Apostila de Fundamentos de Matemática

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Capítulo
1
Os números reais
1.1 Números Reais
Em R estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.
• Adição: x` y
• Multiplicação: xˆ y ou x ¨ y
Propriedades
• Fechamento: x` y P R e x ¨ y P R, @x, y P R
• Comutativa: x` y “ y ` x e x ¨ y “ y ¨ x
• Associativa: x` py ` zq “ px` yq ` z e x ¨ py ¨ zq “ px ¨ yq ¨ z
• Distributiva: x ¨ py ` zq “ x ¨ y ` x ¨ z
• Elemento neutro:
– Adição: Para todo x P R, existe um número real 0 tal que x` 0 “ 0` x “ x.
– Mutiplicação: Para todo x P R, existe um número real 1 tal que x ¨ 1 “ 1 ¨ x “ x.
• Existência de simétrico ou oposto: Todo número real x possui um oposto ´x tal que
x` p´xq “ p´xq ` x “ 0.
Obs: Definimos a diferença entre dois números reais x e y por x´ y “ x` p´yq.
• Existência de inverso: Todo número real x ‰ 0 possui um inverso 1
x
tal que
x ¨ 1
x
“ x ¨ x´1 “ 1.
Obs:
x
y
“ x ¨ 1
y
, onde
1
y
é o inverso de y. O quociente
x
y
é chamado de divisão de x
por y.
1
Regras de sinal
Para quaisquer números reais x e y, tem-se:
• x ¨ 0 “ 0 ¨ x “ 0
• ´p´xq “ x
• p´xq ¨ p´yq “ x ¨ y
• p´1q ¨ x “ ´x
•
´1
x
“ 1´x “ ´
1
x
• ´px` yq “ ´x´ y
• x ¨ p´yq “ p´xq ¨ y “ ´pxyq
• ´x
y
“ ´x
y
“ x´y se y ‰ 0
Propriedades operacionais dos números reais
Para quaisquer números reais x, y e z, valem as seguintes propriedades:
• x` z “ y ` z ô x “ y (Lei do Cancelamento)
• x´ z “ y ´ z ô x “ y (Lei do Cancelamento)
• Se z ‰ 0, então x ¨ z “ y ¨ z ô x “ y (Lei do Cancelamento)
As implicações x “ y ñ x˘ z “ y˘ z e x “ y ñ x ¨ z “ y ¨ z são chamadas Regra da
Balança. Em palavras, ela diz que em uma igualdade de números reais, sempre se pode
somar ou multiplicar uma mesma quantidade.
O nome da regra advém de interpretar os números x e y como pesos colocados um em
cada prato de uma balança, os quais sendo iguais, mantêm a balança em equilíbrio. Este
equilíbrio é mantido se acrescentarmos ou tirarmos em cada prato, um mesmo peso z, ou
seja, x˘ z “ y ˘ z.
• x ¨ y “ 0 ô x “ 0 ou y “ 0 (Lei do Anulamento)
(o ou aqui permite o caso x “ y “ 0.)
• x ¨ y ‰ 0 ô x ‰ 0 e y ‰ 0
Observação: A lei do anulamento vale também para mais de dois números reais.
• x ¨ y ¨ z “ 0 ô x “ 0 ou y “ 0 ou z “ 0.
• x ¨ y ¨ z ¨ w “ 0 ô x “ 0 ou y “ 0 ou z “ 0 ou w “ 0.
• x1 ¨ x2 ¨ . . . ¨ xn “ 0 ô x1 “ 0 ou x2 “ 0 ou ¨ ¨ ¨ ou xn “ 0.
1.2 Ordenação dos Reais
O conjunto dos números reais pode ser representado por pontos sobre uma reta (Veja a
Figura 1.1).
A direção positiva (à direita) é indicada por uma flecha. Escolhemos um ponto de referência
arbitrário O, denominado origem, que corresponde ao número real 0. Dada qualquer unidade
conveniente de medida, cada número positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x
2
R´5 ´4 ´3 ´2 ´1 0 1 2 3 4 5
?
2´2.63 ´
3
7
1
2 pi
Figura 1.1
unidades de distância, à direita da origem e, cada número negativo x é representado pelo ponto
sobre a reta que está x unidades de distância, à esquerda da origem. Assim, todo número real
é representado por um ponto sobre a reta, e todo ponto P sobre a reta corresponde a um único
número real. O número real associado ao ponto P é chamado coordenada de P , e a reta é dita
então reta coordenada ou reta dos números reais, ou simplesmente reta real. Frequentemente,
identificamos o ponto com sua coordenada e pensamos em um número como um ponto na reta
real.
Definições
Os números reais são ordenados. Dizemos que x é menor que y e escrevemos x ă y se y ´ x
for um número positivo. Geometricamente, isso significa que x está à esquerda de y sobre a reta
real. (De maneira equivalente, dizemos que y é maior que x e escrevemos y ą x.) O símbolo
x ď y (ou y ě x) significa que x ă y ou x “ y e deve ser lido como “x é menor ou igual a y”.
Por exemplo, são verdadeiras as seguintes desigualdades:
7 ă 7, 4 ă 7, 5 ´ 3 ą pi ?2 ă 2 ?2 ď 2 2 ď 2
Temos ainda que:
• A soma de dois números reais positivos é outro número real positivo.
• O produto de dois números reais positivos é outro número positivo.
• Um número real x é negativo se, e somente se, p´xq é positivo.
• x ą y ô x´ y for positivo.
• x ě y ô x ą y ou x “ y.
Propriedades
Para quaisquer números reais x, y, z e w, valem as seguintes propriedades:
1♠
x ă y e y ă z
x ď y e y ă z
x ă y e y ď z
,/./- ñ x ă z
Observação: Convencionamos que x ď y ď z ô x ď y e y ď z.
2♠x ď y e y ď z ñ x ď z
3♠x ď y ô x˘ z ď y ˘ z
4♠x ď y e z ď w ñ x` z ď y ` w
3
5♠x ą 0 ô 1
x
ą 0
6♠x ă 0 ô 1
x
ă 0
7♠Se z ą 0, então x ď y ô x ¨ z ď y ¨ z
8♠Se z ă 0, então x ď y ô x ¨ z ě y ¨ z
Atenção
A Propriedade 7♠diz que podemos multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por
qualquer número positivo e o sentido da desigualdade é mantido e a Propriedade 8♠
diz que se multiplicarmos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo,
então inverteremos o sentido da desigualdade.
Por exemplo, se considerarmos a desigualdade 3 ă 5 e a multiplicarmos por 2, obtemos
6 ă 10, mas se a multiplicarmos por ´2, obteremos ´6 ą ´10.
9♠x ¨ y ě 0 ô
$’&’%
x ě 0 e y ě 0
ou
x ď 0 e y ď 0
10♠x ¨ y ď 0 ô
$’&’%
x ě 0 e y ď 0
ou
x ď 0 e y ě 0
11♠0 ă x ă y ô 0 ă 1
y
ă 1
x
12♠0 ď x ď y e 0 ď z ď w ñ x ¨ z ď y ¨ w
1.2.1 Intervalos Numéricos
Em vista da representação gráfica dos números reais, podemos pensar em semi-retas e seg-
mentos do eixo real, como representação gráfica de subconjuntos dos números reais. Conjuntos
assim representados serão chamados intervalos reais. Para isso vamos considerar dois números
reais a e b, com a ă b.
• tx P R; a ă x ă bu “ pa, bq
xa b
• tx P R; a ď x ď bu “ ra, bs
xa b
• tx P R; a ă x ď bu “ pa, bs
xa b
4
• tx P R; a ď x ă bu “ ra, bq
xa b
• tx P R; x ě au “ ra,`8q
xa
• tx P R; x ď au “ p´8, as
xa
• tx P R; x ą au “ pa,`8q
xa
• tx P R; x ă au “ p´8, aq
xa
1.3 Inequações do 1o Grau
Sendo a ‰ 0, inequações da forma ax` b ą 0 ou ax` b ą 0, ou redutíveis a essa forma, são
inequações do 1o grau.
Sua resolução é análoga à resolução das equações do 1o grau: basta isolar a incógnita.
Apenas, devemos ter o cuidado especial de que se multiplicarmos uma desigualdade por um
número negativo, o sentido da desigualdade deverá ser invertido. O mesmo ocorre se dividirmos
por um número negativo. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: erererer
a) Resolva a inequação 3x` 6 ą 0.
Solução:
3x` 6 ą 0ô 3x ą ´6ô x ą ´6
3
ô x ą ´2
Então, a inequação 3x` 6 ą 0 é verificada para todo número real maior que ´2. Por isso,
seu conjunto solução é:
S “ tx P R; x ą ´2u
b) Resolva a inequação 2x` 4 ď 3x` 1.
