apostila matemática alfacon

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Conjuntos Numéricos
Introdução
 Os conjuntos numéricos mostram a evolução 
do homem no decorrer do tempo mostrando 
que, de acordo com suas necessidades, criava 
novos números para atendê-las. Os conjuntos 
podem ser divididos em:
 » Naturais
 » Inteiros
 » Racionais
 » Reais
Neste material não veremos números 
complexos, conteúdo explorado em vestibulares 
não em concursos
Conjunto dos Números Naturais
Representamos o conjunto dos números 
naturais com a letra maiúscula “N”, daqui 
para frente sempre designados apenas 
números naturais.
Os números naturais são uma sequência 
numérica que inicia no número zero e segue 
até infinito.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }
Sua criação esta ligada à necessidade do 
homem contar.
Representamos o conjunto dos números 
inteiros com a letra maiúscula “Z”, daqui para 
frente sempre designados apenas números 
inteiros.
Os números inteiros são uma sequência 
numérica em que número zero marca o valor 
central. Cada número a direita do zero tem 
seu o oposto a esquerda com sinal negativo
Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Os números inteiros têm como 
representação geométrica a reta numerada
Sua criação esta ligada a necessidade do 
homem em representar valores que não possuía, 
como por exemplo, a dívida.
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais é 
representado pela letra maiúscula“Q”, daqui 
para frente sempre designados apenas 
números racionais.
Os números racionais não todos os números 
que podes ser escritos na forma em que“a” 
e “b” são números inteiros, e o número b é 
diferente de zero. Podemos, então, dizer que 
números naturais são os números que podem 
ser escritos como fração.
Ex.:
Sua criação esta ligada à necessidade do 
homem em representar valores que representam 
partes de um inteiro.
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é 
representado pela letra maiúscula “R”, 
daqui para frente sempre designados apenas 
números reais.
O conjunto dos números reais reúne os 
números que podem ser escritos como fração 
(racionais), unidos com os que não podem ser 
escritos como fração (irracionais).
Números irracionais, ou seja, que não 
podem ser escritos como frações temos 
como mais usuais os que não têm raiz exata 
e o número .
Representação por diagrama
Por meio do diagrama podemos verificar que:
2
Operações com números e suas Propriedades 
números consecutivos, sucessor e antecessor
Os conceitos de consecutivos, sucessor 
e antecessor são utilizados em números 
naturais e números inteiros.
Dois números inteiros são consecutivos 
quando entre eles não houver outro número 
inteiro.
Ex1.: Os números 3 e 4 são consecutivos 
pois entre eles não temos nenhum outro 
número inteiro.
Ex2.: Os números -3 e -2 são consecutivos 
pois entre eles não temos nenhum outro 
número inteiro.
Ex3.: Os números 3 e 6 não são consecutivos 
pois entre eles temos outros números 
inteiros, como 4 e 5.
Adição e subtração de Inteiros
a) (+ 4) + (+ 7) = + 4 + 7 = +11 (tiramos os 
parênteses e conservamos os sinais dos números)
b) (- 4) + (- 7) = - 4 - 7= -11 (tiramos os 
parênteses e conservamos os sinais dos números)
c) (+ 4) + (- 7) = + 4 - 7 = - 3 (tiramos os 
parênteses e conservamos os sinais dos números)
d) (+ 4) - (+ 7) = + 4 - 7 = -3 (tiramos os 
parênteses e trocamos o sinal do número que 
estava depois da subtração)
e) (- 4) - (- 7) = - 4 + 7 = + 3 (tiramos os 
parentes e trocamos o sinal do número que 
estava depois da subtração)
Multiplicação e divisão de inteiros
Na multiplicação de inteiros além de 
multiplicarmos ou dividirmos temos que usar 
o jogo de sinais:
Sinais iguais resulta em positivo e sinais 
diferentes resulta em negativo.
a) Exemplos de Multiplicação:
(-2) x (+5)= -10
(-3) x (-5)= +15
(+6) x (-4)= -24
(+5) x (+4)= +20
b) Exemplos de divisão:
(-20) ÷ (+5)= -4
(-35) ÷ (-5)= +7
(+56) ÷ (-4)= -14
(+48) ÷ (+4)= +12
Múltiplos dos Números Naturais
Um número natural x é múltiplo de um 
número natural y se existir um número 
natural k que, multiplicado por y, seja igual 
a x.
 Ex.:
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 × 5.
24 é múltiplo de 4, pois 24 = 6 × 4.
24 é múltiplo de 6, pois 24 = 4 x 6
24 é múltiplo de 12, pois 24 = 2 × 12.
27 é múltiplo de 9, pois 27 = 3 × 9.
M (7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... }
M (11) = { 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88,... }
Sendo 0 um número natural, então o zero será 
múltiplo de todos os números naturais, pois 
tudo número multiplicado por zero é zero.
Divisores de um Número Natural
A definição de divisor está relacionada com 
a de múltiplo. Um número natural é divisor de 
outro número natural, se este for múltiplo do 
mesmo. Por exemplo: 4 é divisor de 20, pois 
20 = 4 × 5, logo 20 é múltiplo de 4 e também 
é múltiplo de 5.
Ex.:
Divisores de 60: D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 
12, 15, 20, 30, 60}
Divisores de 18: D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores de 20: D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Divisores de 30: D (20) = {1, 2, 3, 5, 6, 12, 
15, 30}
x y k= ×
3
a) Múltiplos 
Zero é múltiplo de qualquer dos números 
naturais
O número de múltiplos de um número 
natural é infinito.
b) Divisores
1 é divisor de qualquer um dos números 
naturais.
O número de divisores de um número 
natural é finito.
Critérios de Divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são regras que 
nos permitem verificar se um determinado 
número é divisível por outro sem a 
necessidade de efetuarmos a divisão.
As divisibilidades por 2, 3, 5, 6, 9 e 10 são as 
mais importantes e de fácil fixação.
 » Divisibilidade por 2
Um número natural será divisível por 2 
quando ele for par, ou seja, se termina em 0, 
2, 4, 6, ou 8.
Ex1.: 3746 é divisível por 2, porque é um 
numero par, pois termina em 6.
Ex2.: 235 não é divisível por 2, pois não é 
um número par, pois termina em 5. 
 » Divisibilidade por 3
Um número será divisível por 3 quando a 
soma dos valores dos seus algarismos for um 
número divisível por 3.
Ex1.: 432 é divisível por 3, pois a soma de 
seus algarismos é igual a 4+3+2=9, e como 9 
é divisível por 3, temos que 432 é divisível por 
3. 
Ex2.: 253 não é divisível por 3 pois a soma 
de seus algarismos é igual a 2+5+3=10, e 
como 10 não é divisível por 3, temos que 253 
não é divisível por 3
 » Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina 
em 00 ou quando o número formado pelos 
seus dois últimos algarismos, o da dezena e 
o da unidade for um número divisível por 4.
Ex1.: 1900 é divisível por 4, pois termina em 
00.
Ex2.: 2416 é divisível por 4, pois 16 é divisível 
por 4.
Ex3.: 2524 é divisível por 4, pois 24 é divisível 
por 4.
Ex4.: 3750 não é divisível por 4, pois não 
termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
 » Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando o 
algarismo das unidades for 0 ou 5.
Ex1.: 95 é divisível por 5, pois termina em 5.
Ex2.:
110 é divisível por 5, pois termina em 0.
Ex3.:
117 não é divisível por 5, pois termina com 
7 e não com 0 ou 5. 
 » Divisibilidade por 6
Quando um número é divisível por 2 e por 
3, ele também é divisível por 6.
Ex1.: 312 é divisível por seis, pois é par logo 
divisível por 2 e tem soma dos algarismos 6 
logo divisível por 3. 
Ex2.: 5214 é divisível por seis, pois é par logo 
divisível por 2 e tem soma dos algarismos 12 
logo divisível por 3. 
Ex3.: 716 não é divisível por seis, pois 
apesar de ser par e divisível por 2 sua soma 
dos termos é 14 que não é divisível por 3.
Ex4.: 3405 não é divisível por seis, a soma 
dos seus algarismos é 12 logo divisível por 
3 mais não divisível por 2 pois o numero é 
impar.
 » Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos 
valores absolutosdos seus algarismos for 
divisível por 9.
Ex.: 2880 é divisível por 9, pois a soma de 
seus algarismos é igual a 2+8+8+0=18, e como 
18 é divisível por 9, então 2880 é divisível por 
9.
 » Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 
quando o algarismo das unidades é zero.
Ex1.: 4150 é divisível por 10, pois termina 
em 0.
Ex2.: 2126 não é divisível por 10, pois não 
termina em 0.
Ex3.: 890 é divisível por 10, pois termina em 
0.
4
Números Primos
São números naturais primos os que têm 
apenas dois divisores distintos: o número 1 e 
ele mesmo.
Ex1.: 2 tem apenas dois divisores o número 
1 e ele mesmo 2, portanto 2 é um número 
primo.
Ex2.: 13 tem apenas os divisores o número 
1 e ele mesmo 13, portanto 13 é um número 
primo.
Ex3.: 9 tem os divisores 1, 3 e 9, portanto 9 
não é um número primo.
