Flexao Normal Obliqua

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Flexão composta normal e oblíqua – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
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FLEXÃO COMPOSTA NORMAL E OBLÍQUA 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Um elemento está submetido à flexão normal quando o momento atuante em uma seção 
transversal do mesmo tem a direção de um dos eixos centrais principais de inércia. Caso contrário 
tem-se a flexão obliqua. Eixos centrais são aqueles que passam pelo centro de gravidade (CG) da 
seção. As direções principais de inércia (são ortogonais entre si) são aquelas caracterizadas por 
terem o menor e o maior valores (extremos) de inércia da seção. Algumas definições são 
importantes para o melhor entendimento do assunto. 
Solicitações normais: são os esforços solicitantes que produzem tensões normais (de tração ou 
de compressão) nas seções transversais das peças estruturais; englobam o momento fletor e a 
força normal. Podem ser: tração centrada, compressão centrada, flexão normal simples, flexão 
normal composta, flexão oblíqua simples e flexão oblíqua composta. A flexão normal (simples ou 
composta) é também chamada de flexão reta, pois o plano do momento fletor é perpendicular à 
linha neutra. 
Tração ou compressão centrada: ocorre quando age apenas a força normal, aplicada no centro 
de gravidade (CG) da seção transversal. Na realidade esse tipo de solicitação não existe, pois não 
se pode garantir que a força esteja agindo exatamente no CG; sempre haverá excentricidades, 
chamadas de acidentais, conforme se verá no estudo de pilares. 
Flexão normal simples: ocorre em peças em que as seções transversais têm ao menos um eixo de 
simetria (inclusive a armadura) e apenas com momento fletor, agindo no plano de simetria 
(normal à linha neutra, cuja direção, nestes casos, é conhecida), ou seja o plano de atuação do 
momento fletor deve ser coincidente com o plano de simetria. 
Flexão normal composta: mesma situação da flexão normal simples (seções com um eixo de 
simetria, incluindo a armadura), mas com a atuação também de uma força normal, cujo ponto de 
aplicação deve estar sobre o eixo de simetria; é o caso típico que ocorre em pilares (Figura 1). 
Dependendo do sentido e intensidade da força e do momento, as fibras da seção podem estar 
somente comprimidas, somente tracionadas ou uma parte tracionada e outra comprimida (acima 
ou abaixo da linha neutra). 
 
 
Figura 1. Seção simétrica sob flexão composta com atuação de M e N. 
 
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Flexão oblíqua: nas estruturas de concreto armado, ocorre quando não se conhece, a priori, a 
direção da linha neutra (neste caso, ela não é perpendicular ao plano do carregamento); o plano 
de atuação do momento fletor não é perpendicular à linha neutra. Esta situação acontece quando 
(Figura 2): 
 as seções transversais não apresentam plano de simetria; 
 em seções em que a armadura não é simétrica; 
 em seções simétricas quanto à forma e armadura mas em que o plano de atuação do momento 
fletor não coincide com o plano de simetria da seção. 
Flexão composta oblíqua: quando na seção atuam momento fletor e força normal; neste caso o 
momento fletor pode ser representado através das excentricidades da força normal em relação ao 
centro de gravidade da seção (Figura 2). 
 
 
Figura 2. Seções em flexão oblíqua. 
 
Linha Neutra (LN): é a reta em que todos os pontos têm tensão nula; sua posição é de difícil 
determinação, e depende do tipo de flexão: 
 flexão normal composta: a direção da linha neutra é conhecida (perpendicular ao plano de 
simetria), e a única incógnita para fixar sua posição é a distância (x) em relação à fibra mais 
comprimida da seção; 
 flexão oblíqua: para determinação da posição da linha neutra é necessário conhecer sua 
distância em relação à fibra mais comprimida e também sua direção, ou seja, sua inclinação em 
relação à horizontal. 
Seja a seção transversal em forma de L dada na Figura 3. Para esta seção podem-se 
definir, em relação a dois eixos centrais ortogonais xc e yc, os momentos de inércia (ou de 
segunda ordem) e o produto de inércia: 
 
dAyI
A
2
cxc   (1) 
dAxI
A
2
cyc   (2) 
dAyxI
A
ccycxc,   (3) 
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 3 
y
x
x
x p
py
y
CG
O
ydA
dA
dAx
c
c
 
Figura 3. Seção transversal em forma de L com posição do centro de gravidade (CG), os 
eixos ortogonais xc e yc e os centrais principais de inércia xp e yp. 
 
A direção em que o produto de inércia Ixy é nulo diz-se que é uma direção principal de 
inércia. No caso da Figura 3 esta situação ocorre segundo as direções xp e yp, obtidas ao efetuar 
um giro de um ângulo  nos eixos xc e yc. Por esta definição percebe-se que qualquer eixo de 
simetria é principal de inércia. 
Dessa forma, para a mesma seção em L da Figura 3 ao se aplicar um momento Ma com 
direção coincidente com yp tem-se uma flexão normal e com o momento Mb segundo o eixo xc 
tem-se uma flexão oblíqua (Figura 4). A determinação das direções principais nas seções de 
materiais que seguem a resistência dos materiais (é o caso do aço) é interessante, pois ao se 
aplicar momentos (vetores de seta dupla) segundo uma destas direções as equações se simplificam 
e a posição da linha neutra fica determinada imediatamente, normal ao plano de carregamento. 
Assim se tem uma flexão normal, podendo-se afirmar, também, que a deformação se dá segundo 
o plano do carregamento. 
 
y
x
x
xp
py
y
CG
O
Ma
bM
c
c
 
Figura 4. Seção transversal em forma de L da figura 3 submetida a um momento Ma e a um 
momento Mb, gerando uma flexão normal e obliqua respectivamente. 
 
Para as seções de concreto armado não se pode, em princípio, aplicar diretamente os 
conceitos da resistência dos materiais em virtude da existência da armadura e da fissuração do 
concreto quando tracionado com tensões acima de sua resistência característica à tração. Em uma 
situação em que a peça de concreto armado esteja no estádio I (não há fissuras na região 
tracionada do concreto) valem as premissas anteriores para a seção homogeneizada, ou seja, a 
seção em que a armadura é considerada como participante e substituída por uma área equivalente 
de concreto ( )E/E(AA csseq,c  ). 
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No caso em que se analisa uma seção transversal próxima do colapso trabalhando apenas 
no domínio 5 (ver item 2.2) toda a seção de concreto está comprimida. Neste caso tem-se flexão 
normal ou oblíqua, porém composta, ou seja, com a atuação de uma força normal na seção. No 
caso geral da flexão (domínios 1, 2, 3, 4 e 4a) a forma da região tracionada do concreto pouco 
influencia na resistência, pois não é considerada resistente. 
Segundo SANTOS (1977, 1981) a flexão normal só ocorre quando, em uma seção em que 
exista pelo menos um eixo de simetria (seção de concreto e armadura), o plano de carregamento 
contém o eixo de simetria, ou seja, o plano de atuação do momento (indicado pelo vetor seta 
dupla) é perpendicular ao eixo de simetria; nas demais situações há flexão obliqua. 
A vantagem da flexão normal, no caso das seções de concreto armado, é a diminuição das 
equações envolvidas, o conhecimento da inclinação da linha neutra (perpendicular ao plano do 
carregamento) e a possibilidade de solução direta do cálculo do valor da armadura (a posição 
sempre é pré-determinada) para seções mais simples como, por exemplo, as seçõesretangulares. 
No caso da flexão oblíqua, como a direção da linha neutra, em princípio, não é conhecida, 
a solução analítica fica difícil, sendo na maioria das vezes obtida através de tentativas ou processo 
numérico. Para contornar esta dificuldade, quando não se dispõe de um programa de computador 
são usados ábacos (que são feitos paras seções mais simples e usuais) ou então processos 
aproximados. 
Aqui só serão estudadas as seções transversais retangulares mais usadas na prática e 
principalmente para pilares. Para esclarecer as diversas possibilidades de posição de linha neutra e 
vetor momento resolvem-se dois exemplos numéricos a seguir, usando-se para tanto as hipóteses: 
seções planas após a deformação permanecem planas; diagramas tensão x deformação 
característicos do concreto e aço os indicados pela NBR 6118:2003; e que há aderência entre aço 
e concreto. 
 
