As regras de Kirchoff.

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Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 1 
 
 
 2°S-2005 
 As Leis de Kirchhoff( *) 
 As Regras de Kirchhoff são: 
1. A soma das correntes em qualquer junção de 
circuito é zero. 
 
Figura 1 - Lei dos nós (a) e Lei das malhas (b). 
 i1 
 (a) 
 i 
 i2 
2. A soma das diferenças potenciais ao redor 
qualquer circuito fechado é zero. 
 (b) 
 a r2 b ε2 c R1 d 
 - 
 ε1 - + I 
 + i 
 R2
 r1
 
 R4 R3 + - 
 h g f ε3 e
 Tabela I – Tensão em componentes do circuito (b). 
 
Componente 
Diferença de 
Potencial de x á y 
 
Valor 
Resistor r2 Va-Vb - r2.I 
Gerador ε2 Vb-Vc − ε2
Resistor R1 Vc-Vd - R1.I 
Resistor R2 Vd-Ve - R2.I 
Gerador ε3 Ve-Vf − ε3
Resistor R3 Vf -Vg - R3.I 
Resistor R4 Vg -Vh - R4.I 
Resistor r1 Vh-Vi - r1.I 
Gerador ε1 Vi-Va + ε1
 
™ Notação de sinais: 
 
 Sentido da análise Sentido da corrente I 
 
• Gerador e resistor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
™ Biografia - Kirchhoff 
 
 ( *) Kirchhoff Nasceu em 12 de março de 
1824 em Königsberg, Prussia (hoje Kaliningrad, 
Russia) e morreu em 17 de outubro de 1887 em 
Berlin, Alemanha. Era um estudante de Gauss. Ele 
ensinou em Berlim em 1847 e Breslau. Em 1854 
ele foi designado a professor de físicas a 
Heidelberg onde ele colaborou com Bunsen. 
 Foi um físico que fez contribuições 
importantes à teoria de circuitos e elasticidade. As 
leis de Kirchhoff, anunciadas em 1854, permitem 
cálculo de correntes, voltagens e resistências de 
circuitos elétricos que estendem o trabalho de 
Ohm. O trabalho dele em radiação de corpo negro 
era fundamental no desenvolvimento de teoria do 
quantum. 
 Kirchhoff foi o primeiro a explicar as 
linhas escuras presentes no espectro do sol espectro 
como causa da absorção de comprimentos de onda 
particulares. Isto começou uma era nova em 
astronomia. 
 Em 1875 ele foi designado à cadeira de 
físicas matemáticas em Berlim. Sua inaptidão o 
levou a gastar muito tempo de sua em muletas ou 
em uma cadeira de rodas. O melhor trabalho 
conhecido são as quatro obra-prima de volume 
Vorlesungen über mathematische Physik (1876-
94). 
 
 Geradores, Receptores e Aparelhos de 
medida. 
 
™ Geradores - Introdução: 
 
 Se uma quantidade de carga atravessa um 
resistor, estabeleceu-se uma diferença de potencial 
entre seus terminais. Para manter-se esse fluxo de 
carga constante, é necessário conectar ao resistor 
um gerador , o qual possui uma força 
eletromotriz (fem), que realiza trabalho sobre a 
carga, mantendo-a constante sobre o resistor; 
analogamente ao que acontece a uma bomba de 
água que faz com que o escoamento de água em 
uma tubulação de irrigação seja constante. 
 Um dispositivo que possui uma força 
eletromotriz é uma bateria ; outro é o gerador 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 2 
 
 
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elétrico. Células solares são também dispositivos que 
possuem a fem. 
 i - + 
2 4 6 8 I
5
10
15
20
25
30
35
40
U
 
 r ε 
Equação do gerador (i,U): 
 
irU ⋅−= ε 
 
Figura 2 – Gráfico U vs. i para gerador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas retas características estão indicadas na 
figura acima. 
O valor de corrente pelo qual a tensão nos 
terminais do gerador é nula, é denominado de corrente de 
curto circuito (icc) e é a máxima corrente lançada por um 
gerador num circuito. 
 icc - + 
 
 r ε 
 
 
 
r
iirU cc
εε =⇒=⋅−= 0 
 
Baterias são utilizadas em muitas aplicações: 
carros, PCs, laptop, MP3 e telefones celulares. Uma 
bateria possui essencialmente uma química capaz de 
produzir elétrons. Reações químicas que produzem 
elétrons são chamadas de reações eletroquímicas 
 
™ A Bateria Básica: 
 
Se você observou uma bateria, notou que ela 
possui dois terminais. Um positivo do (+) e outro terminal 
negativo (-). As células de Nas AA, ou de C D 
extremidades da bateria são os terminais. Em uma bateria 
de um carro, há duas peças que atuam como terminais. 
Os elétrons são coletados numa bateria no 
terminal negativo. Se você conectar um fio no terminal 
negativo para o positivo, fluirão elétrons do terminal 
negativo para o terminal positivo tão rápido quanto 
podem. Normalmente pode-se conectar algum dispositivo 
à uma bateria, como uma lâmpada, uma lanterna de 
automóvel, ou usando um fio em uma bateria. 
Dentro da própria bateria, uma reação química 
produz elétrons. Uma velocidade dos elétrons produzida 
por essa reação química (resistência interna da 
bateria) controla quantos elétrons podem fluir e 
entrar em seus terminais. Elétrons fluem na bateria 
para fio e o fazem do terminal negativo para o 
terminal positivo pela reação química, que pode 
durar até um ano. Uma vez conectado fio do, um 
inicia-se de química de reação. 
 
 
 
Figura 3 – Ilustração do circuito de uma bateria. 
 
 
 i - + (i Convencional) 
 
 r ε 
i (real:sentrido dos elétrons) 
 
 
™ A Química da Bateria: 
 
 Se você quer saber como são as reações 
químicas existentes numa bateria, é fácil realizar 
experimentos na própria casa tentando obter 
diferentes combinações. Para fazer esses 
experimentos cuidadosamente, gastando cerca de 
R$10,00 - R$30 ,00 em uma casa de componentes 
eletrônicos. Adquira um fio (1m) que para baixas 
voltagens e baixas correntes (de 5 - 10 mA). 
A primeira bateria foi criada por 
Alessandro Volta em 1800. Para criá-la, ele 
montou um conjunto de finas placas alternando 
camadas de zinco intercaladas por papel embebido 
em água salgada e (prata), como mostra a figura. 
Esse arranjo era conhecido como "pilha 
voltaica". As camadas superiores e inferiores 
consistiam de metais diferentes. Se você conectar 
os extremos, é possível medir uma voltagem da 
pilha. Você pode aumentar o valor da voltagem 
com o aumento do crescimento das camadas. 
Você pode criar sua própria pilha voltaica 
usando moedas e toalha de papel. Misture sal com 
água (tanto sal quanto a água segurará) e empape a 
toalha de papel nesta salmoura. Então crie uma 
pilha alternando moedas de diferentes tamanhos. 
Veja que tipo de voltagem e corrente produz a 
pilha. 
 
Figura 4 – Ilustração de uma bateria alimentando 
um motor (a) e estrutura interna de uma bateria (b).. 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros metais para tentar incluem chapa de 
alumínio e aço. Cada combinação metálica deveria 
produzir uma voltagem ligeiramente diferente. 
Nos 1800s, antes da invenção do gerador elétrico 
(o gerador não foi inventado e foi aperfeiçoado até os 
1870s), a cela de Daniel (que também é conhecida através 
de três outros nomes--a "cela" de Crowfoot por causa da 
forma típica do elétrodo de zinco, a "cela" de gravidade 
porque gravidade mantém o dois sulfates separados, e 
uma "cela molhada" ao invés da cela seca moderna 
(porque usa líquidospara os eletrólito), era extremamente 
comum para telégrafos operacionais e doorbells. A cela 
de Daniell é uma cela molhada que consiste em cobre e 
zincoe uma chapa de cobre e sulfato de zinco. 
Article by: J J O'Connor and E F Robertson 
 
Baterias são utilizadas em muitas aplicações: em 
carros, PCs, laptops, MP3 players e telefones celulares. 
Uma bateria possui essencialmente uma química capaz de 
produzir elétrons. Reações químicas que produzem 
elétrons são chamadas de reações eletroquímicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Diagrama das camadas que constituem a 
pilha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esse arranjo era conhecido como “pilha 
voltaica”. As camadas superiores e inferior 
consistiam de metais diferentes. Se você conectar 
os extremos, é possível medir a voltagem e a 
corrente na pilha. Você pode aumentar a pilha 
aumentando assim a voltagem com o crescimento 
das camadas. 
 