Considerando os números naturais até 100 
os primos são:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
 » Decomposição em Fatores Primos
Todo número pode ser representado por 
uma multiplicação que envolve somente 
números primos 
 » Regra prática
Existe uma regra prática para fatorar um 
número.
Pelo dispositivo prático dividimos o número 
pelo seu menor divisor primo, até atingirmos 
o quociente um.
Ex.: Decomponha em fatores primos o 
número 420.
Temos, então, que 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7, 
representado em matemática como 2² x 3 x 
5 x 7
Ex2.: Decomponha em fatores primos o 
número 72.
Temos que 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3, ou 2³ x 3².
Divisores de um Número Inteiro
Um número inteiro além dos divisores 
positivos também tem os divisores negativos, 
isso significa que quando consideramos os 
números inteiros temos o dobro de divisores 
em relação aos números naturais.
Ex.: Divisores de 18: D (18) = {-18, -9, -6, -3, 
-2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Veja o dispositivo para encontrar dispositivo 
para encontra o número de divisores inteiros
Primeiramente, decomponha o número em 
fatores primos, depois some 1 aos expoentes 
e multiplique os resultados e depois dobre o 
valor.
Ex.: o número 18 tem quantos divisores 
inteiros? 
Logo temos 2¹ x 3².
Somando 1 aos expoentes e multiplicando 
temos (1 + 1) x (2 + 1) = 2 x3 = 6
Dobro de 6 é 12.
Logo o número 18 tem 12 divisores inteiros.
Observação: quando queremos saber o 
numero de divisores positivos basta não dobrar 
o valor no final.
Ex2.: Qual o número de divisores positivos 
de 3500.
Fatorando:
3500 fatorado fica 2² x 5³ x 7¹.
Logo o número de divisores é dado por (2 + 
1) x (3 + 1) x (1 + 1) = 3 x 4 x 2 = 24.
Assim o número de divisores positivos de 
3500 é 24.
Máximo Divisor Comum (mdc)
Dois números naturais sempre têm divisores 
comuns. 
5
Ex.: Os divisores de 18 e 24 são:
D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores comuns a 18 e 24 são: 1, 2, 3 e 6.
O maior dos divisores comuns é o 6. Logo o 
6 é o Máximo divisor comum.
Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos 
comuns. Para percebemos essa característica, 
vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 4.
M(3) = (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...)
M(4) = (0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)
O mínimo múltiplo comum denominado 
mmc é o menor múltiplo diferente de zero 
comum aos múltiplos dos dois números.
Neste caso o mmc entre 3 e 4 é 12.
Forma prática de encontra o mmc e o mdc
Podemos utilizar a fatoração cara encontrar 
o mmc e o mdc no mesmo dispositivo, a 
decomposição em fatores primos.
Ex1.: Qual é o mmc e o mdc entre 56 e 72?
 » Iremos decompor em fatores primos e 
toda vez que os dois valores tiverem o mesmo 
divisor marcaremos com “*”.
Para encontrar o mmc basta multiplicar 
todos os fatores primos na decomposição.
mmc = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 7
 Para encontrar o mdc basta multiplicar os 
que contem *.
 mdc = 2 . 2 . 2 = 8
Ex2.: Qual é o mmc e o mdc entre os valores 
320, 400 e 720.
mmc = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 5 = 7200
mdc = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 = 80
01. (CONESUL) Assinale a alternativa que 
apresenta o valor do M.D.C. de 72 e 168.
a) 12.
b) 24.
c) 8.
d) 16.
e) 36.
02. (VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio 
X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 
m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. 
Para fazer as ligações necessárias de uma obra, 
ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços 
do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior 
possível, de modo que não reste nenhum pedaço 
de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter 
um número total de pedaços igual a:
a) 24
b) 36
c) 49
d) 64
e) 89
03. (FCC) Sistematicamente, dois funcionários 
de uma empresa cumprem horas-extras: um, a 
cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive 
aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de 
outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, 
outra provável coincidência de horários das suas 
horas-extras ocorrerá em:
a) 9 de dezembro de 2010. 
b) 15 de dezembro de 2010. 
c) 14 de janeiro de 2011.
d) 12 de fevereiro de 2011.
e) 12 de março 2011.
04. (FCC) Ao sacar X reais de sua conta corrente, 
Alaíde recebeu do caixa do Banco um total de 
51 cédulas, que eram de apenas três tipos: 10, 
20 e 50 reais. Considerando que as quantias 
correspondentes a cada tipo de cédula eram 
iguais, o valor de X era:
a) R$ 300,00
b) R$ 450,00
c) R$ 600,00
d) R$ 750,00
e) R$ 900,00
6
05. O esportivo, comerciais dos produtos A, 
B e C, todos de uma mesma empresa, foram 
veiculados durante um tempo total de 140 s, 
80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes 
números de inserções para cada produto. Sabe-
se que a duração de cada inserção, para todos 
os produtos, foi sempre a mesma, e a maior 
possível. Assim, o número total de comerciais 
dessa empresa veiculados durante a transmissão 
foi igual a:
a) 32
b) 30
c) 24
d) 18
e) 16.
06. (OBJETIVO-SP) - O m.m.c. entre os 
números é 360. Então, os valores de m e n são, 
respectivamente:
a) 3 e 2
b) 2 e 3
c) 1 e 4
d) 4 e 1
e) n.d.a
07. (FUVEST-SP) No alto de uma torre de 
uma emissora de televisão duas luzes piscam 
com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 
vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes 
por minuto. Se certo instante as luzes piscam 
simultaneamente, após quantos segundos elas 
voltarão a piscar simultaneamente?
a) 10
b) 12
c) 15
d) 20
e) 30
08. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas 
seções em que trabalham: um a cada 10 dias, 
outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, 
inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se 
no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a 
próxima data em que houve coincidência no dia 
de seus plantões foi
a) 18/11/02
b) 17/09/02
c) 18/08/02
d) 17/07/02
e) 18/06/02
09. (FCC) No almoxarifado de uma Unidade 
do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 
caixas de lápis, cada qual com 12 unidades; 9 
caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 
8 caixas de réguas, cada qual com 15 unidades. 
Sabe-se que:
•	 Todos	os	objetos	contidos	nas	caixas	acima	
relacionadas deverão ser divididos em pacotes 
e encaminhados a diferentes setores dessa 
Unidade;
•	 Todos os pacotes deverão conter a mesma 
quantidade	de	objetos;
•	 Cada	pacote	deverá	 conter	 um	único	tipo	
de objeto.
Nessas condições, a menor quantidade de 
pacotes a serem distribuídos é um número 
compreendido entre:
a) 10 e 20
b) 20 e 30
c) 30 e 40
d) 40 e 50
e) 50 e 60.
10. (CESGRANRIO) Considere dois grupos de 
agentes censitários, um deles com 66 agentes e o 
outro, com 72. Os dois grupos serão divididos em 
equipes de trabalho. Essas equipes deverão ter o 
mesmo número de agentes, sendo que todos os 
agentes de cada equipe devem ser originários do 
mesmo grupo. Desse modo, o número máximo de 
agentes por equipe será
a) 3
b) 4
c) 5d) 6
11. (CESGRANRIO) João tem 100 moedas, 
umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, 
perfazendo um total de R$ 20,20. O número de 
moedas de 25 centavos que João possui é
a) 32
b) 56
c) 64
d) 68
e) 72
1 2 3 4 5
B E D E E
6 7 8 9 10
A E D B C
11 - - - -
D - - - -
7
Frações
Definição
A expressão que representam números 
racionais não-negativos são chamados 
frações e os números inteiros utilizados 
na composição da fração são chamados 
numerador e denominador, separados por 
uma linha horizontal ou traço de fração, que 
representa uma divisão.
Onde: Numerador indica quantas partes 
do inteiro são tomadas e o denominador 
indica em quantas partes estamos dividimos 
o inteiro, sabendo que este número inteiro 
deve sempre ser diferente de zero.
Para representações de partes de um 
inteiro utilizamos frações próprias, ou seja, 
frações em que o numerador é menor que o 
denominador.
Ex.:
Na imagem vemos um retângulo dividido 
em 6 partes onde 5 delas estão pintadas, logo 
a fração que representa a parte pintada é de 
5
6
, que é uma fração própria.
Quando o numerador é maior que o 
denominador temos uma fração imprópria, 
pois temos mais de um inteiro.
Os retângulos foram divididos em 6 partes 
cada um, e o total de partes pintadas é de 9, 
logo a fração que representa a imagem é 
 ou em número misto , que se lê um 
inteiro e três sextos.
Para representação de frações impróprias 
podemos usar os números mistos com 
inteiros e frações.
Operações com Números Racionais
Soma e subtração com frações 
Soma de inteiros com frações é mais fácil se 
relacionarmos com números mistos.
Ex1.: 
 Para somarmos dois quintos com dois 
inteiros devemos pensar em figuras divididas em 
cinco partes. 
Dois inteiros representam 10 partes logo à 
soma fica:
Ex2: Dois sétimos que dizer que 
estamos dividindo em sete partes logo três 
inteiros são 7 x 3 = 21 partes. Temos:
Subtração de inteiros com frações
Ex3.: A fração tem denominador 3 logo 
estamos dividindo em três partes.
Três inteiro representam 9 pedaços, assim:
 
•	 Soma e Subtração de Frações com Frações
Soma de frações temos que garantir que as 
mesmas tenham denominadores iguais ou 
seja o inteiro esteja dividido em partes iguais.