EXEMPLO 1 
Calcular a posição da linha neutra e os esforços no estado limite último que a seção da Figura 5 
resiste, admitindo que haverá em toda borda superior da seção uma deformação específica de 
compressão de 0,308% e uma deformação de tração de 1% em todo nível da armadura inferior As 
(a 3 cm da borda inferior). Cada barra de aço, de CA-50, tem área de 2 cm2, e o concreto tem 
fck = 20 MPa. 
 
x
_
_
y
30
3
3
3 3 3
20
=1%
=0,308%
L N
 
x
s
s
c
As´
sA
xdM
L N
O
Myd
 
Figura 5. Seção transversal retangular com armadura assimétrica em relação ao eixo 
vertical do exemplo 1 (cotas em cm). 
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Como foi estabelecido que a seção transversal após a deformação permanece plana, a posição da 
seção após a deformação fica definida pelas duas deformações dadas (c = 0,308% e s = 1%). 
Assim, por semelhança de triângulos, pode-se calcular a posição (x) da linha neutra: 
cm36,6)330(
308,1
308,0x  
Com o valor de x obtém-se o valor da força de compressão no concreto (considerando diagrama 
retangular de tensões no concreto): 
kN6,1230636,08,020,0
4,1
2000085,0x8,0bf85,0F wcdc  
Deformação do aço comprimido: 
%163,0)336,6(
36,6
308,0)3x(
x
c'
s 

 
A tensão na armadura comprimida é dada por: 
22'
ss
'
s cm/kN23,3400163,0)cm/kN(21000E  
Na armadura tracionada a tensão é igual à de escoamento, de cálculo: 
2
yds cm/k48,4315,1/50f´  
 
Assim os esforços resultantes serão: 
 Força normal (equilíbrio das forças nas armaduras e no concreto): 
088,26092,1366,12348,432323,34226,123FFFN s
'
scd  
O resultado indica que não há flexão composta, mas apenas flexão simples, sendo: 
cF – força resultante de compressão no concreto; 
'
sF – força resultante de compressão na armadura 
'
sA ; 
sF – força resultante de tração na armadura sA . 
 Momento em relação ao eixo x que passa pelo CG da seção (todas as forças, de 
compressão e tração, provocam momento com o mesmo sentido): 
)03,02/h(F)03,02/h(F)x4,02/h(FM s
'
scxd  
kNm14,63)03,015,0(48,436)03,015,0(23,344)0636,04,015,0(6,123M xd  
 Momento em relação ao eixo y que passa pelo CG da seção (apenas a segunda barra da 
armadura sA não possui uma que lhe seja simétrica; os demais momentos se anulam): 
kNm61,203,048,43203,0f
3
A
M yd
s
yd  
 
Neste caso tem-se a linha neutra paralela ao eixo principal de inércia x , mas o momento 
resultante é composto por Myd e Mxd (Figura 5) havendo, portanto, flexão obliqua por não existir 
simetria da armadura em relação ao eixo y . 
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EXEMPLO 2 
Calcular a posição da linha neutra e os esforços no estado limite último que a seção da Figura 6 
(mesma do exemplo 1) resiste, agora com a armadura inferior As também simétrica em relação ao 
eixo y (a segunda barra está sobre esse eixo) e com as mesmas hipóteses vistas no exemplo 1. 
 
x
_ O
_
y
30
3
3
3 3
20
=1%
=0,308%
L N
 
x
s
s
c
As´
sA
NL
MxdO
 
Figura 6. Seção transversal retangular, do exemplo 2, com armadura simétrica em relação 
aos eixos x e y com origem no CG da seção (cotas em cm). 
 
A posição da linha neutra, o valor da força normal e do momento Mxd são os mesmos 
encontrados no exemplo 1 ( cm36,6x  , 0Nd  e kNm14,63M xd  ). 
Como a segunda barra de As está sobre o eixo y , a distância entre ela (ou a força que nela atua) e 
esse eixo é nula e, portanto, Myd = 0. Nesse caso o momento de cálculo resultante, para a mesma 
linha neutra do problema anterior, é apenas o momento Mxd mostrado na Figura 6, com o vetor 
momento paralelo à direção de um eixo principal, tratando-se, pois, de flexão normal. 
 
Observações: 
 Embora tenha sido usado o diagrama retangular para o cálculo da força resultante no concreto, 
pode-se perfeitamente usar o diagrama parábola-retângulo que é o mais empregado na 
confecção de ábacos. 
 A seção apresentada na Figura 4 em forma de L, por não possuir nenhum eixo de simetria, se 
de concreto armado, estará submetida sempre à flexão obliqua, embora se feita de outro 
material (como aço) que siga as leis da resistência dos materiais poderá estar sujeita à flexão 
normal. 
 
 Uma situação corriqueira de flexão obliqua ocorre nas terças de telhados de barracões de 
concreto como exemplifica a Figura 7. Para dar caimento nas telhas e permitir o escoamento de 
água pluvial o pórtico é feito com a trave superior inclinada (corte AA da Figura 7). A terça, 
elemento longitudinal que serve de apoio das telhas, se apóia em geral diretamente na trave 
superior dos pórticos. No corte AA mostra-se a terça se apoiando na trave superior do pórtico, e 
no detalhe 1 esquematiza-se um trecho da terça submetida às ações de seu peso próprio e do peso 
das telhas que estão em um plano , que por conter ações gravitacionais está na direção vertical. 
Os eixos principais de inércia x e y da seção (neste caso de simetria) estão inclinados de  e y está 
contido no plano . 
 
 
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atuante
carregamento M y
xM
Trave do pórtico
y
x
Terça
DETALHE 1
Detalhe 1
Terças
Pórtico
Telhas
CORTE AA
A
A
Pórticos
Terças
PLANTA
Telhas
 
Figura 7. Terça de cobertura de um barracão de concreto. 
 
O fato de  e  serem planos distintos faz com que surja a flexão oblíqua que resultará em 
uma linha neutra não mais perpendicular (normal) ao plano de carregamento (será oblíqua), pelo 
menos para armadura simétrica como, por exemplo, concentrada nos vértices da seção. Neste 
caso é comum decompor-se o momento atuante na seção em duas componentes segundo os eixos 
x e y (momentos Mx e My respectivamente). 
 
 
2. CONCEITOS BÁSICOS 
 Para se entender o estudo de seções submetidas à flexão composta ou oblíqua, é 
importante recapitular algumas definições e as hipóteses básicas do cálculo à flexão simples bem 
como os domínios de deformação que caracterizam as peças que atingem o estado limite último. 
 
2.1. Hipóteses básicas para o cálculo de peças fletidas 
 As hipóteses para o cálculo no estado-limite último estão no item 4.1.1.1 da 
NBR 6118:2003, tendo como princípio básico desconsiderar a resistência à tração do concreto: 
a) As seções transversais permanecem planas após o início da deformação e até o estado limite 
último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua distância à linha neutra da 
seção (hipótesede Bernoulli); 
b) Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a armadura; 
a deformação específica de uma barra da armadura é igual à do concreto adjacente. 
c) A ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado-limite último fica 
caracterizada quando o aço, ou o concreto, ou ambos, atingem suas deformações específicas 
de ruptura (ou últimas): 
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Encurtamentos últimos (máximos) do concreto: no estado-limite último o encurtamento 
específico de ruptura do concreto vale: 
 cu = 3,510-3 (3,5‰) nas seções não inteiramente comprimidas (flexão); 
 cu = 2,010-3 (2,0‰) a 3,510-3 (3,5‰) nas seções inteiramente comprimidas. 
Alongamento último das armaduras: o alongamento máximo permitido ao longo da 
armadura tracionada é: 
 su = 10,010-3 (10,0‰) para prevenir deformação plástica excessiva. 
d) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama 
parábola-retângulo da Figura 8, com base no diagrama tensão-deformação simplificado do 
concreto (NBR 6118:2003, item 8.2.4); permite-se a substituição do diagrama parábola-
retângulo por um retângulo de altura x8,0  (x é a profundidade da linha neutra) com a 
seguinte tensão: 
 cckcd /)f85,0(f85,0   zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no 
sentido das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra; 
 cckcd /)f80,0(f80,0   zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das 
fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra. 
 
 
Figura 8. Diagramas de deformações e tensões no concreto no estado-limite último. 
 
e) As tensões no aço são dadas de acordo com o diagrama da Figura 9. 
 
 
Figura 9. Diagramas de tensões no aço 
 
0,85fcd 
ou 
0,80fcd 
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2.2. Domínios de deformação 
 Conforme já explicitado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no 
estado-limite último fica caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do 
aço, que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos (máximos) das deformações específicas 
desses materiais. 
Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção 
transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida a ações normais, definem 
seis (6) domínios de deformação esquematizados na Figura 10. Os domínios representam as 
diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par de deformações específicas de cálculo cd e 
sd correspondem um esforço normal, se existir, e um momento fletor atuantes na seção, 
caracterizando situações desde tração uniforme até compressão uniforme. 
 
 
Figura 10. Domínios de deformação (ad. da Figura 17.1 da NBR 6118:2003). 
 
