vertical 
 
Figura 3.25: Limites de tolerância humana à vibrações longitudinais 
 
Duas observações finais [Gillespie]: 
 
 A eliminação de uma vibração sempre irá expor 
outra de menor nível 
 Vibrações são fontes de sensações sobre a 
estrada e o veículo e, portanto, um feedback 
importante para o motorista. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 117 
4. DINÂMICA LATERAL 
 
A dinâmica lateral aborda os aspectos de 
dirigibilidade, controle e estabilidade laterais dos 
veículos. 
 
Cornering, Turning 
 
Estão relacionados a aspectos objetivos da dinâmica 
lateral, e.g. aceleração lateral. 
 
Handling 
 
Descreve características mais subjetivas do 
comportamento do veículo. Inclui também as 
impressões do motorista. 
Na literatura estes termos são usados sem muito 
rigor. 
Handling, porém possui uma conotação mais 
abrangente. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 118 
4.1 INTRODUÇÃO 
Os principais graus de liberdade associados à 
dinâmica lateral são: 
 Chassi 
  Deslocamento lateral (y) 
  Rotação z (yaw) 
  Rotação x (roll) 
 Conjunto suspensão/sistema de direção 
  Rotação dos elementos da suspensão 
(camber e roll) 
  Movimentos (rotação e translação) dos 
elementos do sistema de direção (steer, 
caster, etc.) 
 As principais entradas são: 
  Ângulo na direção - (fixed control) 
  Torque na direção - (free control) 
 Ângulo nas rodas, etc 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 119 
 Modelos utilizados 
Bycicle Model ou Single Track Model 
 
 
Figura 4.1: Bycicle Model 
 
  3 dof 
  2 entradas 
  bidimensional 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 120 
Modelo plano de 4 rodas 
 
 
Figura 4.2: Modelo plano sem rolamento 
 
  3 dof 
  Transferência de carga (direita/esquerda) 
aproximada (steady-state) 
  4 entradas 
  bidimensional 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 121 
Modelo tridimensional com aproximação para roll 
 
 
Figura 4.3: Modelo de 2 massas 
 
 
  2 massas 
  4 dof 
  4 entradas 
  Transferência de carga aproximada 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 122 
Modelo tridimensional considerando a geometria da 
suspensão 
 
Figura 4.4: Modelo com efeito da geometria da suspensão 
 
  9 massas 
  18 dof 
  4 entradas 
Transferência de carga exata 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 123 
4.2 SISTEMA DE DIREÇÃO 
 
Sua função é movimentar as rodas de forma a fazer 
o veículo executar as manobras desejadas pelo 
motorista. Possui grande influência na dinâmica 
lateral. 
 
As principais grandezas de interesse são: 
 
 Geometria do sistema de direção 
 Geometria da suspensão 
 Esforços e deslocamentos internos 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 124 
Exemplos: 
 
Figura 4.5: Tipos de sistemas de direção 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 125 
 Modelos de sistemas de direção 
 
Deve ser levado em consideração quando a entrada 
é torque na direção ou quando se considera a 
elasticidade ou dinâmica do sistema quando a 
entrada é ângulo de direção. 
 
 
Figura 4.6: Modelo do sistema de direção 
 
O efeito da elasticidade é diminuir a rigidez em curva 
(cornering stiffness) dos pneus. 
Outros efeitos como roll steer, toe change, devem 
ser estudados levando-se em consideração também 
a geometria da suspensão. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 126 
4.3 MODELO DO PNEUMÁTICO 
 Força lateral 
Numa roda esterçada, sua velocidade instantânea e 
sua linha de centro não coincidem. O ângulo entre 
elas projetado no plano do solo é o SLIP ANGLE (). 
O slip angle é responsável pela geração da força 
lateral no pneu, que ocasiona a mudança de direção 
do veículo. 
 
Figura 4.7: Força lateral 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 127 
Neste caso, tem-se que: 
 
x
y1
V
V
tan 
 
E para a rigidez em curva (cornering stiffness) 
 
o
y
f,r
F
C



 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 128 
Algumas variáveis que afetam a rigidez em curva do 
pneu e seus efeitos estão ilustradas na figura 
abaixo: 
 
 
Figura 4.8: Efeito de algumas grandezas na força lateral 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 129 
 Torque auto-alinhante 
 
A força lateral não está aplicada no centro do ponto 
de contato, mas sim num ponto que depende dentre 
outras grandezas do slip angle. A distância entre o 
centro da roda e o ponto de aplicação da força 
lateral é denominado pneumatic trail. 
 