Solução:
2x` 4 ď 3x` 1ô 2x´ 3x ď 1ô ´x ď ´3ô x ě 3
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R; x ě 3u. (Observe a inversão da desigualdade
quando da multiplicação por ´1.)
5
c) Resolva a inequação x ď 2x´ 3 ď x` 4.
Solução:
Aqui devemos encontrar os valores de x que satisfazem simultaneamente as inequações
2x´ 3 ě x e 2x´ 3 ď x` 4.
Vamos resolver cada uma delas e, em seguida, procuramos os valores de x que sejam
comuns às duas soluções.
• 2x´ 3 ě x ô 2x´ x ě 3 ô x ě 3 pIq
• 2x´ 3 ď x` 4 ô 2x´ x ď 4` 3 ô x ď 7 pIIq
Para encontrarmos os valores comuns a pIq e pIIq, isto é, pIq X pIIq, vamos marcar em
retas paralelas, as raízes 3 e 7 com as condições pIq e pIIq. Assim, o intervalo de valores
comuns fica facilmente determinado.
pIq
3
pIIq
7
pIq X pIIq
3 7
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R; 3 ď x ď 7u.
d) Resolva a inequação 1 ă 2x´ 3
3
ď 5.
Solução:
1 ă 2x´ 3
3
ď 5 ô 3 ă 2x´ 3 ď 15 ô 6 ă 2x ď 18 ô 3 ă x ď 9
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R; 3 ă x ď 9u.
e) Resolva a inequação px´ 2qpx` 3q ě 0.
Solução:
px´ 2qpx` 3q ě 0 ô
$’&’%
x´ 2 ě 0 e x` 3 ě 0
ou
x´ 2 ď 0 e x` 3 ď 0
ô
$’&’%
x ě 2 e x ě ´3ou
x ď 2 e x ď ´3
ô x ě 2 ou x ď ´3
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R; x ě 2 ou x ď ´3u.
f) Resolva a inequação px` 4qpx´ 7q ă 0.
Solução:
px` 4qpx´ 7q ă 0 ô
$’&’%
x` 4 ą 0 e x´ 7 ă 0
ou
x` 4 ă 0 e x´ 7 ą 0
ô
6
$’&’%
x ą ´4 e x ă 7
ou
x ă ´4 e x ą 7
ô ´4 ă x ă 7
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R;´4 ă x ă 7u.
Atenção
Ao resolver uma desigualdade do tipo 5x ě 3`a (onde a é um número real dado), acontece
às vezes de se multiplicar apenas o 3 por
1
5
:
1
5
¨ 5x ě 1
5
¨ 3` a ô x ě 3
5
` a ERRADO!
Quando se multiplica por
1
5
o segundo membro, deve-se multiplicar todo o segundo mem-
bro, e não só a primeira parcela 3. O procedimento correto é:
1
5
¨ 5x ě 1
5
¨ p3` aq ô x ě 3` a
5
1.4 Valor absoluto
O módulo ou valor absoluto de um número real x é a distância desse número à origem,
que denotamos por |x|.
0 x
|x| “ x
0x
|x| “ ´x
Precisamente, temos a definição:
|x| “
#
x, se x ě 0
´x, se x ă 0
Exemplo 2: ddddd
a) |0| “ 0
b) | ´ 2| “ ´p´2q “ 2
c) |3| “ 3
d) | ´ pi| “ pi
e) |1´?2| “ ?2´ 1
f) |3, 14´ pi| “ pi ´ 3, 14
g) Se x ě 2, então |x´ 2| “ x´ 2
h) Se x ď 2, então |x´ 2| “ ´px´ 2q “ ´x` 2
Pela definição anterior, dados x, y P R , a distância entre eles será d “ |y ´ x| “ |x´ y|.
7
Por exemplo, a distância entre 2 e 5,3 é |2´ 5, 3| “ 5, 3´ 2 “ 3, 3 e a distância entre 6 e 2pi
é |6´ 2pi| “ 2pi ´ 6.
Exemplo 3: Elimine o módulo.
a) |x` 1| ` |x| b) |x´ 1| ` |x´ 3| c) |x´ 2| ` |x| ` |x´ 1|
Solução:
a) Temos que
‚ |x` 1| “
#
x` 1, se x` 1 ě 0
´x´ 1, se x` 1 ă 0
“
#
x` 1, se x ě ´1
´x´ 1, se x ă ´1
‚ |x| “
#
x, se x ě 0
´x, se x ă 0
Assim,
Para x ă ´1, temos |x` 1| ` |x| “ ´x´ 1` p´xq “ ´2x´ 1.
Para ´1 ď x ă 0, temos |x` 1| ` |x| “ x` 1` p´xq “ 1.
Para x ě 0, temos |x` 1| ` |x| “ x` 1` x “ 2x` 1.
Portanto, |x` 1| ` |x| “
$’&’%
´2x´ 1, se x ă ´1
1, se ´ 1 ď x ă 0
2x` 1, se x ě 0
.
b) Temos que
‚ |x´ 1| “
#
x´ 1, se x´ 1 ě 0
´x` 1, se x´ 1 ă 0
“
#
x´ 1, se x ě 1
´x` 1, se x ă 1
‚ |x´ 3| “
#
x´ 3, se x´ 3 ě 0
´x` 3, se x´ 3 ă 0
“
#
x´ 3, se x ě 3
´x` 3, se x ă 3
Assim,
Para x ă 1, temos |x´ 1| ` |x´ 3| “ ´x` 1` p´x` 3q “ ´2x` 4.
8
Para 1 ď x ă 3, temos |x´ 1| ` |x´ 3| “ x´ 1` p´x` 3q “ 2.
Para x ě 3, temos |x´ 1| ` |x´ 3| “ x´ 1` x´ 3 “ 2x´ 4.
Portanto, |x´ 1| ` |x´ 3| “
$’&’%
´2x` 4, se x ă 1
2, se 1 ď x ă 3
2x´ 4, se x ě 3
.
c) Temos que
‚ |x´ 2| “
#
x´ 2, se x´ 2 ě 0
´x` 2, se x´ 2 ă 0
“
#
x´ 2, se x ě 2
´x` 2, se x ă 2
‚ |x| “
#
x, se x ě 0
´x, se x ă 0
‚ |x´ 1| “
#
x´ 1, se x´ 1 ě 0
´x` 1, se x´ 1 ă 0
“
#
x´ 1, se x ě 1
´x` 1, se x ă 1
Assim,
Para x ă 0, temos |x´ 2| ` |x| ` |x´ 1| “ ´x` 2` p´xq ` p´x` 1q “ ´3x` 3.
Para 0 ď x ă 1, temos |x´ 2| ` |x| ` |x´ 1| “ ´x` 2` x` p´x` 1q “ ´x` 3
Para 1 ď x ă 2, temos |x´ 2| ` |x| ` |x´ 1| “ ´x` 2` x` x´ 1 “ x` 1
Para x ě 2, temos |x´ 2| ` |x| ` |x´ 1| “ x´ 2` x` x´ 1 “ 3x´ 3.
Portanto, |x´ 2| ` |x| ` |x´ 1| “
$’’’&’’’%
´3x` 3, se x ă 0
´x` 3, se 0 ď x ă 1
x` 1, se 1 ď x ă 2
3x´ 3, se x ě 2
.
Propriedades
Para quaisquer números reais x e y, tem-se:
1♠|x| ě 0
2♠|x|2 “ |x2| “ x2
3♠Se a ą 0 é um número real, então |x| ď a ô ´a ď x ď a e |x| ě a ô x ď ´a ou x ě a
9
A desigualdade |x| ă a diz que a distância de x até a origem é menor do que a e a partir
da Figura 1.2 podemos ver que isso é verdadeiro se e, somente se, x estiver entre ´a e a.
0´a ax
a a
|x|
Figura 1.2
A desigualdade |x| ą a diz que a distância de x até a origem é maior do que a e a partir
das Figuras 1.3 e 1.4 podemos ver que isso é verdadeiro se e, somente se, x estiver antes
de ´a ou depois de a.
0´a ax
a a
|x|
Figura 1.3
0´a a x
a a
|x|
Figura 1.4
4♠|x` y| ď |x| ` |y| (Desigualdade Triangular)
Observação: Se x “ ´4 e y “ 1, temos |x` y| “ | ´ 4` 1| “ | ´ 3| “ 3. Por outro lado,
|x| “ | ´ 4| “ 4 e |y| “ |1| “ 1 e daí |x| ` |y| “ 5. Como 3 ă 5, vemos que nesse caso
particular, temos |x ` y| ă |x| ` |y|. Agora você deve estar se perguntando se existe um
caso em que |x`y| “ |x|` |y|. Podemos descobrir quais são esses números. De fato, como
os números envolvidos são maiores ou iguais a zero, temos:
|x` y| “ |x| ` |y| ô |x` y|2 “ p|x| ` |y|q2 ô |x` y|2 “ |x|2 ` 2|x||y| ` |y|2 ô
px`yq2 “ x2`2|x||y|`y2 ô x2`2xy`y2 “ x2`2|xy|`y2 ô |xy| “ xy ô xy ě 0
Portanto, |x` y| “ |x| ` |y| se, e somente, se xy ě 0.
