Física Clássica Aula 5

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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
F´ısica Cla´ssica
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
I A caracter´ıstica principal do MUA e´ o fato da acelerac¸a˜o se
manter constante ao longo do tempo.
I Se o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o forem paralelos
recae-se no caso particular do movimento retil´ıneo
uniformemente acelerado MRUA, anteriormente estudado.
I Conhecidas as condic¸o˜es iniciais r(t) = r0 e v(t) = v0,
admitindo-se que v0 e a na˜o sa˜o paralelas estas formam uma
fam´ılia de planos paralelos, e caracterizam um movimento
bidimensional.
I O movimento estara´ contido no plano dessa fam´ılia que passa
pela posic¸a˜o inicial r0. Toma-se enta˜o como a origem este
plano.
Rafael,Suzana F´ısica Cla´ssica
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
I A caracter´ıstica principal do MUA e´ o fato da acelerac¸a˜o se
manter constante ao longo do tempo.
I Se o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o forem paralelos
recae-se no caso particular do movimento retil´ıneo
uniformemente acelerado MRUA, anteriormente estudado.
I Conhecidas as condic¸o˜es iniciais r(t) = r0 e v(t) = v0,
admitindo-se que v0 e a na˜o sa˜o paralelas estas formam uma
fam´ılia de planos paralelos, e caracterizam um movimento
bidimensional.
I O movimento estara´ contido no plano dessa fam´ılia que passa
pela posic¸a˜o inicial r0. Toma-se enta˜o como a origem este
plano.
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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
I Arbitrando-se um sistema de
coordenadas cartesianas com o eixo
y na direc¸a˜o da acelerac¸a˜o tem-se
a = ajˆ
I v0 = v0x iˆ + v0y jˆ
I r0 = x0 iˆ + y0 jˆ
I Este movimento bidimensional
pode ser decomposto em um
movimento uniforme na direc¸a˜o x e
outro uniformemente acelerado na
direc¸a˜o y
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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
I As equac¸o˜es na forma vetorial para este caso sa˜o dadas por
I v(t) = v0 + a(t − t0)
I r(t) = r0 + v0(t − t0) + 12a(t − t0)2
I onde as componentes horizontais de v e r correspondem a`s
equac¸oˆes para o MRU e as componentes verticais destes
mesmos vetores correspondem a`s equac¸o˜es do MRUA
I A trajeto´ria deste tipo de movimento tem a forma
I y − y0 =
(
v0y
v0x
)
(x − x0) + 1
2
a
v20x
(x − x0)2
I Exerc´ıcio: prove as equac¸o˜es acima a partir da definic¸a˜o do
MUA e das relac¸o˜es entre acelerac¸a˜o, velocidade e posic¸a˜o.
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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
I As equac¸o˜es na forma vetorial para este caso sa˜o dadas por
I v(t) = v0 + a(t − t0)
I r(t) = r0 + v0(t − t0) + 12a(t − t0)2
I onde as componentes horizontais de v e r correspondem a`s
equac¸oˆes para o MRU e as componentes verticais destes
mesmos vetores correspondem a`s equac¸o˜es do MRUA
I A trajeto´ria deste tipo de movimento tem a forma
I y − y0 =
(
v0y
v0x
)
(x − x0) + 1
2
a
v20x
(x − x0)2
I Exerc´ıcio: prove as equac¸o˜es acima a partir da definic¸a˜o do
MUA e das relac¸o˜es entre acelerac¸a˜o, velocidade e posic¸a˜o.
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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento dos Proje´teis
Adotando as hipo´teses de que a Terra e´ plana e a acelerac¸a˜o da
gravidade e´ constante podemos aplicar as equac¸o˜es do MUA ao
movimento de proje´teis.
I Considerando uma velocidade inicial v0 in-
clinada de um aˆngulo φ com a horizontal e
a acelerac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo y , a = −g jˆ ,
onde g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravi-
dade, temos:
I vy = v0sin(φ)− gt e vx = v0cos(φ)
I y = v0sin(φ)t − 12gt2 e x = v0cos(φ)t
a equac¸a˜o da trajeto´ria fica sendo enta˜o y = tan(φ)x − gx
2
2v20 cos
2(φ)
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Movimento Circular
Movimento dos Proje´teis
Adotando as hipo´teses de que a Terra e´ plana e a acelerac¸a˜o da
gravidade e´ constante podemos aplicar as equac¸o˜es do MUA ao
movimento de proje´teis.
I Considerando uma velocidade inicial v0 in-
clinada de um aˆngulo φ com a horizontal e
a acelerac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo y , a = −g jˆ ,
onde g e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravi-
dade, temos:
I vy = v0sin(φ)− gt e vx = v0cos(φ)
I y = v0sin(φ)t − 12gt2 e x = v0cos(φ)t
a equac¸a˜o da trajeto´ria fica sendo enta˜o y = tan(φ)x − gx
2
2v20 cos
2(φ)
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Movimento Circular
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Movimento Circular Uniforme - MCU
I No MCU, a velocidade ins-
tantaˆnea e´ sempre tangencial
ao c´ırculo (que representa a
trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo
|v| = v na˜o varia com o tempo.
I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU
s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o
φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade
angular.
I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando
v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo
a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ).
I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para
uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω.
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Movimento Circular
Movimento Circular Uniforme - MCU
I No MCU, a velocidade ins-
tantaˆnea e´ sempre tangencial
ao c´ırculo (que representa a
trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo
|v| = v na˜o varia com o tempo.
I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU
s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o
φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade
angular.
I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando
v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo
a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ).
I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para
uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω.
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Movimento Circular
Movimento Circular Uniforme - MCU
I No MCU, a velocidade ins-
tantaˆnea e´ sempre tangencial
ao c´ırculo (que representa a
trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo
|v| = v na˜o varia com o tempo.
