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GA-ma141A-Prova 03_GABARITO_12Novembr2015 Observe que, tal como foi anunciado na Prova, para efeito de ESTIMATIVA (não de calculo exato!) cada uma das questões I,II,III,IV vale 2 pontos e a questão V vale 4 pontos (isto é, 0,4 pt. por cada subquestão de V). Não errei na aritmetica, o total de pontos é mesmo 12, mas a nota, obviamente, terá o teto de 10pts. Questão I: -Descreva analiticamente um plano no espaço tridimensional que passa pelo ponto P0 a,b,c (onde a,b,c são os primeiros digitos de seu RA ) & satisfaz a uma (de cada vez) das seguintes condições geométricas: 1a-É paralelo às retas R1 t1,1,1 e R2 −1,0,1 t−1,0,1, 1b-Passa a uma distancia d 2 da origem. 1c-Passa pelos pontos P1 −1,1,1 e P2 0,0,−1 1d-Passa pela reta R1 t1,1,−1. RESOLUÇÃO: 1a-Se o plano é paralelo às retas R1 e R2 então pode ser descrito parametricamente na forma Xt, s P0 t1,1,1 s−1,0,1, utilizando os vetores diretores das respectivas retas, que não são colineares (Basta isso!) 1b-Geometricamente é facil ver que os planos que passam a uma distancia 2 da origem tangenciam a esfera de raio 2 com centro na origem. Se o ponto P0 estiver a uma distancia menor do que 2 da origem (isto é, ‖P0‖ 2) então a resposta é: "Nenhum plano faz isto". Se ‖P0‖ 2 então apenas um plano faz isto: 〈P0,x 2. Mas como a,b,c são digitos do seu RA, o mais provavel é que ‖P0‖ ≧ 2. Assim, neste caso, o plano deve ser escrito na forma 〈N,x 2 onde N N1,N2,N3 é um vetor unitário. Para obter este plano (isto é, N) que contem P0 fazemos com que 〈N,P0 2, o que nos dá uma equação linear para tres incognitas N1,N2,N3 mas com a restrição de que ‖N‖ 1. Por exemplo, se P0 1,1,2, (e, portanto,‖P0‖ 6 2) a segunda condição será N1 N2 2N3 2 , o que nos dá duas equações a tres incognitas. Já que temos liberdade, vamos usa-la. Tomando arbitrariamente o valor de N3( mas com criterio, pois necessariamente N3 1), digamos, N3 12 , teremos N1 N2 1 de onde vem a equação x2 1 − x2 14 1(escrevendo N1 x) ; uma equação do segundo grau com duas soluções que pode ser facilmente resolvida. Escolhendo uma das dus soluções: N1 12 24 vem N2 12 − 24 e o já estabelecido N3 12 . 1c-Neste caso, os vetores P1 − P0 u e P2 − P0 v , que não são paralelos (Verifique) poderão descrever o plano desejado em uma forma parametrica:Xt, s P0 tu sv. 1d-A resolução é analoga à da questão anterior. Basta obter dois pontos (qaisquer) P1 e P2 da reta (que são tambem do plano), digamos, P1 0,0,0 (fazendo t 0) e P2 1,1,−1 ( fazendo t 1), desde que (por infeliz coincidencia) P1 − P0 e P2 − P0 não sejam colineares (paralelos). Questão II: 2a-Obtenha uma translação de eixos que transforma a função quadratica qx,y ax2 by2 cx − 2y 1 em outra quadratica QX,Y AX2 BY2 F sem termos lineares, & identifique a figura geométrica representada pelas equações qx,y 0 e QX,Y 0. (onde a,b,c são os primeiros digitos de seu RA) 2b-Dada a forma quadratica qx,y x2 y2 Kxy x 1 , onde K −1a −1b −1c ( e a,b,c são os primeiros digitos de seu RA) obtenha uma expressão quadratica QX,Y resultante de uma rotação de eixos coordenados que não apresente o termo cuzado (XY ). 2c-Determine as operações geometricas& suas versões analiticas que resultem em uma expressão canônica Q1X1,Y1 0 (nas variaveis X1,Y1) na qual se possa identificar a figura representada pela curva qx,y x2 y2 Kxy x 1 da questão IIb. Observação: Não utilizar fórmulas mágicas!!! RESOLUÇÃO: 2a-O método a ser empregado nesta questão, obviamente (isto é, para quem frequentou as aulas com atenção) é o completamento de quadrados: Digamos que a 1,b 3,c 5; então, qx,y x2 3y2 5x − 2y 1 x2 5x 3 y2 − 23 y 1 x 52 2 3y − 13 2 − o que obviamente configura (em X,Y)uma elipse, pois é equivalente a X2 a2 Y2 b2 1 onde, a 1299 e b 9936 . OBSERVAÇÃO: Completar os quadrados da variavel y , na forma 3y2 − 2y 3 y − 1 3 2 − 13 é analiticamente correto, mas geometricamente imprestavel pois a mudança de variavel X 3 y − 1 3 não é uma translação, que é o que interessa no caso. Portanto, preste atenção no procedimento da resolução acima. 