5ªListaFísica1Veiga2012-2

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Universidade Veiga de Almeida 
5ª Lista de exercícios de Física I : OSCILAÇÕES 2º/2012 
 
Movimento harmônico simples 
1. Qual a diferença entre oscilações simples, amortecidas e 
forçadas? 
2. Defina movimento harmônico simples (MHS) e dê 
exemplos. 
3. Se você souber derivar, mostre que as seguintes funções 
são soluções da equação diferencial do MHS: (a) x = A cos t; 
(b) x = B sen t; (c) x = xm
 cos (t  ); (d) x = xm
 sen (t  ); 
(e) x = xm
 e i (t  ). Considere que A, B, xm e  sejam 
constantes e que i2 = -1. 
4. (S13.1) A posição de uma partícula é dada pela expressão 
x = 4 cos (3t  ), com x em metros e t em segundos. 
Determinar (a) a amplitude, (b) a constante de fase, (c) a 
frequência, (d) o período do movimento e (e) o deslocamento 
da partícula, em t = 0,25 s. (4,00 m;  rad; 1,50 Hz; 0,667 s; 2,83 m) 
5. (HW15.11) Um corpo oscila em movimento harmônico 
simples de acordo com a equação x = 6,0 cos (3t + /3), em 
unidades são do SI. Em t = 2,0 s, quais são: (a) a posição; (b) a 
velocidade; (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? 
Informe: (e) a frequência e (f) o período do movimento. (3,0 m; 
-49 m/s; -266 m/s2; 19/3 rad; 1,5 Hz; 0,67 s) 
6. (HW15.8) Um sistema oscilante leva 0,75 s para começar a 
repetir seu movimento. Ache: (a) o período; (b) a frequência e 
(c) a frequência angular do sistema. (8,4 rad/s) 
7. (HW15.5) Um objeto sujeito a um movimento harmônico 
simples leva 0,25 s para ir de um ponto com velocidade nula 
até o próximo ponto onde isto ocorre. A distância entre estes 
pontos é 36 cm. Calcule: (a) o período; (b) a frequência e (c) a 
amplitude do movimento. (0,50 s; 2,0 Hz; 18 cm) 
8. (HW15.3) As lâminas de um barbeador elétrico movem-se 
para frente e para trás numa distância de 2,0 mm, em MHS, 
com frequência de 120 Hz. Determine: (a) a amplitude; (b) a 
velocidade máxima e (c) a aceleração máxima da lâmina. 
(1,00 mm; 0,754 m/s; 568 m/s2) 
Movimento circular e uniforme 
9. Num movimento circular, a posição é dada pelo ângulo , a 
velocidade angular é definida por  = d/dt e a aceleração 
angular, por  = d/dt. Num movimento circular e uniforme 
(MCU), a aceleração angular é nula. Mostre que, no MCU: (a) a 
velocidade angular é constante; (b) a posição é dada por 
 = o + t. 
10. Uma partícula está em movimento circular e uniforme 
sobre uma circunferência de raio r. Mostre que: (a) sua 
velocidade é v = r; (b) sua aceleração é a = 2r. 
11. Mostre que a projeção de um movimento circular e 
uniforme (MCU) sobre um diâmetro é um movimento 
harmônico simples (MHS). 
12. Uma partícula está em MHS, com 4,00 cm de amplitude e 
10,0 rad/s de frequência. Determine o deslocamento x, a 
partir da posição de equilíbrio, e a velocidade v, nos instantes 
em que a fase, em radianos, vale: (a) 0; (b) /4; (c) /3; 
(d) /2; (e) ; (f) 3/2; (g) 2. (4,00 cm e 0; 2,83 cm e -28,3 cm/s; 
2,00 cm e -34,6 cm/s; 0 e -40,0 cm/s;-4,00 cm e 0; 0 e 40 cm/s; 4,00 e 0) 
Sistema bloco-mola 
13. Mostre que o movimento de um bloco de massa m, preso a 
uma mola ideal de constante elástica k, livre da ação de 
forças dissipativas, é um MHS, com frequência angular 
mk
. Obtenha as expressões da frequência e do período 
deste MHS. 
14. (HW15.7) Um oscilador é formado por um bloco com uma 
massa de 0,500 kg ligado a uma mola. Quando é posto em 
oscilação com uma amplitude de 35,0 cm o oscilador repete o 
movimento a cada 0,500 s. Determine (a) o período, (b) a 
frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante elástica, 
(e) a velocidade máxima e (f) o módulo da força máxima que a 
mola exerce sobre o bloco. (0,500 s; 2,00 Hz; 12,6 rad/s; 79,0 N/m; 
4,40 m/s; 27,6 N) 
15. (HW15.97) Um bloco de 4,00 kg está suspenso por uma 
mola, distendendo-a 16,0 cm além de seu comprimento de 
repouso. (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) O bloco 
é removido e um corpo de 0,500 kg é suspenso pela mesma 
mola. Se ele for então puxado e solto, qual será o período da 
oscilação? (245 N/m; 0,284 s) 
16. (HW15.96) Um peso de 20 N é suspenso pela parte 
inferior de uma mola vertical, fazendo com que ela se estenda 
20 cm. (a) Qual a constante da mola? (b) Esta mola é então 
colocada na horizontal sobre uma mesa. Uma extremidade 
dela é fixada e a outra é presa a um peso de 5,0 N, que é 
então deslocado (esticando a mola) e liberado do repouso. As 
forças dissipativas são insignificantes. Qual o período da 
oscilação? (100 N/m; 0,45 s) 
17. (HW15.79) A extremidade de determinada mola vibra com 
um período de 2,0 s, quando certa massa m está ligada a ela. 
Quando esta massa é acrescida de 2,0 kg, o período passa 
para 3,0 s. Ache o valor de m. (1,6 kg) 
Energia 
18.  A energia mecânica E de um sistema bloco-mola ideal 
é: E = mv2/2 + kx2/2. Obtenha a equação do MHS, derivando 
E, em relação ao tempo. 
19. Mostre que a energia mecânica de um sistema bloco-mola 