5♠| ´ x| “ |x|
6♠|x ¨ y| “ |x| ¨ |y|
7♠
ˇˇˇˇ
x
y
ˇˇˇˇ
“ |x||y| , y ‰ 0
8♠|x| “ |y| ô x “ ˘y
9♠|xn| “ |x|n, @x P R, @n P N e |xn| “ |x|n, @x P R˚, @n P Z´
10
Exemplo 4: Resolva:
a) |x` 3| “ 2 b) |x` 2| ď 4 c) |x´ 2| ě 1 d) ap2x´ 5q2 ě 1
Solução:
a) |x` 3| “ 2 ô x` 3 “ 2 ou x` 3 “ ´2 ô x “ ´1 ou x “ ´5.
Logo, o conjunto solução é S “ t´5,´1u.
b) |x` 2| ď 4 ô ´4 ď x` 2 ď 4 ô ´2´ 4 ď x ď 4´ 2 ô ´6 ď x ď 2.
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R;´6 ď x ď 2u.
c) |x´ 2| ě 1 ô x´ 2 ď ´1 ou x´ 2 ě 1 ô x ď 1 ou x ě 3.
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R; x ď 1 ou x ě 3u.
d)
ap2x´ 5q2 ě 1 ô |2x´5| ě 1 ô 2x´5 ď ´1 ou 2x´5 ě 1 ô 2x ď 4 ou 2x ě 6 ô
x ď 2 ou x ě 3.
Logo, o conjunto solução é S “ tx P R; x ď 2 ou x ě 3u.
Exemplo 5: Resolva a equação 2|x´ 1| “ ´x` 4.
Solução: A equação tem solução se ´x` 4 ě 0 ô x ď 4. Temos que:
|x´ 1| “
#
x´ 1, se x´ 1 ě 0
´x` 1, se x´ 1 ă 0
“
#
x´ 1, se x ě 1
´x` 1, se x ă 1
Assim,
i) Para x ă 1, temos 2|x´ 1| “ ´x` 4 ô 2p´x` 1q “ ´x` 4 ô ´2x` 2 “ ´x` 4 ô
x “ ´2. Logo, S1 “ t´2u, pois ´2 P p´8, 1q e ´2 P p´8, 4s.
ii) Para x ě 1, temos 2|x´1| “ ´x`4 ô 2px´1q “ ´x`4 ô 2x´2 “ ´x`4 ô x “ 2.
Logo, S2 “ t2u, pois 2 P r1,8q e 2 P p´8, 4s.
De i) e ii), o conjunto solução é S “ S1 Y S2 “ t´2, 2u.
11
Capítulo
2
Frações, Potenciação e Radiciação
2.1 Frações
Sejam a e b números reais com a ‰ 0. Denominamos fração, o quociente de a por b
´
denotado
por
a
b
¯
e definido por
a
b
“ a ¨ 1
b
O número a é chamado de denominador e b, de numerador.
Exemplo 1:
a)
4
7
“ 4 ¨ 1
7
b)
x` y
9
“ 1
9
¨ px` yq
c)
x
y ´ x “ x ¨
1
y ´ x
d)
x
x
“ x ¨ 1
x
“ 1.
Observação: Qualquer número real x pode ser escrito como uma fração:
x “ x
1
As frações desempenham um papel importante na relação entre Matemática e música. Por
exemplo, as frações estão relacionadas com as notas musicais de um piano. Em cada tecla do
piano, o comprimento das cordas é correspondente às notas. Considere o comprimento da corda
dó igual a 1.
1
2
3
1
2
4
9
1
3
1
4
dó1 ré1 mi1 fá1 sol1 lá1 si1 dó2 ré2 mi2 fá2 sol2 lá2 si2 dó3
Como se pode observar, as frações
1
2
,
2
3
,
4
9
, etc., nos dão a relação entre os comprimentos das
cordas cujos sons são musicalmente próximos e que compõem as notas musicais dó, ré, mi,fá,
sol, lá e si. Por exemplo,
1
2
representa um dó, só que uma oitava acima do primeiro dó. Uma
oitava acima significa que, entre o 1o dó, inclusive e o 2o dó, inclusive, há oito notas. O segundo
dó é mais agudo. A nota sol, por exemplo, é uma quinta acima do primeiro dó.
Pitágoras inventou um instrumento chamado monocórdio, uma espécie de violão com uma
só corda. Ele pegou seu instrumento e tocou a seguinte sequência: 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, . . .. Essa
sequência é conhecida como sequência harmônica.
12
2.1.1 Igualdade de frações
Sejam, x, y, z e w números reais tais que y ‰ 0 e w ‰ 0. Então definimos:
x
y
“ z
w
ô xw “ yz.
Essa condição é chamada de multiplicação em cruz, pois sua indicação na igualdade de
frações, com traços unindo x e w e, y e z, produz numa cruz.
Por exemplo,
7
5
“ 21
15
, pois 7 ¨ 15 “ 21 ¨ 5.
Se y ‰ 0, z ‰ 0, a partir da definição dada acima, temos que
x
y
“ xz
yzô xpyzq “ ypxzq “ xyz
Como esta última igualdade é sempre verdadeira, segue que a primeira igualdade também é
verdadeira, ou seja, uma fração não se altera se multiplicarmos o numerador e o denominador
por um mesmo número diferente de zero.
Exemplo 2: rererer
a)
28
21
“ 4 ¨ 7
3 ¨ 7 “
4
3
b)
32
64
“ 1 ¨ 32
2 ¨ 32 “
1
2
2.1.2 Regras de sinais para frações
Seja x, y números reais quaisquer com y ‰ 0. Então, valem as seguintes propriedades:
1♠
´x
y
“ x´y “ ´
x
y
2♠
´x
´y “
x
y
Demonstração:
1♠Observe que:
´x
y
“ p´xq ¨ 1
y
“ ´
ˆ
x ¨ 1
y
˙
“ ´x
y
Por outro lado, temos:
x
´y `
x
y
“ x ¨ y ` p´yq ¨ xp´yq ¨ y “
x ¨ py ´ yq
´y2 “
0
´y2 “ 0
Daí, segue que
x
´y “ ´
x
y
. Portanto,
´x
y
“ x´y “ ´
x
y
.
2♠Da igualdade de frações temos que:
´x
´y “
x
y
ô p´xq ¨ y “ x ¨ p´yq
Esta última igualdade é verdadeira para todo x, y P R, com y ‰ 0 (regra de sinais).
Portanto, a primeira também é verdadeira, e o resultado está provado.
13
2.1.3 Soma de frações
Agora, vamos verificar de que maneira podemos somar frações com mesmo denominador.
Para isso, observemos que:
x
z
` y
z
“ x ¨ 1
z
` y ¨ 1
z
“ px` yq ¨ 1
z
“ x` y
z
Portanto, para somar frações de mesmo denominador, basta somar os numeradores e con-
servar o denominador.
Exemplo 3: rererer
a)
19
4
` 6
4
“ 19` 6
4
“ 25
4
b)
2
12
` 8
12
“ 2` 8
12
“ 10
12
“ 2 ¨ 5
2 ¨ 6 “
5
6
Muitos acham que, para somar duas frações com denominadores iguais ou diferentes, deve-se
somar os numeradores, somar os denominadores, e dividir um pelo outro. Mas isto, não pode
ser feito. Considere os seguintes exemplos:
a)
6
3
` 8
4
‰ 6` 8
3` 4 , pois o primeiro membro vale 4 e, o segundo, vale
14
7
“ 2.
b)
5
2
` 7
2
‰ 5` 7
2` 2 , pois o primeiro membro vale 6 e, o segundo, vale
12
4
“ 3.
Vamos verificar então, como fazer para somar frações de denominadores não necessariamente
iguais. Já sabemos como somar frações com denominadores iguais. Logo, basta escrever as
frações com o mesmo denominador, e aí aplicar a regra acima.
Exemplo 4:
7
3
` 5
4
“ 7 ¨ 4
3 ¨ 4 `
5 ¨ 3
4 ¨ 3 “
7 ¨ 4` 5 ¨ 3
3 ¨ 4 “
28` 15
12
“ 43
12
Em geral, seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, se y ‰ 0, w ‰ 0, temos:
x
y
` z
w
“ x ¨ w
y ¨ w `
z ¨ y
w ¨ y “
xw
yw
` yz
yw
“ xw ` yz
yw
Observe que na soma das frações, o denominador é o produto dos denominadores e o nu-
merador é a soma do produto do numerador da primeira fração pelo denominador da segunda
somado com o produto do denominador da primeira fração pelo numerador da segunda, como
mostra o esquema abaixo.
x
y
` z
w
“ xw ` yz
yw
y ¨ z
x ¨ w
y ¨ w
Propriedades
1♠
x
z
` y
z
“ x` y
z
2♠
x
z
´ y
z
“ x´ y
z
3♠
x
y
` z
w
“ xw ` yz
yw
4♠
x
y
´ z
w
“ xw ´ yz
yw
14
2.1.4 Redução de frações ao mesmo denominador
Para somar frações com denominadores diferentes, costuma-se, em vez de usar diretamente
a fórmula 3♠acima, transformar as frações em frações com mesmo denominador, e em seguida
aplicar a fórmula 1♠.