Figura 6 – Diagrama das camadas de uma pilha (a) e 
bateria ideal (b). 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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™ Reações de bateria 
 
Provavelmente a bateria mais simples que você 
pode criar é chamada uma bateria de zinco carbono. 
Entendendo a reação química que entra em nesta bateria 
você pode entender como baterias trabalham em geral. 
Imagine que você tem um pote de ácido sulfúrico 
(H2SO4). Colocando uma barra de zinco nisto, o ácido 
começará a corroer o zinco imediatamente. Você verá gás 
de hidrogênio borbulhando e forma no zinco, e a barra e 
ácido começarão a aquecer. Está acontecendo: 
As moléculas ácidas migram para cima com três 
íons: dois íons de H+ e um íon SO4. 
Os átomos de zinco na superfície da barra de 
zinco perdem dois elétrones (2e-) se tornar íons de Zn++. 
Os íons de Zn++ combinam com os SO4 íon para 
criar ZnSO4 que dissolvam no ácido. 
Os elétrons dos átomos de zinco combinam com 
os íons de hidrogênio no ácido para criar moléculas de H2 
(hidrogênio gasoso). Nós vemos o hidrogênio subir como 
gás como bolhas que formam na barra de zinco. 
Se você agora introduzir uma barra de carbono 
no ácido, o ácido não faz nada a isto. Mas se você conecta 
um arame entre a barra de zinco e a barra de carbono, 
duas mudanças ocorrem. 
• Os elétrons fluem pelo arame e combina com 
hidrogênio na barra de carbono, assim gás de hidrogênio 
começa a borbulhar a barra de carbono. 
• Há menos calor. Você pode dar potência a uma 
lâmpada incandescente ou carga semelhante que usa os 
elétrons que fluem pelo arame, e você pode medir uma 
voltagem e corrente no arame. A energia do calor se 
transforma em movimento dos elétrons. 
Os elétrons vão se mover à barra de carbono porque 
há mais facilidade em se combinar com hidrogênio. Há 
uma voltagem característica na cela de 0.76 volts. 
Eventualmente, a barra de zinco dissolve completamente 
os íons de hidrogênio no ácido se acostumam e os 
estampa " de bateria ". 
Em qualquer bateria, o mesmo tipo de reação 
eletroquímica acontece de forma que elétrons movam de 
um lado para o outro. Os metais e o eletrólito usado 
controlam a voltagem da bateria. Cada reação diferente 
tem uma voltagem característica. Por exemplo, aqui é o 
que acontece em uma cela da bateria de conduzir ácido de 
um carro: 
• A cela tem um prato feito de chumbo e 
outro prato feito de dióxido de chumbo, com um eletrólito 
de ácido sulfúrico forte no que os pratos são submergidos. 
• Chumbo combina com SO4 para criar 
PbSO4 mais um elétron. 
• Condução de dióxido, íons de 
hidrogênio e íons SO4 , mais elétrons do chumbo crie 
PbSO4 e molhe no prato de dióxido de chumbo. 
• Como as descargas de bateria, ambos os 
pratos constroem PbSO4 (conduza sulfato), e água 
constrói no ácido. A voltagem característica é de 
aproximadamente 2 volts por célula, assim 
combinando seis células você adquire uma bateria 
de12V. 
 
™ Tipos de Baterias: 
 
Uma bateria de condução de ácido tem 
uma característica agradável: a reação é 
completamente reversível. Se você aplica corrente 
para a bateria à voltagem certa, conduz a formação 
de dióxidos e formam novamente nos pratos; assim 
você pode usar de novo a bateria. Em uma bateria 
de zinco-carbono, não há nenhum modo fácil para 
inverter a reação porque não há nenhum modo fácil 
para voltar gás de hidrogênio no eletrólito. 
Baterias modernas usam uma variedade de 
substâncias químicas para dar poder a as reações. 
Baterias euímicas típicas incluem: 
• Bateria de "zinco-carbono”. 
Também conhecido como uma bateria de carbono 
padrão (standard). Os elétrodos são zinco e 
carbono, com uma pasta ácida entre eles servindo 
como o eletrólito. 
• Bateria alcalina - Pilhas 
Duracell e baterias de Energizer em comum, os 
elétrodo são zinco e manganês-óxido, com um 
eletrólito alcalino. 
• Bateria de Lithium (fotografia) - 
Lithium, lithium-iodide e conduzir-iodide é usado 
em máquinas fotográficas por causa da habilidade 
para prover ondas de calor. 
• Bateria ácida - Uso em 
automóveis, os elétrodo são feitos de chumbo e 
óxido como um eletrólito ácido forte 
(recarregável). 
• Bateria de "níquel-cádmio” - Os 
elétrodos são hidróxidos de níquel e cádmio, com 
hidróxido de potássio como eletrólito 
(recarregável). 
• Bateria de metal de níquel - Esta bateria 
está substituindo a de níquel-cádmio rapidamente 
porque não sofre do efeito de memória que níquel-
cádmio fazem (recarregável). 
• Bateria Lithium-íon - Com uma relação 
de potência boa, é achada freqüentemente em 
computadores laptop e telefones celulares. 
(recarregáveis). 
• Bateria de zinco - Esta bateria é de peso 
leve e recarregável. 
• Bateria de óxido de "zinco-mercúrio” - 
Isto é freqüentemente usado na ajuda para audição. 
• Bateria de “prata-zinco” - Usada em 
aplicações aeronáuticas porque a relação de poder-
para-peso é boa. 
• Bateria de “metal-cloreto” - Usada em 
veículos elétricos. 
 
 
 
 
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™ Potência Elétrica do gerador: 
 
Se multiplicarmos por i a equação do gerador: 
2iriiU ⋅−⋅=⋅ ε 
Denominamos de: 
 
2 4 6 8 I
10
20
30
40
50
60
Pu
• Potência Total: Também denominada de Potência 
lançada : 
iPl ⋅= ε 
• Potência dissipada: Potência dissipada por efeito 
Joule na Bateria pela resistência interna. 
2irPd ⋅= 
• Potência útil: Potencia aproveitada da bateria . 
2iriiUPu ⋅−⋅=⋅= ε 
A máxima potência útil ocorrerá quando: 
r
iir
di
dPu
⋅=⇒=⋅⋅−⇒= 2020
εε
 Ou: 
2
ccii = 
Substituindo esse valor de corrente na expressão 
da potência útil, teremos: 
r
Pu 4
2
max
ε= 
Os gráficos a seguir ilustram as curvas 
características da potência útil para uma bateria. 
 
Figura 7 – Gráfico da Potência útil versus corrente num 
gerador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Arranjos ou associações de geradores. 
 
Em quase qualquer dispositivo que usa baterias, 
você não usa uma célula de cada vez. Você regularmente 
as agrupa serialmente para formar voltagens mais altas, 
ou em paralelo para formar correntes mais altas. Em um 
arranjo consecutivo, somam-se as voltagens. Em um 
arranjo paralelo, somam as correntes. O diagrama 
seguinte mostra estes dois arranjos. 
 Podemos associar geradores de duas formas: em 
série e em paralelo. 
 Na associação em série de n geradores de 
iguais força eletromotriz e e iguais resistência 
onterna r, as forças eletromotrizes se somam e 
também se somam suas resistências internas: 
ε εeq eqn r nr= ↔ = 
 Já na associação em paralelo de n 
geradores iguais, , a fem do geradorequivalente é 
a mesma e a resistência interna do gerador 
equivalente fica dividida por n: 
ε εeq eq rnr= ↔ = 
 
Figura 7 – Associação em paralelo (a) e série (b) de 
geradores. Tipos de pilhas (c). Circuitos com mais de uma fonte 
(d) 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) Quando duas fontes são conectadas entre si num 
único circuito, a fonte que possui fem maior fornece energia 
para a outra. 
 