Figura 4.9: Torque auto-alinhante 
 
Ele se localiza posteriormente ao centro da roda e 
seu efeito é auto-alinhante (para  entre 12
o
 a 12
o
). 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 130 
Variação da força lateral com o slip angle e a força 
normal. 
 
 
Figura 4.10: Força lateral versus slip angle e força normal 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 131 
Variação do pneumatic trail com o slip angle e a 
força normal. 
 
 
Figura 4.11: Pneumatic trail versus slip angle e força normal 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 132 
4.4 MODELO SINGLE TRACK 
 
Seja o modelo físico representado pela figura 
abaixo. 
 
Figura 4.12: Modelo single track 
 
 Equações de movimento 
 
Têm-se os seguintes dof: 
 
 Xo, Yo e  (3 coordenadas generalizadas) e 
 Zo = C pois o movimento é plano (vínculo). 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 133 
A matriz dos cossenos diretores de transformação 
do referencial local B para o referencial inercial O é 
 













100
0cos sin
0 sincos
C b,o
 
 
Onde 
 
 3 ,2 ,1j,i obc
jiij

 
e 
 Tb,oo,b CC  
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________134 
 Posições 
 
 Cm (com ou cg) do veículo em relação ao 
referencial inercial 
 











0
Y
X
r
o
o
o
ob 
 
Eixo dianteiro 
b
1b
obo
ob
o
1o
rCrr 
 
Onde 
 T
1
b
1b
00lr 
 
 
Eixo traseiro 
b
2b
obo
ob
o
2o
rCrr 
 
Onde 
 T
2
b
2b
00lr 
 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 135 
 Velocidades 
 
 Velocidade do cm em relação ao referencial 
inercial 











0
Y
X
v
o
o
o
ob


 













0
0
b,o
 
 
 Expressando-as no referencial local (ainda são 
em relação ao referencial inercial!!) 
 
 
























0
v
v
0
 cosY sinX
 sinYcosX
vCv y
x
oo
oo
o
ob
Tb,ob
ob 



 
e 
 
























z
b,o 0
0
0
0

 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 136 
Eixo dianteiro 
 











0
lv
v
v
z1y
x
b
1o 
 
Eixo traseiro 
 











0
lv
v
v
z2y
x
b
2o 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 137 
Definindo vx, vy e z como velocidades 
generalizadas, as equações diferenciais cinemáticas 
ficam: 
 



cosv sinv Y
 sinvcosvX
 
yxo
yxo
z



 
 
Observação: 
O ponto () sobre a grandeza representa a derivada 
no tempo da grandeza no referencial no qual esta 
está expressa. Portanto: 
 
  o
oi
Tb,ob
oi
VCV  
 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 138 
 Acelerações 
   

o
obV
b
ob
b,ooTb,ob
ob VC
dt
d
 .Ca  
 
De uma relação conhecida na dinâmica 
v
dt
dv
dt
dv b,aba 
 
 
Logo 
b
ob
b,ob
ob
b
ob VVa   
 
Substituindo 
 















































0
vv
vv
v
v
v
0
0
0
v
v
a
xzy
yzx
z
y
x
z
y
x
b
ob




 
Analogamente obtém-se 
 












z
b
b,o
0
0

 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 139 
Desta forma, as equações de movimento do veículo, 
expressas no referencial B, ficam: 
 
 
 
zbzb
xzyyb
yzxxb
IM
vvMF
vvMF









 
 
Portanto 
 6 incógnitas: 
  Xo, Yo, , vx, vy, z 
 
 6 equações: 
  3 equações cinemáticas 
  3 equações dinâmicas 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 140 
 Forças e Torques 
 
 
 
Figura 4.13: Forças e torques num modelo single track 
 
22y22x11y11xxb
sinFcosFsinFcosFF 
 
22y22x11y11xy b
cosFsinFcosFsinFF 
 
 
 
 
2z1z
222y22x
111y11xzb
MM 
lcosFsinF 
lcosFsinFM



 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 141 
Linearização: 
 
Adotando as seguintes hipóteses simplificadoras: 
 