Para determinar a resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é preciso saber em 
qual domínio está situado o diagrama de deformações específicas de cálculo dos materiais. A reta 
“a” e os domínios 1 e 2 correspondem ao estado limite último por deformação plástica excessiva 
(aço com alongamento máximo); os domínios 3, 4, 4a, 5 e reta “b” correspondem ao estado limite 
último por ruptura (ruptura do concreto). 
 
Reta a: tração uniforme com s = 10‰, c = 10‰; x (a resultante das tensões atua no 
centro de gravidade da armadura - todas as fibras têm a mesma deformação de tração). 
 
Domínio 1: tração composta (tração com pequena excentricidade - as deformações de tração são 
diferentes em cada fibra) em toda a seção: 
 Início: s = 10‰ e c = 10‰; x ; 
 Término: s = 10‰ e c = 0; x1 = 0; 
 Estado limite último caracterizado pela deformação s = 10‰; 
 A linha neutra é externa à seção transversal. 
 
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Domínio 2: Flexão simples ou composta (tração ou compressão com grande excentricidade) sem 
ruptura do concreto à compressão (c  3,5‰): 
 Início: s = 10‰ e c = 0: x1 = 0; 
 Término: s = 10‰ e c = 3,5‰: d259,0xx 2  ; 
 Estado limite último caracterizado pela deformação s = 10‰ (grandes deformações); 
 A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão). 
 
Domínio 3: Flexão simples (subarmada) ou composta (tração ou compressão com grande 
excentricidade) com ruptura à compressão do concreto e escoamento do aço: 
 Início: s = 10‰ e c = 3,5‰: d259,0xx 2  ; 
 Término: s = yd (deformação específica de escoamento do aço) e c = 3,5‰: x = x3; 
 A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão): na fronteira entre os domínios 
3 e 4, sua altura (x = x3) é variável com o tipo de aço; 
 A ruína se dá com aviso (grandes deformações). 
 
Domínio 4: flexão simples (superarmada) ou composta (compressão com grande excentricidade), 
com ruptura à compressão do concreto e sem escoamento do aço: 
 Início: s = yd e c = 3,5‰: x = x3; 
 Término: s = 0 e c = 3,5‰: x = x4 = d; 
 Estado limite último caracterizado por c = 3,5‰ (deformação de ruptura do concreto); 
 A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão); 
 A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe sem que a armadura atinja sua 
deformação de escoamento (não há grandes deformações do aço nem fissuração do concreto 
que sirvam de advertência). 
 
Domínio 5: compressão simples (uniforme) ou composta (com pequena excentricidade), com 
ruptura do concreto e encurtamento da armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam 
de advertência, caracterizando ruptura é frágil): 
 Início: s  0 e c = 3,5‰: x = x4a = h; 
 Término: s = 2,0‰ (compressão), c = 2,0‰:  5xx ; 
 Estado limite último caracterizado por c = 3,5‰ (na flexo-compressão) a c = 2,0‰ (na 
compressão uniforme); 
 O ponto C está distante (3/7)h da borda mais comprimida; 
 A linha neutra não corta a seção transversal, que está inteiramente comprimida. 
 
Reta b: compressão uniforme com s = 2 ‰, c = 2 ‰;  5xx . 
 
Resumindo, a partir da característica de cada um dos domínios, é possível ocorrer as 
seguintes solicitações, conforme esquematizado na Figura 11 (adota-se: compressão  sinal 
positivo; tração  sinal negativo): 
 flexo-compressão: domínios 2, 3, 4, 4a e 5; 
 flexo-tração: domínios 1, 2, 3, 4; 
 compressão uniforme: reta b; 
 tração uniforme: reta a. 
 
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Figura 11. Possibilidades de flexão composta em uma seção e domínios correspondentes. 
 
 
3. FLEXÃO COMPOSTA NORMAL (FLEXÃO RETA) 
 
3.1. Considerações iniciais 
 Como já visto, a flexão normal composta caracteriza-se pela ação simultânea de uma força 
normal e um momento fletor, cujo plano de ação é perpendicular (vetor seta dupla) a um eixo de 
simetria da seção. 
Seja uma seção transversal genérica (Figura 12), em que y é um eixo principal de inércia 
(em geral, de simetria) e as armaduras As e 'sA estão dispostas simetricamente a este eixo. 
Aplicando-se na seção os diversos valores possíveis das deformações específicas do concreto (c) 
e do aço (s) pertencentes aos seis domínios de deformação, chega-se aos valores dos esforços 
resistentes de cálculo Nd e Md. É possível então fazer um gráfico de dd MN  , resultando em uma 
curva que tem a forma similar a da apresentada na Figura 12 (para uma certa quantidade de 
armadura, a cada par c, s corresponde um par de valoresresistentes Nd, Md). 
É importante destacar que se a quantidade de armadura for alterada (para a mesma seção), 
a curva dd MN  também será alterada, porém terá forma semelhante à anterior (se a quantidade 
de armadura for menor, a nova curva estará contida na anterior, e se for maior conterá a inicial), 
conforme também se indica na Figura 12. 
Outra característica interessante da curva de esforços resistentes é que, traçada uma linha 
reta no plano da figura, apenas três situações são possíveis: a reta não tem nenhum ponto em 
comum com a curva (não a intercepta em nenhum ponto); a reta tangencia a curva em um único 
ponto; a reta intercepta a curva em dois pontos. Não há possibilidade de a reta cortar a curva em 
três ou mais pontos. Na verdade para as seções retangulares estas curvas são sempre convexas, o 
que possibilita o uso de processos simplificados. 
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a) seção genérica e domínios b) curva de esforços 
Figura 12. a) seção genérica em flexão composta (y é o eixo principal de inércia) e 
domínios; b) curva dos esforços resistentes para os diversos domínios 
 
Embora nas figuras anteriores os domínios tenham sido desenhados admitindo que a 
armadura inferior seja a tracionada (ou menos comprimida), considera-se, para efeito de cálculo 
dos esforços resistentes, os domínios com a armadura mais tracionada ocorrendo também na face 
superior. 
O problema de verificação ou dimensionamento da armadura no estado-limite último 
depende diretamente dos seguintes fatores: 
 forma da seção transversal; 
 equações características (constitutivas) do aço e do concreto (diagramas tensão-deformação, 
NBR 6118:2003); 
 equação de compatibilidade de deformações (domínios); 
 equações de equilíbrio de forças e momentos (duas no caso de flexão normal composta); 
 distribuição da armadura na seção transversal do elemento. 
A distribuição da armadura na seção transversal deve ser feita de maneira que conduza ao 
menor consumo de aço. Para se conseguir isso é preciso considerar em que direção está atuando 
o momento e sua intensidade em relação à força normal. Quando a seção está submetida somente 
a uma força normal de compressão, por exemplo, torna-se interessante distribuir as barras da 
armadura ao longo de todo o perímetro da mesma, o que não ocorre se houver também um 
momento atuando. 
Da mesma maneira que no caso das vigas, normalmente submetidas à flexão simples, 
procura-se também aqui simplificar o problema, fixando o estudo em seções de formas mais 
comuns como retangulares, circulares e retangulares ocas. 
Só serão aqui estudadas as seções retangulares submetidas à flexão composta, admitindo 
que a armadura esteja distribuída nas faces opostas da seção que oferecem maior resistência ao 
momento fletor. Com estas hipóteses, existem duas possibilidades que devem ser analisadas: 
a) armadura não simétrica nas faces da seção; 
b) armaduras simétricas (a mesma quantidade em cada face). 
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 13 
No primeiro caso a quantidade de aço necessária para resistir aos esforços solicitantes é 
menor que no segundo, conforme pode ser visto em SANTOS (1981). Porém em muitas 
situações, especialmente no caso de pilares, muitos dos momentos atuantes (devidos à ação do 
vento, devidos aos efeitos de segunda ordem e erros de execução) têm apenas a direção definida e 
não seu sentido. Esta é a situação, por exemplo, de pilares que estão sujeitos de efeitos de 
segunda ordem (flambagem no caso), ação do vento e defeitos de execução. Não há como saber o 
sentido destes momentos, mas apenas a direção, como está representada na Figura 13. Nestas 
situações é preferível usar armadura simétrica, lembrando ainda que procedendo assim 
simplificam-se as operações de montagem, colocação e conferência da armadura. 
 Existem algumas situações em que é possível identificar não só a direção como o sentido 
do momento fletor. É o caso, por exemplo, de pilares de galpão sem articulação. As principais 
ações que ocorrem nesses elementos produzem uma tração na face externa do mesmo, até porque 
os esforços normais verticais são pequenos comparados aos momentos e, portanto, trata-se mais 
de uma viga do que um pilar. Assim, nestes casos é comum usar maior quantidade de armadura 
do lado externo do mesmo. 
 
a
SEÇÃO TRANSVERSAL NO MEIO DO VÃO
h
2
ae
(e)
P
Momento fletor de
defeito de execução P x e
P
e a
(e)
e 2
Momento fletor de
a ação do vento v x h /8
v
P
(b) (d)(c)(a)
2
e
P
segunda ordem P x e
Momento fletor de
v
 
Figura 13. Estruturas que tem flexão da seção do meio do vão com direção conhecida, 
porém, devido à característica da ação, o sentido não é conhecido a priori. 
 
