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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular F´ısica Cla´ssica Rafael, Suzana Bras´ılia, 1o semestre de 2009 Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Uniformemente Acelerado - MUA I A caracter´ıstica principal do MUA e´ o fato da acelerac¸a˜o se manter constante ao longo do tempo. I Se o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o forem paralelos recae-se no caso particular do movimento retil´ıneo uniformemente acelerado MRUA, anteriormente estudado. I Conhecidas as condic¸o˜es iniciais r(t) = r0 e v(t) = v0, admitindo-se que v0 e a na˜o sa˜o paralelas estas formam uma fam´ılia de planos paralelos, e caracterizam um movimento bidimensional. I O movimento estara´ contido no plano dessa fam´ılia que passa pela posic¸a˜o inicial r0. Toma-se enta˜o como a origem este plano. Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Uniformemente Acelerado - MUA I A caracter´ıstica principal do MUA e´ o fato da acelerac¸a˜o se manter constante ao longo do tempo. I Se o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o forem paralelos recae-se no caso particular do movimento retil´ıneo uniformemente acelerado MRUA, anteriormente estudado. I Conhecidas as condic¸o˜es iniciais r(t) = r0 e v(t) = v0, admitindo-se que v0 e a na˜o sa˜o paralelas estas formam uma fam´ılia de planos paralelos, e caracterizam um movimento bidimensional. I O movimento estara´ contido no plano dessa fam´ılia que passa pela posic¸a˜o inicial r0. Toma-se enta˜o como a origem este plano. Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Uniformemente Acelerado - MUA I Arbitrando-se um sistema de coordenadas cartesianas com o eixo y na direc¸a˜o da acelerac¸a˜o tem-se a = ajˆ I v0 = v0x iˆ + v0y jˆ I r0 = x0 iˆ + y0 jˆ I Este movimento bidimensional pode ser decomposto em um movimento uniforme na direc¸a˜o x e outro uniformemente acelerado na direc¸a˜o y Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Uniformemente Acelerado - MUA I As equac¸o˜es na forma vetorial para este caso sa˜o dadas por I v(t) = v0 + a(t − t0) I r(t) = r0 + v0(t − t0) + 12a(t − t0)2 I onde as componentes horizontais de v e r correspondem a`s equac¸oˆes para o MRU e as componentes verticais destes mesmos vetores correspondem a`s equac¸o˜es do MRUA I A trajeto´ria deste tipo de movimento tem a forma I y − y0 = ( v0y v0x ) (x − x0) + 1 2 a v20x (x − x0)2 I Exerc´ıcio: prove as equac¸o˜es acima a partir da definic¸a˜o do MUA e das relac¸o˜es entre acelerac¸a˜o, velocidade e posic¸a˜o. Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Uniformemente Acelerado - MUA I As equac¸o˜es na forma vetorial para este caso sa˜o dadas por I v(t) = v0 + a(t − t0) I r(t) = r0 + v0(t − t0) + 12a(t − t0)2 I onde as componentes horizontais de v e r correspondem a`s equac¸oˆes para o MRU e as componentes verticais destes mesmos vetores correspondem a`s equac¸o˜es do MRUA I A trajeto´ria deste tipo de movimento tem a forma I y − y0 = ( v0y v0x ) (x − x0) + 1 2 a v20x (x − x0)2 I Exerc´ıcio: prove as equac¸o˜es acima a partir da definic¸a˜o do MUA e das relac¸o˜es entre acelerac¸a˜o, velocidade e posic¸a˜o. Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento dos Proje´teis Adotando as hipo´teses de que a Terra e´ plana e a acelerac¸a˜o da gravidade e´ constante podemos aplicar as equac¸o˜es do MUA ao movimento de proje´teis. I Considerando uma velocidade inicial v0 in- clinada de um aˆngulo φ com a horizontal e a acelerac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo y , a = −g jˆ , onde g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravi- dade, temos: I vy = v0sin(φ)− gt e vx = v0cos(φ) I y = v0sin(φ)t − 12gt2 e x = v0cos(φ)t a equac¸a˜o da trajeto´ria fica sendo enta˜o y = tan(φ)x − gx 2 2v20 cos 2(φ) Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento dos Proje´teis Adotando as hipo´teses de que a Terra e´ plana e a acelerac¸a˜o da gravidade e´ constante podemos aplicar as equac¸o˜es do MUA ao movimento de proje´teis. I Considerando uma velocidade inicial v0 in- clinada de um aˆngulo φ com a horizontal e a acelerac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo y , a = −g jˆ , onde g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravi- dade, temos: I vy = v0sin(φ)− gt e vx = v0cos(φ) I y = v0sin(φ)t − 12gt2 e x = v0cos(φ)t a equac¸a˜o da trajeto´ria fica sendo enta˜o y = tan(φ)x − gx 2 2v20 cos 2(φ) Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Circular Uniforme - MCU I No MCU, a velocidade ins- tantaˆnea e´ sempre tangencial ao c´ırculo (que representa a trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo |v| = v na˜o varia com o tempo. I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade angular. I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ). I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω. Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Circular Uniforme - MCU I No MCU, a velocidade ins- tantaˆnea e´ sempre tangencial ao c´ırculo (que representa a trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo |v| = v na˜o varia com o tempo. I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade angular. I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ). I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω. Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Circular Uniforme - MCU I No MCU, a velocidade ins- tantaˆnea e´ sempre tangencial ao c´ırculo (que representa a trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo |v| = v na˜o varia com o tempo. I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade angular. I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ). I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω. Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica Movimento Uniformemente Acelerado - MUA Movimento Circular Movimento Circular Uniforme - MCU I No MCU, a velocidade ins- tantaˆnea e´ sempre tangencial ao c´ırculo (que representa a trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo |v| = v na˜o varia com o tempo. I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade angular. I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ). I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω. Rafael,Suzana
