Lista de Exercicio para NP1 2015.1 Calculo Numerico

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Lista de Exercícios 
 
Isolamento das raizes 
1) Seja f(x) = x
3
-x
2
-6x+3 contínua em [-4,4]. Faça o isolamento das raízes. 
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
F(x) 
 
Bissecção 
2) Quantas iterações são necessárias para estimar o valor de √8 pelo Método da 
Bissecção, com uma precisão de (ou erro menor que) 10
-5
. 
 
𝑛 >
𝑙𝑜𝑔(𝑏 − 𝑎) − 𝑙𝑜𝑔𝜀
𝑙𝑜𝑔2
 
Com I = [a ; b] = [2 ; 3] 𝜀 = 10−5 
 
 
3) Sobre o Método da Bissecção: Seja a função f(x) = x+ln(x) no intervalo [0,2 ; 2]. 
 
a) Quantas iterações são necessárias para estimar o valor de x, com uma 
precisão de (ou erro menor que) 10
-1
. 
 
𝑛 >
𝑙𝑜𝑔(𝑏 − 𝑎) − 𝑙𝑜𝑔𝜀
𝑙𝑜𝑔2
 
 
b) Estime o valor de x usando o Método da Bissecção com uma precisão de (ou 
erro menor que) 10
-1
. 
 
1ª iteração 
 
 
 
2ª iteração 
 
 
 
3ª iteração 
 
 
 
4ª iteração 
 
 
x a (a+b)/2 b 
 f(x) 
x a (a+b)/2 b 
 f(x) 
x a (a+b)/2 b 
 f(x) 
x a (a+b)/2 b 
 f(x) 
 
 
MPF 
4) Sobre o Método do Ponto Fixo: Seja f(x) = x² – 5x +6 definida no intervalo I=[1;2,5]. 
 
a) Encontre 6 funções de Iteração. 
 
1 g1(x) = √5𝑥 − 6 
2 g2(x) = 
3 g3(x) = 
4 g4(x) = 
5 g5(x) = 
6 g6(x) = 
 
b) Tomando uma das funções de iteração do item a) e x0=1,5. Verifique por 
meio de iteração se a sequência xn+1=g(xn) converge para k=2. (Obs: Tome 
como critério de parada | xn+1 – xn|<0,01 caso necessário). 
 
Nº Xn+1=g(Xn) 
1 X1 = g(X0) 
2 X2 = g(X1) 
3 X3 = g(X2) 
4 X4 = g(X3) 
5 X5 = g(X4) 
6 X6 = g(X5) 
 
 
5) Sobre Ponto Fixo: Seja a função f(x) = x² - 3x + 2 tal que x’ = 2 e x” = 1. 
a) Mostre que g(x) = √3x − 2 é uma função de iteração para f(x)=0. 
 
(g(x))² - 3x + 2=0 
 
 
 
 
b) Sendo 𝐱𝐧+𝟏 = g(xn) = √3xn − 2 uma função de iteração para f(x)=0, 
escolha um ponto fixo da função g(x) e um x0, verifique se a sequência {xn} 
converge para este ponto fixo escolhido. 
 
Seja 2 o ponto fixo e x0 =1,5 com erro inferior a 0,1 
 
Nº Xn+1=g(Xn) 
1 X1 = g(X0) 
2 X2 = g(X1) 
3 X3 = g(X2) 
4 X4 = g(X3) 
5 X5 = g(X4) 
6 X6 = g(X5) 
 
Newton 
 
6) Calcule √7 usando o Método Indireto de Newton. Tais que: x0 = 2 e com tolerância 
inferior a 0,001. 
 
𝑥 = √7 → 𝑥² = 7 → 𝑥² − 7 = 0 → 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 7 → 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
 
𝑔(𝑥) = 𝑥 −
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
 → 𝑔(𝑥) = 𝑥 −
𝑥² − 7
2𝑥
 
Nº Xn+1=g(Xn) 
1 X1 = g(X0) 
2 X2 = g(X1) 
3 X3 = g(X2) 
 
 
7) Seja a função f(x) = x² - 3x + 2, usando o Método Numérico de Newton-Raphson, 
calcule a raiz da equação tais que: 
 
i) Estimativa inicial é x0 = 3; 
ii) Tolerância inferior a 0,002.