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O arranjo anterior (a) é chamado de arranjo 
paralelo. Se você assume que cada célula paralela também 
produzirá 1.5 volts, mas a corrente será quatro vezes isso 
de uma única cela. O arranjo inferior é chamado de 
arranjo consecutivo. As quatro voltagens se somam para 
produzir 6 volts. 
Esquematicamente teremos os seguintes 
circuitos: 
• Série: 
Circuito equivalente: 
 
 
 
 
Força eletromotriz equivalente: 
∑
=
=
N
i
ieq
1
εε 
Resistência equivalente: 
∑
=
=
N
i
ieq rr
1
 
• Paralelo: 
Circuito equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força eletromotriz equivalente: 
εε =eq 
 
Resistência equivalente: 
n
rreq = 
 
• Exemplos de associações: 
 
Nas figuras, encontre a corrente que circula em 
cada malha: 
 
Figura 8 – Tipos de associações entre geradores: 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(i) Qual a indicação do voltímetro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(j) Procedimento experimental para medir a corrente 
e a fem de um gerador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(k) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(o) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(q) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Normalmente, quando você compra um pacote 
de baterias, o pacote lhe contará a voltagem e avaliação 
de corrente para a bateria. Por exemplo, uma máquina 
fotográfica digital usa quatro baterias de níquel-cádmio 
que estão avaliados em 1.25 volts e 500 milliampéres-
horas para cada célula. 
 
 • Trabalho, Energia e fem: 
 
 Em um dispositivo com uma fem, tal como uma 
bateria, há uma terminal carregado positivamente e um 
terminal carregado negativamente. Na figura abaixo 
representamos o sentido da corrente convencional em 
uma bateria. Uma vez que as cargas entram no 
dispositivo, este realiza trabalho sobre elas, forçando-as 
ao polo positivo e fechando o ciclo. A energia que o 
dispositivo utiliza para tal processo pode ser de origem 
química, como uma bateria, ou mecânica, como em um 
gerador de Van de Graaff. Pode ainda utilizar energia 
solar, como em células solares. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9 – Fonte de tensão em circuito aberto (a) e 
em curto-circuito (b). 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assumimos que a carga deva entrar no 
dispositivo no terminal onde há o potencial mais 
baixo, e deva deixá-lo no potencial maior. O 
dispositivo deve realizar um trabalho dW no 
elemento de carga dq, para força-lo a se mover. 
Definimos a força eletromotriz e no dispositivo 
como sendo: 
ε = dW
dq
 
 Em outras palavras, a força eletromotriz é 
o trabalho por unidade de carga para que o 
dispositivo mova a carga do mais baixo potencial 
ao maior. 
 A unidade do SI é o joule por coulomb ou 
o volt (V). 
 Um dispositivo gerador ideal é aquela 
que não apresenta resistência interna para mover a 
carga de um terminal ao outro. A ddp entre os 
terminais é igual a fem do dispositivo. Por 
exemplo, uma bateria de fem 12 V tem ddp de 
12V. 
 Um dispositivo gerador rea l, é aquele 
que apresenta resistência interna para o movimento 
interno da carga. A seguir representamos o gerador 
ideal e o real. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 10 – Geradores real e ideal. 
 
 
 
(a) Gerador real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Gerador ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nesses circuitos para analisar a corrente que 
percorre a resistência, temos que obedecer às seguintes 
regras: 
 1) A soma algébrica da mudança do potencial em 
um caminho completo do circuito dever ser zero. 
 2) A corrente entrando pelo pólo negativo e 
saindo pelo pólo positivo de um dispositivo (gerador ou 
resistor): e > 0 ou V > 0 . 
 3) A corrente entrando pelo pólo positivo e 
saindo pelo pólo negativo de um dispositivo ( gerador ou 
resistor): e < 0 ou V < 0 . 
 4) A corrente entrando em um nó, se divide de tal 
forma que a soma das partes que saem do nó é igual a que 
chega. 
 Estas regras são denominadas Regras de 
Kirchhoff . 
 Considere um nó em que chega uma corrente i 
como indica a figura abaixo: 
 
 Figura 11 – Lei dos nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então: 
 4231 iiii +=+ 
 Assim aplicando essas regras ao gerador ideal e 
chamando de a o pólo positivo:: 
V iR V ia a R+ − = ⇒ =ε ε 
 Para o gerador real, teremos: 
ε ε− − = ⇒ = +ir iR i r R0 
 Esta também é chamada de Lei de Ohm-Pouillet. 
 Para representarmos o gerador entre dois 
pontos A e B de um circuito, utilizamos o símbolo: 
 
 Figura 12 – Geradores e tensão nos trerminais (a). 
Variação da tensão nos elementos de um circuito (b). 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A tensão entre os pontos a e b é dada por: 
ri= −ε V
 Multiplicando por i a relação acima 
chegamos a: 
i ri P P Pu t d= − ⇒ = −ε 2 Vi
 Nessa equação, Pu= V . i é a potência útil 
, Pt = e . i é a potência total e é a 
potência dissipada na resistência interna do 
gerador. 
Pd = ri2
 Definimos como o rendimento h do 
gerador, a relação dada por: 
η η ε= ⇒ =
P
P
Vu
t
 
 O rendimento é a relação entre a 
potência elétrica lançada e a potência total. 
 
 • Receptores: 
 
 Existem aparelhos capazes de receber 
energia elétricas e transformá-las em outras 
formas de energia que não sejam exclusivamente 
térmica. Esses aparelhos denominam receptores e 
funcionam quando estão ligados a um circuit, 
onde existem um ou mais geradores.Como 
exemplos de receptores, citamos os aparelhos 
domésticos como o liquidificador, batedeira e 
furadeira, que transformam energia elétrica em 
mecânica. Acumuladores formados por placas de 
chumbo dentro de um eletrólito , transformam 
energia elétrica em energia química. Receptor 
elétrico é o aparelho que transforma energia 
elétrica em outras formas de energia que não 
sejam exclusivamente térmica. 
 
 Esquema do receptor: Como o receptor 
recebe energia elétrica do circuito, as cargas 
elétricas que constituema corrente vão do 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 11 
 
 
 2°S-2005 
potencial maior (pólo positivo) ao potencial menor (pólo 
negativo). Todavia, um receptor não poderá transformar 
toda a energia elétrica recebida em energia útil, não 
elétrica. Uma parte dessa energia dissipa-se na 
resistência interna r' de maneira análoga ao que ocorre 
no gerador. Para os receptores mais comuns em 
funcionamento verifica-se que a potência elétrica útil do 
receptor é diretamente proporcional à corrente que o 
atravessa. Se Pu é a potência elétrica útil do receptor e i 
a corrente que o atravessa, temos: 
P iu
P
i
u= ⇒ =ε ε' . ' 
 Aqui, e' é a força contra eletromotriz (fcem ) , 
uma constante de proporcionalidade. Sua unidade no SI 
é o volt (V). A equação do receptor e seu esquema é 
mostrado a seguir: 
 
 
 i 
 
 
V ri= +ε ' 
 
 As potências útil, total e dissipada do receptor 
são deduzidas de maneira análogas ao do gerador. 
 
 
 
 • Aparelhos de medida elétrica: 
 
 Muitos instrumentos de medida elétrica 
envolvem circuitos que podem ser analizados por 
métodos que discutiremos: 
 
 1) O Amperímetro : O instrumento usado para se 
medir corrente é o amperímetro. Para medir a corrente 
em uma resistência, colocamos o amperímetro em série 
com essa resistência. 
 
 Figura 13 – Montagens com amerímetro e voltímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A resistência interna de um amperímetro 
ideal é nula para que toda a corrente elétrica passe 
pelo amperímetro. 
 
 2) O Voltímetro : É o aparelho usado para 
medir diferença de potencial Para encontrar a 
diferença de potencial entre dois pontos em um 
circuito ou em uma resistência, necessitamos 
colocar o voltímetro em paralelo com a 
resistência. 
 A resistência interna de umvoltímetro 
ideal é infinita, para que não passe corrente por 
ele. 
 
 3) O potenciômetro : O potenciômetro é 
um aparelho que mede uma desconhecida força 
eletromotriz ex comparando com uma fem padrão 
es. 
 
 Exercícios 
 1) Qual o trabalho que uma bateria ideal 
de 12 V de fem realiza em um elétron que passa 
pelos terminais da bateria? Se 3 4 elétrons 
passam a cada segundo, qual a potência da 
bateria? 
1, . 08
 
 2) Uma corrente de 5 A percorre um 
circuito com uma bateria de 6V de fem por 6 min. 
Qual a energia química reduzida da bateria? 
 