Para reduzir frações ao mesmo denominador, primeiro determinamos o m.m.c entre os de-
nominadores, o qual será o denominador comum. Em seguida, divide-se o m.m.c obtido pelo
denominador de cada uma das frações, e o resultado obtido multiplica-se pelo numerador, ou
seja, construímos frações equivalentes às frações dadas.
Exemplo 5: Reduza as frações
2
3
,
3
4
e
4
5
ao mesmo denominador.
Solução:
Temos que m.m.cp3, 4, 5q “ 60.
Assim,
•
2
3
“ p60˜ 3q ¨ 2
60
“ 20 ¨ 2
60
“ 40
60
•
3
4
“ p60˜ 4q ¨ 3
60
“ 15 ¨ 3
60
“ 45
60
•
4
5
“ p60˜ 5q ¨ 4
60
“ 12 ¨ 4
60
“ 48
60
Exemplo 6: Encontre o valor da soma
4
5
` 3
10
` 1
6
.
Solução:
Temos que m.m.cp5, 10, 6q “ 30. Assim,
4
5
“ 24
30
,
3
10
“ 9
30
e
1
6
“ 5
30
Logo,
4
5
` 3
10
` 1
6
“ 24
30
` 9
30
` 5
30
“ 24` 9` 5
30
“ 38
30
“ 19
15
2.1.5 Produto de frações
Se y ‰ 0 e w ‰ 0, definimos:
x
y
¨ z
w
“ xz
yw
.
Para multiplicar duas frações, multiplicam-se os numeradores e os denominadores.
Exemplo 7: rererer
a)
2
3
¨ 5
7
“ 2 ¨ 5
3 ¨ 7 “
10
21
b)
´3
4
¨ 9
4
“ ´3 99
4 ¨ 4 “
´27
16
“ ´27
16
c) 3 ¨ 5
7
“ 3
1
¨ 5
7
“ 3 ¨ 5
1 ¨ 7 “
15
7
d) 2 ¨
ˆ
´5
9
˙
“ ´2 ¨ 5
9
“ ´2
1
¨ 5
9
“ ´10
9
15
2.1.6 Quociente de frações
Para descobrir como dividir duas frações, observemos que
x
y
z
w
“M ô
x
y
z
w
“ M
1
ô x
y
¨ 1 “ z
w
¨M ô x
y
“ zM
w
ô
x ¨ w “ y ¨ pzMq ô M “ xw
yz
ô M “ x
y
¨ w
z
Portanto, para dividir uma fração pela outra, deve-se multiplicar a primeira fração pela
inversa da segunda fração, ou seja, se y ‰ 0, w ‰ 0 e z ‰ 0, então
x
y
z
w
“ x
y
¨ w
z
Exemplo 8: rererer
a)
2
3
7
8
“ 2
3
¨ 8
7
“ 16
21
b)
´6
5
9
10
“ ´5
6
¨ 10
9
“ ´60
45
“ ´4
3
Observação:
Para dividir x por
y
z
, escreve-se x “ x
1
e, procede-se como acima. Assim,
x
y
z
“
x
1
y
z
“ x
1
¨ z
y
“ xz
y
.
Para dividir
x
y
por z, escreve-se z “ z
1
e, procede-se como anteriormente:
x
y
z
“
x
y
z
1
“ x
y
¨ 1
z
“ x
yz
.
2.1.7 Equações Fracionárias
As equações que envolvem frações podem ser resolvidas utilizando a definição e as pro-
priedades de fração.
Exemplo 9: Resolva a equação
x` 2
2
` 2
x´ 2 “ ´
1
2
.
Solução: Primeiramente observe que o denominador não pode ser zero, ou seja, se x for uma
solução, então devemos ter x ‰ 2.
16
Agora,
x` 2
2
` 2
x´ 2 “ ´
1
2
ô px` 2q ¨ px´ 2q ` 2 ¨ 2
2 ¨ px´ 2q “ ´
1
2
ô x
2 ´ 4` 4
2x´ 4 “ ´
1
2
ô
x2 ¨ 2 “ ´p2x´ 4q ô 2x2 “ ´2x` 4 ô 2x2 ` 2x´ 4 “ 0 ô
x2 ` x´ 2 “ 0 ô x “ ´2 ou x “ 1
Logo, o conjunto solução da equação dada é S “ t´2, 1u.
Exemplo 10: erererer
a) Resolva a equação
x` 1
5
“ 2x´ 3
4
.
Solução: Temos que:
x` 1
5
“ 2x´ 3
4
ô 4px`1q “ 5p2x´3q ô 4x`4 “ 10x´15 ô 4x´10x “ ´15´4
ô ´6x “ ´19 ô x “ ´19´6 ô x “
19
6
Logo, S “
"
19
6
*
.
b) Resolva a equação
2x´ 3
4
´ x` 2
2
“ 1
3
.
Solução: Vamos multiplicar os dois lados da igualdade pelo mínimo múltiplo comum dos
denominadores: mmc(4,2,3)=12.
Assim,
2x´ 3
4
´ x` 2
2
“ 1
3
ô 12 ¨
ˆ
2x´ 3
4
´ x` 2
2
˙
“ 12 ¨ 1
3
ô 12 ¨ 2x´ 3
4
´12 ¨ x` 2
2
“ 4ô
3p2x´ 3q ´ 6px` 2q “ 4 ô 6x´ 9´ 6x “ 4 ô ´21 “ 4!!
Repare que chegamos a um absurdo. Isso significa que não existe valor de x que satisfaça
a equação dada. Portanto, S “ H.
Exercícios
1♠Determine o valor das seguintes expressões numéricas:
a)
1` 1
´1
5
´1` 3
1` 1
5
b)
10
8
¨
ˆ
3
5
` 8
30
˙
c)
ˆ
7` 1
5
˙
˜ 12
35
´ 30 ¨ 1
2
d) 2´
ˆ
2
5
´ 3 ¨ 4
9
˙
˜ 1
3
e)
ˆ
2
3
` 3
4
˙
˜ 17
2
1
2
` 1
4
17
f)
»—–9
7
¨
¨˚
˝
3
2
` 2
3
´ 5
6
´ 2
12
8
5
¨ 3
8
˜ 2` 1` 1
2
‹˛‚` 1
3
¨ 0, 5
fiffifl g) 3`
5
16
´ 4` 3
4
´ 1
2
0, 0001
¨ 0, 005
2♠Pedro e João partiram um bolo retangular. Pedro comeu a metade da terça parte e João
comeu a terça parte da metade. Quem comeu mais?
3♠Um fazendeiro repartiu 240 bois entre seus três herdeiros da seguinte forma: o primeiro
recebeu
3
2
do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. Quanto
recebeu o primeiro herdeiro?
4♠Qual é o número cujo dobro somado com sua quinta parteé igual a 121?
5♠Sabendo que x é um número real que satisfaz x “ 1` 1
1` 1
x
, determine os possíveis valores
de x.
6♠A diferença de um número e o seu inverso é
8
3
. Qual é esse número?
7♠Se x é positivo e se o inverso de x` 1 é x´ 1, qual é o valor de x?
Considere a seguinte sequência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o
resultado anterior:
“Comece com um número x. Subtraia 2, multiplique por
3
2
, some 1, multiplique por 2,
subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o número 21”. Determine o valor de
x.
8♠Resolva as equações:
a)
7
x´ 2 “
3
12´ 6x
b)
5
x
“ 4´ 3x´ 5
x
c)
6
5x
“ 2
x` 4
d) 13´ 2
x` 2 “
4x` 6
x` 2
e)
3
x´ 6 “
1
2x´ 4
2.2 Potenciação
Considere o seguinte problema:
Simplicar a expressão
ˆ
0, 001 ¨ 10004
103
˙
˜ p0, 0001q3
Em física e química, é muito comum trabalhar com problemas que aparecem expressões como
essa.
Se fossemos efetuar as operações indicadas, a simplicação exigiria cálculos enormes, com
grande possibilidade de erro.
No entanto, utilizando as propriedades de potenciação, podemos simplificar a expressão dada
de um modo mais simples e, ainda economizaremos tempo.
As propriedades de potenciação são muito úteis em estudos de problemas algébricos.