Quando os denominadores são diferentes 
devemos reescrever as frações com um 
denominador comum, o mínimo múltiplo 
comum (mmc).
Ex.: 
O mmc entre 8 e 6 é 24, logo reescreveremos 
as duas frações com denominador 24.
Nunerador
Denominador
9
6
31
6
21 2 23
7 7 7
+ =
2 9 7
3 3 3
− = −
2 3
3
−
8
Para encontrar a fração equivalente 
com denominador 24 que substitui cada 
uma dividimos o numero 24 pelo antigo 
denominador e multiplicamos o resultado 
pelo antigo numerador:
24 dividido por 8 é 3, que multiplicado por 
5 resulta em 15.
24 dividido por 6 é 4, que multiplicado por 
1 resulta em 4.
Temos então:
Na subtração de frações a exemplo da suma 
temos que garantir que as mesmas tenham 
denominadores iguais ou seja o inteiro esteja 
dividido em partes iguais.
Ex.: 
•	 Multiplicação	de	Frações
Para efetuar a multiplicação de frações 
basta multiplicar numerador com numerador 
e denominador com denominador.
Ex.: 
Como o numerador e o denominador 
são múltiplos de 4 podemos efetuar a 
simplificação encontrando uma fração 
equivalente dividindo por 4.
Em problema quando pedimos, por 
exemplo:
 de quer dizer 
•	 Divisão de frações
Na divisão de duas frações temos que 
multiplicar a primeira pelo inverso da 
segunda.
Ex.: 
Lembramos que a divisão de frações pode 
aparecer representada por:
Dízimas Periódicas e Decimais Exatos
Um número racional pode ser uma dizima 
periódica ou um decimal exato.
Uma fração é um decimal exato quando 
efetuamos a divisão do numerador pelo 
denominador e encontramos o fim da mesma.
Ex.:
Uma fração é uma dízima periódica quando 
efetuamos a divisão do numerador pelo 
denominador e encontramos uma repetição 
infinita que chamamos de período.
Ex.:
Dízima com período 6
Dízima com período 3
Dízima com período 5
Dízima com período 15
•	 Transformação de Um Número Decimal 
Exato em Fração
Para transformar um decimal exato em 
fração contamos o número de casas depois 
da vírgula, para identificar quantos zeros terá 
o denominador.
Ex1.:
Escrevemos 23 sobre 100 porque o decimal 
original tinha duas casas depois da vírgula
Ex2.:
Escrevemos 211 sobre 100 porque o decimal 
original tinha duas casas depois da vírgula.
Ex3.:
3
4
1
5
3 1 3.
4 5 20
=
9
•	 Transformação de Um Número em Dízima 
Periódica para Fração Geratriz
Chamamos de fração geratriz a fração que 
gerou uma dízima periódica quando dividimos 
o numerador pelo denominador.
Para encontrar essa fração usamos uma 
artifício matemático descrito a seguir.
Ex1.:
2, 333...
Resolução:
Chamamos 2,333... de x temos
 x = 2,333... depois multiplicamos por 10 
pois o período da dizima tem só uma casa, 
logo 10 x = 23,33...
Agora fazemos o maior menos o menor
A fração geratriz da dizima periódica 2,333... 
é a fração 
Ex2.:
 Qual a fração geratriz da dizima periódica 
1,232323...
Resolução:
Chamamos 1,232323... de x temos
x = 1,232323... depois multiplicamos por 
100 pois o período da dizima tem duas casas, 
logo 100 x 123,2323... 
Agora fazemos o maior menos o menor
Ex3.:
Qual a fração geratriz da dizima periódica 
1,23333...
Resolução:
Chamamos 1,23333... de x temos
x = 1,23333... depois multiplicamos por 10 
pois temos um número que não faz parte do 
período da dizima, logo 10 x = 12,3333... 
Agora resolvemos como os anteriores.
10 x = 12,3333... multiplicamos por 10 pois 
o período da dizima tem só uma casa
•	 Expressões
Quando se resolve expressões numéricas 
devemos observar o seguinte:
Deve-se obedecer a seguinte prioridade de 
operação:
1º - multiplicação e divisão na ordem em 
que as mesmas aparecem
2º - soma e subtração na ordem em que as 
mesmas aparecem
II Deve-se primeiro resolver as operações 
dentro dos parênteses, depois do colchete e 
por fim as chaves, e dentro de cada um dos 
três obedecer às regras do item I
Ex1.:
 
Resolvemos primeiramente as operações 
que estão dentro dos parênteses:
mmc(3,5) = 15 e mmc(8,12) = 24
Antes de multiplicarmos podemos 
simplificar por 3 o 24 com o 15 temos então.
Ex2.:
Começamos pelos parênteses resolvendo 
as somas em seu interior
mmc(5,10)=10, e mmc(6,8)=24
Resolvendo a divisão temos.
Resolvendo a divisão temos.
10x 23,333...
x 2,333...
9x 21
=
− = −
=
21 7x
9 3
= =
7
3
100x 123,232323...
x 1,232323...
99x 122
=
− = −
=
122x
99
=
100x 123,3333...
10x 12,3333...
90x 111
=
− = −
=
111 37x
90 30
= =
10
Simplificando temos.
01. Evandro gasta um terço de seu salário com 
moradia e ainda lhe sobram R$ 800,00 reais. Qual 
o salário de Evandro?
02. Daniel gasta de seu salário com 
alimentação de seu salário com moradia e 
ainda lhe restam R$ 720,00. Qual o salário de 
Daniel?
03. Daniel gasta de seu salário com 
alimentação do restante com moradia e ainda
lhe restam R$ 720,00. Qual o salário de Daniel?
04. (FCC) Certo dia, um técnico judiciário 
trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 
minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu 
essa tarefa quando eram decorridos do dia, 
então ele iniciou a digitação do texto às:
a) 13h40min
b) 13h20min
c) 13h
d) 12h20min
e) 12h10min
05. (FCC) Suponha que, no instante em que 
a água de um bebedouro ocupava os de 
sua capacidade, uma mesma garrafa foi usada 
sucessivamente para retirar toda a água do seu 
interior. Considerando que tal garrafa equivale 
a de litroe foram necessárias 45 retiradas 
de garrafas totalmente cheias d'água até que 
o bebedouro ficasse completamente vazio, a 
capacidade do bebedouro, em metros cúbicos, 
era:
a) 0,054
b) 0,06
c) 0,54
d) 0,6
e) 5,4
06. (FCC) O funcionário A executa de uma 
tarefa em 1 hora. O funcionário B executa desta 
mesma tarefa em 1 hora. Os dois funcionários 
trabalharam juntos na tarefa durante 1 hora. O 
funcionário A retirou-se após 1 hora de trabalho 
e o funcionário B terminou a tarefa sozinho. 
Considerando que o funcionário B mantenha 
a sua mesma velocidade de execução, o tempo 
total que o funcionário B permaneceu executando 
a tarefa é:
a) 2h40min.
b) 2h50min
c) 3h00min
d) 3h30min
e) 4h00min
07. (FCC) Considere que Tancredo gasta, em 
média, horas para analisar N documentos fiscais. 
Assim sendo, para cada 10 documentos a mais 
que Tancredo analisar, o acréscimo de tempo na 
análise dos documentos será de 
a) 2 horas e 30 minutos. 
b) 2 horas e 15 minutos. 
c) 1 hora e 45 minutos. 
d) 1 hora e 30 minutos. 
e) 1 hora e 15 minutos. 
08. (CESGRANRIO) Em Floresta, no interior 
de Pernambuco, um tonel de 200 litros de água 
custa R$4,00. Na região central do Brasil, a água 
que abastece residências custam desse valor. 
Qual é, em reais, o preço de 100 litros da água 
que abastece residências na região central do 
Brasil?
a) 0,50
b) 1,00 
c) 1,50
d) 2,00
1
42
5
1 2 3 4 5
1 200,00 2057,14 1 600,00 A A
6 7 8
A E A
1
42
5
11
Geometria
A geometria plana é baseada em figuras que 
tem seus nomes determinados dependendo 
do número de lados ou de ângulos que possui 
e ainda dependendo do tamanho desses 
lados temos alguns nomes especiais.
Triângulo
Os triângulos posem ser classificados pelo 
tamanho de seus lados ou pelo tamanho de 
seus ângulos.
Lados
Pelo tamanho de seus lados podem ser:
 » Equilátero
 » Isósceles
 » Escaleno
Ângulo
Em relação ao ângulo temos três 
classificações
 » Retângulo
 » Acutângulo
 » Obtusângulo
Quando falamos de triângulos o mais 
conhecido é o retângulo, pois a relação entre 
o tamanho de seus lados é a mais conhecida:
“Teorema de Pitágoras” hipotenusa ao 
quadrado é igual a soma dos quadrados dos 
catetos.
No triângulo equilátero e no triângulo 
isósceles temos que usar o teorema de 
Pitágoras para encontrar a altura do triângulo. 
No triângulo equilátero podemos decorar a 
fórmula da altura ou usar Pitágoras.