 3) Uma bateria de flash pode desenvolver 
2 W-h de energia depois de ligada. 
 
 a) Se a bateria custa 80 cents, qual é o 
custo de operação de uma lâmpada de 100W 
durante 8h de uso da bateria? 
 b) Qual é o custo da bateria se usamos a 
potência de uma determinada compania a 12 cents 
por kW-h. 
 
 4) Na figura vemos e1=12V e e2=8V. 
 a) Qual a direção da corrente no resistor? 
 b) Qual bateria está realizando trabalho 
positivo? 
 c) Qual ponto, a ou b está no maior 
potencial? 
L L1 2
R
a b
 
 5) Um fio de resistência 5W é conectado 
em uma bateria de fem 2 V e resistência interna 1
W. Em 2 min: 
 a) Quanta energia é transferida de energia 
química para energia elétrica? 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 12 
 
 
 2°S-2005 
 b) Quanto de energia aparece no fio na forma de 
energia térmica? 
 c) Qual a diferença entre os ítens a e b? 
 
 6) Encontre a corrente que circula nos circuitos 
abaixo: 
a) 
 
3,0
2,0
150V 50V
>
> 
b) 
20 30
40120V 220V
> >
>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As equações de Poisson e Laplace: 
 
Podemos escrever a equação: 
vD ρ=⋅∇
GG
 
como: 
ε
ρvV =2∇ 
 Essa é a equação de Poisson, e quando a 
densidade de cargas volumétrica é nula, 
denomina-se equação de Laplace: 
02 =V∇ 
Aqui, “2 é denominado de operador Laplaciano, e 
pode ser escrito em coordenadas cartesianas 
por: 
 
2
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 
Em coordenadas cilíndricas: 
 
2
2
2
2
2
2 11
z
VVVV ∂
∂+∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂= φρρρρρ∇ 
 
Em coordenadas esféricas: 
 
2
2
222
2
2
2 111
φθθθθθ ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∇ V
senr
Vsen
senrr
Vr
rr
V
 
™ Teorema da Unicidade: 
 
 Se V1 e V2 são soluções da equação de 
Laplace, então cada solução deve satisfazer as 
condições de fronteira, e se representamos os 
valores dos potenciais na fronteira por Vb, os 
valores dos potenciais devem ser iguais na 
fronteira: 
V1b = V2b
 Depois das condições de fronteira estarem 
definidas, os passos necessários para dado V, 
determinar a capacitância, teremos: 
 
1. Dado V, determinar E: 
 
V∇−=E GG 
 
2. Determina D: r
D VE ∇−== GGG εε 
3. Calcule a densidade de carga superficial: 
Ns D=ρ 
4. Encontre a carga por: 
dS
s
s∫∫= ρQ 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 13 
 
 
 2°S-2005 
5. Determine a capacitância: 5. Determine a capacitância: 
 
 Exemplo 1 – Seja o problema de resolver a 
equação: 
 Exemplo 1 – Seja o problema de resolver a 
equação: 
02 =∇ V 
Com as condições de contorno: 
⎩⎨
⎧
=
=⇒=
by
y
V
0
0 ; ⎩⎨
⎧
∞→
=⇒=
x
x
VV
0
0
Ou seja, o potencial de dois eletrodos paralelos e 
aterrados em y=0 e y = b. 
 
 
 y 
 
 b 
 
 
 V0
 
 
 0 x 
 
 
 Com o método da separação de variáveis: 
)()()(),,( zZyYxXzyxV = 
 Substituindo na equação de Laplace e dividindo por 
V, teremos: 
0111 2
2
2
2
2
2
2 =∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
z
Z
Zy
Y
Yx
X
X
V 
 Pode-se escrever: 
32
2
22
2
12
2 111 C
dz
Zd
Z
C
dy
Yd
Y
C
dx
Xd
X
=⇔=⇔= 
Com: 0321 =++ CCC
 É de se esperar que a solução não tenha dependência 
em z. Portanto C3 = 0 e chamando: 
2
1221 0 kCCCC =−=⇔=+ 
 Assim: 
022
2
=− Xk
dx
Xd 
022
2
=+ Yk
dx
Yd 
kyBAsenkyyY cos)( += 
Aplicando as condições de contorno: 
⎩⎨
⎧
=
=⇒=
by
y
V
0
0 
πnkbAsenkbBBAsen =⇒=⇔=⇒=+ 0000
( )"3,2,1;)( == n
b
ynAsenyY π 
0
2
2
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− X
b
n
dx
Xd π 
bxnbxn HeGex ππ −+=)(X
V
 
 Aplicando as condições de contorno, teremos: 
⎩⎨
⎧
∞→
=⇒=
x
x
V
0
0 
G = 0 
 Assim: 
b
xn
e
b
ynCsenyx
ππ −=),(V 
Para que a condição V(x=0, y) = V0 devemos 
impor: 
∑∞
=
−=
1
),(
n
b
xn
n eb
ynsenCyx
ππV 
Para avaliar os coeficientes Cn usamos a condição 
de contorno: 
0
1
),0( Ve
b
ynsenCyx
n
b
xn
n === ∑∞
=
− ππV 
0
1
V
b
ynsenCn =π
n
∑∞
=
 
 A série acima é denominada de série de 
Fourier. 
Usando a técnica e análise de Fourier, 
multiplicando ambos os membros da equação por 
sen(pπy/b) e integrando, teremos: 
dy
y
bpsenVdy
b
ypsen
b
ynsenC
b
n
n ∫∑ =∞
= 0
0
1
πππb∫
0
 
Resolvendo o lado direito: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇔
=⇔=∫
"
"
,6,4,20
,5,3,1
2 0
0
0
p
p
p
bV
dy
y
bpsenV
b
ππ 
 Resolvendo o lado esquerdo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇔
≠⇔
=∫ npbC
np
dy
b
ypsen
b
ynsenC
n
b
n
2
0
0
ππ
 
 Igualando: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇔
=⇔=
"
"
,6,4,20
,5,3,1
4 0
n
n
n
V
n πC 
 determinamos que a solução é dada por: 
∑∞
=
−=
",5,3,1
0 14),(
n
b
xn
e
b
ynsen
n
Vyx
ππ
πV 
ou 
( ) ( )[ ] ( )∑
∞
=
−−−−= 0
120 12
12
14),(
m
xmeymsen
m
V
yxV πππ
 
EletromagnetismoI – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 14 
 
 
 2°S-2005 
 Podemos obter numericamente a solução, de acordo 
com Patrick Tam, A Physicist´s Guide to Mathematica, 
Academic Press. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2 – Solução para as linhas de força do 
campo elétrico e superfície equipotencial quando temos 
duas cargas puntiformes: 
 (a) 2q e –q: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) +q e +q: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 3 – Campo entre duas placas 
paralelas aterradas e duas placas a potenciais 
opostos. 
 
 
 
 y 
 
 b 
 
 
 V1
 
V2
 
 0 x 
 
 
 { 01 =⇒= xVV ; V { axV =⇒= 2 
 A solução geral que satisfaz as condições de 
contorno, é dada por: 
b
ynseneBeAzyx
n
b
xn
n
b
xn
n
πππ∑∞
=
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
1
),,(V
 
 
 Aplicando a condição de contorno em x =0: 
( ) 1
1
),,0( V
b
ynsenBAzyxV
n
nn =+== ∑∞
=
π
 
 Os coeficientes são calculados pelo mesmo 
método de Fourier utilizado no exemplo1. 
Multiplicando a equação por sen ppy/b e 
integrando de y = 0 a y = b teremos: 
( ) 2
0
b
nn
b
BAdy
b
ynsen +=∫ π1V 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 15 
 
 
 2°S-2005 
Resolvendo o lado direito: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇔
=⇔=+
"
"
,6,4,20
,5,3,1
4 1
n
n
n
V
BA nn π 
Aplicando a condição de contorno em x =b: 
b
ynseneBeAzybxV
n
b
bn
n
b
bn
n
πππ∑∞
=
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +==
1
),,( 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇔
=⇔=+
−
"
"
,6,4,20
,5,3,14 2
n
n
n
V
eBeA b
an
n
b
an
n π
ππ
 
 Resolvendo o sistema: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
−
π
π
ππ
n
VBA
n
VeBeA
nn
b
an
n
b
an
n
1
2
4
4
 
 Teremos como solução: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
−
−
b
an
b
an
n
e
eVV
n
A π
π
π 2
21
1
4
 