ideal pode ser dada por: (a) E = kxm
2/2 ou (b) E = mvm
2/2, com 
k, xm, m e vm sendo a constante elástica da mola, a amplitude 
do movimento, a massa do bloco e a amplitude da velocidade, 
respectivamente. 
20. (HW15.27) Determine a energia mecânica de um sistema 
bloco-mola, em MHS, com uma constante elástica de 1,3 N/cm 
e uma amplitude de oscilação de 2,4 cm. (37 mJ) 
21. (HW15.28) A energia mecânica de um sistema bloco-mola, 
em MHS, é 1,00 J; a amplitude das oscilações é 10,0 cm e a 
velocidade máxima do bloco é 1,20 m/s. Calcule: (a) a 
constante da mola; (b) a massa do bloco; (c) a frequência das 
oscilações. (200 N/m; 1,39 kg; 1,91 Hz) 
22. (S13.18) Um corpo de 200 g de massa liga-se a uma mola, 
efetuando um movimento harmônico simples de período 
250 ms. Se a energia total do sistema for de 2,00 J, achar 
(a) a constante de força da mola e (b) a amplitude do 
movimento. (126 N/m; 17,8 cm) 
23. (S13.19) Um sistema massa-mola oscila com amplitude de 
3,50 cm. Se a constante da mola for de 250 N/m e se a massa 
valer 0,500 kg, determinar (a) a energia mecânica do sistema, 
(b) a velocidade máxima e (c) a aceleração máxima da massa. 
(0,153 J; 0,783 m/s; 17,5 m/s2) 
24. (S13.21) A amplitude do movimento de um sistema, que 
efetua um movimento harmônico simples, é duplicado, em 
certo instante. Determinar a variação (a) da energia total, 
(b) da velocidade máxima, (c) da aceleração máxima e (d) do 
período. (quadruplica; duplica; duplica; não se altera) 
25. (S13.22) Um corpo de 50,0 g, ligado a uma mola leve, cuja 
constante é 35,0 N/m, oscila sobre uma superfície horizontal, 
com uma amplitude de 4,00 cm. O atrito é desprezível. Achar 
(a) a energia total do sistema e (b) a velocidade da massa, 
quando o deslocamento for 1,00 cm. Quando o deslocamento 
for 3,00 cm, achar as energias (c) potencial e (d) cinética. 
(28,0 mJ; 1,02 m/s; 15,75 mJ; 12,25 mJ) 
26. (H15.29) Em um MHS, quando o deslocamento x é de 
metade da amplitude xm, que fração da energia total é 
(a) energia cinética e (b) energia potencial? (c) Para que 
deslocamento, em função da amplitude, a energia do sistema é 
metade energia cinética e metade energia potencial? (0,75; 
0,25; xm2) 
27. (H15.31) Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma 
superfície horizontal está preso a uma mola cuja constante 
elástica vale 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontal-
mente 50,0 cm, a partir da posição de equilíbrio, e recebe 
uma velocidade inicial de 10,0 m/s, em a direção à posição de 
equilíbrio. As forças de atrito e resistência do ar podem ser 
desprezadas. Quais são (a) a frequência do movimento, (b) a 
energia potencial inicial do sistema bloco-mola, (c) a energia 
cinética inicial do bloco e (d) a amplitude do movimento? (2,25 
Hz; 125 J; 250 J; 86,6 cm) 
Pêndulo simples 
28. Mostre que as pequenas oscilações de um pêndulo simples 
de comprimento L, livre da ação de forças dissipativas, é um 
MHS, com frequência angular 
Lg
. Obtenha as 
expressões da frequência e do período desteMHS. 
29. Um relógio de pêndulo suficientemente preciso pode 
funcionar perfeitamente em um local e atrasar (ou adiantar) 
em outro local. (a) Identifique os fatores que podem causar 
esse erro. (b) Em que condições o relógio atrasaria? 
30. (H) Qual o comprimento de um pêndulo simples cujo 
período é 1,00 s, num local onde g = 9,815 m/s2? (24,9 cm) 
31. (H) Qual o comprimento de um pêndulo simples que marca 
os segundos completando um balanço para a esquerda e outro 
para a direita a cada 2,00 s, num local onde g vale 9,80 m/s2? 
(99,3 cm) 
32. (H) Um pêndulo simples está balançando livremente com 
uma amplitude angular muito pequena. Quando o pêndulo passa 
por sua posição central (a de equilíbrio), sua corda é súbita e 
rigidamente presa em seu ponto médio. Em termos do período 
original T do pêndulo, qual será o novo período? (T/
2
) 
33. (HW15.47) Uma artista de circo, sentada em um trapézio, 
está balançando com um período de 8,85 s. Quando fica de 
pé, elevando assim de 35,0 cm o centro de massa do sistema 
trapézio + artista, qual é o novo período do sistema? Trate o 
sistema trapézio + artista como um pêndulo simples. (8,77 s) 
34. A frequência de um pêndulo simples aqui na Terra vale 
500 mHz. Qual seria a frequência desse pêndulo na Lua? 
35. (HW15.75) Qual é a frequência de um pêndulo simples de 
2,0 m de comprimento (a) em uma sala, (b) em um elevador 
acelerando para cima a 2,0 m/s2 e (c) em queda livre? (0,35 Hz; 
0,39 Hz; 0) 
Movimento harmônico amortecido 
36. Uma partícula de massa m, presa a uma mola ideal de 
constante elástica k, move-se sob ação de uma força 
dissipativa dada por f = -bv, com b sendo uma constante de 
amortecimento e v, a velocidade. (a) Obtenha a equação 
diferencial que rege o movimento dessa partícula. (b)  Se 
você souber derivar, mostre que x = xm e
-bt/2m cos (t  ), 
com   
2
k b
m 2m
 