Por Pitágoras temos:
2
2 2
2
2 2
2
2 2
L
L h
2
L
L h
4
L
L h
4
 = +  
 
= +
− =
 2 2
2
2
2
2
4L L
h
4
3L
h
4
3L
h
4
−
=
=
=
 
L 3
h
2
=
No triângulo isósceles vamos usar um 
exemplo:
 
2 2 2
2
2
2
13 h 5
169 h 25
169 25 h
144 h
h 144
h 12
= +
= +
− =
=
=
=
Nos quadriláteros os mais conhecidos são o 
quadrado e o retângulo.
O quadrado tem todos os lados e ângulos 
iguais logo podemos encontrar a fórmula 
para o calculo da diagonal.
00
2 2 25 3 4
25 9 16
25 25
= +
= +
=
2 2 2
2 2
2
d L L
d 2L
d 2L
d L 2
= +
=
=
=
12
Ex:
Qual a diagonal de um quadrado de lado 
12cm.
d 12 2cm=
A exemplo do quadrado o retângulo 
também tem diagonal calculada pelo teorema 
de Pitágoras.
Ex:
Qual é a diagonal de um retângulo que tem 
comprimento 20cm e largura 12cm?
2 2 2
2
d 12 20
d 144 400
d 544
d 4 34
= +
= +
=
=
Paralelogramo
No paralelogramo por termos lados 
oblíquos usamos o teorema de Pitágoras ou 
trigonometria no triângulo retângulo.
 
Qual é a altura do paralelogramo se x = 6
2 2 2
2
2
10 6 h
100 36 h
100 36 h
h 64
h 8
= +
= +
− =
=
=
Qual é a diagonal maior do paralelogramo.
Losango.
Losango tem todos os ângulos iguais e não 
tem ângulos internos iguais.
Ex.:
Calcule o lado do losango de diagonais 40 
cm e 30 cm?
2 2 2
2
L 15 20
d 225 400
d 625
d 25cm
= +
= +
=
=
Perímetro e Área.
Perímetro: é o contorno da figura 
Área: é o espaço interno, ou seja a extensão 
que ela ocupa.
Perímetro é a soma de todos os lados da 
figura.
Perímetro = 5 + 4 + 2 + 3 + 3 + 7 = 24
Área é o espaço interno
2 2 2
2
d 16 8
d 256 64
d 320
d 8 5
= +
= +
=
=
13
Área = 29 pois são 29 quadradinhos
Fórmula da área de figuras.
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14
Porcentagem
Toda fração que tem como denominador o 
número 100, representa uma porcentagem, 
o próprio nome quer dizer por cem.
Ex.:
O símbolo % que aparece nos exemplos 
acima substitui a palavra porcento.
Se repararmos em nosso volta, ao andarmos 
observando as vitrines das lojas vamos 
perceber que este símbolo % aparece com 
muita frequência como também o vemos 
em jornais, revistas, televisão e anúncios de 
liquidação, etc.
A porcentagem que pode serrepresentada 
por símbolo por fração ou como decimal 
Ex.:
Calcular 18% de 800.
Podemos resolver de três maneiras 
diferentes 
1º Forma
Multiplicando pela forma de fração.
 
Podemos cortar dois zeros do 800 com dois 
zeros do 100 cobrando 8 vezes 18 
8 x 18 = 144.
2º forma
Por multiplicação por decimal.
18% = 0,18
800 x 0,18 = 144
3º forma
Por regra de três
 800 - 100%
 x - 18%
Multiplicando Cruzado
Com o foco em concursos públicos a forma de 
resolução mais indicada é por regra de três, pois 
usamos operações com lucro e prejuízo sobre 
custo e sobre venda e relacionando com regra 
de três.
Ex2:
Uma certa mercadoria foi adquirida por 
R$ 2 000,00 e revendida com um lucro de 
30% sobre o custo. Qual o preço de venda?
Preço de venda R$ 2.600,00
Ex3.:
Uma certa mercadoria foi adquirida por 
Uma mercadoria foi adquirida por R$ 2 000,00 
e revendida com um lucro de 30% sobre a 
venda. Qual o preço de venda?
Preço de venda R$ 2 857,14
Operações financeiras podem ser realizadas 
com prejuízo que por sua vez pode ser sobre 
a venda ou sobre o custo.
Ex4:
Uma certa mercadoria foi adquirida por R$ 
2 000,00 e revendida com um prejuízo de 
30% sobre o custo. Qual o preço de venda?
Preço de venda R$ 1 538,36
00
15
Acréscimos sucessivos
Quando trabalhamos com acréscimos 
sucessivos temos tomar o cuidado para 
trabalhar com um acréscimo de cada vez.
Ex1:
Um produto sofreu dos acréscimos 
sucessivos uma de 15% e em seguida um de 
10%. Qual o novo valor do produto se antes 
dos aumentos o mesmo custava R$ 4 500,00.
Resolução:
Primeiramente encontramos o primeiro 
aumento que foi de 15%.
Depois do primeiro aumento o valor do 
produto passou a ser 5 175, que é o valor que 
sofrerá o segundo aumento.
Logo o novo preço do produto é 
R$ 5 175 + R$ 517,50 = R$ 5 692,50
Ex2.:
Um carro sofreu dois aumentos sucessivos 
um de 20% e depois outro de 10%. Que 
porcentagem única substituiria esses dois 
aumentos?
Resolução:
Considere que o valor do carro era de 100 
logo
20% de 100 é 20 assim o valor com o 
primeiro aumento é 120.
10% de 120 é 12 assim o valor com o 
segundo aumento é 131.
Logo como foi de 100 para 131 o aumento 
foi de 31%.
01. A renda de uma pessoa cresceu este ano de 
8% e atingiu R$ 2 700,00. Qual foi a sua renda do 
ano anterior?
02. Uma nota promissória de R$ 1980,00 
foi paga com R$ 1 683,00. Qual foi a taxa de 
desconto?
03. Sobre um investimento de R$ 2 500,00 
obteve-se lucro de R$ 550,00. Qual foi o percentual 
de lucro?
04. Uma pessoa recebeu R$ 210,00 para fazer 
a compra de um objeto, achando-se incluída 
naquela soma a sua comissão de 5%. Qual é o 
custo do objeto? 
05. O advogado recebe 90% de uma questão 
avaliada em R$ 50 000,00 e cobra 12% da 
importância recebida, a título de honorários. 
Qual a soma que coube ao cliente?
06. (CESPE) Ao entrar em vigor lei específica 
que estabeleceu novos direitos aos usuários de 
telecomunicações, uma operadora de telefonia 
celular perdeu 8% dos seus clientes. A empresa 
decidiu, então, diminuir sua margem de lucro 
sobre os serviços ao cliente, o que acarretou um 
aumento de 10% no número atual de clientes da 
empresa. Nessa situação, considerando que, após 
as medidas tomadas pela empresa, o número de 
clientes da operadora passou a ser de 80.960, 
então o número de clientes dessa operadora 
antes da perda dos 8% de clientes era
a) Inferior a 73.500.
b) Superior a 73.500 e inferior a 75.500.
c) Superior a 75.500 e inferior a 77.500.
d) Superior a 77.500 e inferior a 79.500.
e) Superior a 79.500.
07. (CESGRANRIO) Uma cidade, no ano de 
1990, tinha uma população de 1.500 milhões de 
habitantes. Essa mesma cidade, no ano 2000, 
apresentou uma população de 6.000 milhões. A 
taxa de crescimento dessa população, no período 
de 1990 a 2000, em termos percentuais, foi
a) 400%
b) 300%
c) 200%
d) 25%
e) 4%
08. (CESGRANRIO) Certa loja ofereceu, de 1 a 
10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as 
mercadorias, em relação ao preço cobrado em 
janeiro. Pensando em vender mais, o dono da loja 
resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de 
fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao 
preço de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de 
fevereiro, R$72,00 por certa mercadoria. Quanto 
ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se 
a compra fosse feita em 12 de fevereiro?
a) 27,00
b) 56,00
c) 61,20
d) 63,00
e) 64,80
16
09. (FGV) Guido fez um investimento em 
um fundo de ações e, a cada 30 dias, recebe 
um relatório mostrando a valorização ou 
desvalorização das cotas do fundo nesse período. 
No primeiro mês o fundo teve uma valorização 
de 8% e, no segundo mês de 25%. O terceiro mês 
foi de crise e todas as ações caíram. Entretanto, 
no fim do terceiro mês, Guido verificou, com 
certo alívio, que tinha quase que exatamente o 
mesmo dinheiro que investiu. A desvalorização 
no terceiro mês foi de cerca de:
a) 22%.
b) 26%.
c) 30%.
d) 33%.
e) 37%
10. (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu 
uma liquidação em que todos os artigos de sua 
loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, 
ao encerrar a liquidação o comerciante pretende 
voltar a vender os artigos pelos preços anteriores 
aos dela, então os preços oferecidos na liquidação 
devem ser aumentados em.
a) 18,5%.
b) 20%.
c) 22,5%.
d) 25%.
e) 27,5%.