 
V:H
1
 constante 
 
1vvtan:H
xy
1
2
 
 e 
1
 
 
z3
:H 
 pequeno 
 
Logo 
VcosVv
0 Vsinv
V v
0 v
V Vsin v
VcosV v
zzxz
zyz
y
x
y
x








 
 
E as equações de movimento ficam 
 
zbzb
zy b
xb
IM
VVMF
0F





 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 142 
 
:H
4
 Sem aceleração, sem frenagem 
 
1y1x
FF 
 e 
2y2x
FF 
 
 
 
1:H
15

 e 
1
2

, então: 
 
2z1z22y11yzb
2y1yy b
MMlFlFM
FFF

 
 
 
 
22y11y2z1z6
lFlFM,M:H 
, logo 
  
zb22y11y
z2y1y
IlFlF
VVM FF




 
 
 
:H
7
 Força lateral linear 
 
222y
111y
CF
CF



 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 143 
 Ângulo de escorregamento do pneu (slip angle) 
 
Figura 4.14: Slip angle para a roda i 
 
Para a roda i sabe-se que 
xi
y i1
i
V
V
tan 
Mas 













100
0cossin
0sincos
C
ii
ii
i,b
 
 
E ainda 
  bi ,bi V CV  
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 144 
Logo 
 
 
z1y1x1
z1y1x1
1
lvsinvcos
lvcosvsin
tan


 
 
1
z1
11
V
l
tan 

 
 
Analogamente 
2
z2
22
V
l
tan   
 
E portanto 







V
l
CF z1111y
 
 







V
l
CF z2222y
 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 145 
Finalmente: 
 



















































2
1
b
22
b
11
21
z
b
2
22
2
11
b
2211
2
221121
z
 
l
lC
l
lC
MV
C
MV
C
 
Vl
lClC
l
lClC
MV
lClC
 1
MV
CC








 
Que é da forma: 
 
BuAxx  
 
 
 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 146 
 Análise de estabilidade 
 
Para estabilidade 
  0R
ic

 
onde i é autovalor de A (raíz de   0IAdet
i

). 
 
 Se V  0, então 
MV
CC
21
1

 ; 
VI
lClC
b
2
22
2
11
2

 
Portanto o sistema é estável. 
 
 Se V  , então 
0 
I
lClC
b
22112 

 
E é sempre estável se 
2211
lC lC 
. 
 
 Nos outros casos, existe um valor de V que 
torna o sistema instável 
 
 
 
2211
2
2121
crítico
lClCM
llCC
V


 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 147 
 Exemplos 
 
 Ferrari 328 
 
Figura 4.15: Variação de i em função de V 
 
Dados 
 M = 1420 [kg] 
 Ib = 2075 [kg  m
2
] 
 ll = 1.29 [m] 
 l2 = 1.06 [m] 
 C1 = 131335 [N/rd] 
 C2 = 181210 [N/rd] 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 148 
Jaguar XJ?? 
 
Dados 
 M = 1600 [kg] 
 Ib = 3000 [kg  m
2
] 
 ll = 1.32 [m] 
 l2 = 1.50 [m] 
 C1 = 66000 [N/rd] 
 C2 = 70000 [N/rd] 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 149 
 
Figura 4.16: Variação de i em função de V 
 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 150 
 Resposta transitória 
 Baixa velocidade 
 
Figura 4.17: Ângulo de escorregamento , em baixa velocidade [1]Figura 4.18: Comportamento transitório em baixa velocidade [5] 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 151 
 Alta velocidade 
 
Figura 4.19: Ângulo de escorregamento , em alta velocidade [1] 
 
 
 
Figura 4.20: Comportamento transitório em alta velocidade [5] 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 152 
 Pneu linear x Pneu não-linear 
 
Figura 4.21: Comparação de pneus lineares e não-lineares 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 153 
 Resposta de regime permanente 
 
Em regime: 
RV 0 0
zz
 
 
 
onde R é o raio de curvatura. 
 