2b-O método a ser empregado, obviamente (mais uma vez, para quem frequentou as aulas com atenção) é a rotação. Para saber qual, escrevemos x X Y e y −X Y com 2 2 1 (naturalmente cos e sin). Digamos que o seu RA é tal que k −1 ; então, qx,y qx,y x2 y2 −xy x 1 X Y2 −X Y2 − X Y−X Y X Y 1 2 2 X2 Para que o termo XY tenha coeficiente nulo, devemos ter 2 2 o que nos dá 4 e 1 2 , e teremos a expressão QX,Y 32 X2 12 Y2 12 X 12 Y 1. 2c-Para transformarmos esta expressão em uma forma canonica, aplicamos um completamento de quadrados e obtemos: QX,Y 32 X2 23 X 12 Y2 2 Y 1 32 X 13 2 2 12 Y 12 2 − 112 (o que significa geometricamente uma translação de eixos X1 X 13 2 e Y1 Y 12 ) e nestas ultimas coordenadas,concluimos que a curva qx,y 0 é, na verdade, o conjunto vazio (Para estes digitos do RA)!!! Como foi dito no enunciado da questão, "Formuletas misteriosas, já que não podem ser explicadas e/ou, entendidas pelo usuario" não seriam aceitas! Questão III: 3a-Se P xe1 ye2 for a representação do ponto P no sistema ortonormal definido por e1 12 , 12 e e2 −12 , 12 , obtenha a matriz que realiza a mudança de coordenadas deste ponto P para o sistema ortonormal E1 −1,0, E2 0,−1, isto é, P XE1 YE2. 3b-Determine o angulo de rotação entre os dois eixos ortogonais. 3c-Obtenha a representação parametrica no sistema ON Ek da elipse representada pela curva x2 2y2 4 no sistema ON e k. RESOLUÇÃO: 3a-Para isto, escrevemos P nas duas bases P xe1 ye2 XE1 YE2 e, para obtermos as coordenadas X,Y em termos das coordenadas x,y , como se viu em classe (para quem........) basta aplicar o produto interno respectivamente com E1 e depois com E2 de onde vem: X E1 XE1 YE2 E1 xe1 ye2 E1 e1x E1 e2y −1 2 x 1 2 y Y E2 XE1 YE2 E2 xe1 ye2 E2 e1x E2 e2y −1 2 x −1 2 y ou, X Y −1 2 1 2 −1 2 −1 2 x y 3b-O angulo de rotação é tal que cos −1 2 e sin 1 2 de onde vem que 34 . 3c-A elipse x2 2y2 4 pode ser escrita na forma canonica como x2 22 y2 2 2 1, e, portanto, tem eixos a 2 na direção de e1 e b 2 na direção de e2.Mas então, a sua representação parametrica na base ek é pt 2cos te1 2 sin t e2 e na base Ek é Pt − 2 cos t − sin t E1 2 cos t − sin t E2 - Questão IV: Obtenha uma sequencia de movimentos geometricos rigidos (rotações e translações) que levem a figura geometrica da reta r Xt 1,2 t−3,5 a coincidir completamente com a reta horizontal x 0 & represente analiticamente a operação completa. RESOLUÇÃO: OBSERVAÇÃO: A reta x 0 é naturalmente considerada VERTICAL se os eixos estão na posição usual. (Mas isto não é importante pois depende da posição do observador) Há varias formas de realizar este movimento que abordaremos como mudança de eixos. O primeiro passo é transladar a reta para a origem (o que pode ser feito de varias maneiras) e o segundo é rotaciona-la até a direção desejada (que também pode ser feita de varias maneiras, dependendo de quantas voltas , ou meia voltas, se quiser dar com a reta até a direção desejada). A reta r intercepta o eixo y quando o parâmetro t é tal que 2 5t 0 ou seja, t −25 e X −25 1 65 , 0 115 , 0. Geometricamente, para transportarmos a reta r para a posição horizontal, podemos efetuar uma translação de tal forma que a origem das novascoordenadas se situe em x 115 ,y 0, (ou seja, x / x − 115 , y / y) e, posteriormente, efetuamos uma rotação de eixos no sentido anti-horario de um angulo 2 − tan−1 53 ,enfim x // y // cos sina− sin cos x / y / cos sina− sin cos x − 115 y . (Um esboço geometrico é indispensavel, afinal isto é geometria!) Questão V:("Sim ou Não & Porque?"≡ S/N & ?) 1)O produto vetorial e1 ∧ e2 ∧ e2 ∧ e2 é nulo.