18
2.2.1 Potência com expoente inteiro positivo
Sejam a um número real e n ą 1 um número inteiro. Definimos:
• a1 “ a
• an “ a ¨ a ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ alooooomooooon
n fatores
, se n “ 2, 3, 4, . . ..
O número real a é chamado base e o número inteiro n é chamado expoente.
Por exemplo, temos que:
• 23 “ 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 8
• 32 “ 3 ¨ 3 “ 9
• p´2q3 “ p´2q ¨ p´2q ¨ p´2q “ ´8.
•
ˆ
3
4
˙2
“ 3
4
¨ 3
4
“ 9
16
A partir da definição dada acima, observemos que:
a3 ¨ a2 “ pa ¨ a ¨ aq ¨ pa ¨ a¨q “ a ¨ a ¨ a ¨ a ¨ a “ a5 “ a3`2.
Também é possível mostrar que
am`n “ am ¨ an.
Notemos agora que
pa2q3 “ pa ¨ aq3 “ pa ¨ aq ¨ pa ¨ aq ¨ pa ¨ aq “ a ¨ a ¨ a ¨ a ¨ a ¨ a “ a6 “ a2¨3.
Em geral, é possível mostrar que
pamqn “ amn.
De forma análoga, podemos observar que pa ¨ bqn “ an ¨ bn e
´a
b
¯n “ an
bn
.
Assim, temos as seguintes regras de potenciação.
2.2.2 Propriedades
Sendo a um número real e m e n inteiros positivos, tem-se:
1♠am`n “ am ¨ an
2♠am´n “ a
m
an
se m ą n
3♠pamqn “ amn
4♠pa ¨ bqn “ an ¨ bn
5♠
´a
b
¯n “ an
bn
2.2.3 Potência com expoente zero e inteiro negativo
Seja a um número real não-nulo. Definimos:
• a0 “ 1
• a´n “ 1
an
, n “ 1, 2, 3, . . .
19
Você deve estar se perguntando, porque definimos a0 “ 1. A resposta é simples. A idéia
é definir algo de tal maneira que as propriedades formais da potenciação com expoentes
inteiros e positivos se mantenham. Desse modo, a única alternativa será definir a0 como
foi feito. De fato, temos a0 “ a1´1. Para que se preserve a propriedade am´n “ a
m
an
,
devemos ter então a1´1 “ a
a
“ 1. Logo, devemos definir a0 “ 1 (para a ‰ 0). De modo
análogo, se n ą 0 é inteiro, para preservar a propriedade am`n “ am ¨ an, então a´n ¨ an
deverá ser igual a a´n`n “ a0. Portanto, devemos ter a´n ¨ an “ 1, e daí, a´n “ 1
an
, como
foi definido.
A partir da definição acima, temos:´a
b
¯´n “ 1´a
b
¯n “ 1an
bn
“ b
n
an
“
ˆ
b
a
˙n
Em particular, tem-se
ˆ
1
a
˙´n
“ an.
2.2.4 Propriedades
Sendo a e b números reais não-nulos e m e n inteiros, tem-se:
1♠am`n “ am ¨ an
2♠am´n “ a
m
an
3♠pamqn “ amn
4♠pa ¨ bqn “ an ¨ bn
5♠
´a
b
¯n “ an
bn
6♠
´a
b
¯´n “ ˆ b
a
˙n
, onde n ą 0
7♠
ˆ
1
a
˙´n
“ an, onde n ą 0.
Exemplo 11: Mostre que ´1 elevado a um número inteiro par é 1, e elevado a um número
inteiro ímpar é ´1.
Solução:
Vamos usar o fato de que p´1q2 “ p´1q ¨ p´1q “ 1 (Regras de Sinal). Lembrando que um
número inteiro par é da forma 2k, e um número inteiro ímpar é da forma 2k ` 1, onde k é um
inteiro, temos que:
• p´1q2k “ rp´1q2sk “ 1k “ 1
• p´1q2k`1 “ p´1q2k ¨ p´1q “ 1 ¨ p´1q “ ´1
Logo, o resultado está provado.
Como consequência do Exemplo 9, temos:
Se k é um inteiro qualquer, então
p´aq2k “ a2k e p´aq2k`1 “ ´a2k`1
20
Exemplo 12: Calcule 23, p´2q3 e ´23.
Solução:
• 23 “ 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 8
• p´2q3 “ p´2q ¨ p´2q ¨ p´2q “ ´8
• ´23 “ ´p2 ¨ 2 ¨ 2q “ ´8
Exemplo 13: Calcule 24, p´2q4 e ´24.
Solução:
• 24 “ 2 ¨ 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 16
• p´2q4 “ p´2q ¨ p´2q ¨ p´2q ¨ p´2q “ 16
• ´24 “ ´p2 ¨ 2 ¨ 2 ¨ 2q “ ´16
Atenção
É muito comum confundir p´anq com ´an. Note que:
p´aqn “ p´aq ¨ p´aq ¨ p´aq ¨ . . . ¨ p´aqlooooooooooooooooomooooooooooooooooon
n fatores iguais a ´a
´an “ ´panq “ ´ pa ¨ a ¨ a ¨ . . . ¨ aqloooooooomoooooooon
n fatores iguais a a
Por exemplo, p´2q4 “ 16 e ´24 “ ´16. Na segunda potência, o sinal negativo “´” não
deve ser elevado a 4, mas somente o número 2.
Exemplo 14: Calcule
ˆ
1
3
˙3
, 2´3, p´2q´3 e ´2´3
Solução:
•
ˆ
1
3
˙3
“ 1
33
“ 1
3 ¨ 3 ¨ 3 “
1
27
• 2´3 “ 1
23
“ 1
2 ¨ 2 ¨ 2 “
1
8
• p´2q´3 “ 1p´2q3 “
1
p´2q ¨ p´2q ¨ p´2q “
1
´8 “ ´
1
8
• ´2´3 “ ´ 1
23
“ ´1
8
Exemplo 15: Calcule o valor de
3´1 ` 5´1
2´1
.
Solução:
3´1 ` 5´1
2´1
“
1
3
` 1
5
1
2
“
5` 3
15
1
2
“ 8
15
¨ 2
1
“ 16
15
21
Exemplo 16: Encontre o valor da expressão
1´
ˆ
1
6
´ 1
3
˙
ˆ
1
6
` 1
2
˙2
` 3
2
.
Solução:
1´
ˆ
1
6
´ 1
3
˙
ˆ
1
6
` 1
2
˙2
` 3
2
“
1´
ˆ
1´ 2
6
˙
ˆ
1` 3
6
˙2
` 3
2
“
1` 1
6ˆ
2
3
˙2
` 3
2
“
7
6
4
9
` 3
2
“
7
6
8` 27
18
“ 7
6
¨ 18
35
“ 3
5
Exemplo 17: Encontre o valor da expressão
2n`4 ` 2n`2 ` 2n´1
2n´2 ` 2n´1 .
Solução:
2n`4 ` 2n`2 ` 2n´1
2n´2 ` 2n´1 “
2n ¨ 24 ` 2n ¨ 22 ` 2n ¨ 2´1
2n ¨ 2´2 ` 2n ¨ 2´1 “
2np24 ` 22 ` 2´1q
2np2´2 ` 2´1q “
“
16` 4` 1
2
1
4
` 1
2
“
41
2
3
4
“ 41
2
¨ 4
3
“ 82
3
Exemplo 18: Simplifique as expressões:
a)
5´7 ¨ 55
5´8 ¨ 5´3 b)
68 ¨ 32 ¨ 2´3
8´7 ¨ 9´3 c)
16 ¨ 28 ¨ 21 ¨ 125 ¨ 45
8 ¨ 12 ¨ 25 ¨ 35
Solução:
a)
5´7 ¨ 55
5´8 ¨ 5´3 “
5´7`5
5´8´3
“ 5
´2
5´11
“ 5´2´p´11q “ 59
b)
68 ¨ 32 ¨ 2´3
8´7 ¨ 9´3 “
p2 ¨ 3q8 ¨ 32 ¨ 2´3
p23q´7 ¨ p32q´3 “
28 ¨ 38 ¨ 32 ¨ 2´3
2´21 ¨ 3´6 “
25 ¨ 310
2´21 ¨ 3´6 “ 2
5`21 ¨ 310`6 “ 226 ¨ 316
c)
16 ¨ 28 ¨ 21 ¨ 125 ¨ 45
8 ¨ 12 ¨ 25 ¨ 35 “
24 ¨ p7 ¨ 22q ¨ p7 ¨ 3q ¨ 53 ¨ p32 ¨ 5q
23 ¨ p3 ¨ 22q ¨ 52 ¨ p7 ¨ 5q “
26 ¨ 33 ¨ 54 ¨ 72
25 ¨ 3 ¨ 53 ¨ 7 “ 2 ¨ 3
2 ¨ 5 ¨ 7
Exemplo 19: Simplifique a expressão
26n ´ 1
26n ` 23n`1 ` 1 , na qual n P N.
