P3 GA ma141 2015

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GA-ma141A-Prova 03_GABARITO_12Novembr2015
Observe que, tal como foi anunciado na Prova, para efeito de ESTIMATIVA
(não de calculo exato!) cada uma das questões I,II,III,IV vale 2 pontos e a questão
V vale 4 pontos (isto é, 0,4 pt. por cada subquestão de V). Não errei na aritmetica,
o total de pontos é mesmo 12, mas a nota, obviamente, terá o teto de 10pts.
Questão I:
-Descreva analiticamente um plano no espaço tridimensional que passa pelo ponto
P0  a,b,c (onde a,b,c são os primeiros digitos de seu RA ) & satisfaz a uma (de cada vez)
das seguintes condições geométricas:
1a-É paralelo às retas R1  t1,1,1 e R2  −1,0,1  t−1,0,1,
1b-Passa a uma distancia d  2 da origem.
1c-Passa pelos pontos P1  −1,1,1 e P2  0,0,−1
1d-Passa pela reta R1  t1,1,−1.
RESOLUÇÃO:
1a-Se o plano é paralelo às retas R1 e R2 então pode ser descrito parametricamente na forma
Xt, s  P0  t1,1,1  s−1,0,1, utilizando os vetores diretores das respectivas retas, que
não são colineares (Basta isso!)
1b-Geometricamente é facil ver que os planos que passam a uma distancia 2 da origem
tangenciam a esfera de raio 2 com centro na origem. Se o ponto P0 estiver a uma distancia menor
do que 2 da origem (isto é, ‖P0‖  2) então a resposta é: "Nenhum plano faz isto". Se ‖P0‖  2
então apenas um plano faz isto: 〈P0,x  2.
Mas como a,b,c são digitos do seu RA, o mais provavel é que ‖P0‖ ≧ 2. Assim, neste caso,
o plano deve ser escrito na forma 〈N,x  2 onde N  N1,N2,N3 é um vetor unitário. Para
obter este plano (isto é, N) que contem P0 fazemos com que 〈N,P0   2, o que nos dá uma
equação linear para tres incognitas N1,N2,N3 mas com a restrição de que ‖N‖  1. Por
exemplo, se P0  1,1,2, (e, portanto,‖P0‖  6  2) a segunda condição será
N1  N2  2N3  2 , o que nos dá duas equações a tres incognitas. Já que temos liberdade,
vamos usa-la. Tomando arbitrariamente o valor de N3( mas com criterio, pois necessariamente
N3  1), digamos, N3  12 , teremos N1  N2  1 de onde vem a equação
x2  1 − x2  14  1(escrevendo N1  x) ; uma equação do segundo grau com duas soluções
que pode ser facilmente resolvida. Escolhendo uma das dus soluções: N1  12  24 vem
N2  12 − 24 e o já estabelecido N3  12 .
1c-Neste caso, os vetores P1 − P0  u e P2 − P0  v , que não são paralelos (Verifique)
poderão descrever o plano desejado em uma forma parametrica:Xt, s  P0  tu  sv.
1d-A resolução é analoga à da questão anterior. Basta obter dois pontos (qaisquer) P1 e P2 da
reta (que são tambem do plano), digamos, P1  0,0,0 (fazendo t  0) e P2  1,1,−1 (
fazendo t  1), desde que (por infeliz coincidencia) P1 − P0 e P2 − P0 não sejam colineares
(paralelos).
Questão II:
2a-Obtenha uma translação de eixos que transforma a função quadratica
qx,y  ax2  by2  cx − 2y  1 em outra quadratica QX,Y  AX2  BY2  F sem termos
lineares, & identifique a figura geométrica representada pelas equações qx,y  0 e
QX,Y  0. (onde a,b,c são os primeiros digitos de seu RA)
2b-Dada a forma quadratica qx,y  x2  y2  Kxy  x  1 , onde
K  −1a  −1b  −1c ( e a,b,c são os primeiros digitos de seu RA) obtenha uma
expressão quadratica QX,Y resultante de uma rotação de eixos coordenados que não
apresente o termo cuzado (XY ).
