Elementos de Fundações - Sapatas Rígidas - Roberto Chust

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Elementos de fundações: sapatas rígidas – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
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ELEMENTOS DE FUNDAÇÕES: SAPATAS RÍGIDAS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
As fundações de uma edificação devem garantir, de forma permanente, a estabilidade da 
obra que suporta, com um adequado coeficiente de segurança. O projeto de uma fundação 
(infraestrutura) deve sempre ter como parâmetro básico a capacidade de suporte do solo que 
servirá de apoio (fundações superficiais, tensões normais), ou do solo que será o responsável pela 
transferência das ações por atrito (fundações profundas, tensões tangenciais). 
Também é fundamental um detalhamento correto da armadura para conferir a estabilidade 
necessária, boa funcionalidade e durabilidade à edificação. Para garantir a condição de um 
comportamento satisfatório é preciso, muitas vezes, fazer uma análise de recalques absolutos e 
diferenciais. Os recalques devem ser compatíveis com a capacidade de deformação da estrutura e 
com sua finalidade (edifícios, reservatórios, pontes, etc.) 
Por serem muitos e complexos os parâmetros envolvidos, o projeto das fundações, de 
maneira geral, requer a participação, além do projetista de fundações, de um projetista de 
estruturas. Cabe ao primeiro, baseado em uma planilha de esforços, fornecida pelo calculista da 
estrutura, em diversos elementos (pilares ou paredes), e nas informações sobre o solo do local 
(sondagens, ensaios de caracterização e de resistência), definir o tipo de fundação a empregar, a 
geometria e a cota de assentamento dos seus elementos. 
Por exemplo, para executar o projeto de uma fundação, os dados que devem ser 
fornecidos a um projetista de fundações podem ser colocados em um desenho, como o indicado 
em parte na Figura 1, que contém a planta de dimensões e localização dos pilares, uma planilha 
com ações máximas de carga vertical (N), os esforços horizontais (Hx e Hy) e os momentos Mx e 
My. No exemplo da figura, os esforços verticais são os principais; os demais são pequenos e 
podem ser desprezados no cálculo. 
 
1 2 3
A
B
P1 P2 P3
P4 P5 P6
(20x20) (20x20)
(20x20)(20x20)
(20x40)
(20x40)
TABELA DE AÇÕES
N H H M Mx y x y
90 2 3 2,8 1,5
Acidental
Permanente
pilar
Permanente
Acidental
Permanente
Acidental
Acidental
Permanente
Acidental
Permanente
P1
P2
P4
P3
P5
P6 Permanente
Acidental
20 1 1 0,5 0,7
carga
70 4 6 2 1
270 9 8 7 5
320 10 12 9 5
83 9 8 2 3
20 1 1 0,5 0,7
78 4 1 3 2
180 3 4 0,5 1,5
50 4 4 6,5 7,7
67 2 3 2,8 1,5
30 2 3 1,2 0,8
unidades KN, KNm
x
y
PLANTA
400 450
45
5
Linha de
divisa
Figura 1. Esquema dos dados que devem ser fornecidos ao projetista da fundação. 
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A solução para a fundação do trecho da estrutura, cuja planta de cargas e dimensões é a 
da Figura 1, dependendo das condições do solo, pode ser a que está esquematizada na Figura 2 
ou a esquematizada na Figura 3. 
Caberá ao projetista da estrutura dimensionar as sapatas, vigas alavanca ou os blocos de 
transição entre a superestrutura e a fundação propriamente dita, as vigas baldrame, que servem de 
travamento entre os blocos e suportam as paredes do pavimento térreo e, quando for o caso, a 
armação das estacas. 
 
1 2 3
A
B
SP1
SP2
SP3
SP4
SP5
SP6
(100x100) (100x110)
(150x150)
(130x260)
(140x280)
x
y
PLANTA
400 450
45
5
Linha de
divisa
Viga Alavanca
(100x110)
Viga Alavanca
100
y
ax
b
a 10
ap
h
DETALHE 1 DETALHE 1
5 
sapata
SP1
SP2
SP4
SP3
SP5
SP6
a b h
30100100
130 260 70
30110100
150 150 45
75280140
100 110 30
 
Figura 2. Solução com fundação superficial (sapatas isoladas e associadas). 
 
1 2 3
A
B
E1Ø25
x
y
PLANTA
400 450
45
5
Linha de
divisa
Viga Alavanca
Viga Alavanca
37
Utilizar estacas escavadas com tubo de aço
Ø25E2
E3Ø25
Ø25E5
E4Ø25
Ø25E6 Ø25
Ø25E8
E7
37Ø25E10
E9Ø25
37,5
37,5
37,5
37,5
diâmetro de 25 cm 
profundidade esperada de 12 m
estacas E1 e E6 deverão obrigatoriamente
ter baldrames nas direções x e y
 
Figura 3. Solução com fundação profunda de estacas escavadas com diâmetro de 25 cm. 
 
Eventualmente um único projetista, com larga experiência, pode realizar todo o projeto, 
ao menos em estruturas em que os esforços laterais são pequenos e os verticais não muito 
elevados; isso ocorre normalmente em edifícios de pequeno porte, como residenciais e comerciais 
com poucos pavimentos (dois ou três andares). Em situações em que o solo tenha uma boa 
capacidade de suporte a pequenas profundidades e seja bem homogêneo, não é necessária uma 
análise muito minuciosa sobre recalques, facilitando o projeto da fundação, que neste caso 
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também pode ser executado por um único profissional. 
De maneira resumida, o projeto de fundações envolve as seguintes análises: 
 estudo do terreno: tipo de solo, deformabilidade, resistência, consistência, compacidade, 
plasticidade, granulometria, etc.; 
 estudo dos recalques; 
 nível freático; 
 situação geográfica da edificação: presença de galerias, outras edificações no entorno, etc.; 
 escolha do tipo, profundidade, dimensões: função da estrutura a ser suportada e condições do 
terreno; 
 análise das ações: do edifício, do solo acima, peso próprio, empuxos (terra, hidrostático); 
 dimensionamento dos diversos elementos. 
Como o objetivo aqui é enfocar o dimensionamento e detalhamento das armaduras dos 
elementos de concreto armado, serão apenas determinadas as tensões atuantes e comparadas com 
as tensões admissíveis do solo previamente conhecidas, não cabendo considerações aprofundadas 
sobre o comportamento do solo e análise de recalques, embora estes conhecimentos sejam 
primordiais para a escolha do tipo de fundação a ser empregada e determinação da sua cota de 
assentamento. 
Esses assuntos são encontrados em publicações especializadas, onde considerações 
geotécnicas e de escolha das fundações e geometria final dos seus elementos são tratados com a 
profundidade necessária. Entretanto esses temas se complementam, e para efetuar um bom 
projeto é sempre importante analisar conjuntamente o solo e a estrutura de fundação. 
 
2. TIPOS DE FUNDAÇÕES 
As fundações de maneira geral são usualmente classificadas em profundas e superficiais, e 
a escolha entre um tipo ou outro é baseada principalmente em função das características do solo e 
da edificação a ser sobre ele executada. 
 
2.1. Fundações profundas 
Fazem parte das fundações profundas as estacas e tubulões de diversos tipos, aqui 
enfocadas apenas superficialmente, pois geralmente são empregadas em obras de grande porte 
(não objeto deste trabalho); em obras menores, utilizadas quando o terreno apresenta resistência 
adequada apenas a uma certa profundidade, necessitam pouca armadura (normalmente apenas a 
armadura mínima), não justificando assim um estudo sobre o cálculo das mesmas. 
Isso se justifica pois, conforme pode ser visto em FUSCO [1995], em elementos de 
concreto em que os esforços de compressão são predominantes, ou melhor, nosestados de tensão 
onde a tensão principal de tração é inferior à resistência característica do concreto à tração, não é 
necessário a colocação de armaduras. Justamente são exemplos desta situação os tubulões de 
concreto, as estacas e também alguns tipos de blocos. O bloco mostrado na Figura 4c é diferente 
dos blocos de transição entre as fundações profundas e a estrutura; o dimensionamento destes 
últimos se baseia no modelo de biela e tirante. 
As tensões principais na base de um tubulão, como podem ser vistas na Figura 4a, são 
praticamente só de compressão (1) ou, se houver de tração (2), serão de baixa intensidade. 
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Na Figura 4b é mostrada uma estaca concretada no local sendo que, se for solicitada 
apenas por forças de compressão (N na Figura 4b), estará sujeita a esforços de flexão (oriundos 
de possíveis excentricidades decorrentes da execução) somente na região próxima à superfície do 
terreno, onde, portanto, deverá ser armada. Se, porém, houver também esforços horizontais e 
momentos de intensidades significativas (H e M na Figura 4b), será preciso dimensionar a estaca 
para os mesmos. Observa-se na figura que o valor do momento ao longo da estaca cai 
rapidamente com a profundidade. 
 
Tubulão
60
°
fuste
base
fuste
armadura
Estaca
Diagrama de MomentoM
N
H
12
Bloco sem armadura
60
°
 
 a) b) c) 
Figura 4. Tensões na base de tubulão (a), em estaca (b) e um bloco sem armadura (c). 
 
Na Figura 4c está representado um bloco que, devido à sua geometria, não requer 
armadura, pois também estará submetido a tensões de tração inferiores às que podem ser 
resistidas apenas pelo concreto. 
Nessas fundações o solo lateral deve ter capacidade de impedir deslocamentos transversais 
nos elementos, pois caso contrário será necessário que o dimensionamento seja feito à flexão 
composta e, quando houver ação horizontal de alta intensidade, uma análise mais cuidadosa 
deverá ser feita, considerando a deformação de peças imersas em solos. 
 