As equações de movimento são 
0lFlF
M FF
22y11y
R
V
2y1y
2


 
 
Mas 
222y111y
CF CF 
 
 
 
E os ângulos de escorregamento das rodas são 
  R
V
llC
Ml 2
211
2
1


 
 
 
  R
V
llC
Ml 2
212
1
2


 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 154 
4.5 TENDÊNCIA DE ESTERÇAMENTO 
 
11
22
2
1
Cl
Cl


 
oversteer 1 
neutral 1 
understeer 1 



 
 
Portanto: 
 Veículo understeer é sempre estável 
 
 Veículo oversteer depende da velocidade 
 
 Gradiente de esterçamento (steer gradient) 
 
Supondo 
02 
, o ângulo de direção 
1
, na condição 
de regime é 
 
 
  R
V
llCC
lClCM
R
ll 2
gradient steer
2121
1122
mannkerac
21
1







 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 155 
 Geometria de Ackermann 
 
2R
ll
io21
A



 
 
Veículo fazendo a curva com sideslip angle zero. 
 
 
Figura 4.22: Geometria em curva 
 
As linhas perpendiculares ao eixo traseiro e a cada 
roda dianteira passam pelo mesmo ponto (centro de 
curvatura). 
Geometria ideal, pois as rodas não brigam. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 156 
 Margem estática (static margin) 
 
Caso plano 
 
Distância normalizada entre o centro de reação das 
forças laterais e o cm. Isto é: 
 
  2121
1122
llCC
lClC
SM


 
 
Extensão do conceito (neutral steer line) 
 
 
Figura 4.23: Linha de esterçamento neutro [1] 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 157 
Em termos da margem estática, a tendência do 
esterçamento pode ser definida como: 
 
  Understeer: cm à frente do ponto neutro 
  Neutral: cm e ponto neutro coincidem 
 Oversteer: cm atrás do ponto neutro 
 
 
 
 Figura 4.24: Comportamento do esterçamento a uma 
 força no cm [Olley] 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 158 
 Característica de esterçamento 
 
 Ângulo de direção x velocidade 
 
Figura 4.25: Mudança do ângulo de direção com a velocidade 
 
A equação que descreve esta relação é: 
R
V
K
R
ll 2
21 

 
onde 
 
 
2121
1122
llCC
lClCM
K


 
é o steer gradient visto anteriormente. 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 159 
 Ganho da velocidade em yaw (z / ) x velocidade 
 
 
Figura 4.26: Ganho em yaw rate x velocidade 
 
Neste caso tem-se a seguinte relação: 
 
  2211
z
KVll
V



 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 160 
 Obtenção do steer gradient 
 
 Raio de curvatura constante 
 
Valores crescentes de aceleração lateral são obtidos 
com velocidades crescentes. 
 
 
 
Figura 4.27: Obtenção do steer gradient - raio constante 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 161 
A equação que descreve esta situação é: 
 
R
V
K
R
ll 2
21 

 
 
onde 
RV 2
 é a aceleração lateral ay. 
 
E o steer gradient é obtido de 
y
1
a
K


 
 
ps: é necessário o motorista neste caso! 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 162 
 Velocidade constante 
 
Valores crescentes de aceleração lateral são obtidos 
com ângulo de direção crescentes. 
 
 
 
Figura 4.28: Obtenção do steer gradient - velocidade constante 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 163 
Neste caso, tem-se: 
 
 
R
V
K
R
ll 2
21
1


 
 
E o steer gradient é obtido de 
 
 
R
ll
a
K 21
y
1 



 
 
onde a segunda parcela corresponde à geometria de 
Ackermann. 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 164 
Observações Finais: 
 
 Estes resultados foram obtidos para modelos 
bastante simplificados, porém indicam caracte-
rísticas fundamentais da dinâmica lateral de 
veículos. 
 
 Quando não linearidades são consideradas, as 
rigidezes C1 e C2 se alteram e é possível um 
veículo inicialmente understeer tornar-se oversteer e 
até mesmo instável. 
 
 Alterações nas condições de carregamento 
(posição do cg) alteram as características de 
dirigibilidade dos veículos (l1 e l2 e portanto K). 
 
 
 
Prof. Álvaro Costa Neto ___________________________________ 165 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Fundamentals of Vehicle Dynamics. 
T.D. Gillespie; 1992 
 
Automotive Handbook. 
Bosch. 2a. Edição; 1986 
 
Car Suspension and Handling. 
D. Bastow; G. Howard; 3a edição; 1993 
 
Simulation von Kraftfahrzeugen. 
G. Rill; 1994 
 
Race Car Vehicle Dynamics. 
W. Milliken; D. Milliken; 1995