3.2. Seções retangulares com armadura não simétrica em duas faces 
 
3.2.1. Preliminares 
Como já comentado, a curva de esforços resistentes da Figura 12 engloba todas as 
possibilidades de solicitação da seção submetida à flexão composta, desde a tração uniforme até a 
compressão uniforme. Dessa forma, a região da curva pode ser dividida em zonas que 
correspondam a cada uma das solicitações possíveis (forças) nas armaduras em cada face, 
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 14 
caracterizando cada situação de flexão composta. Resultam, assim, seis zonas, conforme indicado 
na Figura 14. Esse estudo pode ser visto em detalhes em SANTOS (1976) e SILVA JR. (1971), 
que desenvolvem todo o equacionamento do problema. 
Cada uma das zonas corresponde a um caso possível para as forças nas armaduras, 
conforme especificado a seguir, lembrando que sA é a armadura tracionada ou menos 
comprimida, e 'sA é a armadura comprimida ou menos tracionada: 
 Zona A: sA e 
'
sA comprimidas; 
 Zona B: 0As  e 
'
sA comprimida; 
 Zona C: sA tracionada e 
'
sA comprimida; 
 Zona D: sA tracionada e 0A
'
s  ; 
 Zona E: sA e 
'
sA tracionadas; 
 Zona O: 0As  e 0A
'
s  . 
 
 
Figura 14. Regiões (zonas) para as solicitações possíveis nas armaduras em cada face. 
 
Todas as situações indicadas estão incluídas nos domínios de deformação, e podem, como 
na flexão simples, ser resolvidas pelas equações de equilíbrio e de compatibilidade de 
deformações. Na zona O, teoricamente, não é necessária armadura e, portanto, deve ser colocada 
apenas armadura mínima. Assim conhecida uma posição de armadura e os esforços N e M 
verifica-se através de um gráfico como o apresentado na Figura 14 em que região do gráfico o 
ponto P, com ordenadas N e M, está e usam-se as fórmulas em questão (seção 3.2.3). 
 
3.2.2. Equacionamento para a zona A 
Como exemplo, apresenta-se o equacionamento que possibilita o cálculo de sA e A s
' 
referente à zona A, na qual as armaduras são ambas comprimidas. Pertencem portanto à zona A 
os domínios 4a e 5, cujas deformações configuram seções totalmente comprimidas (compressão 
uniforme ou não). 
O problema pode ser colocado da seguinte maneira: Calcular as armaduras As e As
' , 
comprimidas, para uma seção retangular, submetida à flexão composta, com ação de Nd e Md, 
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 15 
conhecidos (Figura 15): b, h, d, d’, fck, fyk. 
 
 
 
Figura 15. Seção retangular com armadura não simétrica, As e As' , comprimidas. 
 
Para a solução existem duas equações (equilíbrio de forças e de momentos) e três 
incógnitas ( As , A s
' e a posição x da linha neutra); o problema é indeterminado com infinitas 
soluções, pois a cada valor de x corresponde um valor para as deformações específicas s e 
s
' das armaduras e consequentemente para as quantidades de As e A s
' . Para que o problema 
tenha solução é necessário prefixar uma relação entre As e A s
' ou, o que é equivalente, 
escolher uma linha neutra compatível. O dimensionamento econômico (deformação máxima 
possível para o aço e o concreto) corresponde à reta b dos domínios de deformação, ou seja: 
 x    
 %2,0 (encurtamento uniforme em toda a seção - concreto e aço). 
 
Equações de equilíbrio: 
 
hbAAN css
'
s
'
sd  
 
1ss
''
s
'
sd eAeAM  
 
com: 
 cdc f85,0  
 s
'
s  (as tensões nas armaduras são iguais, pois as deformações o são) 
 1
' dd  (para fins práticos) 
 1
' ee  (para fins práticos) 
 
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 16 
Assim, as equações ficam: 
 
  ss'scdd AAhbf85,0N  
 
 s's1sd AAeM  
 
Dividindo agora a primeira equação por dbfcd  e a segunda por 
2
cd dbf  resulta: 
 
 s's
cd
s
cd
cd
cd
d AA
dbfdbf
hbf85,0
dbf
N








  














 db
A
db
A
fd
h85,0
dbf
N s
'
s
cd
s
cd
d 
 
 s's2
cd
1s
2
cd
d AA
dbf
e
dbf
M





  














 db
A
db
A
d
e
fdbf
M s
'
s1
cd
s
2
cd
d 
 
Fazendo finalmente: 
 
dbf
N
cd
d

 (valor adimensional referente à força normal) 
 2
cd
d
dbf
M

 (valor adimensional referente ao momento fletor) 
 
d
hkh  ; 
cd
s'
f

 ; 
db
A 's'

 ; 
db
As

 
 
 
h
2
h
2
h
12
h
1 k5,01
d
h5,01
d
d
d
dh
d
d
d
e






 
 
obtém-se um sistema com as equações de equilíbrio, na forma adimensional: 
 
  ''hk85,0 
 
    'h' k5,01 
 
Resolvendo o sistema encontram-se os valores de  e ’ que são as incógnitas (os 
demais termos das equações são conhecidos): 
 











 h
h
' k85,0k5,012
1 (4) 
 











 h
h
'
' k85,0
k5,012
1 (5) 
 
Encontrados  e ’ é possível obter as quantidades de armadura: 
 
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 17 
 
dbAs  (6) 
 
dbA ''s  (7) 
 
Caso particular: uma particularidade é quando a seção estiver submetida apenas à força normal 
Nd, caracterizando uma situação de compressão simples; nesse caso, 0 , resultando armadura 
simétrica, ou seja, 
 
 h'
' k
2
1


 (8) 
 
Limite entre as zonas A e B: a zona B se caracteriza por ter 0As  e 
'
sA comprimida; logo, 
ao se fazer 0 ( 0As  ) na equação (4), fica estabelecido o limite AB entre as zonas A e 
B, ou seja: 
 
0k85,0
k5,01
0 h
h
AB 








 
 
h
h
AB k85,0
k5,01


 
 
   hhAB k85,0k5,01  (9) 
 
Como na zona A adotou-se, para a solução do problema, 
 %2,0102 3'ssc  
ficam determinadas as tensões no concreto e na armadura: 
 
tensão no concreto: 
 
4,1
f
f ckcd  (seção totalmente comprimida - deformação limite no concreto é 0,2 %); 
 
tensão na armadura: 
 Aço: ydycd
yck
s ff15,1
f
 
As expressões para cálculo das armaduras referentes a todas as zonas, assim como as 
deformações no concreto e no aço, e as equações que definem os limites entre cada uma, estão 
relacionadas na próxima página. 
 
 
 
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 18 
3.2.3. Fórmulas para seções sob flexão composta normal com armaduras não simétricas 
 
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 19 
3.3. Seções retangulares com armadura simétrica em duas faces 
Neste caso, em que a armadura é simétrica em duas faces (Figura 16) o problema de 
dimensionamento pode ser resolvido fazendo-se o equilíbrio das forças e momentos na seção; as 
equações de equilíbrio são: 
 
 
 4,3,2,1
ci
n
1i
is,si
A
ci
n
1i
is,sid dAAdAAN
cc
 (10) 
 
ydAyAM
4,3,2,1
cii
n
1i
is,sid  

 (11) 
 
x
dM
y
L N
 x
s
s
c
A´ =s
sA
OO Nd
As
1 2
4 3xey
 0,8x
deformações tensão no concretoseção transversal
x
dN
OO
0,85 fcd cd0,80 f
0,85 fcd
dA
yi
As,i
ci ci
cici
s,iA
iy
dA
cd0,85 f
0,80 fcdcd0,85 f
seção transversal tensão no concretodeformações 
0,8x 
34
21
sA
As
sA´ =
c
s
s
x 
NL
y
x
 
Figura 16. Seção transversal com um eixo de simetria (y) e armadura simétrica submetida à 
flexão normal composta. 
 