2.2. Fundações superficiais 
As fundações superficiais ou diretas compreendem basicamente as sapatas e radieres, que 
por serem indicadas para regiões em que o solo apresenta boa ou média capacidade de carga, 
podem ser executadas sem custo elevado e comportam-se de maneira bastante eficiente. 
O radier pode ser admitido como uma laje, executado em toda a área da estrutura, que 
recebe as ações da edificação e as transmite ao solo no qual se encontra apoiado. São indicados 
para estruturas pesadas e também para solos pouco homogêneos, pois reduzem os recalques 
diferenciais. 
Devido à complexidade em se efetuar um cálculo razoavelmente preciso, na dificuldade de 
execução das instalações de esgotos e outras e, também, devido às suas dimensões, esta solução é 
recomendada apenas quando as demais se tornam inviáveis, seja por razões econômicas ou 
executivas. O dimensionamento e detalhamento desse tipo de fundação também não serão aqui 
tratados. 
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3. SAPATAS DE FUNDAÇÃO 
As sapatas, um dos tipos mais freqüentes de fundação, são elementos estruturais de 
concreto armado com altura pequena relativamente à sua base e destinam-se a receber cargas de 
muros e paredes (concreto ou alvenaria), pilares isolados, conjunto de pilares, etc. São adequadas 
em situações em que o solo apresenta uma boa capacidade de suporte. 
A principal vantagem é que as sapatas são de execução rápida (o que não é o caso dos 
tubulões) e não requerem o emprego de equipamentos específicos e de transporte (como é o caso 
das estacas). São recomendadas principalmente quando o terreno é homogêneo, o que evita 
grandes recalques diferenciais entre as distintas partes da estrutura. 
É importante garantir que a umidade do solo não atacará a armadura da sapata. Por isso, 
após a escavação do solo deve ser feito um lastro de 5 cm de concreto magro, ocupando toda a 
área sobre a qual será assentada a sapata. 
A ligação entre as armaduras da sapata com a estrutura também é um ponto que merece 
atenção especial. As armaduras de espera precisam ter disposição e comprimento adequados. 
 
3.1. Tipos de sapatas 
Existem vários tipos de sapatas, mais simples e mais complexas, e procurar-se-á mostrar 
seu funcionamento, as verificações necessárias, o cálculo e detalhamento da armadura. Na 
Figura 5 são mostradas duas sapatas isoladas em construção e os tipos de sapatas mais 
empregadas como elementos de fundação, que usualmente são classificadas em: 
 isoladas (rígidas e flexíveis, em função das dimensões), suportam um só pilar (Figura 5a); 
 corridas, suportam muros ou paredes (Figura 5b); 
 combinadas ou associadas, suportam dois ou mais pilares, em número reduzido (Figura 5b); 
 associadas, por meio de vigas alavanca (ou de equilíbrio), são empregadas em divisas para 
evitar carga excêntrica sobre a última sapata (Figura 5c); 
 contínuas suportam vários pilares alinhados (Figura 5d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos de sapatas isoladas em construção, quadrada e retangular. 
 
a) isoladas, b) corridas sob parede ou muro, c) associadas com viga 
alavanca (viga de equilíbrio), d) contínuas sob pilares. 
Figura 5. Sapatas em execução e tipos mais usuais. 
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Em geral é mais econômico utilizar sapatas isoladas centradas, sendo que o uso de sapatas 
contínuas é aconselhado somente quando os pilares forem muito próximos e não for possível 
evitar as sobreposições das sapatas isoladas. 
 Neste texto se dará ênfase às sapatas isoladas, cabendo ao leitor empregar os conceitos 
aqui apresentados para aplicá-los nos demais casos. 
 
3.2. Classificação das sapatas quanto à rigidez 
 Quanto à rigidez as sapatas podem ser classificadas como sapatas rígidas ou flexíveis. 
Segundo a NBR 6118:2003, item 22.4.1, uma sapata é rígida quando: 
 
  3/aah p (1) 
 
Em que (Figura 6): 
h é a altura da sapata; 
a é a dimensão da sapata em uma determinada direção; 
ap é a dimensão do pilar na mesma direção. 
 
Caso a condição anterior não seja atendida a sapata é considerada flexível. 
 
0h h
a
pa
 
Figura 6. Dimensões para verificar a rigidez de uma sapata isolada (NBR 6118:2003). 
 
Em uma sapata existe a possibilidade de haver punção causada pelo pilar, mas apenas nas 
flexíveis, pois nas rígidas a sapata fica inteiramente dentro do cone hipotético de punção (como se 
verá na seção 3.3.2). Na Figura 7 são mostrados, esquematicamente, a punção de uma placa, 
uma sapata rígida (inteiramente dentro do cone de punção) e outra flexível (com possibilidade de 
punção) todas sob a carga de um pilar. O ângulo  comanda basicamente a definição da rigidez 
da sapata e também está ligado ao grau de compacidade do concreto a ser usado. Nessa figura as 
linhas tracejadas indicam a superfície teórica de ruptura. 
Para facilitar a concretagem é conveniente que o ângulo  de inclinação da sapata seja em 
torno de 30o, que é aproximadamente o ângulo de atrito interno do concreto (ângulo de talude 
natural) de compacidade média; isso permite usar apenas fôrmas laterais com altura h0, poisnão 
haverá deslizamento do concreto. Dessa maneira, para anteprojeto e para determinar a altura total 
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h da sapata, considera-se como rígidas as sapatas em que o ângulo  é igual ou superior a 30o, e 
flexíveis quando  é menor que 30o. 
0de 26 a 30
superfície de punção 
superfície de punção superfície de punção 
punção em placa sapata flexívelsapata rígida
 
Figura 7. Pilares apoiados em placa, em sapata isolada rígida e em sapata flexível. 
 
3.3. Sapatas isoladas rígidas submetidas a cargas axiais 
Uma sapata rígida isolada submetida a uma carga axial centrada causa tensões no solo 
(que por sua vez reage sobre ela) com distribuição que depende do tipo do solo (argiloso ou 
arenoso), conforme indicado na Figura 8; o conhecimento dessas tensões é importante para que a 
tensão admissível do solo não seja ultrapassada e para calcular os esforços na sapata. A 
NBR 6118:2003, item 22.4.1, indica que nas sapatas rígidas, excetuando-se o caso de apoio em 
rochas, vale a hipótese de distribuição plana de tensões no solo e no caso, portanto, a distribuição 
é uniforme. 
 No caso das sapatas flexíveis deverá ser considerada a falta de linearidade na distribuição 
de tensões no solo. 
 
sapata rígida
solo argiloso
tensão no solo tensão no solo
solo arenoso
sapata rígida sapata rígida
tensão uniforme no solo
admitidas
 
Figura 8. Tensões em sapatas de acordo com o tipo de solo: nas rígidas podem ser 
admitidas uniformes. 
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O dimensionamento de uma sapata sob um pilar solicitado com carga axial centrada 
consiste em: 
 definir suas dimensões em planta; 
 determinar a altura de modo que a sapata seja rígida; 
 analisar as tensões de cisalhamento (verificar a altura para que não haja problemas de punção e 
proceder à verificação da compressão diagonal no concreto); 
 fazer o dimensionamento à flexão com a determinação da armadura. 
 
3.3.1. Definição das dimensões em planta 
As dimensões da sapata são encontradas inicialmente através da verificação das tensões no 
solo, que não devem ultrapassar o valor admissível ( solo ) para o mesmo, encontrado em ensaios 
de caracterização. Em uma sapata de área A e peso próprio P em que o pilar aplica uma carga N, 
deve-se então ter: 
 
solo
sapata
solo A
PN


 (2) 
 
 É conveniente também que a base da sapata seja homotética em relação à seção do pilar, 
ou seja, se o pilar for retangular a sapata também dever ser retangular e de lados proporcionais 
aos do pilar. Dessa maneira é possível definir as dimensões em planta das sapatas isoladas. 
 
3.3.2. Determinação da altura da sapata 
A altura da sapata deve ser tal de modo que ela seja rígida, e para isso deve ser utilizada a 
expressão 1. Pode-se obter, em geral, uma boa solução atribuindo para  o valor de 300. Para h0 
recomenda-se um valor mínimo de 10 cm. 
 Após a definição das dimensões deve ser feita a verificação da compressão diagonal no 
concreto conforme se apresenta em seguida. 
 
3.3.3 Tensão de cisalhamento no concreto 
 
a) Tração diagonal (puncionamento) 
 A tangente do ângulo  (inclinação da sapata), desprezando h0, é dada por (Figura 6): 
 
)aa(
h2
2/)aa(
htan
pp 



 (3) 
 
 A relação limite entre as dimensões de uma sapata para que ela seja considerada rígida é 
obtida da equação 1: 
 
  3/aah p 
 
Essa expressão pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
3
1
)aa(
h
p


  
3
2
)aa(
h2
p


 
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Portanto, pela equação 3, é possível escrever: 
 
3
2
)aa(
h2tan
p



  o69,33 . 
 
 Assim, o69,33 é o ângulo limite para a sapata ser admitida como rígida. Como o cone 
de punção se forma com um ângulo entre 26º a 30º, conclui-se que o mesmo estará sempre fora 
da sapata (Figura 7). Desta maneira nas sapatas rígidas não é preciso verificar a tração diagonal, 
conforme inclusive prescreve a NBR 6118:2003 no item 22.4.2.2; nas sapatas flexíveis ocorre o 
contrário, e a punção deve ser verificada. 
 
b) Compressão diagonal 
Recomenda ainda a norma, no mesmo item, que deve ser feita a verificação da 
compressão diagonal do concreto, conforme o item 19.5.3.1, que neste caso (distribuição 
uniforme de tensões no solo) só tem lógica se feito no perímetro do pilar, com o total da carga 
atuante, conforme indicado a seguir: 
 
cdv2Rd
p
d
Sd f27,0du
V


  (4) 
Em que: 
 Sd é a tensão de cisalhamento solicitante de cisalhamento de cálculo; 
 dV é a força cortante, de cálculo, no perímetro do pilar (em sapatas isoladas sob pilar é a 
força normal N, de cálculo, no pilar); 
 pu é o perímetro ao longo do contorno do pilar e d é a altura útil da sapata; 
 2Rd é a tensão de cisalhamento resistente de cálculo; 
 250/f1 ckv  , com fck em MPa. 
 