 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
−
−−
b
an
b
an
b
an
n
e
eVV
n
eB π
ππ
π 2
12
1
4
 
, onde n=1,3,5,.... Assim o Potencial será dado por: 
 
b
ynsene
e
eVV
n
ee
e
eVV
n
zyxV
n
b
xn
b
an
b
an
b
an
b
xn
b
an
b
an
π
ππ
π
π
ππ
π
π
π
∑∞
= −
−−
−
−
−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
1
2
12
2
21
1
4
1
4),,(
 
™ Solução da equação de Poisson para V 
 
 Diodo de junção p-n em silício: 
 
 Se chamarmos de P e N o número de cargas 
positivas e negativas por metro cúbico e n e p o número 
de cargas móveis negativas e positivas por metro cúbico, 
a densidade de carga total será: ( )npNPet −+−=ρ 
ε
ρ tVE =−∇=⋅∇ 2GG 
)(2 npNPeV −+−=∇− ε 
 Os elétrons de condução e os buracos se difundem 
dentro do material como moléculas em um gás.; assim, 
sobre equilíbrio térmico, p e n satisfazem a equação de 
Boltzmann da mecânica estatística: 
kT
eV
ep
−= 0p 
kT
eV
en0=n 
 Aqui n0 é o mesmo valor de p ou de n no 
mesmo ponto onde o potencial V é escolhido ser 
zero, isso é, na origem. 
 Assim: 
)( 00
2 kT
eV
kT
eV
enenNPeV −+−=∇ −ε− 
 Como: 
2
xx eesenhx
−−= 
)2( 0
2
kT
eVsenhnNPeV −−−= ε∇ 
 Podemos aproximar a relação: 
( ) x
t
ePNPe ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=− εε
02− 
Onde t é a espessura da junção e P0 um parâmetro 
conhecido. 
 Assim a equação de Poisson ficaria: 
x
t
eP
kT
eVsenhen
dx
Vd ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= εε
0
02
2 2
2 
 Pode-se também estimar a densidade de 
carga pela relação: 
a
x
a
xhvv tanhsec2 0ρ=ρ 
(Hayt, Cap.7,pg.123) 
 Assim, a equação a resolver seria: 
a
x
a
xhV v tanhsec
2
0
2
2
εdx
d ρ−= 
 
 Integrando uma vez, teremos: 
 
dx
a
x
a
xh
dx
v∫ −= tanhsec2 0εdV
ρ
 
1sec
2
0 C
a
xh
av += εdx
dV ρ
 
 Como: 
dx
dVEV x −=⇔∇−=E
GG
 
1sec
2
)( 0 C
a
xh
a
x v +−= εE
ρ
 
 Para calcular a constante C1, note que 
nenhuma denidade de carga líquida e nenhum 
campo devem existir longe da junção. Assim: C1 
= 0 
 Integrando novamente, teremos: 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 16 
 
 
 2°S-2005 
dxC
a
xhxV v∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 1sec
2
)( 0ε
ρ
 
21
2
2
4
)( 0 CxC
a
xtgharctg
a
xV v ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ε
ρ
 
 Escolhendo a referência de Potencial em V(x=0) = 
0, teremos: 
00
2
04)0( 21
2
0 =++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== CC
a
tgharctg
a
xV vε
ρ
( ) 004)0( 2
2
0 =+== CarctgaxV vε
ρ
 
0
4
)0( 2
2
0 =+== CaxV v πε
ρ
 
ε
πρ 2
2
0
4 a
C v−= 
 Assim: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= πε
ρ
a
xtgharctg
a
xV v
2
4
)(
2
0 
 
 Os gráficos da densidade de carga, campo e do 
potencial estão esquematizados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcularmos a carga na junção: 
dx
a
x
a
xhv tanhsec2
0
0∫
∞
= ρQ 
+∞→
→
−=
x
x
v a
xha
0
sec2
0
ρQ 
 Como: 
a
x
a
x
ee
a
xh
−+
= 2sec 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= +→+∞→ a
xh
a
xhaQ
xxv
seclimseclim2
00
ρ 
00
2
2
202 vv aa ρρ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=Q 
 
 
 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 17 
 
 
 2°S-2005 
1a Prova 
Questão 1 – (3,0 Pontos) 
 
 Uma linha infinita de carga uniforme de 
densidade rL = +0,4 m.C/m está localizada no eixo z e é 
concêntrica a uma distribuição superficial de carga 
cilíndrica infinita de equação r = 4 m e densidade 
superficial rs = - 0,8 m.C/m2. Considere e = e0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o 
espaço. 
 
(b) Assumindo que o potencial elétrico seja 0V em r 
= 2m, encontre o potencial elétrico em r = 1 m e em r = 
6m. 
 
 
Questão 2 – (2,0 Pontos) 
 
Considere a densidade volumétrica de carga 
20
0
r
e r
r
v
−
= ρρ existe em todo o espaço livre. Calcule a 
carga total presente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 – (3,0 Pontos) A densidade de 
fluxo elétrico é dada por 
G
C/mrar ˆ
2=D 2 e é 
representada vetorialmente na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m. 
(b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m. 
(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m. 
(d) a carga que está contida na esfera de r = 4m? 
 
Questão 4 – (2,0 Pontos) 
A figura mostra a trajetória de um elétron 
num tubo de raios catódicos, no qual um elétron 
deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 
m/s. 
(a) Para atingir esta velocidade, através de 
qual ddp ele deve passar? 
(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule 
o campo elétrico entre as placas. 
 (c) Qual a densidade de carga superficial 
na placa? 
 
 
 
 
 y0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 182°S-2005 
Gabarito 
 
Questão 1 – (3,0 Pontos) 
 (a) 
rL = +0,4 m.C/m e 
 r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2. 
Considere e = e0. 
 
⎩⎨
⎧
>+
<=⋅⇒=⋅ ∫∫∫∫ 4 se 2 4 se ρπρρ ρρ LRL LSdDQSdD sL LSiS
GGGG
⎩⎨
⎧
>+
<=
4 se 2
4 se 
2 ρπρρ
ρρρπρ LRL
L
LD
sL
L 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
<
=
4 se 
L2
2
4 se 
L2
ρρπ
πρρ
ρρπ
ρ
ρ LRL
L
D
sL
L
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
<
=
4 se ˆ
2
2
4 se ˆ
2
ρπρ
πρρ
ρπρ
ρ
ρ
ρ
aR
a
D
sL
LG 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<
=
4 se mCˆ
2
8,024,0
4 se ˆ
2
4,0
2
2
ρµπρ
π
ρµπρ
ρ
ρ
aR
mCa
D
G 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<
=
4 se mCˆ2,32,0
4 se ˆ2,0
2
2
ρµπρ
π
ρµπρ
ρ
ρ
a
mCa
D
G 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<
=
4 se mCˆ1363,3
4 se ˆ06366,0
2
2
ρµρ
ρµρ
ρ
ρ
a
mCa
D
G 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<
=
4 se m
ˆ1363,3
4 se 
ˆ06366,0
0
0
ρρε
ρρε
ρ
ρ
V
a
mV
a
E
K 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⋅−
<
=
4 se mV
ˆ
1054,3
4 se 
ˆ
22,7193
5 ρρ
ρρ
ρ
ρ
a
mV
a
E
K 
 (b) Potencial: 
∫ ⋅−=−= A
B
BAAB LdEVVV
GG
 
™ Em r = 1 m: 
∫ ⋅−=−= ==== 2
1
121,2 LdEVVV
GG
ρρρρ 
∫−=−= ==== 2
1
121,2
22,7193 ρρρρρρ dVVV 
2ln22,7193ln22,71930 2
111,2
−=−=−= === ρρρρ VV
 
96,49851 −=− =ρV 
V96,49851V ==ρ 
™ Em r = 6 m: 
2446262,6 ======== −+−=−= ρρρρρρρρ VVVVVVV
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⋅−
<
=
4 se mV
ˆ
1054,3
4 se 
ˆ
22,7193
5 ρρ
ρρ
ρ
ρ
a
mV
a
E
K 
∫∫ ⋅−+⋅−=== 4
2
6
4
2,6 ldEldE
GGG
V
G
ρρ 
∫∫ −⋅−−=== 4
2
6
4
5
2,6 22,71931054,3 ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ddV
 
∫∫ −⋅=== 4
2
6
4
5
2,6 22,71931054384,3 ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
ddV
 