Solução:
26n ´ 1
26n ` 23n`1 ` 1 “
p23nq2 ´ 12
p22nq2 ` 2 ¨ 23n ` 1 “
p23n ` 1qp23n ´ 1q
p23n ` 1q2 “
23n ´ 1
23n ` 1 .
Exercícios
1♠Calcule o valor das expressões numéricas:
a)
20 ` 2´1
4´1
b)
30 ` p´2q2 ´
ˆ
1
3
˙´1
ˆ
1
2
˙´2
22
c)
ˆ
3
2
˙2
`
ˆ
1
2
˙´2
¨
ˆ
5
2
˙
d)
´24 ` 32 ` 20
´22 `
ˆ
1
3
˙´2 e)
p´5q2 ´ 32 `
ˆ
2
3
˙0
3´2 ` 1
5
` 1
2
2♠Tranforme em uma só potência:
a) x2 ¨ x ¨ x8 ¨ x3
b) n3 ¨ n´3 ¨ n´1
c) m2 ¨m´6 ¨m
d) ax ¨ ax`3
e) 4x`1 ¨ 4x´1
f) 33p ¨ 3´2p
g) en`3 ¨ e2´n
3♠Sejam x “ 107, y “ 10´5 e z “ 102. Calcule:
a) x ¨ y b) y ¨ z c) x ¨ y ¨ z
4♠Transforme em uma só potência:
a) 29 ˜ 24
b) x2 ˜ x´1
c) an ˜ an´1
d) xn`2 ˜ xn´2
e)
109
104
f)
27
210
g)
bx
b4
h)
3n´1
3n`4
5♠Sejam a “ 105, b “ 10´3 e c “ 10´1. Calcule:
a)
a
b b)
b
c
6♠Transforme em uma única potência:
a) p102q4
b) px5q5
c) p34q´1
d) paxqy
e) rpm2q2s2
f) p23qx´2
g) p84qn
h) 53
2
i) 32
3
j) m3
3
k) p4mqm`2
7♠Sejam x “ 83 e y “ 3´4. Calcule:
a) x4 b) y´2
8♠Usando a definição de potência, verifiqueque x3 ¨ y3 “ px ¨ yq3.
9♠Verifique, usando a definição de potência, que
x4
y4
“
ˆ
x
y
˙4
, para y ‰ 0.
10♠Mostre que 2n ` 2n`1 “ 3 ¨ 2n.
23
11♠Mostre que
2n ` 2n`1 ` 2n`2
2n`3 ` 2n`4 “
7
24
.
12♠Simplifique a expressão
3n´1 ` 3n ` 3n`1
3n`2 ´ 3n .
13♠Sejam x “ p22q3, y “ 232 e z “ 232 . Escrevendo o produto x ¨ y ¨ z na forma 2n, qual é o
valor de n?
14♠Sejam a “ p102q3, b “ 1023 e c “ p102q´5. Calcule pa ¨ b ¨ cq2.
15♠Simplifique a expressão r29 ˜ p22 ¨ 2q3s´3.
16♠Simplifique a expressão
6 ¨ 10´3 ¨ 10´4 ¨ 108
6 ¨ 10´1 ¨ 104 .
17♠Se x “ p0, 00001q5 e y “ 10011, calcule x ¨ y.
18♠Se a “ p0, 01q5, b “ p0, 1q10 e c “ p0, 001q6, calcule a ¨ b
c
.
19♠Simplifique as expressões abaixo, supondo a ¨ b ‰ 0.
a) pa´2 ¨ b3q´2 ¨ pa3 ¨ b´2q3
b) rpa2 ¨ b´3q2s´3
c)
pa5 ¨ b3q2
pa´4 ¨ bq´3
d)
ˆ
a3 ¨ b´4
a´2 ¨ b2
˙3
e)
pa3 ¨ b´2q´2 ¨ pa ¨ b´2q3
pa´1 ¨ b2q´3
f) pa´1 ` b1q ¨ pa` bq1
g)
a´
1
9 ¨ pa´ 13 q2
´a2 ˜
ˆ
´1
a
˙2
h)
˜
3a
3
2 b3
a2b´
1
2
¸´2
20♠Simplifique as seguintes expressões, supondo n P Z e a P R, com a ‰ 0.
a)
a2n`1 ¨ a3´n
a1´n
b)
an`4 ´ a3 ¨ an
a4 ¨ an
2.2.5 Raiz Quadrada
Denominamos raiz quadrada de um número real x ě 0 ao número y ě 0 tal que y2 “ x.
O número y será denotado por
?
x. A notação
?
é chamada radical e o número x, é dito
radicando.
• Observe que,
?
x ą 0 ô x ą 0. Logo, se x ą 0, então ?x ą 0 e reciprocamente, se?
x ą 0, então x ą 0.
Por exemplo, temos
?
1 “ 1,?4 “ 2,?9 “ 3, etc.
• A equação x2 “ a, onde a ą 0, possui exatamente duas soluções, também chamadas de
raízes da equação dada (a raiz positiva x “ ?a e a raiz negativa x “ ´?a). Lembre-se de
que a expressão
?
x, raiz quadrada de x denota um único número real (por definição),
pois é escolhida como a raiz positiva da equação x2 “ a.
Por exemplo,
?
16 “ 4,?25 “ 5,?36 “ 6, etc. Logo, NÃO É CORRETO escrever algo
como
?
16 “ ˘4 !!
24
Propriedades
1♠
?
x2 “ |x|, @x P R.
2♠Se x ě 0, então ?x2 “ p?xq2 “ x.
3♠Se x, y ě 0, então ?x ď ?y ô x ď y.
4♠
?
x ¨ y “ ?x ¨ ?y, @x, y ě 0 e ?x ¨ y “ ?´x ¨ ?´y, @x, y ď 0.
5♠
c
x
y
“
?
x?
y
, @x ě 0, @y ą 0 e
c
x
y
“
?´x?´y , @x ď 0, @y ă 0
6♠
?
x` y ď ?x `?y, @x, y ě 0 (a igualdade só vale quando um dos números envolvidos é
zero)
Atenção
É preciso ter muito cuidado ao escrever
?
x2 “ xp?q. Essa notação poderá conduzir a uma
contradição. Por exemplo, usando a fórmula
?
x2 “ x, temos
?
32 “ 3 e ap´3q2 “ ´3.
Mas,
?
32 “ ap´3q2 “ ?9 e daí teríamos 3 “ ´3, o que é uma contradição. Para evitar
este tipo de situação, usaremos o símbolo
?
x para indicar a raiz quadrada positiva de x.
Indicaremos a raiz quadrada negativa de x por ´?x.
Exemplo 20:
a)
ap´7q2 “ | ´ 7| “ 7 e não ap´7q2 “ ´7.
b)
?
a2 “ |a| e não ?a2 “ a.
c)
apx´ 1q2 “ |x´ 1| “ # x´ 1 , se x ě 1
1´ x , se x ă 1
c) 5 “ ?25 “ ?9` 16 ă ?9`?16 “ 7.
d)
?
a2 ` b2 ď ?a2 `?b2 “ |a| ` |b|, @a, b P R.
e)
?
x2 ` 1 ď ?x2 ` 1 “ |x| ` 1, @x P R.
Exemplo 21: Simplificar
?
48.
Solução: ?
48 “ ?16 ¨ 3 “ ?16 ¨ ?3 “ 4?3
Exemplo 22: Racionalizar o denominador da fração
5?
2
.
Solução:
5?
2
“ 5?
2
¨
?
2?
2
“ 5
?
5?
2 ¨ ?2 “
5
?
2?
4
“ 5
?
2
2
25
Exemplo 23: Simplificar
c
8
9
.
Solução: c
8
9
“
?
8?
9
“
?
4 ¨ 2?
9
“
?
4 ¨ ?2?
9
“ 2
?
2
3
Exemplo 24: Simplificar
c
17
58
¨
c
29
34
.
Solução:c
17
58
¨
c
29
34
“
c
17
58
¨ 29
34
“
c
17 ¨ 29
58 ¨ 34 “
c
17 ¨ 29
2 ¨ 19 ¨ 2 ¨ 17 “
c
1
2 ¨ 2 “
c
1
4
“
?
1?
4
“ 1
2
.
2.2.6 Raiz enésima
Sejam x ě 0 um número real e n ě 2 um número natural. É possível mostrar que existe um
único número real não-negativo y tal que yn “ x.
O número y é chamado raiz enésima de x e será indicado pelo símbolo n
?
x, onde x é chamado
radicando e n é denominado índice.
Da definição, segue que p n?xqn “ n?xn “ x, para todo x ě 0.
Exemplo 25:
a) 5
?
32 “ 2, pois 25 “ 32.
b) 3
?
8 “ 2, pois 23 “ 8.
c)
?
9 “ 3, pois 32 “ 9.
d) 7
?
