Aula 5 - Sistemas Lineares

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5/8/2013
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Professora: Jossana Ferreira
Sistemas LinearesSistemas Lineares - Resolução
•Definição
•Sistemas lineares
•Representação matricial
•Solução de sistemas lineares
•Regra de Cramer
•Eliminação Gaussiana
•Sistema de equações lineares
•Conjunto de uma ou mais equações lineares com 
n incógnitas ou variáveis.
•Equação linear
•Exemplo
bxaxaxa nn =+++ ...2211 ℜ∈ b e ia
Linear Não 1025
Linear 1025
→=−
→=−
yx
yx
•Sistema de equações lineares
•Sistema linear (m equações, n incógnitas)









=+++++
=+++++
=+++++
mnmnjmimm
ininjiiii
nnjj
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
......
 
......
 
......
2211
2211
111212111
MMMMM
MMMMM
n1,2,...,j e ,...,2,1 == mi
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•Sistema de equações lineares
•Homogêneo
•Não homogêneo
•Sistemas equivalentes
•Apresentam o mesmo conjunto solução
•Solução
•Sequência de números tais que a equação é 
satisfeita (conjunto solução)
•Sistema possível (consistente)
•Única solução (determinado)
•Infinitas soluções (indeterminado)
•Sistema impossível (inconsistente)
•Não possui soluções
•Solução •Exemplo
i)
ii)
iii)



=
=
2y-x
3y-2x



=
=
2y-x
42y-2x



=
=
2y-x
32y-2x
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•Representação matricial
•Sistema de m equações com n incógnitas
•Que pode ser escrito na forma:





=+++
=+++
mnmnmm
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
...
 
...
2211
11212111
MMMM
BAx =
•Representação matricial
•Onde












=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211












=
nx
x
x
x
M
2
1












=
mb
b
b
B
M
2
1
Matriz dos coeficientes Matriz dos termosindependentes
Matriz das
incógnitas
•Representação matricial
•Matriz aumentada












=
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
Aa
M
L
MOMM
L
L
2
1
21
22221
11211
•Soluções utilizando a representação matricial
•Inversa da matriz dos coeficientes
•Regra de Cramer
•Eliminação Gaussiana
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•Inversa da matriz dos coeficientes
•Sistemas com n equações e n incógnitas
BAX =
BAX
BAIX
BAAXA
1
1
11
−
−
−−
=
=
=
•Inversa da matriz dos coeficientes
•Sistemas com n equações e n incógnitas
Exemplo:



=+
=+
3
12
yx
yx
•Regra de Cramer
•Solução do sistema dada por:
•Onde:
• A= determinante da matriz dos coeficientes
•Ai = matriz obtida da substituição dos elementos 
da i-ésima coluna de A pelos termos 
independentes
( ) n ..., 2, 1,i det
)det(
==
A
A
x ii
•Exemplo
i) 
ii)





=++
=+−
=−+
6
32
22
zyx
zyx
zyx





−=−
−=++
−=+
32
2
53
zy
zyx
zx
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•Eliminação Gaussiana
•Redução por linhas
Objetivo:










=
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
Aa










3
2
1
100
010
001
~
x
x
x
Aa
•Definição
•Conjunto de procedimentos que visam reduzir a 
matriz aumentada a ponto de visualizar o resultado
•Forma escalonada reduzida por linhas
•Numa linha não-nula, o primeiro número não-nulo 
da linha é 1 (Líder ou Pivô)
•Linhas nulas estão na parte inferior
•Para quaisquer duas linhas não-nulas o líder da 
inferior ocorre mais à direita
•Cada coluna que contém um líder tem zeros nas 
demais entradas










3
2
1
100
010
001
~
x
x
x
Aa
F
o
r
m
a
 
e
s
c
a
l
o
n
a
d
a
 
p
o
r
 
l
i
n
h
a
s
F
o
r
m
a
 
e
s
c
a
l
o
n
a
d
a
 
r
e
d
u
z
i
d
a
 
p
o
r
 
l
i
n
h
a
s
•Forma escalonada reduzida por linhas (única forma 
escalonada reduzida por linhas para cada matriz)
•Forma escalonada por linhas











 −
=
00000
00000
31000
10210
H











 −
=
00000
00000
31000
16210
H
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•Procedimento
� Identificar a coluna não-nula mais à 
esquerda
� Trocar linhas se necessário para obter um 
elemento não nulo no topo da coluna
� Obtenha o número 1 no topo
� Somar múltiplos da primeira linha às demais 
para obter zeros nos elementos abaixo
�Ignore a primeira linha e repita os passos 
anteriores
� Reduza a zero os elementos acima de cada 
líder (mesma coluna)
M
é
t
o
d
o
 
d
e
 
e
l
i
m
i
n
a
ç
ã
o
 
G
a
u
s
s
i
a
n
a
M
é
t
o
d
o
 
d
e
 
e
l
i
m
i
n
a
ç
ã
o
 
d
e
 
G
a
u
s
s
-
J
o
r
d
a
n
•Exemplo:





=−
=+
=+
0
1yz
0z-2y2x
yx
•Posto de uma matriz (característica)
•Tipo de solução do sistema linear
•Número de linhas não nulas na forma 
escalonada por linhas
•Ordem da maior submatriz possível com 
determinante diferente de zero 
•Teorema de Rouché-Capelli
•Sistema de equações lineares m equações e 
n icógnitas
•Pc→ Posto da matriz dos coeficientes
•Pa→ Posto da matriz ampliada
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•Teorema de Rouché-Capelli
Pc = Pa ?
Pc = Pa = n ?
SIM NÃO
Sistema Possível Sistema Impossível
SIM NÃO
Sistema Possível
Determinado
Sistema Possível
Indeterminado
•Exemplo
i)
ii)
iii)



=
=
2y-x
3y-2x



=
=
2y-x
42y-2x



=
=
2y-x
32y-2x
•Exemplo
i) 
ii)
iii)



=
=+
2c-d
32d-cb-2a





=++
=+−
=−+
6
32
22
zyx
zyx
zyx





−=−
−=++
−=+
32
2
53
zy
zyx
zx
iv) 
v)





=−+
=−+
=++
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx







=+−
=+++−−
=−+−
=+−
124
032
223
0322
eda
edcba
edb
cba
IMPORTANTE
•Saber identificar os tipos de sistemas lineares
•Saber solucionar qualquer sistemas linear
•Conhecer os métodos existentes de resolução de 
sistemas lineares
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