2c-Determine as operações geometricas& suas versões analiticas que resultem em uma
expressão canônica Q1X1,Y1  0 (nas variaveis X1,Y1) na qual se possa identificar a figura
representada pela curva qx,y  x2  y2  Kxy  x  1 da questão IIb.
Observação: Não utilizar fórmulas mágicas!!!
RESOLUÇÃO:
2a-O método a ser empregado nesta questão, obviamente (isto é, para quem frequentou as
aulas com atenção) é o completamento de quadrados: Digamos que a  1,b  3,c  5; então,
qx,y  x2  3y2  5x − 2y  1  x2  5x  3 y2 − 23 y  1  x  52 2  3y − 13 2 −
o que obviamente configura (em X,Y)uma elipse, pois é equivalente a X2
a2
 Y2
b2
 1 onde,
a  1299 e b  9936 .
OBSERVAÇÃO:
Completar os quadrados da variavel y , na forma 3y2 − 2y  3 y − 1
3
2 − 13 é
analiticamente correto, mas geometricamente imprestavel pois a mudança de variavel
X  3 y − 1
3
não é uma translação, que é o que interessa no caso. Portanto, preste atenção
no procedimento da resolução acima.
2b-O método a ser empregado, obviamente (mais uma vez, para quem frequentou as aulas
com atenção) é a rotação. Para saber qual, escrevemos x  X  Y e y  −X  Y com
2  2  1 (naturalmente   cos e   sin).
Digamos que o seu RA é tal que k  −1 ; então,
qx,y  qx,y  x2  y2  −xy  x  1 
X  Y2  −X  Y2 − X  Y−X  Y  X  Y  1  2  2  X2
Para que o termo XY tenha coeficiente nulo, devemos ter 2  2 o que nos dá   4 e
    1
2
, e teremos a expressão QX,Y  32 X2  12 Y2  12 X  12 Y  1.
2c-Para transformarmos esta expressão em uma forma canonica, aplicamos um
completamento de quadrados e obtemos:
QX,Y  32 X2  23 X  12 Y2  2 Y  1  32 X  13 2
2  12 Y  12
2 − 112
(o que significa geometricamente uma translação de eixos X1  X  13 2 e Y1  Y  12 ) e
nestas ultimas coordenadas,concluimos que a curva qx,y  0 é, na verdade, o conjunto vazio
(Para estes digitos do RA)!!! Como foi dito no enunciado da questão, "Formuletas misteriosas, já
que não podem ser explicadas e/ou, entendidas pelo usuario" não seriam aceitas!
Questão III:
3a-Se P  xe1  ye2 for a representação do ponto P no sistema ortonormal definido por
e1   12 , 12  e e2   −12 , 12  , obtenha a matriz que realiza a mudança de coordenadas
deste ponto P para o sistema ortonormal E1  −1,0, E2  0,−1, isto é, P  XE1  YE2.
3b-Determine o angulo de rotação entre os dois eixos ortogonais.
3c-Obtenha a representação parametrica no sistema ON Ek da elipse representada pela
curva x2  2y2  4 no sistema ON e k.
RESOLUÇÃO:
3a-Para isto, escrevemos P nas duas bases P  xe1  ye2  XE1  YE2 e, para obtermos
as coordenadas X,Y em termos das coordenadas x,y , como se viu em classe (para quem........)
basta aplicar o produto interno respectivamente com E1 e depois com E2 de onde vem:
X  E1  XE1  YE2  E1  xe1  ye2  E1  e1x  E1  e2y  −1
2
x  1
2
y
Y  E2  XE1  YE2  E2  xe1  ye2  E2  e1x  E2  e2y  −1
2
x  −1
2
y
ou,
X
Y

−1
2
1
2
−1
2
−1
2
x
y
3b-O angulo de rotação é  tal que cos  −1
2
e sin  1
2
de onde vem que   34 .