0 “ 0, pois 07 “ 0.
e) 6
?
1 “ 1, pois 16 “ 1.
Propriedades
Se x P R`, y P R`, m P Z, n P N˚ e k P N˚, temos:
1♠ n
?
xm “ n¨k
?
xm¨k, para x ‰ 0 ou m ‰ 0.
2♠ n
?
x ¨ y “ n?x ¨ n?y.
3♠ n
c
x
y
“
n
?
x
n
?
y
.
4♠p n?xqm “ n?xm, para x ‰ 0 ou m ‰ 0.
2.2.7 Potência com expoentes racionais
Sejam m ą 0 e n ą 0 são inteiros primos entre si. Definimos uma potência racional do tipo
x
m
n , por: x
m
n “ n?xm, @x P R, se n for ímpar e @x ě 0 se n for par.
Note que
p n?xmq “ n?x ¨ x ¨ . . . ¨ xlooooooomooooooon
m fatores
“ n?x ¨ n?x ¨ . . . ¨ n?xloooooooooomoooooooooon
m fatores
“ p n?xqm
Logo x
m
n “ pxmq1{n “ px1{nqm.
26
Se m{n é negativo, temos xm{n “ 1
x´pm{nq
e daí x possui a mesma restrição de domínio do
caso já visto x´pm{nq e também x ‰ 0.
Exemplo 26: erererer
a) x5{3 “ 3?x5, @x P R
b) x3{8 “ 8?x3, @x ě 0
c) x´5{4 “ 1
4
?
x5
, @x ą 0
d) 31{2 “ ?3
e) 7´2{3 “ 3?7´2 “ 3
c
1
49
f)
ˆ
2
3
˙´1{3
“ 3
dˆ
2
3
˙´1
“
3
dˆ
3
2
˙
2.2.8 Raízes de índice n
As raízes de um número real são divididas em dois tipos: as raízes de índice par e as de
índice ímpar.
2.2.9 Raízes de índice ímpar
Sejam x P R um número real qualquer e n ě 3 um inteiro ímpar. A raiz n-ésima de x é o
número real y, tal que yn “ x.
Notações: y “ n?x “ x 1n .
Observe que, se n ímpar, então n
?
x tem o sinal de x, isto é, se x ą 0, temos n?x ą 0; se
x ă 0, temos n?x ă 0.
2.2.10 Raízes de índice par
Sejam x ě 0 um número real qualquer e n ě 2 um inteiro par. A raiz n-ésima de x é o
número real y ě 0, tal que yn “ x.
Notações: y “ n?x “ x 1n .
Quando n “ 2, a raiz de índice 2 é dita raiz quadrada e, como já sabemos, é denotada por?
x em vez de 2
?
x. Como qualquer número real não nulo ao quadrado é sempre positivo, a raiz
quadrada de um número x negativo não está definida em R.
2.2.11 Propriedades das raízes ímpares
Se n ě 3 é um número inteiro ímpar, então:
1♠ n
?
xn “ x, @x P R.
2♠ n
?
xy “ n?x ¨ n?y, @x, y P R.
3♠ n
?´x “ ´ n?x, @x P R.
4♠ n
c
x
y
“
n
?
x
n
?
y
, @x, y P R, y ‰ 0.
5♠x ď y ô n?x ď n?y
6♠ n
?
x` y ď n?x` n?y, @x, y ě 0
2.2.12 Propriedades das raízes pares
Se n ě 2 é um número inteiro par, então:
27
1♠ n
?
x “ |x|, @x P R.
2♠ n
?
xy “ n?x ¨ n?y, @x, y ě 0.
3♠ n
?
xy “ n?´x ¨ n?´y, @x, y ă 0
4♠ n
c
x
y
“
n
?
x
n
?
y
, @x ě 0, @y ą 0.
5♠ n
c
x
y
“
n
?´x
n
?´y , @x ď 0, @y ă 0.
6♠Se x, y ě 0, então x ď y ô 0 ă n?x ă n?y
7♠ n
?
x` y ď n?x` n?y, @x, y ě 0
Além das propriedades anteriores, valem as seguintes:
•
n
?
xm “ p n?xqm, para todo x ě 0, se n for par e vale para todo x P R se n for ímpar.
•
n
b
m
?
x “ nm?x, @x ě 0 se m ou n for par e vale @x P R, se n e m forem ímpares.
Observação: A Propriedade 6♠de 2.2.11 não vale para quaisquer x e y reais. Considere o
seguinte contra-exemplo:
Se x “ y “ ´1 e n “ 3, então ´ 3?2 ą 3?´1` 3?´1 “ ´2.
Exemplo 27: erererer
a) 4
?
x8 “ x2, @x P R;
b) 4
?
x4 “ |x|, @x P R;
c) 6
?
x18 “ |x|3, @x P R;
d) 3
?
x9 “ x3, @x P R;
e) 3
?
x18 “ x6, @x P R;
f) 4
?
x6 “ ?x3, @x ě 0;
g) 4
?
x10 “a|x|5, @x P R;
Exemplo 28: Simplifique 3
?
54.
Solução:
3
?
54 “ 3?27 ¨ 2 “ 3?27 ¨ 3?2 “ 3 3?2
Exemplo 29: Simplificar 3
?
8a4, sendo a um número positivo.
Solução:
3
?
8a4 “ 3?8 ¨ a3 ¨ a “ 3?8 3?a3 ¨ 3?a “ 2a 3?a.
Exemplo 30: Escrever na forma de um único radical a expressão
?
3 ¨ 3?5.
Solução: Vamos reduzir os radicais para o mesmo índice 6 (que é o mínimo múltiplo comum
entre 2 e 3) e em seguida usar as propriedades das raízes. Assim,?
3 ¨ 3?5 “ 6?33 ¨ 6?52 “ 6?27 ¨ 6?25 “ 6?27 ¨ 25 “ 6?675
Exemplo 31: Escrever na forma de um único radical a expressão
6
?
25
4
?
23
.
Solução:
6
?
25
4
?
23
“
2¨6
?
22¨5
3¨4
?
23¨3
“
12
?
210
12
?
29
“ 12
c
210
29
“ 12?2.
Exemplo 32: Escrever o radical
cb?
2 na forma de potência de expoente racional.
28
Solução: cb?
2 “ 2¨2¨2?2 “ 8?2 “ 2 18 .
Exemplo 33: Escrever o radical
b
2
3
?
2 na forma de potência de expoente racional.
Solução: b
2
3
?
2 “ ?2 ¨
b
3
?
2 “ ?2 ¨ 6?2 “ 2 12 ¨ 2 16 “ 2 12` 16 “ 2 46 “ 2 23
Exemplo 34: Sendo a, b e c números reais positivos, mostrar que
c
a
3
b
b
?
c “ 12?a6b2c.
Solução:c
a
3
b
b
?
c “ ?a ¨
b
3
?
b ¨
c
3
b?
c “ ?a ¨ 6?b ¨ 12?c “ 12?a6 ¨ 12?b2 ¨ 12?c “ 12?a6b2c.
Exemplo 35: Simplifique
3
c
228 ` 230
10
.
Solução:
3
c
228 ` 230
10
“ 3
c
228 ¨ p1` 22q
10
“ 3
c
228 ¨ 5
10
“ 3
c
228
2
“ 3?227 “ 22 273 “ 29 “ 512.
2.2.13 Fator racionalizante
Denominamos fator racionalizante de uma expressão com radical, uma segunda expressão
também com radical tal que o produto de ambas seja uma expressão sem radical.
Por exemplo,
a)
?
x é o fator racionalizante de
?
x, pois
?
x ¨ ?x “ ?x2 “ x.
b) n
?
xn´m é fator racionalizante de n
?
xm. (Verifique)
c)
?
x´?y é o fator racionalizante de ?x`?y.
d)
?
x`?y é o fator racionalizante de ?x´?y.
e) x`?y é o fator racionalizante de x´?y.
f) a
?
x´ b?y é o fator racionalizante de a?x` b?y.
g) a
?
x` b?y é o fator racionalizante de a?x´ b?y.
2.2.14 Racionalização de denominadores
Quando temos uma expressão fracionária com denominador irracional do tipo a
?
x ` b?y,
costumamos simplificar a expressão, racionalizando o denominador, que consiste em se obter
uma fração equivalente com denominador racional, substituindo a outra com denominador
irracional.
Para isto, devemos multiplicar o numerador e o denominador da expressão pelo fator racional-
izante do denominador.
29
Esta operação que elimina o radical do denominador é chamada racionalização de denomi-
nadores.
Exemplo 36: Racionalizar o denominador da fração
3
5
?
8
.
Solução: Como 5
?
8 “ 5?23, então o fator racionalizante do denominador é 5?25´2 “ 5?22.
Logo,
3
5
?
8
“ 3
5
?
23
“ 3
5
?
23
¨
5
?
22
5
?
22
“ 3
5
?
