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Aula 2 - Operações elementares
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1/8/2013 1 Professora: Jossana Ferreira MatrizesMatrizes - Operações Elementares •Equivalência de matrizes •Operações elementares •Matriz elementar •Equivalência de matrizes - B ∼ A •Sistemas com a mesma solução •Obtenção em função de operações elementares = =+ =+ 431 321 43 32 A yx yx = =+ =+ 1293 1183 1293 1183 A yx yx = = =+ 110 642 1 642 A y yx = = 1 1 : y x Solução •Operações elementares i) Troca de duas linhas ii) Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um escalar diferente de zero iii) Substituição de uma linha pela soma dela própria com um múltiplo de outra linha 1/8/2013 2 •Operações elementares i) Troca de duas linhas Exemplo: L1⇔L4 −− −− = 2582 3104 1020 2231 A −− −− 2231 3104 1020 2582 ~A •Operações elementares ii) Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um escalar diferente de zero Exemplo: L2=3*L2 −− −− = 2582 3104 1020 2231 A −− −− 2582 3104 3060 2231 ~A •Operações elementares iii) Substituição de uma linha pela soma dela própria com um múltiplo de outra linha Exemplo: L3=L3+2L1 −− −− = 2582 3104 1020 2231 A −− +−+−++ −− 2582 2.23)2.(21)3.(201.24 1020 2231 ~A −− −− −− 2582 7366 1020 2231 ~A •Equivalência de matrizes •Exemplo −− − = 202 121 A −− −− = 202 242 1A −− −− = 440 242 2A L1=L1 x (-2) L2=L1 + L2 A2 ∼ A A1 ∼ A A2 ∼ A1 1/8/2013 3 •Matriz elementar - E •Matriz obtida com apenas uma operação elementar a partir da matriz Identidade = 100 010 001 I = 100 310 001 E L2=3L3+L2 •Equivalência de matrizes •Exemplo Operação: L3=L3-L1 Matriz Elementar ⇒ − −= 123 012 310 A − − 413 012 310 ~A = 100 010 001 I − = 101 010 001 E ?.AE •Equivalência de matrizes •Exemplo Operação: L3=L3-L1 − −= 123 012 310 A − − 413 012 310 ~A − − − = 123 012 310 . 101 010 001 .AE − −= 413 012 310 Exercícios 1) Quais dessa matrizes são elementares? = − −= = 1000 0130 0010 0001 , 100 010 001 , 01 01 CBA = −= = 10 11 , 010 012 100 , 0010 0100 1000 0001 FED 1/8/2013 4 2) Considere a matriz A e efetue as seguintes operações em sequência: 3) Como o exercício 2 poderia ser resolvido utilizando matrizes elementares? − − − = 23014 34523 02618 71402 A a)L2=L2+L1d)L2=L2-2L3 b)L3⇔L4 e)L4=L4+L1 c)L4=(-3)L4 f)L1=L1-5L2 IMPORTANTE •Saber identificar e aplicar as operações elementares em matrizes de qualquer dimensão jossana@ect.ufrn.br www.facebook.com/algebracomjo @AlgebraComJo
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