3c-A elipse x2  2y2  4 pode ser escrita na forma canonica como x2
22
 y2
2 2
 1, e,
portanto, tem eixos a  2 na direção de e1 e b  2 na direção de e2.Mas então, a sua
representação parametrica na base ek é pt  2cos te1  2 sin t e2 e na base Ek é
Pt  − 2 cos t − sin t E1 2 cos t − sin t E2
-
Questão IV:
Obtenha uma sequencia de movimentos geometricos rigidos (rotações e translações) que
levem a figura geometrica da reta r  Xt  1,2  t−3,5 a coincidir completamente com a
reta horizontal x  0 & represente analiticamente a operação completa.
RESOLUÇÃO:
OBSERVAÇÃO: A reta x  0 é naturalmente considerada VERTICAL se os
eixos estão na posição usual. (Mas isto não é importante pois depende da posição
do observador)
Há varias formas de realizar este movimento que abordaremos como mudança
de eixos. O primeiro passo é transladar a reta para a origem (o que pode ser feito
de varias maneiras) e o segundo é rotaciona-la até a direção desejada (que
também pode ser feita de varias maneiras, dependendo de quantas voltas , ou
meia voltas, se quiser dar com a reta até a direção desejada).
A reta r intercepta o eixo y quando o parâmetro t é tal que 2  5t  0 ou seja,
t  −25 e X −25   1  65 , 0   115 , 0. Geometricamente, para transportarmos a
reta r para a posição horizontal, podemos efetuar uma translação de tal forma que
a origem das novascoordenadas se situe em x  115 ,y  0, (ou seja, x /  x − 115 ,
y /  y) e, posteriormente, efetuamos uma rotação de eixos no sentido anti-horario
de um angulo   2 − tan−1 53 ,enfim
x //
y //
 cos sina− sin cos
x /
y /
 cos sina− sin cos
x − 115
y
. (Um
esboço geometrico é indispensavel, afinal isto é geometria!)
Questão V:("Sim ou Não & Porque?"≡ S/N & ?)
1)O produto vetorial e1 ∧ e2 ∧ e2 ∧ e2 é nulo.(S/N & ?)
RES: e1 ∧ e2  e3 e e3 ∧e2  −e1 e, portanto −e1 ∧ e2  −e3, que obviamente
não é nulo.
2)O produto vetorial ae1  be2  ce3 ∧ be2  ce3 é perpendicular ao vetor e1. ( a,b,c
são os primeiros digitos de seu RA) .(S/N & ?)
RES:Claro que é, pois
ae1  be2  ce3 ∧ be2  ce3  ae1 ∧ be2  ce3  be2  ce3 ∧ be2  ce3  ae1 ∧
que é  aos dois fatores.
3)A reta x1 − x2  1 pode ser descrita na forma polar rcos −   0 para   −4 ?(S/N &
?)
RES: A equação rcos  4   0 passa pela origem (pois para que este produto seja nulo a
unica chance, em geral, é que cos  4   0, ou seja,   4 , −34 Portanto, é falso , uma
vez que a reta x1 − x2  1 nem passa pela origem.
Elaborando mais do que seria necessario na prova: A reta r pode ser descrita implicitamente
na forma 〈x, 1,−1  1 ou, normalizada como; 〈x,N  1
2
, onde
N   1
2
, −1
2
  cos −4 , sin −4  é um vetor unitario perpendicular à reta e d  12 é a
distancia dela à origem. Portanto 〈x,N  1
2
é a projeção de x na direção de N e a forma polar
para esta expressão deve ser rcos  4   12 .
4)O circulo r2  a2  b2  c2 intercepta a reta rcos − 2   5, ( a,b,c são os primeiros
digitos de seu RA) (S/N & ?)
