3_Metodos_Numericos_para_Zeros_de_Funcoes_(lista_de_exercicios)

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ICT - UNIFESP - São José dos Campos
Cálculo Numérico Segundo Semestre de 2020
Turmas IA e IB Prof. Thadeu Senne
Lista de Exerćıcios 3 - Métodos Numéricos para Zeros de Funções
Instruções para a resolução dos exerćıcios desta lista:
• Todos os cálculos deverão ser realizados com 4 casas decimais, utilizando arredondamento.
• O cálculo das funções trigonométricas deverão ser feitos considerando o argumento em radianos.
1. Considere a função f(x) = x3 + x− 4 .
(a) Mostre que f possui pelo menos uma raiz no intervalo [1, 4] .
(b) É posśıvel afirmar que essa raiz de f no intervalo [1, 4] é única? Justifique.
(c) Faça três iterações do Método da Bissecção para estimar a solução x∗ da equação f(x) = 0 .
(d) Determine qual é o número mı́nimo de iterações para que o Método da Bissecção encontre
uma solução aproximada da equação f(x) = 0 com uma tolerância ε = 10−10 .
2. Seja a função f(x) = x− 4 ln(x) .
(a) Mostre que a equação f(x) = 0 possui uma única raiz no intervalo [1, e] .
(b) Use o Método de Newton para obter uma aproximação para esta raiz. Tome x0 = 1.3 e
� = 10−2 .
3. Aplique o Método de Newton para obter o valor aproximado de
√
3356 com precisão de 10−2 .
Tome como ponto inicial o número mais próximo de 3356 cuja raiz quadrada seja um número
natural. Repita o procedimento usando o Método da Secante.
4. Considere a função f(x) =
x2
2
+ x(ln(x)− 1) . Utilize os Métodos de Newton e da Secante para
obter os pontos cŕıticos de f , com uma precisão de 10−6 ou até atingir o número máximo de 3
iterações.
5. Utilize o Método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de 10−4 do valor de
x que produz o ponto no gráfico de y = x2 que está mais próximo ao ponto (1, 0) . Em seguida,
repita a resolução do problema usando o método da secante. (Dica: minimize a função [D(x)]2 ,
em que D(x) representa a distância do ponto (x, x2) ao ponto (1, 0)) .
6. O Método de Newton Modificado consiste em gerar a sequência {xk} por meio da relação
xk+1 = xk −
f(xk)
f ′(x0)
,
em que x0 é uma aproximação inicial para uma solução da equação f(x) = 0 .
(a) Com o aux́ılio de um gráfico, faça a interpretação geométrica deste método.
(b) Cite algumas situações em que é conveniente usar este método em lugar do Método de Newton.
7. Dados dois números reais a e b , com a 6= 0 , como encontrar o valor de b/a em uma calculadora
que realiza apenas as operações de soma, subtração e multiplicação? (Dica: Reformule este
problema de tal forma que seja posśıvel usar o método de Newton.)