2ln22,7193
4
6ln1054384,3 52,6 −⋅=== ρρV 
96,49854202,14369026 −=− == ρρ VV 
V4598,1387046V ==ρ 
 
Questão 2 – (2,0 Pontos) 
20
0
r
e r
r
v
−
= ρρ Qe dv
V
v∫∫∫= ρ
φθθρ
π π
ddrdsenr
r
er
r
r
2
2
0 0 0
20
2
0∫ ∫ ∫∞
−
=Q 
dredsend r
r
∫∫∫ ∞ −=
00
2
0
0
0
ππ
θθφρQ 
[ ]
∞→
=
−=
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
r
r
r
r
er
0
000
0cos2 πθθθπρQ
Q
 
[ ]000 022 rr +−= πρ ( )Cr 004Q ρπ= 
Questão 3 – (3,0 Pontos) 
densidade de fluxo elétrico: rarD ˆ
2=G C/m2 
e é representada 
 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 19 
 
 
 2°S-2005 
Determine: 
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m. 
Dv
GG ⋅∇=ρ 
( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂ DrsensenDrsenDrrr r 111 22 
Dv
GG ⋅∇=ρ ( )421 rrr ∂∂= 32 41 rr= 
Dv
GG ⋅∇=ρ r4= ; 316 mCv =ρ 
(b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m. 
raD ˆ4
2=G C/m2 ñ raD ˆ16=
G
C/m2
 
(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m. 
i
S
QSdD =⋅= ∫∫ GGψ 
rarD ˆ
2=G 
4
0
2
0
22 4 rddrr πθφψ
π π
== ∫ ∫ 
Cππψ 102444 4 == 
(d) a carga que está contida na esfera de r = 4m? 
316 mCv =ρ 
CAQ v ππρ 10241644 2 === 
Dv
GG ⋅∇=ρ r4= 
φθθ
π π
ddrdsenrrQ 2
2
0 0
4
0
4∫ ∫ ∫= 
φθθ
π π
ddrdsenrQ 3
2
0 0
4
0
4∫ ∫ ∫= 
ππ 102444 4 ==Q C 
 
Questão 4 – (2,0 Pontos) 
3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. 
(a) Para atingir esta velocidade, através de qual 
ddp ele deve passar? 
VqW ∆−= 
dLaEQdW Lˆ⋅−=
G
 
VqW ∆−= = )(
2
1 22
ifc vvmE −=∆ 
)(
2
1 22
if vvme
V −=∆ 
))103()108((1031,9
106,12
1 262631
19 ⋅−⋅⋅⋅⋅=∆
−
−V
VV 578,156=∆ 
(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o 
campo elétrico entre as placas. 
mVdVE /828,702,0578,156 === 
mkVE 83,7= 
 (c) Qual a densidade de carga superficial 
na placa? 
 
 No interior: 
 
9,78281085,8 120
0
⋅⋅==⇒= −EE εσε
σ
 
228,69 mnC=σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 20 
 
 
 2°S-2005 
 
Questão 1 – (3,0 Pontos) 
 
 Duas distribuições infinitas de carga uniforme de 
densidades volumétrica rv = +2,0 m.C/m3 e outra de 
densidade superficial com rs = - 2,0 m.C/m2 estão 
localizadas de forma concêntrica ao eixo z e possuem raio 
ρ a= 2m e ρb =5m, respectivamente. Considere e = e0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o 
espaço. 
 
(b) Assumindo que o potencial elétrico tenha valor 
0V em r = 3m, encontre o potencial elétrico em r = 2 m. 
 
 
Questão 2 – (2,0 Pontos) 
 
Três densidades de cargas estão posicionadas no 
espaço livre como se segue: ρs = 20 nC/m2 em z=-3m; 
 ρL = -30 nC/m no eixo z e ρL = 40 nC/m em x = 2m, 
z = 1m. Determine a magnitude de E em: 
 (a) PA(1, 1, 2); (b) PB(-4,3, -1); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 – (2,0 Pontos) A densidade de 
fluxo elétrico devido a certa distribuição de carga é 
dada por: ( )22 2 ˆcos Cr mD r aθ=G 
e é representada vetorialmente na figura a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
(a) a densidade volumétrica de carga em: 
 r = 1m, θ =π/3. 
(b) a densidade de fluxo elétrico em: 
 r = 1m, θ =π/3. 
 
Questão 4 – (3,0 Pontos) 
A figura mostra, para o campo potencial 
em coordenadas cilíndricas: 
( )250 cosV V
z
ρ φ= 
,as superfícies equipotenciais 
correspondentes a V = 50V, 25V e 10V e o 
ponto P em ρ = 3m, φ = 30°, z = 2m, determine 
os valores em P para: 
(a) V; 
(b) E. Como é posicionado em relação à 
equipotencial no ponto P? 
(c) E; 
(d) dV/dN; 
(e) aN ; 
(f) ρv no espaço livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – 1ª Prova -Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - 21 
 
 
 2°S-2005 
™ Trabalho: dv
V
v∫∫∫= ρQ VqW ∆−= 
dLaEQdW Lˆ⋅−=
G
 Dv
GG ⋅∇=ρ
S
∫∫
 ™ Energia cinética ™ Teorema da Divergência (Teorema Gauss): 
)(
2
1 22
ifc vvmE −=∆ dVFSdF
V
∫∫∫ ⋅∇=⋅ GGGG ™ Lei de Coulomb 
 ™ Lei de Gauss 
122
120
21
12 ˆ4
a
R
QQF πε=
G
 
12
12
12
12
12ˆ rr
rr
R
Ra GG
GG
G
G
−
−== i
S
QSdD =⋅= ∫∫ GGψ ñ 
0ε
iQSdE =⋅ GG
S
∫∫ 
™ Teorema da Stokes ( ) ∫ ⋅=⋅×∇
C
ldHSdH
GGG∫∫
S
GG
 
2
212
0 1085,8 mN
C
⋅
−⋅=ε 
™ Camp elétrico o( )
3
04
)(
rr
rrQrE ′−
′−= GG
GGGG
πε 
™ Potencial elétrico 
∫ ⋅−=−= A
B
BAAB LdEVVV
GG
 
∫∫∫ ′− ′−′−
′′=
v
v
rr
rr
rr
vdr
rE GG
GG
GG
GGG
2
04
)(
)( πε
ρ 
 
 
™ Carga elétrica 
 
Sistemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas 
 
 
 
 
 
 
Relações 
 
P(x, y, z) 
 
P(r, f, z) 
 
22 yx +=ρ 
x
yarctg=φ 
z=z 
P(r, f, q) 
 
222 zyxr ++= 
x
yarctg=φ 
z
yxarctg
22 +=θ 
Vetor 
posição zyx
azayaxr ˆˆˆ ++=G zazar ˆˆ += ρρG rarr ˆ=G 
Incremento 
rdLd GG = zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
G
 
zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρG
 
φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++=G 
 
 
 
Versores 
 
 
}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+−=
+=
zz
yx
yx
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φ
ρ
 
zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++= 
zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+=
yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−= 
Elemento de 
Volume 
dxdydzdv = dzdddv φρρ= θφθ ddrdsenrdv 2= 
Divergente
D
GG ⋅∇ z
D
y
D
x
D zyx
∂
∂+∂
∂+∂
∂ ( ) ( )
z
DDD z∂
∂+∂
∂+∂
∂
φρ φρρρρ
11 ( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂ DrsensenDrsenDrrr r 111 22
 
Gradiente
V∇G zyxaz
Va
y
Va
x
VV ˆˆˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇G
 
zaz
VaVaVV ˆˆ1ˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ φρ φρρ
G φθ φθθ a
V
rsen
aV
r
a
r
VV r ˆ
1ˆ1ˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇G 
Rotacional 
H
GG ×∇ 
ˆ ˆy yx xz zx y
H HH HH Ha a
y z z x x y
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
( )
z
zz a
HH
a
H
z
H
a
z
HH ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φ
 ( ) ( ) ( )
φ
θ
θ
φθφ
θφθφθ
θ
θ a
H
r
rH
r
a
r
rHH
senr
aH
senH
rsen
rr
r ˆ
1ˆ11ˆ1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
 
Laplaciano 
V2∇ 2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
∂
∂+∂
∂+∂
∂ 
2
2
2
2
2
11
z
VVV
∂
∂+∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
φρρρρρ 2
2
222
2
2
111
φθθθθθ ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ V
senr
Vsen
senrr
Vr
rr
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VI– 1 
 