11. (FCC) Do total de processos que recebeu 
certo dia, sabe-se que um técnico judiciário 
arquivou 8% no período da manhã e 8% do 
número restante à tarde. Relativamente ao total 
de processos que recebeu, o número daqueles 
que deixaram de ser arquivados corresponde a
a) 84,64%
b) 85,68%
c) 86,76%
d) 87,98%
e) 89,84%
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_____________________________________________
_____________________________________________ 
_____________________________________________
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1 2 3 4 5
2 500,00 15% 22% 200,00 5 400,00
6 7 8 9 10
E A D B D
11
A
17
Sistemas de Medidas
Sistema Métrico Decimal
Conjunto de medidas que reúnem 
em sua formação inicial três grandezas 
(comprimento, volume e massa) de forma a 
eliminar as discrepâncias existentes em todo 
o mundo. Posteriormente esse sistema veio a 
ser substituído pelo SI - Sistema Internacional 
de unidades que abrange toda e qualquer 
forma de medidas existente. Vejamos agora 
algumas formas conhecidas:
Medida de Comprimento 
A medida padrão de comprimento adotado 
foi o metro que vem do grego métron e que 
significa “o que mede”. 
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de 
comprimento, o metro, existe ainda múltiplos 
e submúltiplos, que tem seus nomes formados 
com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, 
deci, centi e mili. Observe o quadro:
Os múltiplos da unidade padrão o metro 
são usados na medição de grandes distâncias, 
enquanto os submúltiplos, tem a função de 
representar pequenas distâncias.
Leitura das Medidas de Comprimento
Com o auxílio do quadro abaixo a 
compreensão torna-se mais simples.
Ex.: Faça a leitura da medida 87,052 m.
Observe agora:
Distribua os números nos respectivos 
campos abaixo.
Lemos a parte inteira acompanhada da 
unidade de medida do último algarismo bem 
como a parte decimal também acompanhada 
da unidade de medida de seu último 
algarismo.
87 052 milímetros ou 87 metros e 52 
milímetros.
6,07km “seis quilômetros e sete decâmetros”
82,107dam
“oitenta e dois 
decâmetros e cento e 
sete	centímetros”
0,003m “três milímetros”
Transformação de Unidades
Veja agora como fica aplicando o quadro 
acima.
Ex.:Converta 25,147 hm em m.
Para transformar de hm para m (que está 
duas posições à direita) devemos multiplicar 
por 100 (10 x 10).
 25,147 hm = 25,147 x 100 = 2.514,7m
Ex.: Transforme 456 m em km.
Para transformar de m para km (que está 
três posições à esquerda) devemos dividir 
por 1.000.
 456m = 456 : 1.000 = 0,456km
Para resolver uma expressão que contem 
termos em diferentes unidades, devemos 
inicialmente transformar todos para mesma 
unidade e em seguida efetuar as operações.
Multiplos
quilômetro hectômetro decâmetro
km hm dam
1000m 100m 10m
Submultiplos
decímetro centímetro milímetro
dm cm mm
0,1m 0,01m 0,001m
Unidade fundamental
metro
m
1m
km hm dam m dm cm mm
8 7, 0 5 2
km hm dam m dm cm mm
km hm dam m dm cm mm
18
Medida de Área e medida de Superfície
Antes de iniciar nossa breve definição 
vamos diferenciar Área de Superfície. 
Superfície é uma grandeza representada em 
duas dimensões. Já a Área é a medida dessa 
grandeza descrita por um número.
A POLEGADA é uma unidade de comprimento 
usada no sistema imperial de medidas britânico. 
Uma polegada são 2,54 CENTÍMETRO OU 25.4 
MILÍMETROS.
Metro Quadrado 
A unidade usada para representar a área 
de uma superfície denomina-se metro 
quadrado. O metro quadrado (m²) é a medida 
correspondente à superfície de um quadrado 
cujo lado mede 1m. 
 O dam², o hm² e km² são utilizados para 
medir grandes superfícies, são os múltiplos 
do metro quadrado, enquanto o dm², o cm² 
e o mm² são utilizados para as pequenas 
superfícies, pois são os submúltiplos do 
metro quadrado.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas para 
medir superfícies na área rural, plantações, 
reservas, fazendas, etc. A principal unidade 
destas medidas é o are (a). Possui um, o 
hectare (ha); e um submúltiplo, o centiare. 
1 ha = 1hm2 =10.000 m² 1a =dam²= 10 m² 
1ca = 1m²
Transformação De Unidades
Para transformar as unidades de superfície 
devemos considerar que cada unidade é 100 
vezes maior do que a unidade imediatamente 
inferior:
Observe as seguintes transformações:
Ex: Transformar 5,52 m² em mm². 
Para transformar m² em mm² (que está 
três posições à direita) devemos multiplicar 
por 1.000.000, vezes 100 a cada casa 
(100x100x100).
Assim: 5,52 x 1.000.000 = 5 520 000 mm²
Ex.: Transformar 400,5 dam² em km².
Para transformar dam² em km² (que está 
duas posições à esquerda) devemos dividir 
por 10.000 pois duas casa representa dividir 
por (100 x 100).
Assim: 400,5 : 10.000 = 0,04005 km²
Medidas de Capacidade
Capacidade é o volume interno de um 
recipiente e a sua unidade denomina-se litro. 
Um litro equivale a 1dm³ (10cm³) ou o mesmo 
que um cubo com aresta de 1dm (10 cm).
Aresta: segmento que une dois planos
Obs.: as medidas para volume serão vistas 
no próximo tópico.
•	 Múltiplos	e	submúltiplos	do	litro.
Multiplos
km² hm² dam²
1000m² 100m² 10m²
Unidade Fundamental 
(Metro Quadrado)
m²
1m²
Submultiplos
dm² cm² mm²
0,1m² 0,01m² 0,001m
Unidade 
Agrária Hectare are(a)
centiare	
(ca)
Equivalência 
de valor. 100a 1a 0,01a
km² hm² dam² m² dm² cm² mm²
km² hm² dam² m² dm² cm² mm²
Multiplos
kl hl dal
1000l 100l 10l
Unidade Fundamental (Litro)
l
1l
19
Relações importantes:
1kl = 1m³ 1l = 1dm³ 1ml = 1cm³
Transformação de unidades
Ao transformar as unidades de capacidade 
usando o sistema métrico decimal, devemos 
lembrar que cada unidade é 10 vezes maior 
que a unidade imediatamente inferior.
Ex.:Converta 5,7 litros para ml 
Usando a tabela abaixo como referência 
observe como ficaria.
Para transformar l para ml (que está três 
posições à direita), devemos multiplicar por 
1.000, vezes 10 a cada casa (10x10x10).
Assim: 5,7 x 1.000 = 5 700 ml
Medidas de Volume
A medida do volume envolve três dimensões, 
a saber: comprimento, altura e largura. Para 
obtermos essa medida utilizaremos o metro 
cúbico (m³) que é a unidade padrão para 
volume. Vale lembrar que um m³ equivale ao 
espaço ocupado por um cubo com um metro 
de aresta.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro Cúbico
Transformação de Unidades
Ao transformarmos unidades de volume 
usando o sistema métrico decimal, devemos 
lembrar que cada unidade de volume é 1.000 
vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior.
Ex.:Converta 7,51 m³ para dm³.
Usando a tabela abaixo como referência 
temos:
Para transformar m³ em dm³ (que esta uma 
posição à direita) devemos multiplicar por 
1.000.
 Assim: 7,51 x 1.000 = 7 510 dm³
Relação entre Capacidade e Volume
Agora que conhecemos as medidas de 
Capacidade e de Volume podemos fazer uma 
breve correlação entre elas. Vale aqui o breve 
apanhado feito nas medidas de capacidade. 
1 kL = 1m³ 1m³ = 1000L 1L = 1dm³ 1ml = 1cm³
Medidas de Massa
É comum confundirmos massa com peso. 
Massa é a quantidade de matéria existente 
em um corpo aqui ou em qualquer lugar do 
espaço. Já o peso é a massa mais a gravidade 
que atua sobre esse corpo. Assim, um corpo 
aqui na Terra e o mesmo corpo na Lua teriam 
pesos distintos por conta da gravidade que 
atua nestes locais ser diferente.
A unidade fundamental da massa é o 
quilograma (kg), mas usualmente utilizamos 
o grama como unidade principal. 
1 l de água destilada (sem sais) = 1 dm³ = 1 
kg.
Transformação de Unidades
Submultiplos
dl cl ml
0,1l 0,01l 0,001l
Submultiplos
dm³ cm³ mm³
0,001m³ 0,0000001m³ 0,00000001m³
Unidade Fundamental 
(Metro Cúbico)
m³
1m³
Multiplos
km³ hm³ dam³
1.000.000.000m³ 1.000.000m³ 1.000m³
kl hl dal l dl cl ml
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
20
Ex: Converta 7,13 kg em dag. 
Usando o quadro como base, temos:
Para transformar kg para dag (que está duas 
posições à direita) devemos multiplicar por 
100 (10 x 10).
Assim: 7,13 x 100 = 713 dag
Peso bruto: é o peso do produto com a sua 
embalagem.
Peso líquido: é o peso somente do produto 
sem a embalagem.
Medidas de Tempo
As medidas de tempo não fazem parte do 
Sistema Métrico Decimal.Assim essas medidas 
serão regidas pelo Sistema Internacional (SI) 
e este considera como sendo a unidade de 
tempo padrão, o segundo.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60s 60min = 3.600s 24h = 1440 min = 86.400s
Os submúltiplos do segundo são:
Décimo de segundo, centésimo de segundo 
e milésimo de segundo.