3.3.4. Dimensionamento à flexão 
Segundo a NBR 6118:2003 (item 22.4.2.2a) o comportamento estrutural de sapatas 
rígidas pode ser caracterizado por um trabalho à flexão nas duas direções, admitindo-se que, para 
cada uma delas, a tração na flexão seja uniformemente distribuída na largura correspondente da 
sapata. Essa hipótese não se aplica à compressão na flexão, que se concentra mais na região do 
pilar que se apóia na sapata e não se aplica também ao caso de sapatas muito alongadas em 
relação à forma do pilar. Acrescenta ainda (item 22.4.3) que para cálculo e dimensionamento 
devem ser utilizados modelos tridimensionais lineares ou modelos biela-tirante tridimensionais, 
podendo, quando for o caso serem utilizados modelos de flexão. Por serem mais simples e de 
maior uso no meio técnico aqui se usará apenas o modelo de flexão. 
O cálculo à flexão pode ser feito como em vigas, com a diferença que aqui a região 
comprimida de concreto não é retangular, como pode ser visto no esquema apresentado na 
Figura 9, que possibilita determinar a quantidade de armadura longitudinal As necessária. 
Na seção do corte AA há uma região trapezoidal (hachurada) de concreto comprimida 
com uma tensão limite de cdf80,0  . O valor que multiplica fcd deve ser 0,80 pois as fibras da 
região comprimida decrescem no sentido da linha neutra (LN) à borda mais comprimida. A 
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resultante da tensão de compressão no concreto é uma força (Fc) que deve equilibrar a força (Fs) 
resultante da tensão de tração na armadura (produto da área As da armadura pela sua tensão de 
escoamento de cálculo fyd, quando trabalhando nos domínios 2 ou 3). A armadura deve ser 
uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata, na região tracionada, conforme é 
indicado no item 22.4.4.1.1 da NBR 6118:2003. 
 
 Asa
A
A
Md
cd0,8f
s
c
F
F
z NL y=0,8xx0hh
Elevação Corte AA
 
Figura 9. Tensões normais e forças resultantes no concreto e armadura em uma sapata. 
 
Para facilitar o cálculo, a força de compressão pode ser decomposta em duas, uma parcela 
(Fc1) resultante da tensão que age na região retangular de largura ap e altura x8,0  e outra 
parcela (Fc2) resultante das tensões que agem nas duas regiões triangulares de base a1 e também 
com altura x8,0  , como indicado na Figura 10. 
Com essas forças, e fazendo o equilíbrioda seção, é possível determinar a armadura 
necessária As, observando que o momento interno resistente produzido pelas forças Fc1 e Fc2 (em 
relação à linha de ação de Fs) deve ser igual ao momento externo aplicado Md. 
 
21
a1pa z
c1F Fc2
 As
M d
cd0,8f
sF
z
y=0,8x
 
Figura 10. Esquema para a determinação da armadura longitudinal (seção trapezoidal). 
 
a) Cálculo das forças de compressão 
 As forças de compressão são dadas pelas expressões que se seguem, relembrando que ap é 
a largura da parte retangular da seção (geralmente a dimensão da seção do pilar nessa direção) e 
que a1 é a base de cada um dos triângulos. 
 
cdpcdp1c fx64,0af80,0x8,0aF  (5) 
 
2
2
f80,0x8,0a
F cd12c 

 
 
O valor de a1 é encontrado por relações trigonométricas: 
 
1a/)x8,0(tan    cotx8,0a1 
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O que resulta para Fc2: 
 
cd
2cd
2c fcotx512,022
f80,0x8,0cotx8,0
F 

 (6) 
 
b) Momento (resistente) devido à parcela Fc1 da força de compressão 
O momento resistente é dado pelo produto da força pelo braço de alavanca, sendo d a 
altura útil da seção (distância do centro de gravidade da armadura até à borda comprimida). 
Recomenda-se que, a favor da segurança, a altura útil seja a altura da sapata menos o cobrimento 
e menos 1,5 vez o diâmetro da barra longitudinal; dessa maneira, a armadura calculada pode estar 
na camada inferior (mais próxima da face inferior da sapata) ou na superior, no caso das sapatas 
com flexão em duas direções (e armaduras correspondentes). 
 
2
cdpcdpcdp11cF xfa256,0dxfa64,0)x4,0d(fx64,0azFM 1c  (7) 
 
c) Momento (resistente) devido à parcela Fc2 da força de compressão 
 
22cF zFM 2c  





  cotxf273,0cotdxf512,0x8,0
3
2dfcotx512,0M 3cd
2
cdcd
2
F 2c 
(8) 
 
d) Momento resistente total 
O momento total que a sapata resiste é a soma dos momentos devidos a cada uma das 
parcelas das forças, e deve ser igual ao momento de cálculo na seção junto ao pilar, provocado 
pela reação do solo na sapata, ou seja: 
 
dFF MMM 2C1C  
 
d
3
cd
2
cd
2
cdpcdp Mcotxf273,0cotdxf512,0xfa256,0dxfa64,0  
 
0M]xda64,0x)a256,0cotd512,0()cotx273,0[(f dp
2
p
3
cd  
 
0
f
M
]x)da64,0(x)a256,0cotd512,0(x)cot273,0[(
cd
d
p
2
p
3  (9) 
 
e) Cálculo da armadura 
A equação 9 é do terceiro grau em x, pois as demais variáveis (fcd, cot , d, ap e Md) são 
conhecidas. Determinado o valor de x pode-se obter a armadura As: 
 
2c1cs FFF   cd
2
cdpyds fcotx512,0fx64,0afA  
 
  cotx512,0x64,0a
f
f
f
fcotx512,0
f
fx64,0a
A 2p
yd
cd
yd
cd
2
yd
cdp
s (10) 
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 13 
3.3.5. Cálculo do momento solicitante 
A armadura principal de tração, colocada na face inferior da sapata em cada direção, deve 
ser calculada para o momento fletor atuante na seção mais solicitada, o que ocorre em uma das 
faces do pilar (Figura 11); é preciso levar em conta a largura b da sapata na outra direção, 
distribuindo posteriormente a armadura por toda essa dimensão. 
 
 
Figura 11. Esquema para o dimensionamento da armadura longitudinal. 
 
 O momento fletor solicitante na seção SS da face do pilar é dado por, lembrando que b é a 
dimensão da sapata na outra direção: 
 
8
)aa(
b
2
]2/)aa[(
b
2
kb
2
kkbM
2
p
2
p
2
S



 (11) 
 
Obtido o momento MS a armadura pode ser calculada como visto na seção 3.3.4; o 
momento MS é o atuante, e para o dimensionamento deve ser transformado em momento de 
cálculo (Md = 1,4MS). 
 
3.3.6. Detalhamento da armadura de flexão 
O espaçamento entre as barras da armadura principal de flexão não deve ser maior que 
20 cm (mesmo que em lajes), e deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata 
e prolongar-se de um extremo a outro da base da sapata sem redução de seção e com ganchos nas 
extremidades (NBR 6118:2003, item 22.4.4.1.1). Cuidados com o cobrimento devem ser 
redobrados para evitar a corrosão da armadura, pois a sapata estará em contato com o solo. 
Devem ser também previstas armaduras de espera coincidentes com a armadura do pilar, 
inclusive estribos, e a sapata deve ter altura suficiente para permitir a ancoragem dessa armadura. 
Nessa ancoragem, conforme o item 22.4.4.1.2 da norma, pode ser considerado o efeito favorável 
da compressão transversal às barras, decorrente da flexão da sapata. 
 
EXEMPLO 1 
Dimensionar uma sapata quadrada que deve suportar uma carga (N) de 800 kN em um solo com 
tensão admissível 2s m/kN200 , aplicada por um pilar também quadrado de lado igual a 
30 cm. Desprezar o peso da sapata. Dados: aço CA-50, MPa20fck  , cobrimento igual a 4 cm. 
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 14 
a) Área requerida para a sapata e dimensão do lado (a) considerando-a quadrada 
2
s
m0,4
002
080NA 

 
0,4AaaaA   m0,2a  
 
b) Demais dimensões 
Adotando h0 = 10 cm, pode-se calcular h pela condição de sapata rígida de acordo com a 
expressão 1: 
  m56,03/)3,00,2(3/aah p  
Por outro lado, fazendo o ângulo de inclinação da face lateral da sapata igual a 300 
(Figuras 6 e 7) resulta para h: 
2/)3,02(
10,0h
2/)aa(
hh30tantan
p
0





  m59,0h  
Dos dois resultados, adota-se h =59 cm, e com o cobrimento de 4 cm e supondo o diâmetro da 
armadura longitudinal igual a 10 mm tem-se para a altura útil cm5,5315,14hd  . As 
dimensões iniciais da sapata estão na Figura 12. 
 