RESOLUÇÂO:
Observe que a equação da reta em questão diz que a distancia da reta à origem é de 5
unidades (reta vertical x  −5) e portanto para intercepte o circulo é necessario e suficiente que
a2  b2  c2 ≧ 5.
5)A matriz de rotação de eixos que leva a parabola y  2x2 na parabola X  12 Y2 é R 2 .
(S/N & ?)
RES:
Uma rotação no sentido indicado produz a seguinte transformação: X  y,Y  −x e, portanto,
substituindo, y  X  2−Y)2 obtemos, X  2Y2. Um desenho simples também mostra que esta
expressão é a correta e não a que foi proposta.
6)É possivel obter uma matriz de rotação que leve a elipse xt  cos t2,2  sin t−1,1 na
elipse x
2
4  y2  1. (S/N & ?)
RES:
A descrição parametrica proposta tem eixos a  2 2  ‖2,2‖e b  2  ‖−1,1‖
nas respectivas direções ortogonais . Como o eixo maior ( 2,2 faz um angulo de 4 com o eixo
horizontal, faremos uma rotação de − 4 e a figura da elipse terá eixo maior,2 2 , na horizontal e
menor, 2 ,na vertical, e, portanto sera descrita na forma x2
2 2 2
 y2
2 2
 1  x28  y
2
4 que
não tem os parametros que determinam a eleipse proposta.
7)A figura geometrica descrita por xt  cos t1,1,1  sin t1,−1,1 é um circulo C que
está sobre um plano  que passa pela origem e é perpendicular a 1,0,−1.(S/N & ?)
RES:
Calculando 〈xt,xt  3  sin2t que obviamente não tem valor constante e, portanto,
xt não está a uma distancia fixa da origem. Por outro lado, está no plano que passa pela origem
e é perpendicular a N  1,0,−1, pois 〈N,xt  0 , uma vez que 〈N, 1,1,1 
〈N, 1,−1,1  0.
8)A figura descrita por xt  cos t2,0,2  sin t0,−2,0 é uma elipse que está no mesmo
plano  da QuestãoV-7 e contem ( o circuloXXX) A FIGURA C no interior
dela.(S/N & ?)
A figura descrita por xt  cos t2,0,2  sin t0,−2,0 é de fato uma elipse pois
〈2,0,2, 0,−2,0  0 e ‖2,0,2‖  2 2 , ‖0,−2,0‖  2 são seus respectivos
eixos. Como 〈xt,xt  3cos2t  3sin2t  2cos t sin t  3  sin2t ≤ 4 conclui-se que
‖xt‖ ≤ 2 e portanto está de fato dentro da elipse cuja menor distancia a origem é
,‖0,−2,0‖  2 .
DEVIDO A FALHA NO ENUNCIADO DESTA QUESTÃO, (pois C não é um
circulo!!), TODOS os que trabalharam nesta questão RECEBERÃO 0,4 pt. por
ela.
9)A matriz
1
2
3
4
− 34 12
representa a mudança de coordenadas entre eixos ortogonais
por rotação de um ângulo  agudo ( ∈ − 2 , 2 ).(S/N & ?)
RESOLUÇÃO:
Não porque  12 
2  34
2  716 ≠ 1.
10)O vetor Xt  R2tP no plano descreve um circulo com raio r  ‖P‖ com a
velocidade de uma rotação por segundo se o tempo t for medido em segundos.(S/N & ?). Onde
R  cos sin− sin cos é a matriz de rotação por angulo ).
RES:
Suponha P  a
b
, então,
Xt  cos2t sin2t− sin2t cos2t
a
b
 cos2t a
b
 sin2t b−a , de onde
observamos que u  a
b
e v  b−a são dois vetores perpendiculares de
modulos iguais a ‖P‖  r. Isto mostra que, de fato, Xt descreve o circulo
proposto.