(S/N & ?) RES: e1 ∧ e2 e3 e e3 ∧e2 −e1 e, portanto −e1 ∧ e2 −e3, que obviamente não é nulo. 2)O produto vetorial ae1 be2 ce3 ∧ be2 ce3 é perpendicular ao vetor e1. ( a,b,c são os primeiros digitos de seu RA) .(S/N & ?) RES:Claro que é, pois ae1 be2 ce3 ∧ be2 ce3 ae1 ∧ be2 ce3 be2 ce3 ∧ be2 ce3 ae1 ∧ que é aos dois fatores. 3)A reta x1 − x2 1 pode ser descrita na forma polar rcos − 0 para −4 ?(S/N & ?) RES: A equação rcos 4 0 passa pela origem (pois para que este produto seja nulo a unica chance, em geral, é que cos 4 0, ou seja, 4 , −34 Portanto, é falso , uma vez que a reta x1 − x2 1 nem passa pela origem. Elaborando mais do que seria necessario na prova: A reta r pode ser descrita implicitamente na forma 〈x, 1,−1 1 ou, normalizada como; 〈x,N 1 2 , onde N 1 2 , −1 2 cos −4 , sin −4 é um vetor unitario perpendicular à reta e d 12 é a distancia dela à origem. Portanto 〈x,N 1 2 é a projeção de x na direção de N e a forma polar para esta expressão deve ser rcos 4 12 . 4)O circulo r2 a2 b2 c2 intercepta a reta rcos − 2 5, ( a,b,c são os primeiros digitos de seu RA) (S/N & ?) RESOLUÇÂO: Observe que a equação da reta em questão diz que a distancia da reta à origem é de 5 unidades (reta vertical x −5) e portanto para intercepte o circulo é necessario e suficiente que a2 b2 c2 ≧ 5. 5)A matriz de rotação de eixos que leva a parabola y 2x2 na parabola X 12 Y2 é R 2 . (S/N & ?) RES: Uma rotação no sentido indicado produz a seguinte transformação: X y,Y −x e, portanto, substituindo, y X 2−Y)2 obtemos, X 2Y2. Um desenho simples também mostra que esta expressão é a correta e não a que foi proposta. 6)É possivel obter uma matriz de rotação que leve a elipse xt cos t2,2 sin t−1,1 na elipse x 2 4 y2 1. (S/N & ?) RES: A descrição parametrica proposta tem eixos a 2 2 ‖2,2‖e b 2 ‖−1,1‖ nas respectivas direções ortogonais . Como o eixo maior ( 2,2 faz um angulo de 4 com o eixo horizontal, faremos uma rotação de − 4 e a figura da elipse terá eixo maior,2 2 , na horizontal e menor, 2 ,na vertical, e, portanto sera descrita na forma x2 2 2 2 y2 2 2 1 x28 y 2 4 que não tem os parametros que determinam a eleipse proposta. 7)A figura geometrica descrita por xt cos t1,1,1 sin t1,−1,1 é um circulo C que está sobre um plano que passa pela origem e é perpendicular a 1,0,−1.(S/N & ?) RES: Calculando 〈xt,xt 3 sin2t que obviamente não tem valor constante e, portanto, xt não está a uma distancia fixa da origem. Por outro lado, está no plano que passa pela origem e é perpendicular a N 1,0,−1, pois 〈N,xt 0 , uma vez que 〈N, 1,1,1 〈N, 1,−1,1 0. 8)A figura descrita por xt cos t2,0,2 sin t0,−2,0 é uma elipse que está no mesmo plano da QuestãoV-7 e contem ( o circuloXXX) A FIGURA C no interior dela.(S/N & ?) A figura descrita por xt cos t2,0,2 sin t0,−2,0 é de fato uma elipse pois 〈2,0,2, 0,−2,0 0 e ‖2,0,2‖ 2 2 , ‖0,−2,0‖ 2 são seus respectivos eixos. Como 〈xt,xt 3cos2t 3sin2t 2cos t sin t 3 sin2t ≤ 4 conclui-se que ‖xt‖ ≤ 2 e portanto está de fato dentro da elipse cuja menor distancia a origem é ,‖0,−2,0‖ 2 . DEVIDO A FALHA NO ENUNCIADO DESTA QUESTÃO, (pois C não é um circulo!!), TODOS os que trabalharam nesta questão RECEBERÃO 0,4 pt. por ela. 9)A matriz 1 2 3 4 − 34 12 representa a mudança de coordenadas entre eixos ortogonais por rotação de um ângulo agudo ( ∈ − 2 , 2 ).(S/N & ?) RESOLUÇÃO: Não porque 12 2 34 2 716 ≠ 1. 10)O vetor Xt R2tP no plano descreve um circulo com raio r ‖P‖ com a velocidade de uma rotação por segundo se o tempo t for medido em segundos.(S/N & ?). Onde R cos sin− sin cos é a matriz de rotação por angulo ). RES: Suponha P a b , então, Xt cos2t sin2t− sin2t cos2t a b cos2t a b sin2t b−a , de onde observamos que u a b e v b−a são dois vetores perpendiculares de modulos iguais a ‖P‖ r. Isto mostra que, de fato, Xt descreve o circulo proposto.