 
Figura 12. Dimensões iniciais da sapata do exemplo 1. 
 
c) Verificação da compressão diagonal do concreto (seção de contorno do pilar) 
Perímetro: m20,130,04a4u  
Altura útil: cm5,53d  
Força cortante no contorno do pilar tomada igual a N: kN800NV  
2
p
d
Sd m/kN1744535,020,1
8004,1
du
V





  
2
cdv2Rd m/kN35484,1
2000092,027,0f27,0  
com 92,0
250
201
250
f
1 ckv  
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 15 
Como a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo é menor que a tensão de cisalhamento 
resistente de cálculo  2RdSd  a compressão diagonal está verificada. 
 
d) Cálculo do momento solicitante 
O momento solicitante deve ser calculado na seção SS da sapata (junto à face do pilar) para a 
largura de 2,0 m (Figura 11), visto que a sapata é quadrada (b = a). O cálculo é feito com a 
expressão 11, com os valores de ap = 0,3 m, a = 2,0 m e  = 200 kN/m2 (igual à tensão admissível 
do solo): 
mkN5,144
8
)3,00,2(2002
8
)aa(
a
2
kkaM
22
p
S 



 
 
e) Determinação da armadura necessária 
e1) Cálculo da posição da linha neutra 
Usando o esquema das Figuras 9 e 10 e as equações da seção 3.3.4, tem-se: 
 Forças de compressão devida à parcela retangular da seção (equação 5): 
x2743
4,1
2000080,0x8,03,0f80,0x8,0aF cdp1c  
 Forças de compressão devida à parcela triangular da seção (equação 6 com 
732,130cotcot o  ): 
22
cd
2
2c x126684,1
20000732,1x512,0fcotx512,0F 
 Momento (resistente) devido à Fc1 (equação 7): 
2
1c11cF x2,1097x5,1467)x4,0535,0(x2743)x4,0d(FzFM 1c  
 Momento (resistente) devido à Fc2 (equação 8): 
322
2c22cF x3,6756x4,6777x8,03
2535,0x12668x8,0
3
2dFzFM
2c





 




 
O momento resistente total deve ser igual ao momento solicitante de cálculo, ou seja: 
dFF MMM 2C1C  
5,1444,1x3,6756x4,6777x2,1097x5,1467 322  
03,202x5,1467x2,5680x3,6756 23  
00299,0x2172,0x8407,0x 23  
A equação acima é do terceiro grau, com raízes: m0243,1x1  ; m2857,0x 2  ; 
m1022,0x3  ; percebe-se que apenas a terceira raiz têm significado físico para a sapata, e assim 
fica definida a posição da linha neutra: 
cm22,10m1022,0x  
 
 
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 16 
e2) Verificação do domínio em que a sapata atingirá o estado limite último: 
A linha neutra correspondente ao limite entre os domínios 2 e 3 é dada por: 
m139,0535,0259,0d259,0x 23  
Como o valor encontrado é menor ( m1022,0x  ), a sapata estará trabalhando no domínio 2, e a 
tensão na armadura (CA-50) será a de escoamento: yds ff  . 
 
e3) Cálculo da armadura 
A armadura pode ser encontrada a partir do equilíbrio das forças de compressão no concreto e 
tração na armadura, conforme a expressão 10, com os seguintes valores: ap = 0,30 m; 
732,130cotcot o  ; m1022,0x  ; MPa20fck  ; CA-50 (fyk = 50 kN/m
2): 
  cotx512,0x64,0a
f
f
A 2p
yd
cd
s 
  22s cm49,9732,11022,0512,01022,064,030,015,1/50
4,1/20000A  
Embora na NBR 6118:2003 não esteja especificado, deve-se prever uma armadura mínima, como 
em lajes. 
Essa armadura deve ser distribuída na largura da sapata (200 cm), nas duas direções, e podem ser 
empregadas, por exemplo, barras com os seguintes diâmetros: 
 = 10 mm  86,118,0/49,9n   12 barras 
Espaçamento (t): cm67,1612/200t   adota-se  = 10 mm c/ 15 cm 
 = 8 mm  98,185,0/49,9n   19 barras 
Espaçamento (t): cm53,1019/200t   adota-se  = 8 mm c/ 10 cm 
 
Na Figura 13 está detalhada a armadura. 
 
N1
200 cm
N1- Ø8 -205
192
21N1- Ø8 -205 c/10
21
N
1-
 Ø
8 
-2
05
 c
/1
0
21N1- Ø8 c/10
200
20
0
21
N
1-
 Ø
8 
c/
10
espera do pilarPLANTA CORTE
 
Figura 13. Detalhamento da armadura principal da sapata para barras de  = 8 mm. 
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 17 
EXEMPLO 2 
Dimensionar uma sapata que deve suportar uma carga de 340 kN de um pilar com seção de 
2040 cm2 apoiada em um solo com tensão admissível 2s m/kN100 . Desprezar o peso da 
sapata. Dados: aço CA-50, fck = 20 MPa, cobrimento de a 4 cm. Deixar na ligação da sapata com 
o pilar um pequena região horizontal (dois dentes de 5 cm, Figura 14) que facilita a execução do 
pilar (assim, em alguns cálculos, ap e bp são os lados do pilar acrescidos de 5 cm em cada lateral). 
 
a) Área requerida para a sapata e dimensão dos lados (a;b) 
Área requerida para a sapata: 
2
s
m4,3
001
340NA 

 
Para a determinação das dimensões da sapata seus lados serão considerados, em planta, 
homotéticos aos do pilar. Como os lados do pilar têm relação de 1:2, a planta da sapata deverá ter 
lados com a mesma relação, e assim a2b  . 
)a2(aA   7,12/Aa   m30,1a   m60,2b  
 
b) Demais dimensões 
Adotando h0 = 10 cm, pode-se calcular h pela condição de sapata rígida com um ângulo de 
inclinação, na direção mais desfavorável, de 30º (corte TT na Figura 14): 
577,0
2/)05,005,04,06,2(
10,0h
2/)bb(
hh30tantan
p
0 





  m71,0h   m71,0h  
Na outra direção resulta (corte SS da Figura 14) o ângulo de inclinação  dado por: 
 
 
22,1
2/05,005,020,030,1
10,071,0tan 


  7,50 mantendo a condição de sapata rígida. 
Com cobrimento de 4 cm e adotando armadura longitudinal de =10 mm tem-se para altura útil: 
cm5,655,147115,14hd  . 
Verificação, segundo a NBR 6118:2003, se a sapata é rígida (direção da menor inclinação): 
m70,03/)05,005,04,06,2(3/)bb(m71,0h p   é, portanto, sapata rígida. 
 
 
Figura 14. Dimensões iniciais da sapata do exemplo 2. 
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 18 
 
c) Verificação da compressão diagonal do concreto (seção de contorno do pilar) 
Perímetro do pilar: m20,1)40,020,0(2)ba(2u pp  
Altura útil: cm5,65m655,0d  
Força cortante no contorno do pilar tomada igual a N: kN340NV  
2
p
d
Sd m/kN606655,020,1
3404,1
du
V





  
2
cd
ck
2Rd m/kN35484,1
2000092,027,0f
250
f
127,0 





 
Como a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo é menor que a tensão de cisalhamento 
resistente de cálculo  2RdSd  a compressão diagonal está verificada. 
 
d) Cálculo do momento solicitante na seção SS (Figura 14) 
Primeiramente, o momento solicitante deve ser calculado, com a equação 11, na seção S da 
sapata (direção da menor dimensão), com bp = 0,40 m (dimensão do pilar perpendicular à seção 
SS, situada na face menor do mesmo), b = 2,6 m (dimensão da sapata na direção em que se está 
calculando a armadura, portanto perpendicular à direção da seção SS),  = 100 kN/m2 (igual à 
tensão admissível do solo) e a = 1,30 m (largura da sapata na direção da seção SS). 
mkN65,78
8
)4,06,2(1003,1
8
)bb(
a
2
kkaM
22
p
SS 



 
 
e) Determinação da armadura necessária 
 
e1) Cálculo da posição da linha neutra 
Usando o esquema das Figuras 9 e 10 e as equações da seção 3.3.4 tem-se: 
 Forças de compressão devida à parcela retangular da seção (equação 5): 
x2743
4,1
2000080,0x8,03,0f80,0x8,0aF cdp1c  
sendo ap = 30 cm (dimensão do pilar na direção SS acrescida dos dois dentes: cm305220  ). 
 Forças de compressão devida à parcela triangular da seção (equação 6): 
22
cd
2
2c x1,59834,1
20000818,0x512,0fcotx512,0F  
sendo 818,070,50cotcot o  (nessa direção a inclinação da sapata é 50,7º). 
 Momento (resistente) devido à Fc1 (equação 7): 
2
1c11cF x2,1097x7,1796)x4,0655,0(x2743)x4,0d(FzFM 1c  
 Momento (resistente) devido à Fc2 (equação 8): 
322
2c22cF x0,3191x9,3918x8,03
2655,0x1,5983x8,0
3
2dFzFM
2c





 




  
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 19 
 O momento resistente total deve ser igual ao momento solicitante de cálculo, ou seja: 
dFF MMM 2C1C  
65,784,1x0,3191x9,3918x2,1097x7,1796 322  
01,110x7,1796x7,2821x0,3191 23  
00345,0x5631,0x8843,0x 23  
Essa equação é do terceiro grau, com raízes: m2977,1x1  ; m4700,0x2  ; m0566,0x3  ; 
apenas a terceira raiz têm significado físico para a sapata, definindo a posição da linha neutra: 
cm66,5m0566,0x  
 
e2) Verificação do domínio em que a sapata atingirá o estado limite último: 
A linha neutra correspondente ao limite entre os domínios 2 e 3 é dada por: 
m170,0655,0259,0d259,0x 23  
Como o valor encontrado é menor ( m0566,0x  ), a sapata estará trabalhando no domínio 2, e a 
tensão na armadura (CA-50) será a de escoamento:yds ff  . 
 