É interessante notar que na Figura 16 representou-se a flexão normal de duas maneiras. A 
primeira através da força Nd e uma excentricida ey dada por: 
 
d
d
y N
Me  (12) 
 
 Na segunda representação a força Nd está aplicada no CG da seção e o momento é 
representado pelo um vetor seta dupla. Nas expressões 10 e 11 a integral é feita para a área 
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 20 
compreendida entre os pontos 1, 2, 3, e 4, ou seja, somente na região comprimida de concreto. A 
tensão ci corresponde à tensão no elemento de concreto de área infinitesimal dA, enquanto si 
é a tensão que ocorre no na armadura i. 
 
Observações: 
 as equações devem ser aplicadas para os diversos domínios de modo a encontrar em qual deles 
está a solução; 
 em algumas situações a posição da linha neutra fica mais fácil de ser determinada 
numericamente (tentativas); 
 a solução com equações pode ser evitada, utilizando ábacos que fornecem resultados 
satisfatórios e de maneira simples como, por exemplo, os encontrados em PINHEIRO (1994). 
 
3.4. Flexão composta com o uso de ábacos adimensionais para seções retangulares. 
A obtenção de ábacos adimensionais a partir das equações 10 e 11 é bastante simples: 
basta escolher o tipo de seção transversal como foi feito na Figura 12 (agora sendo uma seção 
retangular com armadura simétrica, Figura 17), em que y é um eixo de simetria e as armaduras As 
e 'sA são iguais e estão dispostas simetricamente a este eixo. Aplicando-se na seção os diversos 
valores possíveis das deformações específicas do concreto (c) e do aço (s) pertencentes aos seis 
domínios de deformação dados na Figura 10, chega-se aos valores dos esforços resistentes de 
cálculo Nd e Md. É possível então fazer um gráfico de dd MN  , ou então de  ×  (valores 
reduzidos adimensionais, conforme definição mais adiante), resultando em uma curva que tem 
forma similar a da apresentada na Figura 18 (para uma determinada quantidade de armadura,a 
cada par c, s corresponde um par de valores resistentes Nd, Md). 
 
x
y
h
d'
b
N
A´ =s
sA
xdM
d
d'
As
x
 
Figura 17. Seção retangular com armadura simétrica sob flexão normal composta. 
 
É importante destacar que se a quantidade de armadura for alterada (para a mesma seção), 
a curva dd MN  também será alterada, porém terá forma semelhante à anterior (se a quantidade 
de armadura for menor, a nova curva estará contida na anterior, e se for maior conterá a inicial), 
conforme também se indica na Figura 18. Deve-se ter apenas o cuidado de usar as variáveis em 
termos adimensionais, como é usual na análise de solicitações normais em seções de concreto 
armado, através dos esforços reduzidos , x e a taxa mecânica de armadura , definidos por: 
 
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 21 
cd
d
fhb
N

 (13) 
 
cd
2
xd
fhb
M

 (14) 
 
cd
yds
fhb
fA


 (15) 
 
Sendo: 
 b e h: dimensões da peça; 
 : forma adimensional da força normal; 
 x: forma adimensional da componente do momento na direção x; 
 : taxa mecânica de armadura em relação à área da seção. 
 
 
Figura 18. Ábaco de flexão normal composta (PINHEIRO [1994]). 
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 22 
4. FLEXÃO OBLÍQUA E COMPOSTA OBLÍQUA 
 
4.1. Considerações iniciais 
A flexo-compressão oblíqua é bastante comum em elementos de concreto armado, 
principalmente em pilares situados em cantos de pavimentos. Nas seções transversais dos 
elementos estruturais sujeitos à flexão obliqua, a linha neutra não é perpendicular ao plano de 
carregamento. Dessa maneira, a flexão composta normal é um caso particular de flexão composta 
oblíqua, ou seja, é uma flexão composta em que tem uma linha neutra particular. 
Na Figura 19 mostra-se uma seção transversal retangular submetido à flexão oblíqua 
(observa-se que mesmo seções simétricas, e até duplamente simétricas, podem sofrer flexão 
obliqua). No caso de pilares há interesse em estudar a flexão oblíqua composta, ou seja, com 
atuação também de uma força normal, geralmente de compressão. 
 
 
Figura 19. Seção retangular sob flexão oblíqua: deformações e tensões no concreto no 
estado-limite último. 
 
As grandezas apresentadas na Figura 19 têm o seguinte significado: 
 Mxd: componente do momento (Md) na direção de um eixo horizontal (x); 
 Myd: componente do momento (Md) na direção de um eixo vertical (y); 
 s1, s2, , sn: deformações específicas das barras de aço 1,2, , n; 
 xalfa: distância da linha neutra ao ponto mais comprimido ou menos tracionado, chamada de 
profundidade da linha neutra; 
 : ângulo de inclinação da linha neutra; 
 c: tensão máxima no concreto (normalmente igual a cdf85,0  ); 
 c: deformação específica máxima do concreto; 
 LN: linha neutra; 
 Nd: força normal de compressão. 
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 23 
A determinação da posição da linha neutra consiste em encontrar dois parâmetros 
geométricos: a profundidade xalfa e o ângulo  de inclinação em relação à horizontal. A resolução 
do sistema não linear de equações, resultante do equacionamento do problema requer grande 
esforço computacional, e a solução através de ábacos é um meio eficaz, preciso e simples para o 
cálculo de elementos estruturais submetidos à flexão oblíqua. 
A flexão oblíqua pode ser caracterizada pela geometria da seção transversal ou pelo tipo 
de solicitação. Assim, as seguintes situações devem ser analisadas: 
 seções geométricas sem eixo de simetria; 
 seções geométricas de concreto simétricas mas com armaduras longitudinais assimétricas; 
 seções geométricas inteiramente simétricas (concreto e armadura) mas com plano de atuação 
do momento fletor não coincidente com o plano de simetria da seção. 
Aqui só será abordado o último caso (seção e armaduras simétricas e solicitação oblíqua) 
em seções retangulares, que é o caso de maior importância prática. Nesta situação, na flexão 
composta oblíqua a peça está solicitada por um momento fletor de cálculo Md (Mdx, Mdy) e uma 
força normal Nd, e as armaduras são simétricas em relação aos eixos centrais da peça. Os ábacos 
geralmente são relativos apenas a esses casos que são os mais encontrados nas obras, por serem 
mais práticos e simples de executar. 
 
4.2. Hipóteses de cálculo 
 Na flexão oblíqua, também como na flexão composta, o estudo é fundamentado nos 
domínios de deformação do concreto e aço que, a partir das deformações limites, caracterizam o 
estado limite último, nos diagramas tensãodeformação convencionais e nas deformações limites 
do concreto e do aço. A diferença fica apenas na inclinação da linha neutra. 
 
4.3. Equações de equilíbrio 
 Em uma seção de concreto armado, no caso retangular, solicitada à flexão oblíqua, os 
esforços provenientes das ações externas aplicadas à estrutura (esforços solicitantes), devem ser 
resistidos pelos esforços internos que a estrutura pode proporcionar (esforços resistentes). 
 Nas situações de flexão oblíqua composta, o momento fletor solicitante de cálculo Md 
pode ser representado por suas duas componentes Mxd (plano de atuação do momento paralelo 
ao eixo x) e Myd (plano de atuação paralelo ao eixo y) referidas a um sistema de eixos ortogonais 
(x, y) paralelos aos lados do retângulo, e existe também a força normal Nd (Figura 20). 
 
x
y
h
d'
b
N
A´ =s
sA
xdM
d
d'
As
Myd
y
y
xd'
d'x
x
 
Figura 20. Momentos fletores atuantes em uma seção retangular sob flexão oblíqua. 
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 24 
A mesma seção pode também ser apresentada com a força normal Nd ocupando uma 
posição fora do centro da seção, com coordenadas ex e ey, e nesse caso: 
 
ydxd eNM  (16) 
xdyd eNM  (17) 
 
 Os esforços internos, para qualquer seção, são dados pelas integrais das tensões sobre a 
área da seção para o concreto e pela soma do produto da área de cada barra pela tensão 
correspondente, e os respectivos momentos: 
 
 

Acc cdsi
n
1i
sid dAσσAN (18) 
 

Acc cdsisi
n
1i
sixd dAyσyσAM (19) 
 

Acc cdsisi
n
1i
siyd dAxσxσAM (20) 
 
Em que: 
 ci: tensão do concreto em qualquer ponto da seção; 
 Asi: área das barras de aço; 
 si: tensão nas barras da armadura; 
 x, y: coordenadas do elemento dA; 
 xsi, ysi: coordenadas de cada barra; 
 n: número total de barras. 
 Essas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, como é usual na 
análise de solicitações normais em seções de concreto armado, através dos esforços reduzidos , 
x , y e da taxa mecânica de armadura : 
 
cd
d
fhb
N

 (21) 
cd
yds
fhb
fA
ω


 (22) 
h
e
ν
h
e
fhb
N
fhb
eN
fhb
M
µ yy
cd
d
cd
2
yd
cd
2
xd
x 





 (23) 
b
e
ν
b
e
fhb
N
fhb
eN
fhb
M
µ xx
cd
d
cd
2
xd
cd
2
yd
y 





 (24) 
 