3,40h ≠ 3 h 40 min., pois 0,4 é uma fração da 
hora. Assim para obtermos os minutos teríamos 
que multiplicar 0,4 x 60 (min.) = 24 min. Logo 
3,40h = 3h e 24 min
Razão e Proporção
Razão
 A razão entre dois números nada mais é do 
que uma fração.
Vamos considerar, por exemplo, que em uma 
reunião compareçam 15 administradores e 25 
economistas. O número de administradores 
esta para o número de economistas assim 
como:
15 esta para 25.
 , simplificando podemos escrever o que 
significa dizer que para cada 3 administradores 
compareceram 5 economistas.
Na razão dizemos que 3 é o antecedente 
e 5 é o conseqüente.
Uma das maiores aplicações da razão 
esta nos mapas, pois neles aparece a escala 
utilizada que é uma razão entre a medida na 
figura e a medida real.
Ex.:Um mapa esta na escala de 1:125 000. 
Quer dizer que cada centímetro no mapa 
corresponde a 125 000 centímetros na 
realidade.
Sempre que fizemos uma comparação usando 
a palavra por, como em densidade demográfica: 
habitantes por metro quadrado, metros por 
segundo, gramas por metro cúbico, etc... 
Estamos usando uma razão.
Proporção
Quando temos duas frações que 
representam a mesma quantidade dizemos 
que temos uma proporção.
Ex.:
 São frações iguais logo diretamente 
proporcionais.
 São frações inversamente 
proporcionais, pois 2/5 é igual ao inverso de 
.
Em uma proporção direta o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos.
Usando o exemplo em que podemos 
também escrever: o numero 2 e o 
numero 10 são os extremos e o 5 e o 4 são os 
meios. 
Ao invés de produto entre meios e extremos 
é mais usual a multiplicação cruzada na 
representação por frações
kg hg dag g dg cg mg
21
Cálculo da Terceira Proporcional
Quando queremos a terceira proporcional x 
já nos é informado às duas primeiras.
Ex.:
Qual é a terceira proporcional a 2 e 8.
 Multiplicando cruzado, ou seja, os 
meios e os extremos temos: 
 
A terceira proporcional é 32.
Cálculo da quarta proporcional
Quando queremos a quarta proporcional x 
já nos é informado às três primeiras.
Ex.:
Qual é a quarta proporcional a 2, 4 e 8.
 Multiplicando cruzado, ou seja, os 
meios e os extremos temos:
 A quarta proporcional é 16.
Divisão de Grandezas Diretamente 
Proporcional
Entendemos por grandeza tudo o que 
pode ser medido ou contado. No nosso dia-
a-dia encontramos varias situações em que 
relacionamos duas ou mais grandezas.
Duas ou mais grandezas são diretamente 
proporcionais quando uma delas aumenta 
a outra também aumenta, ou quando uma 
delas diminui a outra também diminui.
Ex.:
A razão entre a idade de um pai e seu filho 
é de 7:4. Qual a idade de cada um se a soma 
de suas idades é 66?
Divisão de grandezas inversamente 
proporcional
Duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando uma delas aumenta a 
outra diminui, ou quando uma delas diminui 
a outra aumenta.
Ex.:
Divida o numero 80 em grandezas 
inversamente proporcional a 3 e 5.
Saber se duas grandezas são diretas ou 
inversas é essencial para resolução correta de 
exercícios com regra de três composta.
Regra de Três
Regra de três simples
A regra de três simples compara duas 
grandezas e é dividida em duas partes a regra 
de três simples diretamente proporcionais 
e a regra de três simples inversamente 
proporcionais.
Diretamente Proporcional
Na regra de três diretamente proporcionais 
temos duas grandezas proporcionais, ou 
seja, quando uma grandeza aumenta a outra 
também aumenta e vice versa.
Ex.: 
20 operários colhem 150 caixas de tomates 
em uma manha. Para colher 600 caixas, 
quantos operários são necessários?
Resolução: As duas grandezas envolvidas 
são diretamente proporcionais, pois 
teoricamente se aumentarmos o numero 
de operários aumentam o numero de caixas 
colhidas.
Assim representamos por duas flechas com 
mesmo sentido. 
Multiplicando cruzado temos:
Multiplicando cruzado
22
Inversamente Proporcional
Na regra de três inversamente proporcionais 
temos duas grandezas inversamente 
proporcionais, ou seja, quando uma grandeza 
aumenta a outra diminui e vice versa.
Ex.: 
Uma viagem é feita em 12h com velocidade 
média de 60Km/h. Qual seria o tempo de 
viagem se a velocidade aumentasse para 80 
Km/h?
Resolução: As duas grandezas envolvidas 
são inversamente proporcionais, pois se 
aumentarmos a velocidade diminui o tempo 
de viagem.
Representamos por flechas com sentido 
oposto as grandezas inversas.
Conservamos a primeira fração e invertemos 
a segunda, que tem flecha contraria.
Regra de Três Composta
A regra de três composta compara mais de 
duas grandezas.
A interpretação se torna parte fundamental 
dos problemas. Nestes problemas temos 
que comparar informações aos pares, ou 
seja, de duas em duas considerando as 
restantes constantes, para definir quais são 
inversamente proporcionais e quais são 
diretamente proporcionais.
Ex 1
 30 operários gastam 15 dias de 8 horas 
para construir 52m de muro. Quantos dias de 
9 horas gastarão 25 operários, para construir 
39m de um muro igual? 
Resolução: Primeiro passo, temos que 
comparar todas as grandezas com a grandeza 
a ser calculada. Durante essa comparação 
consideramos as outras grandezas constantes.
Operários e dias são inversos, pois 
aumentando o número de operários 
diminuem os dias de trabalho.
Horas por dia e dias são inversos, pois 
trabalhando mais horas por dia diminuem os 
dias de trabalho.
Dias e metros são diretamente 
proporcionais, pois mais dias de trabalho 
mais metros de muro construídos.
Fixando o sentido da flecha dos dias, 
colocamos a flecha diretamente proporcional 
no mesmo sentido e as inversas com sentido 
contrario:
As frações com flecha contraria a da fração 
que contem a letra são invertidas.
Ex 2
Se 16 homens gastam 8 dias montando 32 
máquinas, o número de dias que 20 homens 
necessitarão para montar 60 máquinas é: 
Resolução: temos que comparar todas as 
grandezas com a grandeza a ser calculada, 
nesse caso o numero de dias.
Homens e dias são inversos, pois se 
aumentando o número de homens diminuem 
os dias de trabalho.
Dias e maquinas são diretamente 
proporcionais, pois se aumentarmos o 
número de dias de trabalho mais maquinas 
são montadas.
Fixando o sentido da flecha dos dias que 
é a grandeza a ser calculada, colocamos a 
diretamente proporcional no mesmo sentido 
e a inversa com sentido contrario temos:
Ex 3
Um grupo de 12 mulheres leva 6 dias 
trabalhando 4 hora por dia para colher 300 
caixas de morangos. Quantas mulheres 
serão necessárias para colher 400 caixas de 
morango em 8 dias trabalhando 6 hora por 
dia
5x = 60
x=12 dias
11700 x = 140400
 x= 12 dias
Simplificando Sem Simplificação
Simplificando Sem Simplificação
x=12 dias
x=12 dias
23
Resolução: temos que comparar todas as 
grandezas com a grandeza a ser calculada, no 
caso o numero de mulheres.
Mulheres e dias são inversos, pois se 
aumentando o número de mulheres 
diminuem os dias de trabalho.
Mulheres e horas por dia são inversos, 
pois se aumentando o número de mulheres 
diminuem as horas diárias de trabalho.
Mulheres e números de caixas são 
diretamente proporcionais, pois se 
aumentarmos o número de mulheres, 
aumentam o número de caixas de morangos 
colhidas.
Fixando o sentido da flecha dos dias que 
é a grandeza a ser calculada, colocamos a 
diretamenteproporcional no mesmo sentido 
e a inversa com sentido contrario temos:
São necessárias 8 mulheres 
01. (CESPE) Alexandre, Jaime e Vítor são 
empregados de uma empresa e recebem, 
respectivamente, salários que são 
diretamente proporcionais aos números 5, 7 
e 9. A soma dos salários desses 3 empregados 
corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, 
após efetuar os cálculos, conclui-se 
corretamente que:
a) a soma do salário de Alexandre com o de 
Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.
b) Alexandre recebe salário superior a R$ 
1.200,00.
c) O salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.
d) O salário de Vítor é 90% maior do que o de 
Alexandre.
02. (CESPE) Flávio ganhou R$ 720,00 de 
salário. Desse valor, ele gastou 25% pagando 
dívidas e com alimentação. Nesse caso, o que 
sobrou do salário de Flávio foi:
a) Inferior a R$ 180,00.
b) superior a R$ 180,00 e inferior a R$ 230,00.
c) Superior a R$ 230,00 e inferior a R$ 280,00.
d) Superior a R$ 280,00.
03. (CESPE) Lavadora de roupas _ À vista 
1.300,00 ou 10 vezes de 162,50.
De acordo com o anúncio acima, o total do 
pagamento a prazo na compra da lavadora de 
roupas supera o valor do pagamento à vista 
em:
a) Exatamente 25% do valor à vista.
b) Mais de 25% e menos de 30% do valor à 
vista.
c) Exatamente 30% do valor à vista.
d) Mais de 30% do valor à vista.