e3) Cálculo da armadura 
A armadura pode ser encontrada a partir do equilíbrio das forças de compressão (concreto) e 
tração (armadura), conforme a expressão 10, com os seguintes valores: 818,07,50cotcot o  ; 
ap = 0,20 +0,05 +0,05 = 0,30 m; m0566,0x  ; MPa20fck  ; CA-50 (fyk = 50 kN/m
2): 
  cotx512,0x64,0a
f
f
A 2p
yd
cd
s 
  22s cm01,4818,00566,0512,00566,064,030,015,1/50
4,1/20000A  
Essa armadura deve ser distribuída na largura da sapata (130 cm), e podem ser empregadas, por 
exemplo, barras com os seguintes diâmetros: 
 = 6,3 mm  53,1232,0/01,4n   13 barras 
espaçamento (t): cm1013/130t   adota-se  = 6,3 mm c/10 cm 
 = 8 mm  20,85,0/01,4n   8 barras 
espaçamento (t): cm25,168/130t   adota-se  = 8 mm c/15 cm 
 
f) Cálculo do momento solicitante na seção TT (Figura 14) 
Agora deve ser calculado o momento solicitante, com a equação 11, na seção TT da sapata 
(direção da maior dimensão, Figura 14), com ap = 0,20 m (dimensão do pilar perpendicular à 
seção TT, situada na face maior do mesmo), a = 1,3 m (dimensão da sapata na direção em que se 
está calculando a armadura, portanto perpendicular à direção da seção TT),  = 100 kN/m2 (igual 
à tensão admissível do solo) e b = 2,6 m (largura da sapata na direção da seção TT). 
mkN33,39
8
)2,03,1(1006,2
8
)aa(
b
2
kkbM
22
p
TT 



 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
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 20 
g) Determinação da armadura necessária 
 
g1) Cálculo da posição da linha neutra 
Usando o esquema das Figuras 9 e 10 e as equações da seção 3.3.4 tem-se: 
 Forças de compressão devida à parcela retangular da seção (equação 5): 
x4572
4,1
2000080,0x8,05,0f80,0x8,0bF cdp1c  
sendo bp = 50 cm (dimensão do pilar na direção TT acrescida dos dois dentes cm505240  ). 
 Forças de compressão devida à parcela triangular da seção (equação 6): 
22
cd
2
2c x126684,1
20000732,1x512,0fcotx512,0F  
sendo 732,130cotcot o  (nessa direção, a inclinação da sapata é 30º). 
 Momento (resistente) devido à Fc1 (equação 7): 
2
1c11cF x8,1828x7,2994)x4,0655,0(x4572)x4,0d(FzFM 1c  
 Momento (resistente) devido à Fc2 (equação 8): 
322
2c22cF x3,6756x5,8297x8,03
2655,0x12668x8,0
3
2dFzFM
2c





 




  
 O momento resistente total deve ser igual ao momento solicitante de cálculo, ou seja: 
dFF MMM 2C1C  
33,394,1x3,6756x5,8297x8,1828x7,2994 322  
01,55x7,2994x7,6468x3,6756 23  
00082,0x4432,0x9574,0x 23  
A equação acima, do terceiro grau, tem raízes: m295,1x1  ; m355,0x2  ; m018,0x3  ; 
apenas a terceira raiz têm significado físico para a sapata, definindo a posição da linha neutra: 
cm80,1m018,0x  
 
g2) Verificação do domínio em que a sapata atingirá o estado limite último: 
A linha neutra correspondente ao limite entre os domínios 2 e 3 é dada por: 
m170,0655,0259,0d259,0x 23  
Como o valor encontrado é menor ( m018,0x  ), a sapata estará trabalhando no domínio 2, e a 
tensão na armadura (CA-50) será a de escoamento: yds ff  . 
 
g3) Cálculo da armadura 
A armadura pode ser encontrada a partir do equilíbrio das forças de compressão no concreto e 
tração na armadura, conforme a expressão 10, com os seguintes valores: m0180,0x  ; 
732,130cotcot o  ; bp = 0,40 + 0,05 + 0,05 =0,50 m; MPa20fck  ; CA-50: 
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 21 
  cotx512,0x64,0b)f/f(A 2pydcds 
  22s cm99,1732,10180,0512,00180,064,050,015,1/50
4,1/20000A  
Essa armadura deve ser distribuída na largura da sapata (260 cm); com barras de diâmetro 
6,3 mm resulta: 
 = 6,3 mm  2,632,0/99,1n   7 barras  espaçamento (t): cm1,377/260t  
Deve ser empregada armadura mínima de  = 6,3 mm c/20 cm. 
 
Na Figura 15 está indicado o detalhamento da armadura da sapata. 
 
130
130
26
0
CORTE SS
S S
T
T
PLANTA
260
CORTE TT
N2Ø6,3-122
14N1Ø6,3 c/20 14N2Ø6,3 c/20
112 256
N1Ø6,3 -266
14N2Ø6,3 c/20 1
4N
 1
Ø
6,
3 
c/
10
14N1Ø6,3 c/20
14
N
2Ø
6,
3 
c/
20
N2
espera do pilar
N1
 
Figura 15. Detalhe em planta da armadura principal da sapata. 
 
EXEMPLO 3 
Calcular e detalhar uma fundação superficial para o prédio em alvenaria estrutural com o esquema 
da Figura 16. Dados: paredes de espessura de 20 cm acabadas; peso específico dos blocos das 
paredes igual a 20 kN/m3; peso próprio das lajes pré-fabricadas (piso e forro) igual a 2 kN/m2; 
carga acidental no piso 2 kN/m2, e no forro 1 kN/m2; revestimentos no piso 1 kN/m2, e no forro 
0,5 kN/m2; tensão admissível do solo 2m/kN110 ; fck = 20 MPa; aço CA-50. 
 
direção da laje
30
0
30
0
30
0
30
0
420 420
PLANTAELEVAÇÃO
direção da laje
400 400
20 20 20
 
Figura 16. Elevação e planta do prédio em alvenaria estrutural do exemplo 3. 
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 22 
a) Escolha do tipo de fundação 
Pela característica da alvenaria estrutural as ações se apresentam no pavimento térreo distribuídas 
linearmente ao longo das paredes. Assim, a fundação adequada é sapata corrida; a mais solicitada 
é a central. 
 
b) Ações na sapata 
b1) ação das lajes do forro na parede central 
 
Peso próprio: m/kN4,8
2
2,4
2
2,40,2 





 
Revestimentos: m/kN1,2
2
2,4
2
2,45,0 





 
Carga acidental: m/kN2,4
2
2,4
2
2,40,1 





 
Total: 14,7 kN/m 
 
b2) Ação das lajes do piso na parede central (3 pavimentos) 
 
Peso próprio: m/kN2,25
2
2,4
2
2,430,2 





 
Revestimentos: m/kN6,12
2
2,4
2
2,430,1 





 
Carga acidental: m/kN2,25
2
2,4
2
2,430,2 





 
Total: 63,0 kN/m 
 
b3) Ação das paredes (4 alturas de parede): peso próprio = m/kN0,4840,320,020  
 
b4) Ação total uniformemente distribuída na sapata, desprezando o peso próprio: 
m/kN7,1250,480,637,14p  
 
c) Dimensionamento da sapata 
Como se trata de sapata corrida o cálculo será feito para uma faixa de comprimento de 1m, 
portanto com uma força N = 125,7 kN. A dimensão b da largura da sapata fica: 
s1b
N


  m143,1
1110
7,125Nb
s




  adotada sapata com largura b = 1,15 m. 
A altura da sapata pode ser determinada da mesma maneira que nos exemplos anteriores, usando 
um ângulo de 300 na face lateral e 10 cm para o valor de h0. 
m374,030tg
2
)20,015,1(
10,0h 0 

  adotado h = 0,375 m. 
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 23 
Verificação, segundo a NBR 6118:2003, se a sapata é rígida: 
m32,03/)2,015,1(3/)bb(m375,0h p   é, portanto, sapata rígida. 
Considerando cobrimento de 4 cm, o uso de barra de  = 8 mm, e observando que neste caso a 
armadura principal será colocada apenas na direção menor, chega-se a uma altura útil de: 
m331,0008,05,004,0375,0d  
As dimensões encontradas para a sapata corrida da parede central são as da Figura 17. 
 
115
CORTE SS PLANTA CORTE TT
S S
T
T
300
115
h =10
0
37,5 37,5
parede
parede20
 
Figura 17. Elevaçãoe planta da sapata do exemplo 3. 
 
d) Verificação da compressão diagonal do concreto (seção na face da parede) 
Como foi usado um ângulo de 300 não há risco de punção, precisando apenas verificar para uma 
faixa de um metro se não há o esmagamento do concreto junto à face da parede. A força cortante 
na face da parede (pois é sapata corrida, diferente da anterior) para um comprimento de 1,0 m e 
altura útil de 0,331 m fica: 
m/kN92,51
2
20,015,11
115,1
7,125V 










 

 (reação do solo). 
Ou, a favor da segurança m/kN85,621)2/7,125(V  (ação da parede em uma face da 
sapata). 
2d
Sd m/kN60,219331,000,1
92,514,1
d00,1
V





  ou 2dSd m/kN83,265331,000,1
85,624,1
d00,1
V





  
2
cdv2Rd m/kN35484,1
2000092,027,0f27,0  
com 92,0
250
201
250
f
1 ckv  
Como a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo é menor que a tensão de cisalhamento 
resistente de cálculo  2RdSd  , em qualquer situação, a compressão diagonal está verificada. 
 
e) Cálculo do momento na seção junto à face da parede para uma largura de 1,0 m 
Com a expressão 11, e conforme a Figura 17, sendo ap = 0,20 m (nesse caso é a largura da 
parede), a = 1,15 m (largura da sapata), 2m/kN110 , b = 1,0 m (comprimento unitário), 
determina-se o momento na face da parede, para o qual será calculada a armadura: 
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 24 
m/mkN41,12
2
)]2/)0215,1[(1100,1
2
]2/)aa[(
b
2
kbM
22
p
2
s 



 
 
f) Determinação da armadura 
A determinação da armadura de flexão, por metro de comprimento, é feita agora diretamente, 
pois a região comprimida de concreto é retangular. Assim, é possível usar as tabelas de 
dimensionamento de flexão. 
011,0
4,1
20000331,01
41,124,1
fdb
MKMD
2cd
2
d 




 (KMD = 0,011, KZ = 0,9236, s = 1%, fs = fyd). 
A armadura por metro de comprimento fica: 
m/cm31,1
15,1
50331,09236,0
41,124,1
fdKZ
MA 2
yd
d
s 




 ( = 6,3 mm c/24 cm). 
 