 
 Circuitos DC e Geradores 
™ Trabalho: 
VqW ∆−= 
dLaEQdW Lˆ⋅−=
G
 
™ Energia cinética 
)(
2
1 22
ifc vvmE −=∆ 
™ Lei de Coulomb 
 
122
120
21
12 ˆ4
a
R
QQF πε=
G
 
12
12
12
12
12ˆ rr
rr
R
Ra GG
GG
G
G
−
−== 
2
212
0 1085,8 mN
C
⋅
−⋅=ε 
™ Campo elétrico ( )
3
04
)(
rr
rrQrE ′−
′−= GG
GGGG
πε 
∫∫∫ ′− ′−′−
′′=
v
v
rr
rr
rr
vdr
rE GG
GG
GG
GGG
2
04
)(
)( πε
ρ 
 
™ Carga elétrica 
dv
V
v∫∫∫= ρQ 
Dv
GG ⋅∇=ρ 
™ Teorema da Divergência (Teorema Gauss): 
dVFSdF
VS
∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅ GGGG 
™ Lei de Gauss 
i
S
QSdD =⋅= ∫∫ GGψ ñ 
0ε
i
S
QSdE =⋅∫∫ GG 
™ Teorema da Stokes ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇
CS
ldHSdH
GGGGG
 
™ Potencial elétrico 
∫ ⋅−=−= A
B
BAAB LdEVVV
GG
 
 
 
istemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas 
 
 
 
 
 
 
Relações 
 
P(x, y, z) 
 
P(r, f, z) 
 
22 yx +=ρ 
x
yarctg=φ 
z=z 
P(r, f, q) 
 
222 zyxr ++= 
x
yarctg=φ 
z
yxarctg
22 +=θ 
Vetor 
posição zyx azayaxr ˆˆˆ ++=
G
 zazar ˆˆ += ρρG rarr ˆ=G 
Incremento 
rdLd GG = zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
G
 zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρG
 
φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++=G 
 
 
 
Versores 
 
 
}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+−=
+=
zz
yx
yx
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
φφ
φφ
φ
ρ
 
zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++= 
zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+=
yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−= 
Elemento de 
Volume 
dxdydzdv = dzdddv φρρ= θφθ ddrdsenrdv 2= 
Divergente
D
GG ⋅∇ z
D
y
D
x
D zyx
∂
∂+∂
∂+∂
∂ ( ) ( )
z
DDD z∂
∂+∂
∂+∂
∂
φρ φρρρρ
11 ( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂ DrsensenDrsenDrrr r 111 22
 
Gradiente
V∇G zyx az
Va
y
Va
x
VV ˆˆˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇G zaz
VaVaVV ˆˆ1ˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ φρ φρρ
G φθ φθθ a
V
rsen
aV
r
a
r
VV r ˆ
1ˆ1ˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇G 
Rotacional 
H
GG ×∇ z
xy
y
xx
x
yz a
y
H
x
H
a
z
H
z
Ha
z
H
y
H ˆˆˆ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
 
( )
z
zz a
HH
a
H
z
H
a
z
HH ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φ
 ( ) ( ) ( )
φ
θ
θ
φθφ
θφθφθ
θ
θ a
H
r
rH
r
a
r
rHH
senr
aH
senH
rsen
rr
r ˆ
1ˆ11ˆ1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
 
Laplaciano 
V2∇ 2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
∂
∂+∂
∂+∂
∂ 
2
2
2
2
2
11
z
VVV
∂
∂+∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
φρρρρρ 2
2
222
2
2
111
φθθθθθ ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ V
senr
Vsen
senrr
Vr
rr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA -"Júlio de Mesquita Filho"Campus de Sorocaba/lperó 
Unidade Diferenciada Sorocaba/lperó -Engenharia de Controle e Automação;Habilitação:Controle e Automação 
Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005 
 
Questão 1 – (3,0 Pontos) 
 (a) 
™ Densidade superficial: 
ρb =5m com rs = - 2,0 m.C/m2. Considere 
 
™ Densidade volumétrica: 
0 ≤ ρ ≤ρ a= 2m com rv = +2,0 m.C/m3
™ e = e0. 
 
2
2
2
 se 2
 se 2 5
2 se 
v
i v a
S S
v a s b
L
D dS Q D dS L
L L
ρ πρ ρ
ρ πρ ρ
ρ πρ ρ πρ ρ
⎧ <⎪⋅ = ⇒ ⋅ = ≤ <⎨⎪ + ≥⎩
∫∫ ∫∫G GG Gw w
2
2
2
 se 2
2 se 2 5
2 se 5
v
v a
v a s b
L
D L L
L L
ρ
ρ πρ ρ
π ρ ρ πρ ρ
ρ πρ ρ πρ ρ
⎧ <⎪= ≤ <⎨⎪ + ≥⎩
5
 
2
2
2
 se 2
2
 se 2 5
2
2 se 5
2
v
v a
v a s b
L
L
LD
L
L L
L
ρ
ρ πρ ρπρ
ρ πρ ρπρ
ρ πρ ρ πρ ρπρ
⎧ <⎪⎪⎪⎪= ≤ <⎨⎪⎪ + ≥⎪⎪⎩
 
2
2
 se 2
2
1 se 2 5
2
2 1 se 5
2
v
v a
v a s b
D
ρ ρ ρ
ρ ρ ρρ
ρ ρ ρ ρ ρρ
⎧ <⎪⎪⎪ ≤ <= ⎨⎪⎪ + ≥⎪⎩
G
 
2
2
2 se 2
2
2 2 1 se 2 5
2
2 2 2 2 5 1 se 5
2
D
µ ρ ρ
µ ρρ
µ ρρ
⎧ <⎪⎪ ⋅⎪ ≤ <= ⎨⎪⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ ≥⎪⎩
G 
( )2
 se 2
4 se 2 5
6 se 5
D C m
ρ ρ
ρ µρ
ρρ
<⎧⎪⎪ ≤ <⎪= ⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩
G 
( )2
ˆ se 2
4 ˆ se 2 5
6 ˆ se 5
a
aD C m
a
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
ρ µρ
ρρ
<⎧⎪⎪ ≤ <⎪= ⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩
G 
 
( )
0
0
0
ˆ se 2
4 ˆ se 2 5 m
6 ˆ se 5
a
aE V
a
ρ
ρ
ρ
ρ ρε
ρ µε ρ
ρε ρ
⎧ <⎪⎪⎪ ≤ <= ⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩
K 
( )
0
0
0
ˆ se 2
4 ˆ se 2 5 m
6 ˆ se 5
a
aE V
a
ρ
ρ
ρ
ρ ρε
ρ µε ρ
ρε ρ
⎧ <⎪⎪⎪ ≤ <= ⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩
K 
 (b) Potencial: 
∫ ⋅−=−= A
B
BAAB LdEVVV
GG
 
™ Em r = 2 m: 
3
3, 3 3 2
2
V V V Eρ ρ ρ ρ= = = = dL= − = − ⋅∫ G G 
3
3, 2 3 2
02
4V V Vρ ρ ρ ρ
µ dρε ρ= = = == − == −∫ 
35
3, 2 2 2
0 4,519774 10 lnV Vρ ρ ρ ρ= = == − = − ⋅
5
2
34,519774 10 ln
2
Vρ =− = − ⋅ 
2 183261Vρ = = 
( )2 183, 261V kρ = = V 
 
Questão 2 – (2,0 Pontos) 
ρs = 20 nC/m2 em z=-3m; 
0
ˆ
2
s
s sE a
ρ
ε=
G
 
 ρL = -30 nC/m no eixo z: 
1
1 1
0 1
ˆ
2 l
L
l NE a
ρ
πε ρ=
G
 
 ρL = 40 nC/m em x = 2m, z = 1m. 
2
2 2
0 2
ˆ
2 l
L
l NE a
ρ
πε ρ=
G
 
Determine a magnitude de E em: 
 (a) PA(1, 1, 2); 
 