 Para uma dada posição da linha neutra, as integrais são funções conhecidas, e os esforços 
internos podem ser obtidos resolvendo-se o sistema de equações por um processo numérico de 
integração, desde que sejam escolhidos adequadamente os limites de integração. 
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 25 
 A solução do sistema leva a expressões da forma indicadas a seguir, que relacionam os 
esforços internos (resistentes) com uma parcela devida à contribuição do concreto e outra devida 
à contribuição da armadura: 
 
scI  (25) 
xsxcxI  (26) 
ysycyI  (27) 
 
Em que: 
 I: esforço resistente adimensional referente à força normal; 
 c: parcela do esforço resistente adimensional, referente à força normal, devida ao concreto; 
 s: parcela do esforço resistente adimensional, referente à força normal, devida à armadura 
para uma taxa  unitária; 
 : taxa mecânica de armadura; 
 xI ,  yI: componentes adimensionais do momento fletor resistente nas direções x e y; 
 xc , yc , xs , ys: parcelas adimensionais correspondentes ao momento fletor resistente 
devidas ao concreto e à armadura nas direções x e y, respectivamente. 
 
4.4. Compatibilidade de deformações 
 No estudo de uma seção de concreto armado, além do equilíbrio entre esforços 
solicitantes e resistentes, é necessário impor a compatibilidade entre as deformações, com as 
hipóteses já conhecidas: manutenção da forma plana da seção transversal e solidariedade entre 
concreto e aço (no mesmo ponto sofrem deformações iguais). 
 As relações lineares, que possibilitam o cálculo das deformações em qualquer ponto da 
seção, são obtidas a partir das deformações limites do concreto e aço no estado limite último 
(domínios de deformações) e da posição da linha neutra (profundidade e inclinação em relação ao 
sistema de coordenadas x,y) que não é conhecida. 
 
4.5. Resolução do sistema e ábacos adimensionais 
 Para o dimensionamento de uma peça de seção retangular de concreto armado solicitada à 
flexão oblíqua é necessário resolver o sistema de equações de equilíbrio do item 4.3 a partir das 
deformações limites e da compatibilidade entre elas, ou seja, do conhecimento das deformações 
do concreto e do aço em qualquer ponto da seção. 
 As incógnitas do sistema de equações são: a ordenada onde a linha neutra corta o eixo de 
simetria da seção, a rotação  da linha neutra e a taxa mecânica da armadura. A solução do 
sistema, embora complicada, é possível utilizando-se um processo iterativo, bastante adequado 
para programação em computador. 
 No processo iterativo a posição da LN é encontrada por tentativas, de tal modo que a 
carga última (resistente) tenha excentricidades (ex, ey) iguais às da solicitação de cálculo Nd. 
 Definida a posição da LN, o cálculo das seções é usualmente feito empregando-se as 
superfícies de interação (são equivalentes aos diagramas de interação na flexão composta), que 
contém todas as relações entre os esforços resistentes para uma taxa e disposição de armadura 
definidas (Figura 21). 
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Flexão composta normal e oblíqua – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
 26 
 
 
 
Figura 21. Superfícies de interação (N, Mx, My). 
 
Estabelecida a seção de concreto e a disposição das barras, e variando-se as deformações 
do concreto (c) e do aço (s), de acordo com os domínios de deformação, os valores definem 
uma superfície de interação no espaço tridimensional (, x, y) que representa o critério de 
resistência da peça (fornece os valores dos esforços resistentes I, xI, yI, ou seja, qualquer 
ponto dessa superfície representa um estado-limite último para a peça retangular). Variando-se a 
quantidade de armadura pode ser obtido, para uma determinada seção, um conjunto de superfícies 
de interação. 
 A elaboração e utilização de diagramas em três dimensões são bastante difíceis e, para 
facilitar, os ábacos são feitos em duas dimensões: escolhem-se diversos valores da variável , e 
para cada um deles constroem-se ábacos (x, y), o que significa cortar a superfície por planos em 
que a força normal N (ou ) é constante; agora, em um mesmo ábaco ( = cte), a variação da 
taxa mecânica origina curvas definidas pelos momentos últimos xI, yI (Figura 22). 
Esses ábacos (também chamados de rosetas) podem ser representados em um quadrante 
do sistema de coordenadas no caso de dupla simetria da seção (concreto e armadura); no caso de 
simetria simples, dois quadrantes são necessários. 
O cálculo da armadura agora é imediato, desde que se disponha de uma roseta preparada 
para a mesma disposição da armadura, cobrimentos relativos e tipo de aço. Basta entrar, no setor 
correspondente ao valor de , com os valores de x e y, para obter a quantia mecânica total 
necessária ; com o valor de  se calcula a quantidade necessária total de armadura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 27 
 
 
 
Figura 22. Ábaco de flexão oblíqua composta de VENTURINI (1996). 
 
 
5. PROGRAMAS E OUTROS ÁBACOS ADIMENSIONAIS 
Para calcular a armadura necessária no estado limite último em uma seção transversal em 
que os esforços normais produzem flexão composta normal ou oblíqua, pode-se usar programas 
ou ábacos. Os programas são a melhor alternativa, pois permitem o uso de qualquer valor de 
cobrimento e em princípio disposição genérica de armadura. Infelizmente os programas existentes 
são comercializados geralmente em conjunto com pacotes mais completos como os programas 
TQS, CYPECAD e outros. Exceção são os programas relacionados em SANTOS (1994), mas 
que foram desenvolvidos em ambiente DOS e em linguagem BASIC, com entrada de dados em 
modo de processamento, pois tal linguagem trabalha com programas processados e não 
compilados; assim é necessária a criação de um arquivo de dados para leitura possibilitando, 
quando necessário, a correção dos dados. 
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 28 
A opção mais empregada quando não se possui programas mais completos como os 
citados está na utilização de ábacos, que nada mais são que gráficos que correlacionam força 
normal, momento fletor e quantidade de armadura para uma determinada seção, tipo de 
distribuição de armadura, tipo de aço e valor de cobrimento. 
Ábacos desse tipo podem ser encontrados em GRASSER (1973), MONTOYA (1976), 
PFEIL (1976), MARINO (1979), PINHEIRO (1994) e VENTURINI (1996). Os ábacos dos dois 
primeiros autores, embora antigamente utilizados, não são adequados para as normas e 
características dos materiais utilizados aqui no Brasil. 
O trabalho de PFEIL (1976) serviu para cobrir essa lacuna, com ábacos desenvolvidos 
para materiais empregados no Brasil. O único defeito, segundo MARINO (1979) foi a utilização 
do diagrama retangular de tensões no concreto, que embora previsto em norma, pode causar 
algumas aproximações não satisfatórias, e então apresenta outros ábacos, discutindo 
meticulosamente a questão do diagrama tensão-deformação do concreto e outros detalhes, mas 
apresenta um número de gráficos pequeno e insuficiente para cobrir a maior parte dos casos 
usuais. 
Finalmente, entre outros, tem-se os trabalhos de PINHEIRO (1994), e VENTURINI 
(1996) que, através de procedimentos numéricos, processaram uma série bem completa de ábacos 
e por isso, apesar de não serem publicações de grande circulação, foram escolhidas como base 
para os dimensionamentos dos exemplos aqui apresentados. 
Para a escolha do ábaco a empregar devem ser conhecidos: a quantidade de barras e sua 
distribuição, a relação entre a distância do centro da armadura (próximas da face) até a face da 
seção (d´) e a dimensão da seção nesta direção (h), tipo de aço e intensidade do esforço normal 
no caso de flexão composta.Para mostrar a influência do cobrimento da armadura, cujo valor 
mínimo especificado na NBR 6118:2003 aumentou significativamente na última redação da 
mesma, resolve-se um exemplo de flexão composta normal. 
Um programa gratuito de computador que permite verificar diversos tipos de seções 
transversais solicitadas à flexão normal e oblíqua composta foi desenvolvido por ZANDONÁ et al 
(2001) na Universidade Federal do Paraná e pode ser acessado via Internet. 
 