04. (CESPE) A metade de um trabalho foi 
feito em 15 dias por 6 operários. No fim desse 
tempo 4 operários abandonaram o serviço. 
Os operários restantes terminarão o trabalho 
em quantos dias?
a) 18
b) 40
c) 25
d) 45
e) 30
05. (CESPE) Uma pessoa pagou 3/5 de uma 
divida. A seguir liquidou-a com o desconto de 
R$ 500,00, correspondente a 5%. Qual o valor 
da divida?
a) R$ 15.000,00
b) R$ 20.000,00
c) R$ 25.000,00
d) R$ 30.000,00
e) R$ 35.000,00
06. (CESPE) A taxa única que deverá 
substituir várias outras de 8%, 10% e 20% nos 
abatimentos sucessivos de uma fatura é:
a) 42,5%
b) 41,25%
c) 33,76%
d) 37,42%
e) 39,71%
07. (CESPE) Um viajante quer fazer em 8 dias um 
trajeto já feito em 12 dias, de 10 horas. Quantas 
horas por dia deverá andar, se aumentarmos de 
1/5 a sua velocidade?
a) 10 horas
b) 13 horas
c) 12,5 horas
d) 9 horas
e) 8 horas
24
08. (CESGRANRIO) Considere que a distância da 
Terra ao Sol seja, em certo dia, de 150 milhões 
de quilômetros. Sabendo que a velocidade da luz 
no vácuo é de 300 mil quilômetros por segundo, 
o tempo que a luz emitida do Sol demora para 
chegar ao nosso planeta é de:
a) 8 minutos e 20 segundos.
b) 9 minutos.
c) 12 minutos e 40 segundos 
d) 15 minutos e 30 segundos.
e) 20 minutos.
09. (CESGRANRIO) A cidade de Rio Claro tem, 
aproximadamente, 190 mil habitantes. Nessa 
cidade, um em cada cinco habitantes tem, no 
máximo, 10 anos de idade. Quantos são os 
habitantes de Rio Claro que têm mais de 10 anos 
de idade?
a) 19 mil
b) 38 mil
c) 72 mil
d) 144 mil
e) 152 mil
10. (FCC) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina 
e Jasmin foram incumbidos de digitar as 150 
páginas de um texto. Para executar essa tarefa, o 
total de páginas foi dividido entre eles, de acordo 
com o seguinte critério:
•	 Amaro e Jasmim dividiram 3/5 do total 
de páginas entre si, na razão direta de suas 
respectivas	idades:	36	e	24	anos;
•	 Belisário e Celina dividiram entre si as 
páginas restantes, na razão inversa de suas 
respectivas	idades:	28	e	32	anos.
Nessas condições, aqueles que digitaram 
a maior e a menor quantidade de páginas 
foram, respectivamente,
a) Belisário e Celina
b) Amaro e Belisário
c) Celina e Jasmim.
d) Jasmim e Belisário
e) Amaro e Celina.
11. (FCC) Sabe-se que, juntos, três funcionários 
de mesma capacidade operacional são capazes 
de digitar as 160 páginas de um relatório em 4 
horas de trabalho ininterrupto. Nessas condições, 
o esperado é que dois deles sejam capazes de 
digitar 120 páginas de tal relatório se trabalharem 
juntos durante
a) 4 horas e 10 minutos
b) 4 horas e 20 minutos
c) 4 horas e 30 minutos.
d) 4 horas e 45 minutos
e) 5 horas.
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1 2 3 4 5
A D A D C
6 7 8 9 10
C C A E E
11 - - - -
C - - - -
 
 
Teoria de Conjuntos
Um assunto mais tranquilo depois das 
proposições e argumentos. Veremos aqui 
os principais conceitos dos conjuntos e suas 
operações.
Definições
O conceito de conjunto é redundante 
visto que se trata de um agrupamento de 
coisas, coisas essas que são os elementos do 
conjunto.
Ex.: Conjunto das vogais do alfabeto.
Elementos: a, e, i, o, u.
A nomenclatura dos conjuntos são letras 
maiúsculas do alfabeto
Ex.:
Conjunto dos estados da região sul do Brasil
A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do 
Sul}
Representação dos conjuntos
Os conjuntos podem ser representados 
tanto em chaves como em diagramas.
 » Representação em chaves:
Ex.:
Conjuntos dos estados brasileiros que 
fazem fronteira com o Paraguai.
B = {Paraná, Mato Grosso do Sul}
 » Representação em diagramas
Ex.: Conjuntos das cores da bandeira do 
Brasil.
Elementos e relação de pertinência
Nos conjuntos, os elementos pertencem 
ao conjunto, a relação de pertinência é 
representada pelo símbolo ∈ (pertence).
Ex.:
Conjunto dos algarismos pares
G = {2, 4, 6, 8, 0}
Observe que:
4 ∈ G
7 ∉ G
Conjunto unitário e conjunto vazio
Conjunto unitário: é aquele que possui um 
só elemento.
Ex.:
Conjunto da capital do Brasil
K = {Brasília}
Conjunto vazio: simbolizado por Ø ou {} é 
o conjunto que não tem nenhum elemento.
Ex.:
Conjunto dos estados brasileiros que fazem 
fronteira com o Chile.
M = Ø
 » Subconjuntos
Subconjuntos são partes de um conjunto.
Ex.:
- Conjunto dos algarismos
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}
- conjunto dos algarismos impares
H = {1, 3, 5, 7, 9}
Observe que o conjunto H esta dentro do 
conjunto F sendo então o conjunto H um 
subconjunto do conjunto F.
As relações entre subconjunto e conjunto 
são de: “esta contido ⊂” e “contém ⊃”.
Os subconjuntos “estão contidos” nos 
conjuntos e os conjuntos “contém” os 
subconjuntos. Veja:
H ⊂ F; e
F ⊃ H.
00
01. Todo conjunto é subconjunto de si próprio. 
(D ⊂ D)
02. O conjunto vazio é subconjunto de 
qualquer conjunto.(∅ ⊂ D)
03. Se um conjunto A possui “p” elementos, 
então ele possui subconjuntos.
04. O conjunto formado por todos os 
subconjuntos de um conjunto A é denominado 
conjunto das partes de A. Assim, se A = {4, 7}, o 
conjunto das partes de A, é dado por {∅, {4}, {7}, 
{4, 7}
Operações com conjuntos
União de conjuntos: a união de dois 
conjuntos quaisquer será representada por 
“A U B” e terá os elementos que pertencem a 
A “ou” a B, ou seja: A U B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
O número de elementos da união de dois 
conjuntos será dado por: n(AUB) = n(A) + 
n(B) - n(A∩B)
Para resolver as questões de conjunto que 
envolve união de conjuntos, começaremos a 
resolução sempre pelo que for mais comum aos 
conjuntos.
 » Interseção de conjuntos: a interseção de 
dois conjuntos quaisquer será representada 
por “A ∩ B” e terá os elementos que 
pertencem a A “e” a B, ou seja: A ∩ B = {x / x 
∈ A e x ∈ B} 
01. (FCC) Duas modalidades de esporte são 
oferecidas para os 200 alunos de um colégio: 
basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos 
praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 
não praticam nenhuma destas modalidades. O 
número de alunos que praticam uma e somente 
uma destas modalidades é 
a) 120. 
b) 100. 
c) 80. 
d) 60. 
e) 40. 
Resolução: representando o enunciado, 
temos:
Calculando o valor de “x”:
140 – x + x + 100 – x + 20 = 200
260 – x = 200
X = 260 – 200
X = 60.
Se x = 60, então só 80 praticam somente 
basquete e só 40 praticam somente futebol. 
Como a questão está pedindo o número 
de alunos que praticam somente uma 
modalidade, essa será de:
80 + 40 = 120.
Portanto a resposta correta é a letra “A”.
 » Diferença de conjuntos: a diferença de 
dois conjuntos quaisquer será representada 
por “A – B” e terá os elementos que pertencem 
somente a A, mas não pertencem a B, ou seja: 
A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
2p
02. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. 
O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto 
Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-
se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 
elementos. Desse modo, conclui-se que o número 
de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) vazio 
e) 1 
Resolução: calculando o número de 
elementos do conjunto “X”, temos:
n = 6 (elementos de “X”);
Calculando o número de elementos de 
“Y”,fica:
n = 8 (elementos de “Y”).
Se Z = = X ∩ Y = 2 elementos, daí temos a 
seguinte representação dos conjuntos, com a 
quantidade dos seus elementos:
Então P (número de elementos) = Y – X = 6 
elementos. E alternativa correta, letra “B”.
01. (FCC) Sejam: X o conjunto dos municípios 
brasileiros; Y o conjunto dos municípios brasileiros 
que têm Agências do Banco do Brasil; Z o conjunto 
dos municípios brasileiros que têm mais de 30 
000 habitantes. Supondo que Y ∩ Z ≠ Ø, é correto 
afirmar que:
a) Pode existir algum município brasileiro que 
não tem Agência do Banco do Brasil e que tem 
mais de 30.000 habitantes.
b) Se um município brasileiro tem Agência do 
Banco do Brasil, então ele tem mais de 30.000 
habitantes.
c) Se um município brasileiro tem menos de 
30.000 habitantes, então ele não tem Agência do 
Banco do Brasil.
d) Todo município brasileiro que não tem 
Agência do Banco do Brasil tem menos de 30.000 
habitantes.
e) Todo município brasileiro que tem menos 
de 30.000 habitantes não tem Agência do Banco 
do Brasil. 