  
 
, é uma solução da equação diferencial do 
item anterior. (c) Faça um esboço do gráfico de x em função 
do tempo. (d) Quais as expressões de x e de , no caso b = 0? 
37. Um oscilador é superamortecido, se b/2m for maior que 
k m
; é subamortecido, se for menor; e é crítico, se for 
igual. Em cada item, considere os valores de b, m e k dados e 
verifique o tipo de amortecimento: (a) b = 0,300 kg/s, 
m = 1,50 kg e k = 6,00 N/m; (b) b = 6,00 kg/s, m = 050 kg e 
k = 6,00 N/m;; (c) b = 25 kg/s, m = 0,50 kg e k = 200 N/m. 
(sub; crítico; super) 
38. (HW15.59) A amplitude de um oscilador fracamente 
amortecido diminui de 3,0% a cada ciclo. Que porcentagem da 
energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo? (5,9%) 
Movimento harmônico forçado 
39. Uma partícula de massa m, presa a uma mola ideal de 
constante elástica k, move-se sob ação de uma força 
dissipativa dada por f = -bv e por uma força externa oscilante 
dada por Fe = Fm sen
 et. Obtenha a equação diferencial que 
rege o movimento dessa partícula. 
40.  É possível mostrar que x = xm
 cos (et  ) é solução 
da equação diferencial do oscilador harmônico forçado, com 
amplitude dada por: 
m
m
2 2 2 2
e e
F
x
(k m ) b

   
. 
Diz-se que o oscilador está em ressonância, quando a 
frequência angular (e) da força externa assume um valor que 
torna máxima a amplitude (xm) das oscilações. Determine a 
frequência angular de ressonância, nos casos: (a) b = 0 e 
(b) b  0. 
41. (H15.62) Nove pêndulos com os seguintes comprimentos, 
em metros, são pendurados em uma viga horizontal: (a) 0,10; 
(b) 0,30; (c) 0,40; (d) 0,80; (e) 1,2; (f) 2,8; (g) 3,5; (h) 5,0; 
(i) 6,2. A viga sofre oscilações horizontais com frequências 
angulares na faixa de 2,00 a 4,00 rad/s. Quais dos pêndulos 
entram fortemente em oscilação? 
Fontes: 
S = Serway, Física, v. 1. 3ª ed. LTC. 
HW = Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física 1, 8ª ed. LTC. 
H = edição antiga do Halliday.