 
EXEMPLO 3 
Considerando que as taxas de armadura geométrica mínima e máxima em uma seção transversal 
submetida à flexão composta sejam 0,5% e 4%, quais são os valores correspondentes de  (taxa 
mecânica de armadura) quando se usa um concreto com fck = 20 MPa e aço CA-50? 
A taxa mecânica de armadura é dada por: 
cd
yd
c
s
f
f
A
A
 
A taxa geométrica de armadura é dada por: 
c
s
A
A
 
Para a taxa geométrica mínima tem-se, para a taxa mecânica: 
15,0
2015,1
4,1500
100
5,0



 
 
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 29 
Para a taxa geométrica máxima tem-se, para a taxa mecânica: 
217,1
2015,1
4,1500
100
4



 
A partir dessas expressões é possível construir a Tabela 1 que fornece valores de  máximo e 
mínimo para o aço CA-50 e diferentes resistências de concreto. 
 
Tabela 1. Valores de taxa mecânica de armadura () mínima e máxima para aço CA50 e 
diversas resistências de concreto. 
fck min máx 
20 0,15 1,22 
25 0,12 0,97 
30 0,10 0,81 
35 0,09 0,70 
40 0,08 0,61 
 
EXEMPLO 4 
Calcular a quantidade de armadura necessária As (considerada simétrica) para uma seção 
transversal retangular (Figura 23) com d` = 3 cm, fck = 30 MPa e Aço CA-50 e momento atuante 
Mx = 70,29 kNm. 
x30
3
3
20 sA /2
xdM
A /2s
 
Figura 23. Seção transversal do exemplo 4. 
 
Apesar de se tratar de flexão simples (momento fletor sem força normal) pelo fato da armadura 
ser simétrica deve ser usado o ábaco 2 (seção 6.2) por se ter: d´/h = 3/30 = 0,10, com os 
seguintes valores de entrada: 
0
fhb
N
cd
d 

 (não há força normal) 
255,0
)4,1/00030(30,020,0
29,704,1
fhb
M
2
cd
2
xd 




 
Com esses valores foi encontrado no ábaco 61,0 , o que resulta para As: 
2
yd
cdc
s cm184,1500
15,130302061,0
f
fAA 




 
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 30 
 
 
EXEMPLO 5 
Resolver, se possível, o exemplo anterior considerando que exista apenas armadura tracionada. 
 
Como só será considerada armadura tracionada, pode-se usar a tabela de flexão normal simples 
(Carvalho e Figueiredo Filho, 2007). 
315,0
)4,1/00030(27,020,0
29,704,1
fdb
M
KMD 2
cd
2
d 




  2,2s  > 07,2yd  
315,0KMD   7544,0KZ  
2
yd
d
s cm11,11)15,1/50(27,07544,0
29,704,1
fdKZ
M
A 




 
O resultado mostra, neste caso, que na flexão simples, considerando somente armadura 
tracionada, obteve-se solução mais econômica (11,11 cm2) que a do exemplo 4 com armadura 
simétrica (18 cm2). 
 
EXEMPLO 6 
É possível aplicar uma força normal de compressão na seção do exemplo 4 de maneira que a 
quantidade da armadura, ainda simétrica, seja menor? 
 
Observando o ábaco 2 (seção 6.2) percebe-se que usando a ordenada  = 0,255 e passando um 
segmento de reta vertical o menor valor de taxa de armadura obtido é  = 0,4 que corresponde à 
ordenada vertical  = 0,4 e portanto: 
40,0
)4,1/00030(3,02,0
N4,1
fhb
N
cd
d 




  N= 367 kN 
A armadura necessária é a correspondente a 4,0 : 
2
yd
cdc
s cm8,114,1500
15,130302040,0
f
fAA 




 , com redução de %4,34100
18
8,111r 




  . 
A força de compressão poderia ser, por exemplo, uma força de protensão. É interessante observar 
que somente nesta região do ábaco, que corresponde à parte do domínio 2 e ao domínio 3, é que 
se tem a possibilidade da diminuição da armadura com a introdução da força de compressão. 
 
EXEMPLO 7 
Calcular para a mesma seção transversal a quantidade de armadura simétrica necessária para as 
situações de esforços dados na Tabela 2. 
 
 
 
 
 
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 31 
 
 
 
Tabela 2. Esforços para o cálculo da armadura para a seção do exemplo 3. 
Situação N (kN) Mx (kNm) 
1 -276 0 
2 0 110 
3 367 110 
4 643 55 
5 367 28 
6 1010 55 
7 937 0 
 
A solução é obtida com o ábaco 2 (seção 6.2) para as diversas situações, e para tanto são 
calculados os valores correspondentes de  e , colocados na Tabela 3 juntamente com os 
resultados  e As. 
 
Tabela 3. Quantidades de armadura para as diversas situações do exemplo 8. 
Situação N (kN) M (kNm)    As (cm2) 
1 -276 0 -0,3 0 0,3 8,9 
2 0 110 0 0,4 1 29,6 
3 367 110 0,4 0,4 0,74 21,9 
4 643 55 0,7 0,2 0,4 11,8 
5 367 28 0,4 0,1 0 0,0 
6 1010 55 1,1 0,2 0,8 23,7 
7 937 0 1,02 0 0,2 5,9 
 
 
EXEMPLO 8 
Calcular a armadura para as seções A e B da Figura 24 para as seguintes situações: 
a) N = 918 kN e M = 28 kNm; 
b) N = 918 kN e M = 41 kNm. 
 
 
 
 
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 32 
x30
3
3
20 sA /2
xdM
A /2s
sA /2
Mxd
A /2s20
7,5
30
7,
5 x
7,5
A B
 
Figura 24. Seção transversal para o exemplo 8. 
 
Trata-se de resolver a mesma seção submetida a um par de esforços, sendo que em um caso usa-
se cobrimento que resulta d ´= 3,0 cm, e no outro um cobrimento maior, resultando um valor final 
d´ = 7,5 cm, e assim tem-se: 
Seção A: d´ = 3,0 cm  d´/h = 3,0/30 = 0,10  ábaco A-1b; 
Seção B: d´ = 7,5 cm  d´/h = 7,5/30 = 0,25  ábaco A-1e. 
Os valores para entrada nos ábacos (ábaco 2, seção 6.2; ábaco 5, seção 6.5), assim como os 
correspondentes encontrados para  encontram-se na Tabela 4. 
 
Tabela 4. Área de aço necessária para as diversas situações. 
 
Nota-se que como as seções A e B estão bastante comprimidas, quase não há diferença de 
comportamento em relação ao cobrimento e, portanto, o valor de d´ não é muito importante (As 
se mantém constante). Na situação b em que o valor dos momentos é maior (mantido N) aumenta 
a quantidade de armadura necessária quando d´ aumenta (As passsa de 20,7 cm2 para 26,6 cm2). 
 
EXEMPLO 9 
A seção transversal retangular dada na Figura 25 está submetida aos esforços N = 804 kN e 
Mx = 40 kNm. Calcular o valor de b para %2)A/A( cs  , fck = 30 MPa e aço CA-50. 
Situação/Seção Ábaco N (kN) M (kNm)    As (cm2) 
a - A 2 918 28 1,0 0,10 0,42 12,4 
b - A 2 918 56 1,0 0,20 0,70 20,7 
a - B 5 918 28 1,0 0,10 0,42 12,4 
b - B 5 918 56 1,0 0,20 0,9 26,6 
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 33 
x30
3
3
b sA /2
xdM
A /2s
 
Figura 25. Seção transversal para o exemplo 9. 
 
Como se trata de seção retangular com d´/h = 3/30=0,10, submetida à flexão composta normal, 
emprega-se o ábaco 2 (seção 6.2). O valor de  para a solução do problema é dado por: 
40,0
3015.1
4,1500
100
2
f
f
A
A
cd
yd
c
s 


 
Os valores de  e  embora não possam ser calculadosguardam uma relação entre si dada por: 
h
e
fhb
eN
fhb
M
cd
2
e
cd
2
d 




 
A excentricidade e é: m05,0804/40N/Me  
Agora a solução pode ser obtida graficamente como mostrado na Figura 26. Marca-se no ábaco 
o ponto com ordenadas 1 e 1 de maneira que a relação entre os mesmos seja dada por 
11 167,03,0
05,0  
Obtém-se assim o ponto A. Traçando-se um segmento de reta da origem O até o ponto A, o 
mesmo corta a curva de 4,0 no ponto K, que é a solução do problema. Assim é possível 
determinar o valor da ordenada do ponto que permite obter o valor de b requerido. 
Dessa maneira chega-se a  = 0,86, resultando para b: 
cd
d
fhb
N

  





)4,1/00030(30,086,0
4,1804
fh
Nb
cd
d 0,20 
 
x
y
O
A
1
1
K 1
1
=
1
1 =
h
e
 
Figura 26. Obtenção do ponto K no ábaco 2. 
 