I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU
s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o
φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade
angular.
I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando
v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo
a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ).
I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para
uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω.
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Movimento Circular
Movimento Circular Uniforme - MCU
I No MCU, a velocidade ins-
tantaˆnea e´ sempre tangencial
ao c´ırculo (que representa a
trajeto´ria), pore´m seu mo´dulo
|v| = v na˜o varia com o tempo.
I Como na˜o ha´ variac¸a˜o em v temos um MRU
s(t)− s0 = v(t − t0). Por definic¸a˜o
φ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e´ a velocidade
angular.
I Decompondo r(t) = r(cosφiˆ + sinφjˆ), derivando
v(t) = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ) e derivando de novo
a(t) = −rω2(cosφiˆ + sinφjˆ).
I Exerc´ıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo para
uma volta e´ T = 2pir/v = 2pi/ω.
Rafael,SuzanaF´ısica Cla´ssica
Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Coordenadas polares
I Devido a sua simetria cil´ındrica, o MCU e´ mais facilmente
descrito usando um sistema de coordenadas curvil´ıneo, as
coordenadas polares.
I Neste sistema de coordenadas, especificamos a posic¸a˜o de um
ponto no plano especificando o mo´dulo do vetor r e o seu
aˆngulo com o eixo x .
I Da mesma forma que no sistema cartesiano, podemos definir
dois vetores unita´rios nas direc¸o˜es radial rˆ = r/r e φˆ, que e´
perpendicular a rˆ e tangente ao c´ırculo.
I Observe que no MCU
v = v φˆ = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ)⇒ φˆ = − sinφiˆ + cosφjˆ .
I Da mesma forma
r = r rˆ = r(cosφiˆ + sinφjˆ)⇒ rˆ = cosφiˆ + sinφjˆ
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Movimento Circular
Coordenadas polares
I Devido a sua simetria cil´ındrica, o MCU e´ mais facilmente
descrito usando um sistema de coordenadas curvil´ıneo, as
coordenadas polares.
I Neste sistema de coordenadas, especificamos a posic¸a˜o de um
ponto no plano especificando o mo´dulo do vetor r e o seu
aˆngulo com o eixo x .
I Da mesma forma que no sistema cartesiano, podemos definir
dois vetores unita´rios nas direc¸o˜es radial rˆ = r/r e φˆ, que e´
perpendicular a rˆ e tangente ao c´ırculo.
I Observe que no MCU
v = v φˆ = rω(− sinφiˆ + cosφjˆ)⇒ φˆ = − sinφiˆ + cosφjˆ .
I Da mesma forma
r = r rˆ = r(cosφiˆ + sinφjˆ)⇒ rˆ = cosφiˆ + sinφjˆ
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Movimento Uniformemente Acelerado - MUA
Movimento Circular
Acelerac¸a˜o Tangencial e Normal
I No Movimento circular na˜o-uniforme, a velocidade
instantaˆnea e´ sempre tangente ao c´ırculo, pore´m seu mo´dulo e
direc¸a˜o variam ao longo do tempo. Exerc´ıcio: Usando a
definic¸a˜o de rˆ , mostre que ω(t)φˆ =
drˆ
dt
, onde ω(t) = dφ/dt.
Calcule d φˆ/dt.
I Como
dv
dt
6= 0⇒ dv
dt
=
d(v φˆ)
dt
=
dv
dt
φˆ+ v
d φˆ
dt
= ar rˆ + aφφˆ.
I Acelerac¸a˜o em um movimento circular qualquer:
I a = ar rˆ + aφφˆ
I ar = −ω2r = −r(dφ
dt
)2 = −v
2
r
(prove isto!)
I aφ = αr = −r d
2φ
dt2
=
dv
dt
(isto tambe´m!)
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Acelerac¸a˜o Tangencial e Normal
I No Movimento circular na˜o-uniforme, a velocidade
instantaˆnea e´ sempre tangente ao c´ırculo, pore´m seu mo´dulo e
direc¸a˜o variam ao longo do tempo. Exerc´ıcio: Usando a
definic¸a˜o de rˆ , mostre que ω(t)φˆ =
drˆ
dt
, onde ω(t) = dφ/dt.
Calcule d φˆ/dt.
I Como
dv
dt
6= 0⇒ dv
dt
=
d(v φˆ)
dt
=
dv
dt
φˆ+ v
d φˆ
dt
= ar rˆ + aφφˆ.
I Acelerac¸a˜o em um movimento circular qualquer:
I a = ar rˆ + aφφˆ
I ar = −ω2r = −r(dφ
dt
)2 = −v
2
r
(prove isto!)
I aφ = αr = −r d
2φ
dt2
=
dv
dt
(isto tambe´m!)
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Movimento Circular
Acelerac¸a˜o Tangencial e Normal
I No Movimento circular na˜o-uniforme, a velocidade
instantaˆnea e´ sempre tangente ao c´ırculo, pore´m seu mo´dulo e
direc¸a˜o variam ao longo do tempo. Exerc´ıcio: Usando a
definic¸a˜o de rˆ , mostre que ω(t)φˆ =
drˆ
dt
, onde ω(t) = dφ/dt.
Calcule d φˆ/dt.
I Como
dv
dt
6= 0⇒ dv
dt
=
d(v φˆ)
dt
=
dv
dt
φˆ+ v
d φˆ
dt
= ar rˆ + aφφˆ.
I Acelerac¸a˜o em um movimento circular qualquer:
I a = ar rˆ + aφφˆ
I ar = −ω2r = −r(dφ
dt
)2 = −v
2
r
(prove isto!)
I aφ = αr = −r d
2φ
dt2
=
dv
dt
(isto tambe´m!)
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