0
20 ˆ
2As z
nE aε=
G
0
10 ˆ
As z
nE aε⇔ =
G
 
 
ρL = -30 nC/m no eixo z: 
1
1 11 2 2
0 1 0
30 1 1ˆ ˆ
2 2 22 1 1l
L
l N l x
n ˆyE a E a a
ρ
πε ρ πε
− ⎛ ⎞= ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠+
G G
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA -"Júlio de Mesquita Filho"Campus de Sorocaba/lperó 
Unidade Diferenciada Sorocaba/lperó -Engenharia de Controle e Automação;Habilitação:Controle e Automação 
Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005 
 
1
0
30 1 1ˆ ˆ
2 2 2 2l x
nE aπε
− ⎛
ya
⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
G
 
( )
1
0
30 ˆ ˆ
4l x
nE aπε
−= +G ya 
( )
1
ˆ ˆ270l xE a=− +
G
ya 
2
2 2
0 2
ˆ
2 l
L
l NE a
ρ
πε ρ=
G
 
PA(1, 1, 2); P(2,y,1) 
2
1,1,2 2,1,1
ˆ
1,1,2 2,1,1N
a
−= − 
2
1,0,1 1 1ˆ ˆ
1,0,1 2 2N x
a a
−= = − +− ˆza 
( )2 22 1 1 2ρ = − + = 
2
0
40 1 1ˆ ˆ
2 2 2 2l x
n
zE a aπε
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
G
 
( )
2
0
40 ˆ ˆ
4l x
n
zE a aπε= − +
G
 
( )
2
ˆ ˆ360l xE a= − +
G
za 
1 2A AP l l
E E E E= + +G G G Gs 
( ) ( )
0
10ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ270 360
AP x y x z
n
zE a a a a aε= − + + − + +
G
 
0
10ˆ ˆ630 270 360
A
ˆP x y
n
zE a a ε
⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
G
a
ˆz
 
ˆ ˆ630 270 1489.94
AP x y
E a a= − − +G a 
ˆ ˆ630 270 1489.94
A
ˆP x yEa a= − − +
G
za 
 
(b) PB(-4,3, -1); 
0
20 ˆ
2As z
nE aε=
G
0
10 ˆ
As z
nE aε⇔ =
G
 
 
ρL = -30 nC/m no eixo z: 
( ) ( )
1
1 11 2 2
0 1 0
30 4 3ˆ ˆ ˆ
52 52 4 3
l
L
l N l x y
nE a E a a
ρ
πε ρ πε
− −⎛ ⎞= ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠− +
G G
 
( )
1
0
30 ˆ ˆ4 3
2 25l x
nE aπε
−= − +G ya
ya
ya
 
( )
1
ˆ ˆ21.6 4 3l xE a=− − +
G
 
1
ˆ ˆ86.4 64.8l xE a= −
G
 
2
2 2
0 2
ˆ
2 l
L
l NE a
ρ
πε ρ=
G
 
PB(-4,3, -1); P(2,y,1) 
2
4,3, 1 2,3,1
ˆ
4,3, 1 2,3,1N
a
− − −= − − − 
2
6,0, 2 6 2ˆ ˆ
6,0, 2 40 40N x
a a
− −= = − −− − ˆza 
( ) ( )2 22 6 2ρ = − + − = 40 
2
0
40 6 2ˆ ˆ
2 40 40 40l x
n
zE a aπε
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
G
 
( )
2
0
40 ˆ ˆ6 2
2 40l x
n
zE a aπε= − −
G
 
( )
2
ˆ ˆ18 6 2l xE a= − − za
G
 
2
ˆ ˆ108 36l xE a= − − za
G
 
1 2A AP l l
E E E E= + + s
G G G G
 
0
10ˆ ˆ ˆ ˆ86.4 64.8 108 36
AP x y x z
n ˆzE a a a a ε= − − − + a
G
 
0
10ˆ ˆ21.6 64.8 36
A
ˆP x y
n
zE a a ε
⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
a
G
 
ˆ ˆ21.6 64.8 1093.94
AP x y
ˆzE a a= − − + a
G
 
( )ˆ ˆ ˆ21.6 64.8 1093.94
A
V
P x y z ME a a a= − − +
G
 
 
Questão 3 – (2,0 Pontos) ( )22 2 ˆcos Cr mD r aθ=G 
(a) a densidade volumétrica de carga em 
r = 1m, θ =π/3. 
Dv
GG ⋅∇=ρ 
( ) ( ) φθθθθ φθ ∂∂+∂∂+∂∂ DrsensenDrsenDrrr r 111 22 
Dv
GG ⋅∇=ρ ( )2 2 221 cosr rr r θ∂= ∂ 3 221 4 cosrr θ= 
2 2
34 cos 4 1cosv D r πρ θ= ∇⋅ = = ⋅
G G
 
31v C mρ = 
(b) a densidade de fluxo elétrico em: 
 r = 1m, θ =π/3. ( )22 2 ˆcos Cr mD r aθ=G C/m2 ñ ˆ0.25 rD a=G C/m2
 
 
Questão 4 – (2,0 Pontos) 
( )250 cosV V
z
ρ φ= 
,as superfícies equipotenciais correspondentes 
a V = 50V, 25V e 10V e o ponto P em ρ = 3m, φ = 
30°, z = 2m, determine os valores em P para: 
(a) V; 
(b) E. Como é posicionado em relação à 
equipotencial no ponto P? 
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Prova 1 –Eletromagnetismo I - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – 05/05/2005 
 
(c) E; 
(d) dV/dN; 
(e) aN ; 
(a) ( )250 cosV V
z
ρ φ= 
( )250 3cos 30
2
V V= 
( )50 33
2 4
V V= ⋅ 
( )450 56,25
8
V V= = 
 (b) E V = −∇G G
1ˆ ˆ ˆz
V V VE a a a
zρ φρ ρ φ
∂ ∂ ∂= − − −∂ ∂ ∂
G 
2 250 1 50 50ˆ ˆcos cos cos2 zˆE a az z z zρ φ
ρ φ ρ φ ρ φρ ρ φ
∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G
a
2
2
50 100 50ˆ ˆcos cos cos2 ˆzE a sen a az z zρ φ
φ φ φ ρ φ= − + +G
2
2
50 100 50ˆ ˆcos 30 cos30 30 3cos 30º
2 2 2
2 ˆzE a sen aρ φ= − ° + ° ° +
G
a
75 100 3 450ˆ ˆ ˆ
4 8 16 z
E a a aρ φ= − + +
G
 
 
ˆ ˆ18.75 21.65 28.13ˆzE a aρ φ= − + +
G
a 
Normal à superfície equipotencial! 
(c) E; 
22 275 100 3 450
4 8 16
E
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
G 
( )40.14 NCE =G 
(d) dV/dN; 
( )40.14 VmdVE dN= =
G
 
(e) aN ; 
ˆN
Va
V
−∇= −∇
G
G 
ˆ ˆ18.75 21.65 28.13
ˆ
40.14
z
N
a a
a ρ φ
− + += aˆ 
ˆ ˆ ˆ0.467 0.539 0.701ˆN za a aρ φ= − + + a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
™ PROCEDIMENTO PARA A 
ELABORAÇÃO DAS MANOGRAFIAS 
 
1. Elaborar o título. 
2. Indicar o material necessário para a 
montagem do experimento, se houver necessidade. 
3. Diagramatizar o experimento, quando 
houver. 
4. Indicar o conteúdo em papel A4, com folhas 
numeradas. 
5. As monografias serão elaboradas 
individualmente . 
6. As monografias individuais deverão ser 
entregues até a data solicitada de entrega. Não serão 
aceitas após a data pedida. 
 
Considerar: 
 
• Ordem e apresentação da monografia. 
 
• Conteúdo e apresentação dos dados 
experimentais. 
 
• Conclusões e discussão dos resultados. 
 
 
No mínimo, para cada monografia deve sempre 
conter: 
 
1. Título , data de realização e colaboradores; 
 
2. Objetivos e importância do tema pesquisado; 
 
3. Roteiro dos procedimentos experimentais, 
quando houver. 
 
4. Esquema do aparato utilizado, quando 
houver; 
 
5. Descrição dos principais instrumentos e 
equipamentos existentes; 
 
6. Dados medidos; 
 
7. Cálculos; 
 
8. Gráficos; 
 
9. Resultados e conclusões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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™ TEMAS: 
 
 Magnetoresistividade. 
 
 Efeito Peltier 
 
 Materiais Piezoelétricos 
 
 Equação de Poisson – Junção p-n 
em semicondutores 
 
 Equação de Laplace 
 
 Programação de animações de 
temas aprendidos em aula com softwares existentes