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 34 
EXEMPLO 10 
Calcular a armadura para a seção transversal da Figura 27 para os esforços solicitantes 
N = 918 kN e M = 28 kNm. Considerar fck = 30 MPa e aço CA-50. 
x30
3
3
20 sA /2
yM
A /2s
4
y
 
Figura 27. Seção transversal do exemplo 10. 
 
Neste caso tem-se d´/h = 4/20=0,20 e momento My, o ábaco a empregar é 6 (seção 6.6), com os 
seguintes valores de entrada: 
Os esforços adimensionais são: 
0,1
)4,1/00030(20,030,0
4,1918
fhb
N
cd
d 




 
15,0
)4,1/00030(20,030,0
4,128
fhb
M
2
cd
2
d 




 
Com 0,1 e 15,0 resulta, no ábaco 6, 75,0 , e a quantidade de armadura será: 
2
yd
cdc
s cm2,224,1500
15,130302075,0
f
fAA 




 
 
EXEMPLO 11 
Calcular a armadura para a seção transversal da Figura 28, submetida à força Nd = 1550 kN, com 
as excentricidades totais ex = 7,5 cm e ey = 20 cm, sendo fck = 20 MPa, aço CA-50 e d´ = 3 cm. 
 
Figura 28. Dimensões da seção e excentricidades totais (cm) do exemplo 11. 
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 35 
Os esforços adimensionais são: 
60,0
)4,1/2(6030
1550
fhb
N
cd
d 



 
15,0
30
5,760,0
h
e
hfA
M
x
x
xcdc
xd
x 



 
20,0
60
2060,0
h
e
hfA
M
y
y
ycdc
yd
y 



 
Os valores de d´/h nas duas direções são: 05,060/3h/d y
´
y  e 10,030/3h/d x
´
x  . 
Como em geral se coloca maior número de barras ao longo das bordas com maior dimensão, 
pode-se considerar, de início, o ábaco 7, válido para cinco ou mais barras em cada face. Para este 
arranjo de barras, obtém-se os seguintes valores de  e As. 
 = 0,82 
2
yd
cdc
s cm5,4815,1/50
4,1/0,2603082,0
f
fA
A 

 
Pode-se empregar 1025 (As = 50 cm2) ou 1620 (Ase = 50,4 cm2). Pode-se buscar uma solução 
mais econômica com, por exemplo, 825 (Ase = 40,0 cm2), com uma barra em cada canto e uma 
no centro de cada borda (Figura 29). No ábaco adequado obtém-se: 
 = 0,67 
2
yd
cdc
s cm6,3915,1/50
4,1/0,2603067,0
f
fA
A 

 < Ase = 40 cm2 
Esta solução (Figura 29) é mais econômica que a obtida com todas as barras posicionadas nas 
faces laterais. 
 
Figura 29. Solução econômica dotada para a seção do exemplo 11. 
 
Salienta-se que para valores de y
´
y h/d e x
´
x h/d diferentes dos constantes dos ábacos, podem 
ser empregados ábacos com valores mais próximos. Solução melhor pode ser obtida por meio de 
interpolação linear. Para valores intermediários de  aos dos ábacos deve ser feita interpolação 
linear. 
 
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 36 
6. ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA SEÇÕES RETANGULARES 
6.1. Ábaco 1 
 Flexão composta, armadura simétrica, CA-50, d´/h = 0,05, Mxd. 
 
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 37 
6.2. Ábaco 2 
 Flexão composta, armadura simétrica, CA-50, d´/h = 0,10, Mxd. 
 
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 38 
6.3. Ábaco 3 
 Flexão composta, armadura simétrica, CA-50, d´/h = 0,15, Mxd. 
 
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 39 
6.4. Ábaco 4 
 Flexão composta, armadura simétrica, CA-50, d´/h = 0,20, Mxd. 
 
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 40 
6.5. Ábaco 5 
 Flexão composta, armadura simétrica, CA-50, d´/h = 0,25, Mxd. 
 
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 41 
6.6. Ábaco 6 
 Flexão composta, armadura simétrica, CA-50, d´/h = 0,20, Myd. 
 
 
 
 
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 42 
6.7. Ábaco 7 
 Flexão oblíqua, armadura simétrica, CA-50, y
'
y h050,0d  , x
'
x h100,0d  , 
20/2A/A ssy  , 20/10A/A ssx  ,  = 0,0,  = 0,2,  = 0,4,  = 0,6. 
 
 
 
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 43 
6.8. Ábaco 8 
 Flexão oblíqua, armadura simétrica, CA-50, y
'
y h050,0d  , x
'
x h100,0d  , 
20/2A/A ssy  , 20/10A/A ssx  ,  = 0,8,  = 1,0,  = 1,2,  = 1,4. 
 
 
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Flexão composta normal e oblíqua – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
 44 
6.9. Ábaco 9 
 Flexão oblíqua, armadura simétrica, CA-50, y
'
y h050,0d  , x
'
x h100,0d  , 
6/2A/A ssy  , 6/3A/A ssx  ,  = 0,0,  = 0,2,  = 0,4,  = 0,6. 
 
 
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Flexão composta normal e oblíqua – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
 45 
6.10. Ábaco 10 
 Flexão oblíqua, armadura simétrica, CA-50, y
'
y h050,0d  , x
'
x h100,0d  , 
6/2A/A ssy  , 6/3A/A ssx  ,  = 0,8,  = 1,0,  = 1,2,  = 1,4. 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Flexão composta normal e oblíqua – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
 46 
6.11. Ábaco 11 
 Flexão oblíqua, armadura simétrica, CA-50, y
'
y h050,0d  , x
'
x h250,0d  , 
20/2A/A ssy  , 20/10A/A ssx  ,  = 0,0,  = 0,2,  = 0,4,  = 0,6. 
 
 
 
 
 
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Flexão composta normal e oblíqua – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
 47 
6.12. Ábaco 12 
 Flexão oblíqua, armadura simétrica, CA-50, y
'
y h050,0d  , x
'
x h250,0d  , 
8/2A/A ssy  , 8/4A/A ssx  ,  = 0,0,  = 0,2,  = 0,4,  = 0,6. 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Flexão composta normal e oblíqua – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
 48 
6.13. Ábaco 13 
 Flexão oblíqua, armadura simétrica,CA-50, y
'
y h050,0d  , x
'
x h250,0d  , 
8/2A/A ssy  , 8/4A/A ssx  ,  = 0,8,  = 1,0,  = 1,2,  = 1,4. 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118:2003. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, RJ, março, 2003. 
CARVALHO, R. C.; FIGUEREDO FILHO, J. R. (2001). Cálculo e detalhamento de 
estruturas usuais de concreto armado. Ed. UFSCar. São Carlos, SP. 
FUSCO, P. B. (1995). Estruturas de concreto: solicitações normais. Rio de Janeiro, RJ. Ed. 
Guanabara 2. 
GRASSER, E. (1973). Bemessing fur Biegung mit LangsKraft – Beton Kalender 73 – W. 
Ernst und Sohn. Berlin. 
MARINO M. A. (1979). Seções transversais de concreto armado sujeitas a solicitações 
normais. Printec. COPEL. Curitiba, PR, dezembro de 1979. 
MONTOYA P. J.; MESSEGUER A G.; MORAN F. C. (1976). Hormigon Armado, V. 2. 
Editorial Gustav Gilli S.ª. Barcelona. 
PINHEIRO, L. M. (1994). Concreto armado: ábacos para flexão oblíqua. EESC – USP. São 
Carlos, SP. 
PFEIL W. (1976). Dimensionamento de concreto armado à flexão composta. Livros Técnicos 
e Científicos Ltda. Rio de Janeiro, RJ. 
SANTOS, L. M. (1977). Cálculo de concreto armado, Vol. 1. Editora Edgar Blücher. São 
Paulo, SP. 
SANTOS, L. M. (1981). Cálculo de concreto arrmado segundo a NB1/78, Vol. 2. Editora 
LMS. São Paulo, SP. 
SANTOS, L. M. (1994). Sub-rotinas básicas do dimensionamento de concreto armado, Vol. 
1. Ed. THOT. São Paulo, SP. 
SILVA JR., J. F. (1971). Concreto armado (dimensionamento): flexão composta no estádio 
III. Edições Arquitetura e Engenharia. Belo Horizonte, MG. 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. 0. (1996). Dimensionamento de peças retangulares de 
concreto armado à flexão reta. Apostila. Serviço gráfico da EESC-USP. São Carlos, SP. 
ZANDONÁ, L. A. W.; OLIVEIRA, M. F. F.; MARINO, M. A.; SCHEER S. (2001). Programa 
de verificação de flexão composta e oblíqua. Programa PET da Engenharia Civil. UFPAR. 
www.cesec.ufpar/concretoarmado.