Será empregada nas duas direções uma armadura de  = 6,3 mm a cada 20 cm como indicado na 
Figura 18. 
 
115
CORTE SS PLANTA CORTE TT
S S
T
T
115
parede
parede
20
N1Ø6,3 -120
107
N2Ø6,3
5N2Ø6,3 -corrido
N1Ø6,3 c/20
N
2Ø
6,
3 
-c
/2
0
N2Ø6,3 -corrido
N1Ø6,3
 
Figura 18. Detalhe da armação da sapata do exemplo 3. 
 
Observações: 
 Para um cobrimento maior na extremidade das barras longitudinais, junto à face superior, 
pode-se usar para h0 15 a 20 cm. 
 Dependendo da geometria da sapata, como é o caso daquela do exemplo 2, é difícil a execução 
da parte inclinada (ângulos altos). 
 O detalhe adotado no exemplo 2 junto à parte superior da sapata, em que se deixou uma 
saliência de 5 cm, permite executar a forma do pilar de maneira mais fácil. 
 A norma brasileira recomenda que (item 22.4.4.1.2): “A sapata deve ter altura suficiente para 
permitir a ancoragem da armadura do pilar, podendo considerar-se o efeito favorável da 
compressão transversal nas barras de ancoragem devido a flexão da própria sapata”. Para 
sapatas mais baixas o melhor é usar uma armadura de espera em excesso para diminuir o 
comprimento de ancoragem. 
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 25 
3.4. Sapatas isoladas rígidas submetidas à carga excêntrica em uma direção 
Considera-se como excêntrica uma sapata em que a carga atuante não passa pelo seu 
centro de gravidade, o que ocorre, por exemplo, em casos de pilares próximos de divisas de 
terrenos, pilares deslocados do centro da mesma ou em pilares também com momentos. Há duas 
maneiras de representar estes efeitos: a atuação de uma carga vertical e um momento ou com uma 
carga vertical e o momento substituído por uma excentricidade equivalente (Figura 19). 
O cálculo é feito praticamente da mesma maneira que para o caso das sapatas com cargas 
centradas. A principal diferença está em que, devido à excentricidade, resultam distribuições de 
tensões no solo não uniformes sob a base da sapata; entretanto, para efeitos práticos, em sapatas 
rígidas, essas tensões podem ser tomadas com variação linear, como é mostrado na Figura 19. 
 Nota-se ainda que existem duas possibilidades de distribuição das tensões: uma que em 
toda a área da sapata há tensões de compressão (a parte superior da figura) e outra em que há 
uma região com tensões de tração no solo e que deve ser desprezada, pois o solo não tem 
resistência à tração (parte inferior da figura); dessa forma, no primeiro caso a distribuição de 
tensões no solo é trapezoidal e no segundo a distribuição é triangular. 
 
 
Figura 19. Sapatas submetidas a cargas excêntricas e tensões no solo. 
 
3.4.1. Determinação das tensões no solo 
 
a) Situação em que toda a área da base da sapata está em contato com o solo 
Neste caso, em uma sapata sob uma carga N com uma excentricidade e (distância entre o 
ponto de aplicação da carga e o centro de gravidade da seção) em uma direção, esquematizada na 
Figura 20, a distribuição de tensões no solo é somente de compressão e tem a forma trapezoidal, 
com uma tensão máxima ( máx ) e uma tensão mínima ( mín ). 
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 26 
A tensão normal de compressão em um ponto qualquer da sapata é dada pela resistência 
dos materiais através da expressão: 
 
x
I
M
A
N
 (12) 
Em que I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo y (com origem no centro da 
sapata) e A a área da base da sapata. 
 
 
Figura 20. Sapata rígida submetida a uma carga com pequena excentricidade. 
 
Substituindo na equação baA  ; eNM  ; 
12
abI
3
 , resulta: 
 
x
ab
eN12
ba
N
3 



 (13) 
 
As tensões de compressão (aqui admitidas positivas) máxima ( máx ) e mínima ( mín ) são 
obtidas com o valor máximo de x, ou seja, para 2/ax  e, portanto: 
 
2minmax, ab
eN6
ba
N




 (14) 
 
A expressão para as tensões máxima e mínima tem validade para tensão mínima positiva 
(tensão de compressão) ou nula, pois não é possível que se produzam tensões de tração no solo. 
Para que elas não ocorram, deve-se ter, no limite, 0min  . A tensão máxima de compressão na 
borda da sapata, por segurança, deverá ser limitada à tensão admissível do solo: 
 
admmax  
 
 Quando a distribuição da tensão no solo é linear e variável, a norma de fundações permite 
usar admmax 3,1  
 
b) Situação em que apenas parte da base da sapata está em contato com o solo 
 A situação limite para que comece ocorrer tração em uma sapata (nesse caso apenas uma 
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 27 
parte da base da sapata estará em contato com o solo) é obtida igualando a tensão mínima da 
expressão 14 a zero (tração aqui é considerada negativa) ou seja: 
0min   0ab
eN6
ba
N
2 



  2ab
eN6
ba
N




  
6
ae  
 
Portanto, quando e  a/6 ou e  b/6 (no outro sentido), não haverá tensões de tração; a 
área da sapata delimitada por [ )6/a(e)6/a(  ; )6/b(e)6/b(  ], é chamada de núcleo 
central (parte hachurada na Figura 21). 
 
 
Figura 21. Núcleo central de umasapata retangular de lados a × b. 
 
Quando a força normal N tiver que passar fora do núcleo central, a distribuição de tensões 
no solo será triangular, pois não é possível haver tração (Figura 22) e a expressão 13 para 
determinação das tensões máxima e mínima não mais poderá ser aplicada; deve-se adotar outro 
procedimento. 
 
 
Figura 22. Sapata com carga excêntrica e distribuição triangular de tensões. 
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 28 
Admite-se então que a sapata tenha um comprimento fictício af (af  h) para efeito de 
cálculo das tensões no solo (a parte onde haveria tração é desprezada), de modo que toda a 
reação do solo R atue na região comprimida; o equilíbrio entre a força aplicada N e a resultante R 
das tensões na sapata impõe que elas sejam iguais e com a mesma linha de ação (Figura 22). 
A partir da geometria da Figura 22 pode-se escrever: e
3
a
2
a f  
 





  e
2
a3a f (15) 
 
em que N/Me  . 
A nova tensão de compressão na borda ( 'a ) pode ser encontrada a partir da resultante 
das tensões de compressão no solo R e pelo fato de que, por equilíbrio R = N: 
2
baR f
'
a   N
2
ba f
'
a 
 
 
ba
N2
f
'
a 

 (16) 
 
Também aqui, para que haja segurança, a nova tensão máxima na borda da sapata deverá 
ser limitada à tensão admissível do solo, ou seja, adm
'
a  . 
 
3.4.2. Verificação das tensões no concreto 
 Para evitar a verificação de tração diagonal (punção) basta considerar o ângulo de 
inclinação da sapata próximo de 30º, como já visto; contudo é necessário verificar a compressão 
diagonal no concreto, e para isso é preciso considerar a força cortante V resultante das tensões 
de compressão mais críticas (as tensões sob a sapata não são uniformes), atuantes na face 
correspondente do pilar, por exemplo, na região 1-2-3-4 indicada na Figura 23, e então aplicar a 
expressão 4, substituindo nela o perímetro do pilar pela dimensão da face em questão do pilar. 
 
 
Figura 23. Sapata com carga excêntrica e região de verificação da compressão diagonal. 
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 29 
 Uma maneira simples de calcular essa força cortante é pela verificação de que, em uma 
superfície qualquer submetida a um estado de tensões normais com variação linear, a tensão 
normal  em um ponto qualquer da superfície, a uma distância y da origem, é dada por 
(Figura 24): 
yk0  com h
tank 0s

 
Da mesma maneira, para o baricentro, posicionado a uma distância ycg da origem, tem-se: 
cg0cg yk  
 
 
Figura 24. Tensões normais em uma superfície qualquer. 
 
A resultante dessa distribuição de tensões, por definição, pode ser encontrada pelo 
produto da tensão em cada ponto por um elemento de área, estendido a toda a superfície, ou seja: 
 
A
dAR 
Substituindo o valor de  na expressão acima, sabendo-se que 
A
dA é a área A da 
superfície resulta: 
   
A
0
AA
0
AA
0
A
0 dAykAdAykdAdAykdAdAykR 
Multiplicando o segundo termo da expressão pela relação 


A
A
dA
dA obtém-se: 





 


A
A
A
0
A
A
A
0 dA
dA
dAy
kA
dA
dA
dAykAR 
A relação 

 
A
A
dA
dAy define a posição ycg do centro de gravidade (baricentro) de uma 
superfície, resultando: 
  
A
cg0cg0cg0 ykAAykAdAykAR 
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 30 
Como cgcg0 yk  tem-se finalmente: 
 
cgAR  (17) 
 
O resultado permite concluir que em uma superfície qualquer submetida a um estado de 
tensões normais com variação linear, a força resultante é encontrada multiplicando a área dessa 
superfície pelo valor da tensão normal que ocorre no baricentro da mesma. 
 