02. (FGV) Dado um conjunto A, chamamos 
subconjunto próprio não vazio de A a qualquer 
conjunto que pode ser formado com parte dos 
elementos do conjunto A, desde que:
 » Algum elemento de A seja escolhido; 
 » Não sejam escolhidos todos os 
elementos de A. 
Sabemos que a quantidade de subconjuntos 
próprios não vazios de A é 14. A quantidade 
de elementos de A é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8 
03. (CESPE) Sabendo-se que dos 110 
empregados de uma empresa, 80 são casados, 
70 possuem casa própria e 30 são solteiros e 
possuem casa própria, julgue o item seguinte.
Mais da metade dos empregados casados 
possui casa própria. 
Certo ( ) Errado ( )
Texto para as questões 4 a 7
Considere que todos os 80 alunos de uma 
classe foram levados para um piquenique em 
que foram servidos salada, cachorro-quente 
e frutas. Entre esses alunos, 42 comeram 
salada e 50 comeram frutas. Além disso, 27 
alunos comeram cachorro-quente e salada, 
22 comeram salada e frutas, 38 comeram 
cachorro-quente e frutas e 15 comeram os 
três alimentos. Sabendo que cada um dos 
80 alunos comeu pelo menos um dos três 
alimentos, julgue os próximos itens.
04. (CESPE) Quinze alunos comeram 
somente cachorro-quente.
Certo ( ) Errado ( )
2 64
2 2
n
n 6
=
=
2 256
2 2
n
n 8
=
=
05. (CESPE) Dez alunos comeram somente 
salada.
Certo ( ) Errado ( )
06. (CESPE) Cinco alunos comeram somente 
frutas.
Certo ( ) Errado ( )
07. (CESPE) Sessenta alunos comeram 
cachorro-quente.
Certo ( ) Errado ( )
08. (CESPE) Acerca de operações com 
conjuntos, julgue o item subsequente.
Considere que os conjuntos A, B e C tenham 
o mesmo número de elementos, que A e B 
sejam disjuntos, que a união dos três possuia 
150 elementos e que a interseção entre B e C 
possuia o dobro de elementos da interseção 
entre A e C. Nesse caso, se a interseção entre 
B e C possui 20 elementos, então B tem 
menos de 60 elementos.
09. (UPENET) Uma pesquisa de opinião 
envolvendo, apenas, dois candidatos (A e B) 
determinou que 57% das pessoas eram favoráveis 
ao candidato A e que 61% eram favoráveis 
ao candidato B. Sabendo-se que 23% eram 
favoráveis tanto ao candidato A quanto ao B, é 
CORRETO afirmar que:
a) A pesquisa não é válida, pois o total das 
preferências, considerando o candidato A e o 
candidato B, é de 118%, o que não é, logicamente, 
possível. 
b) Exatamente 5% das pessoas entrevistadas 
não são favoráveis a nenhum dos dois candidatos. 
c) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas 
são favoráveis ao candidato A, mas não, ao 
candidato B. 
d) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas 
são favoráveis ao candidato B, mas não, ao 
candidato A. 
e) Exatamente 38% das pessoas entrevistadas 
são favoráveis ao candidato A e indiferentes ao 
candidato B. 
10. (FCC) Do total de Agentes que trabalham 
em certo setor da Assembléia Legislativa de São 
Paulo, sabe-se que, se fossem excluídos os
 » Do sexo feminino, restariam 15 Agentes; 
 » Do sexo masculino, restariam 12 
Agentes; 
 » Que usam óculos, restariam 16 Agentes; 
 » Que são do sexo feminino ou usam 
óculos, restariam 9 Agentes. 
Com base nessas informações, o número 
de Agentes desse setor que são do sexo 
masculino e não usam óculos é:
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
11. (ESAF) Um colégio oferece a seus alunos 
a prática de um ou mais dos seguintes 
esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se 
que, no atual semestre.
 » 20 alunos praticam vôlei e basquete; 
 » 60 alunos praticam futebol e 65 praticam 
basquete;
 » 21 alunos não praticam nem futebol 
nem vôlei;
 » o número de alunos que praticam só 
futebol é idêntico ao número dos alunos que 
praticam só vôlei;
 » 17 alunos praticam futebol e vôlei;
 » 45 alunos praticam futebol e basquete; 
30, entre os 45, não praticam vôlei. 
O número total de alunos do colégio, no 
atual semestre, é igual a
a) 93. 
b) 110. 
c) 103. 
d) 99. 
e) 114. 
12. (FCC) Sobre os 55 técnicos e auxiliares 
judiciários que trabalham em uma Unidade do 
Tribunal Regional Federal, é verdade que: 
I. 60% dos técnicos são casados; 
II. 40% dos auxiliares não são casados; 
III. O número de técnicos não casados é 12. 
Nessas condições, o total de:
a) Auxiliares casados é 10. 
b) Pessoas não casadas é 30. 
c) Técnicos é 35.d) Técnicos casados é 20. 
e) Auxiliares é 25. 
13. (CONSULPLAN) Num grupo de 250 
pessoas, 34 usam óculos e lente de contato, 
29 usam apenas lente de contato e 95 não 
usam nem óculos nem lente de contato. 
Quantas pessoas desse grupo usam apenas 
óculos? 
a) 84
b) 90
c) 92
d) 88
e) 86
14. (FUMARC) Em minha turma da Escola, 
tenho colegas que falam, além do Português, 
duas línguas estrangeiras: Inglês e Espanhol. 
Tenho, também, colegas que só falam Português. 
Assim: 
 » 4 colegas só falam Português; 
 » 25 colegas, além do Português, só falam 
Inglês; 
 » 6 colegas, além do Português, só falam 
Espanhol; 
 » 10 colegas, além do Português, falam 
Inglês e Espanhol. 
Diante desse quadro, quantos alunos há na 
minha turma?
a) 46
b) 45
c) 44
d) 43
15. (CESGRANRIO) Em um grupo de 48 pessoas, 
9 não têm filhos. Dentre as pessoas que têm filhos, 
32 têm menos de 4 filhos e 12, mais de 2 filhos. 
Nesse grupo, quantas pessoas têm 3 filhos?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
16. (ADVISE) Em uma escola que tem 415 
alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês 
e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos 
não estudam nenhuma das duas línguas?
a) 52
b) 31
c) 83
d) 93
e) 111
17. (FCC) Dos 36 funcionários de uma Agência 
do Banco do Brasil, sabe-se que: apenas 7 são 
fumantes, 22 são do sexo masculino e 11 são 
mulheres que não fumam. Com base nessas 
afirmações, é correto afirmar que o
a) Número de homens que não fumam é 18.
b) Número de homens fumantes é 5.
c) Número de mulheres fumantes é 4.
d) Total de funcionários do sexo feminino é 
15.
e) Total de funcionários não fumantes é 28.
18. (CESGRANRIO) Conversando com os 45 
alunos da primeira série de um colégio, o professor 
de educação física verificou que 36 alunos jogam 
futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos 
não jogam nem futebol nem vôlei. O número de 
alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é
a) 5
b) 7
c) 9
d) 11
e) 13
19. (FGV) Considere o conjunto A = {2,3,5,7}. A 
quantidade de diferentes resultados que podem 
ser obtidos pela soma de 2 ou mais dos elementos 
do conjunto A é: 
a) 9
b) 10
c) 11
d) 15
e) 17
20. (FCC) Em um grupo de 100 pessoas, 
sabe-se que: 
 » 15 nunca foram vacinadas; 
 » 32 só foram vacinadas contra a doença A; 
 » 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
 » 20 só foram vacinadas contra a doença C; 
 » 2 foram vacinadas contra as doenças A, B 
e C; 
 » 22 foram vacinadas contra apenas duas 
doenças. 
De acordo com as informações, o número 
de pessoas do grupo que só foi vacinado 
contra ambas as doenças B e C é
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
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1 2 3 4 5
A A ERRADO ERRADO CERTO
6 7 8 9 10
CERTO ERRADO B E D
11 12 13 14 15
D E C A B
16 17 18 19 20
C A C A C
Análise Combinatória
Neste capítulo, abordaremos Análise 
Combinatória e Probabilidade, são duas 
matérias muito importantes e muito cobradas 
nos concursos.
Definições
Disciplina que serve para descobrir o 
número de maneiras possíveis de realizar 
determinado evento, sem que seja necessário 
demonstrar todas essas maneiras.
Ex.: Quantos são os pares formados 
pelo lançamento de dois “Dados” 
simultaneamente.
Resolução:
(1º dado, 2º dado).
No primeiro dado temos 6 possibilidades 
– do 1 ao 6 – e no segundo dado também 
temos 6 possibilidades – do 1 ao 6. Juntando 
todos os pares formados, temos 36 pares (6 x 
6 = 36). Observe:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6); 
Logo temos 36 pares.
Veja que não há necessidade de se colocar todos 
os pares formados, basta que se saiba quantos 
são esses pares. Imagine se fossem 4 “dados” e 
quiséssemos todas as quadras possíveis.