EXEMPLO 4 
Calcular a armadura de flexão de uma sapata isolada quadrada de base com lado de 2,50 m 
submetida a uma força de N = 600 kN e um momento M = 100kN m (Figura 25). Dados: tensão 
admissível no solo 150 kN/m2; fck = 20 MPa; aço CA-50; cobrimento 4 cm; pilar quadrado de 
lado 30 cm. 
 
a) Verificação da tensão no solo 
Como neste caso as dimensões da base da sapata já foram dadas deve-se apenas verificar se a 
tensão no solo está abaixo da admissível. Inicialmente calcula-se a excentricidade da carga: 
m17,0
006
010
N
Me  
O vértice do núcleo central é obtido por: 
m416,0
6
05,2
6
axnc  
Como ncxe  todo o solo sob a sapata está comprimido, e pode ser empregada a expressão 14: 
2
22min,máx m/kN)4,3896(5,25,2
17,06006
5,25,2
600
ab
eN6
ab
N










 
 





compressão0m/kN6,57
m/kN150m/kN4,134
2
min
22
máx 
 
b) Determinação da altura total e altura útil da sapata 
Adotando cm10h 0  e fazendo o ângulo da inclinação  da face lateral da sapata igual a 30º 
(Figura 20), resulta: 
2/)3,05,2(
10,0h
2/)aa(
hh30tantan
p
0





  m735,0h  
Verificação da condição de sapata rígida (expressão 1): 
m733,03/)3,05,2(3/)aa(h p  
Assim adota-se cm5,73h  . Com o cobrimento de 4 cm e admitindo diâmetro de 10 mm para as 
barras da armadura de flexão (armadura em duas direções), resulta para a altura útil: 
)m068,0(cm685,55,7315,14hd  
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 31 
As dimensões da sapata estão indicadas na Figura 25. 
 
 
Figura 25. Dimensões da sapata do exemplo 4. 
 
c) Verificação das tensões no concreto 
Como a sapata é rígida não é preciso verificar a tração diagonal. Em relação ao concreto é 
preciso apenas verificar a compressão diagonal. Para tanto deve ser calculada a resultante V das 
tensões que atuam na região 1-2-3-4 da sapata, e para isso é necessária a tensão no centro de 
gravidade da região. 
O centro de gravidade da região 1-2-3-4 pode ser obtido de acordo com a Figura 26. A região 
é um trapézio, que para efeito de cálculo pode ser dividido em um retângulo e dois triângulos. 
Admitindo origem na face do pilar, resulta: 
m694,0
2
10,110,1210,13,0
2
10,1)3/2(10,110,1
255,010,130,0
x cg 



 
 
 
Figura 26. Região 1-2-3-4 da sapata para verificação da compressão diagonal. 
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 32 
A tensão no centro de gravidade da região, que dista do centro da sapata de 
)m15,0m694,0(m844,0  , pode ser obtida com a expressão 12 (ou 13), ou seja: 
x
I
M
A
N
  2
3cgcg
m/kN1222696844,0
12/5,25,2
100
5,25,2
600x
I
M
A
N




 
Ou, de outra maneira, por relações geométricas (semelhança de triângulos): 
250
)x15125()( cgmínmáx
míncg


2
cg m/kN1223,646,57250
)4,6915125()6,574,134(6,57  
A força cortante na região pode ser obtida pela equação 17, multiplicando a área da região pela 
tensão no seu centro de gravidade: 
cgAR   kN18812210,12
)30,050,2(
AV cg 

 
Agora pode ser feita a verificação da compressão diagonal do concreto na face mais solicitada do 
pilar (mesma direção da dimensão b da sapata):2
p
d
Sd m/kN129868,030,0
1884,1
db
V





  
2
cdv2Rd m/kN35484,1
2000092,027,0f27,0  
com 92,0250/201250/f1 ckv  
Como a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo é menor que a tensão de cisalhamento 
resistente de cálculo  2RdSd  a compressão diagonal está verificada. 
 
d) Cálculo do momento solicitante 
Para o cálculo do momento solicitante na seção da face do pilar (direção do lado b da sapata) e 
para a largura de 2,5 m (Figura 27) deve-se antes determinar a tensão nessa seção (equação 13), 
observando que a face do pilar tem como coordenada 0,15 m em relação ao centro da sapata: 
2
3S m/kN6,10015,05,25,2
12100
5,25,2
600





 
Ou, por relações geométricas: 
2
S m/kN6,1000,436,57250
)15125()6,574,134(6,57  
O momento fletor em S é então, conforme a Figura 27, lembrando que 2máx m/kN4,134 : 
3
k2
2
k)(b
2
kbM smáx
2
ss

 
mkN24,186)633,13863,60(50,2
3
10,1)6,1004,134(
2
10,16,10050,2M
22
s 
















 
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 33 
S
S
110
s
máx
M
N
250 cm
 
Figura 27. Esquema para o cálculo do momento fletor na seção S do exemplo 4. 
 
e) Determinação da armadura necessária 
 
e1) Cálculo da posição da linha neutra 
Empregando diretamente a equação 9 com cot 30º = 1,732, d = 0,68 m, bp = 0,30 m (lado do 
pilar na direção da dimensão b da sapata), M = 186,24 kNm e fck = 20 MPa resulta: 
0f/M]x)db64,0(x)b256,0cotd512,0(x)cot273,0[( cddp
2
p
3  
0
20000
4,124,1864,1]x)68,030,064,0(x)30,0256,0732,168,0512,0(x)732,1273,0[( 23  
00183,0x1306,0x5262,0x4728,0 23  
00386,0x2762,0x1129,1x 23  
Essa equação do terceiro grau tem raízes: m3019,1x1  ; m2923,0x 2  ; m1033,0x 3  ; 
apenas a terceira raiz têm significado físico para a sapata, e assim fica definida a posição da linha 
neutra: 
cm33,10m1033,0x  
 
e2) Verificação do domínio em que a sapata atingirá o estado limite último: 
A linha neutra correspondente ao limite entre os domínios 2 e 3 é dada por: 
m176,068,0259,0d259,0x 23  
Como o valor encontrado é menor ( m1033,0x  ), a sapata estará trabalhando no domínio 2, e a 
tensão na armadura (CA-50) será a de escoamento: yds ff  . 
 
e3) Cálculo da armadura 
A armadura pode ser encontrada a partir do equilíbrio das forças de compressão no concreto e 
tração na armadura, conforme a expressão 10, com os seguintes valores: bp = 0,30 m; 
732,130cotcot o  ; m1033,0x  ; MPa20fck  ; CA-50 (fyk = 50 kN/m
2): 
  cotx512,0x64,0b)f/f(A 2pydcds 
  22s cm62,9732,11033,0512,01033,064,030,015,1/50
4,1/20000A  
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 34 
Essa armadura deve ser distribuída na largura da sapata (250 cm), e podem ser empregadas, por 
exemplo, barras com os seguintes diâmetros: 
 = 8 mm  24,195,0/62,9n   20 barras 
espaçamento (t): cm5,1220/250t   adota-se  = 8 mm c/12,5 cm 
 = 10 mm  128,0/62,9n   12 barras 
espaçamento (t): cm8,2012/250t   adota-se  = 10 mm c/20 cm 
 
EXEMPLO 5 
Calcular a armadura longitudinal de uma sapata isolada de base quadrada com lado de 2,50 m 
submetida a uma força N = 600 kN e a um momento M = 270 kN m. Dados: tensão admissível no 
solo de 200 kN/m2; fck = 20 MPa; aço CA-50; cobrimento de 4 cm; pilar quadrado de lado 30 cm. 
 
a) Verificação da tensão no solo 
Também aqui as dimensões da base da sapata já foram dadas e deve-se apenas verificar se a 
tensão no solo está abaixo da admissível. Inicialmente calcula-se a excentricidade da carga: 
m45,0
006
027
N
Me  
O vértice do núcleo central é obtido por: 
m416,0
6
05,2
6
axnc  
Como ncxe  nem todo o solo sob a sapata está comprimido, e não pode ser empregada a 
expressão 14. As tensões devem ser calculadas considerando que apenas uma parte da sapata está 
em contato com o solo, com as expressões 15 e 16. 
m40,245,0
2
5,23e
2
a3a f 




 




  
s
2
f
'
a m/kN20050,240,2
6002
ba
N2






 
 
b) Determinação da altura total e altura útil da sapata (igual ao exemplo 4) 
Adotando inicialmente cm10h 0  e fazendo o ângulo da inclinação da face lateral da sapata 
igual a 300 (Figura 28): 
2/)3,05,2(
10,0h
2/)aa(
hh
30tantan
p
0
0 




  m735,0h  
Verificação da condição de sapata rígida (expressão 1): 
m733,03/)3,05,2(3/)aa(h p  
Assim adota-se cm5,73h  . Com o cobrimento de 4 cm e admitindo diâmetro de 10 mm para as 
barras da armadura de flexão, resulta para a altura útil: 
)m68,0(cm685,55,7315,14hd  
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 35 
As dimensões da sapata estão indicadas na Figura 28. 
 
 
Figura 28. Dimensões iniciais da sapata do exemplo 5. 
 
c) Verificação das tensões no concreto 
Como a sapata é rígida não é preciso verificar a tração diagonal. Em relação ao concreto é 
preciso apenas verificar a compressão diagonal. Para tanto, como no exemplo anterior, deve ser 
calculada a resultante V das tensões que atuam na região 1-2-3-4 da sapata, e para isso é 
necessária a tensão no centro de gravidade da região. 
O centro de gravidade da região 1-2-3-4 é o mesmo do exemplo anterior e pode ser obtido de 
acordo com a Figura 29. A região é um trapézio, que para efeito de cálculo pode ser dividido em 
um retângulo e dois triângulos. Admitindo origem na face do pilar, resulta: 
m694,0
2
10,110,1210,13,0
2
10,1)3/2(10,110,1255,010,130,0
x cg 



 
 
Figura 29. Região 1-2-3-4 da sapata para verificação da compressão diagonal. 
 
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 36 
A tensão no centro de gravidade da região, que dista do ponto onde a tensão é nula de 199,4 cm 
[240 – (110 – 69,4) = 199,4 cm], pode ser obtida por semelhança de triângulos (Figura 29): 
240
200
4,199
cg


  2cg m/kN2,166 
A força cortante na região pode ser obtida pela equação 17, multiplicando a área da região pela 
tensão no seu centro de gravidade: 
cgAR   kN2562,16610,12
)30,050,2(AV cg 

 
Agora é feita a verificação da compressão diagonal no concreto na face mais solicitada do pilar 
(direção da dimensão b da sapata): 
2
p
d
Sd m/kN175768,030,0
2564,1
db
V





  
2
cdv2Rd m/kN35484,1
2000092,027,0f27,0  
com 92,0250/201250/f1 ckv  
Como a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo é menor que a tensão de cisalhamento 
resistente de cálculo  2RdSd  a compressão diagonal está verificada. 
 
d) Cálculo do momento solicitante 
Para o cálculo do momento solicitante na seção da face do pilar e para a largura de 2,5 m 
(Figura 30) deve ser antes determinada a tensão (s) nessa mesma seção, que pode ser obtida 
observando novamente a proporcionalidade entre as tensões; a seção da face do pilar está a 
130 cm do ponto de tensão nula (240 – 110 = 130 cm, Figura 29), resultando: 
240
200
130
s 

  2s m/kN3,108 
O momento fletor em S é, conforme a Figura 30, lembrando que 2máx m/kN200: 
mkN3,256
3
1,1)3,108200()
2
1,13,108(50,2
3
k2
2
k)(b
2
kbM
22
smáx
2
ss 









 
S
S
110
s
máx
M
N
250 cm
 
Figura 30. Esquema para o cálculo do momento fletor na seção S do exemplo 5. 
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 37 
 
e) Determinação da armadura necessária 
 
e1) Cálculo da posição da linha neutra 
Empregando diretamente a equação 9 com cot 30º = 1,732, d = 0,68 m, bp = 0,30 m (direção da 
dimensão b da sapata), M = 256,3 kNm e fck = 20 MPa resulta: 
0f/M]x)db64,0(x)b256,0cotd512,0(x)cot273,0[( cddp
2
p
3  
0
20000
4,13,2564,1]x)68,030,064,0(x)30,0256,0732,168,0512,0(x)732,1273,0[( 23  
00251,0x1306,0x5262,0x4728,0 23  
00531,0x2762,0x1129,1x 23  
Essa equação do terceiro grau tem raízes: m2946,1x1  ; m3128,0x 2  ; m1311,0x 3  ; 
apenas a terceira raiz têm significado físico para a sapata, e assim a posição da linha neutra fica: 
m1311,0x  
 
e2) Verificação do domínio em que a sapata atingirá o estado limite último: 
A linha neutra correspondente ao limite entre os domínios 2 e 3 é dada por: 
m176,068,0259,0d259,0x 23  
Como o valor encontrado é menor ( m1311,0x  ), a sapata estará trabalhando no domínio 2, e a 
tensão na armadura (CA-50) será a de escoamento: yds ff  . 
 
e3) Cálculo da armadura 
A armadura pode ser encontrada a partir do equilíbrio das forças de compressão no concreto e 
tração na armadura, conforme a expressão 10, com os seguintes valores: 
bp = 0,30 m; 732,130cotcot o  ; m1311,0x  ; MPa20fck  ; CA-50 (fyk = 50 kN/m
2) 
  cotx512,0x64,0b)f/f(A 2pydcds 
  22s cm28,13732,11311,0512,01311,064,030,015,1/50
4,1/20000A  
Essa armadura deve ser distribuída na largura da sapata (250 cm), e podem ser empregadas, por 
exemplo, barras com os seguintes diâmetros: 
 = 8 mm  56,265,0/28,13n   27 barras 
Espaçamento (t): cm26,927/250t   adota-se  = 8 mm c/9,0 cm 
 = 10 mm  6,168,0/28,13n   17 barras 
Espaçamento (t): cm7,1417/250t   adota-se  = 10 mm c/15 cm 
 
 
 
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 38 
3.5. Sapata com carga excêntrica em duas direções 
Nas sapatas onde o ponto de aplicação da carga tem excentricidade que pode ser 
decomposta em duas direções ortogonais (ex, ey), a determinação das tensões no solo é mais 
complexa, pois a linha neutra é inclinada em relação aos planos de simetria da área da sapata. As 
expressões para o cálculo são diferentes para as diversas regiões em que a carga pode atuar. 
Existem regiões inclusive em que não é possível aplicação da carga, pois nesse caso a 
grande parte do solo abaixo da sapata estará sujeita a tensões de tração que, conforme já 
comentado, não são possíveis de ocorrer. 
Um meio de encontrar as tensões de compressão com carga excêntrica em duas direções é 
através de ábacos, onde em função do valor das excentricidades e das dimensões da sapata são 
encontrados parâmetros que possibilitam facilmente o cálculo dessas tensões. Esse procedimento 
pode ser encontrado em MONTOYA (1991). 
Outra possibilidade de cálculo das tensões no solo é utilizando expressões como as 
encontradas em MANNHEIN (1977), válidas para diversas regiões da sapata (Figura 31). A 
seguir elas são apresentadas para a carga agindo em cada uma dessas regiões. 
 
 
Figura 31. Regiões de aplicação da carga com excentricidades ex e ey [Mannhein (1977)]. 
 
Região 1: em todo o solo sob a sapata as tensões são de compressão. 





 





b
e6
a
e61
ba
N yx
max (18) 
 
Região 2: a carga não poderá ser aplicada nessa região. 
 
Região 3: nas equações,  é a inclinação da linha neutra em relação ao eixo y. 
22max s12b
s2b
tanb
N12





 (19) 
Com: 







 12
e
b
e
b
12
bs 2
y
2
y
 










y
x
es
e2a
2
3tan 
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 39 
Região 4: nas equações,  é a inclinação da linha neutra em relação ao eixo x. 
22max t12d
t2d
tana
N12





 (20) 
Com: 








 12
e
d
e
a
12
at 2
x
2
x
 








x
y
et
e2b
2
3tan 
 
Região 5: 
      

 23,221169,312
ba
N
max (21) 
Com: 
b
e
a
e yx  
 
3.6. Sapata com vigas de equilíbrio ou vigas alavanca. 
Vigas alavanca são utilizadas principalmente quando existem pilares próximos da divisa do 
terreno onde será executada a edificação, para evitar que haja o tombamento da sapata; são 
também chamadas de vigas de equilíbrio e ligam a sapata em questão a uma outra (sapatas 
associadas, Figura 32). Na verdade o cálculo das sapatas com vigas alavanca não introduz 
nenhum novo conceito aos até aqui estudados, a não ser a aplicação daqueles de 
dimensionamento de vigas sob flexão. Desta maneira será apenas feito um exemplo numérico que 
procurará apresentar o funcionamento deste elemento estrutural. 
 
 
Figura 32. Perspectiva de sapatas associadas com viga alavanca (PCC-2435 – EPUSP). 
 
EXEMPLO 6 
Dimensionar a sapata de divisa que deve suportar uma carga N = 1190 kN (aplicada pelo pilar 
P1) e a viga alavanca (Figura 33) em um solo com tensão admissível 2s m/kN500 . Dados: 
pilar P1 (30 cm  50 cm), pilar P2 (30 cm  80 cm), ho = 15 cm, aço CA-50, fck = 20 MPa, 
cobrimento de 3 cm. 
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 40 
25
395
P1(30x50)
P2(30x80)
Linha de divisa
30
 
Figura 33. Planta dos pilares, sapatas e viga alavanca do exemplo 6. 
 
a) Esquema estrutural, elevação e cortes das sapatas e da viga alavanca 
Para resolver este exemplo é preciso inicialmente definir o esquema estrutural do sistema, que 
está indicado na Figura 34. 
 
25
395
P1(30x50)
P2(30x80)
Linha de divisa
30
1190 kN
P1(30x50)
P2(30x80)
1190 kN
P1R RP2
ELEVAÇÃO
ESQUEMA ESTRUTURAL
Viga Alavanca
Sapata Sapata
A B
b
b/2
 
Figura 34. Planta, elevação e esquema estrutural do sistema do exemplo 6. 
 
Como a sapata embaixo do pilar P1 não pode avançar para o outro lado da divisa, os centros do 
pilar e da sapata não coincidem, havendo uma excentricidade e, portanto, um elevado momento 
na sapata. Para evitar essa flexão emprega-se a viga alavanca, que absorve o momento 
(Figura 34); a sapata da esquerda (divisa) trabalha sob uma carga centrada (RP1), mas de valor 
diferente do aplicado pelo pilar P1. 
 
b) Determinação das dimensões, em planta, da sapata sob o pilar P1 
 
b1) Pré-dimensionamento 
Com a tensão admissível do solo 2s m/kN005 e supondo sapata quadrada de lado b e carga 
centrada, devido à existência da viga alavanca, resulta para suas dimensões iniciais: 
m54,1
500
1190bkN/m 500
b
P 2
2solo   adotado m60,1b  
 
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 41 
b2) Cálculo da reação RP1 do solo no centro da sapata