22
5
?
25
“ 3
5
?
4
2
Exemplo 37: Racionalize a expressão
3
?
5´ 2?13
7
?
5` 3?13 .
Solução: Neste caso, o fator racionalizante é 7
?
5´ 3?13. Assim,
3
?
5´ 2?13
7
?
5` 3?13 “
p3?5´ 2?13q
p7?5` 3?13q ¨
p7?5´ 3?13q
p7?5´ 3?13q “
21 ¨ p?5q2 ´ 9?65´ 14?65` 6 ¨ p?13q2
p7?5q2 ´ p3?13q2
“ 105´ 23
?
65` 78
49 ¨ 5´ 9 ¨ 13 “
183´ 23?65
128
Exercícios
1♠Calcule:
a)
?
64 b) ´?64 c) 3?27 d) 3?´27
2♠Determine o valor de
d
8`
c
14` 3
b
6`?4.
3♠Determine o valor de
!
p´2q3 `
”
p´2q2 ´ 3` p´3q ¨ ?49
ı
˜
”?
256˜ p´4q
ı)
˜ p´3q.
4♠Determine o valor de
4
7
¨
c
49
64
`
ˆ
1´ 3
5
˙
˜ 3
5
`
ˆ
1` 1
3
˙
.
5♠Calcule o valor da expressão 8´
2
3 `a0, 25` 4 ¨ p0, 5q4.
6♠Determine o valor de
d
313 ` 312
25 ˜ 23 .
7♠Determine o valor da expressão 3
c
228 ` 230
10
.
8♠Simplifique a expressão n
c
20
4n`2 ` 22n`2 .
9♠Calcule o valor numérico de ´ 3?´8` 16´ 14 ´
ˆ
´1
2
˙´2
` 8´ 43 .
10♠Simplifique os radicais:
30
a)
?
2352
b)
?
8´?18` 2?2
c)
?
18`?5
d) 2
b
2
3
?
2
e) a
c
a´1
b
a´1
?
a´1
11♠Racionalize o denominador das seguintes expressões fracionárias:
a)
1?
3
b)
2?
10
c)
6?
2
d)
?
5?
2
e)
6
5
?
3
f)
1
3
?
2
g)
m?
m
h)
5
?
2
2
?
5
i)
?
x
2
?
y
j)
ab?
b
k)
2
a
?
2
l)
1`?3?
3
m)
1´?5?
2
n)
?
5` 1?
5
12♠Racionalize o denominador das seguintes expressões fracionárias:
a)
1
5
?
24
b)
3
3
?
3
c)
2a
8
?
a7
d)
2
3
4
?
23
e)
ab
3
?
a2b2
f)
m
6
?
n5
13♠Racionalize as expressões:
a)
1?
5`?2
b)
2?
3´ 1
c)
?
2?
3`?2
d)
?
m?
m´ 1
e)
1`?3
2`?3
f)
?
5´?2?
5`?2
g)
1`?7
3´?7
h)
?
x`?y?
x´?y
14♠Qual é o valor da expressão
?
3` 1?
3´ 1 `
?
3´ 1?
3` 1?
15♠Determine o valor da expressão
2?
5´?3 ´
2
3
?
2
.
16♠Determine o valor de A “ ?6` 2´
?
3
2´?2 `
?
3´ 1
2`?2 .
17♠Calcule o valor de
0, 3´ 1
4
5
?´1 ` 0, 036˜ 0, 04.
18♠Se x, y e z são números reais diferentes de zero e
x
y
“ y
z
, simplifique a expressão
xz ` 3y2
xz
.
31
Capítulo
3
Polinômios e Fatoração
Definição: Um polinômio na variável x é uma expressão da forma
ppxq “ a0 ` a1x` a2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` anxn “
nÿ
j“0
ajx
j,
onde aj P R, 1 ď j ď n são os coeficientes e ajxj, 1 ď j ď n são os termos do polinômio, com
n P N.
Exemplo 1: ppxq “ 5x3`2x´1 e qpxq “ 6x2´x são polinômios. Agora, ppxq “ 6x1{3´2x`1
e qpxq “ 6x´7 ` 4x´ 1 não são polinômios, pois 1
3
R N e ´7 R N.
3.0.15 Valor Numérico
Quando fixamos x “ α (α P R), e calculamos ppαq “ a0 ` a1α` a2α2 ` ¨ ¨ ¨ ` anαn, dizemos
que ppαq é o valor numérico do polinômio para x “ α.
Se ppαq “ 0, dizemos que α é uma raiz ou zero do polinômio ppxq.
Exemplo 2: Determinar o valor numérico do polinômio ppxq “ x3 ´ 4x2 ` 6x´ 4 para x “ 1.
Solução: Substituindo x por 1, temos:
pp1q “ 13 ´ 4 ¨ 12 ` 6 ¨ 1´ 4 “ 1´ 4` 6´ 4 “ ´1.
Exemplo 3: Dado ppxq “ x3 ` x2 ` x` 1, calcule ppx` 1q e pp2xq.
Solução:
• ppx` 1q “ px` 1q3 ` px` 1q2 ` px` 1q ` 1 “ px` 1qrpx` 1q2 ` px` 1q ` 1s ` 1 “
“ px` 1qpx2 ` 2x` 1` x` 1` 1q ` 1 “ px` 1qpx2 ` 3x` 3q ` 1 “
“ x3 ` 3x2 ` 3x` x2 ` 3x` 3` 1 “ x3 ` 4x2 ` 6x` 4
• pp2xq “ p2xq3 ` p2xq2 ` 2x` 1 “ 8x3 ` 4x2 ` 2x` 1.
Exemplo 4: Verifique quais números do conjuntoA “ t´3,´2,´1, 1, 2u são raízes do polinômio
ppxq “ x3 ` 2x2 ´ 5x´ 6.
Solução:
• pp´3q “ p´3q3 ` 2p´3q2 ´ 5p´3q ´ 6 “ ´27` 18` 15´ 6 “ 0.
Como pp´3q “ 0, então ´3 é raiz de ppxq.
• pp´2q “ p´2q3 ` 2p´2q2 ´ 5p´2q ´ 6 “ ´8` 8` 10´ 6 “ 4
Como pp´2q “ 4, então ´2 não é raiz de ppxq.
32
• pp´1q “ p´1q3 ` 2p´1q2 ´ 5p´1q ´ 6 “ ´1` 2` 5´ 6 “ 0
Como pp´1q “ 0, então ´1 é raiz de ppxq.
• pp1q “ 13 ` 2 ¨ 12 ´ 5 ¨ 1´ 6 “ 1` 2´ 5´ 6 “ ´8
Como pp1q “ 0, então 1 é raiz de ppxq.
• pp2q “ 23 ` 2 ¨ 22 ´ 5 ¨ 2´ 6 “ 8` 8´ 10´ 6 “ 0
Como pp2q “ 0, então 2 é raiz de ppxq.
Exemplo 5: Dado ppxq “ ?3x3 ´ 2x2 ` 4?3x´ 3, calcule pp?3q.
Solução:
pp?3q “ ?3¨p?3q3´2¨p?3q2`4?3¨?3´3 “ p?3q4´2¨3`4¨?9´3 “ 32´6`12´3 “ 9´6`9 “ 12
3.1 Polinômio nulo
É aquele em que todos os seus coeficientes são iguais a zero paj “ 0, @ 1 ď j ď nq, e
escrevemos ppxq “ 0.
Assim, o polinômio ppxq “ pa´ 3qx2 ` pb` 1qx` pc´ 2q será identicamente nulo se:
• a´ 3 “ 0 ô a “ 3
• b` 1 “ 0 ô b “ ´1
• c´ 2 “ 0 ô c “ 2
Observe que se um polinômio ppxq é nulo, o valor numérico de ppxq será zero para qualquer
valor atribuído a x e, reciprocamente, se ppxq “ 0 para qualquer valor de x, então ppxq é nulo.
3.2 Grau de um polinômio
Seja ppxq “ a0 ` a1x ` a2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` anxn um polinômio não nulo. Chama-se grau de ppxq,
o número natural p tal que ap ‰ 0 e aj “ 0 para j ą p. Assim, o grau de um polinômio é o
maoior índice dos termos não nulos. Denotamos o grau de ppxq por grpppxqq.
Observação: Não se define grau para polinômios nulos.
Exemplo 6: erererer
a) ppxq “ ´6x4 ` 2x3 ` 7x` 4 ñ grpppxqq “ 4.
b) ppxq “ ´1` 2x` 5x2 ñ grpppxqq “ 2.
c) ppxq “ 1` 5x´ 3x2 ` pa´ 4qx3 ñ
#
grpppxqq “ 2, se a “ 4
grpppxqq “ 3, se a ‰ 4 .
d) ppxq “ 4 ñ grpppxqq “ 0.
33
3.3 Igualdade de Polinômios
Dois polinômios fpxq e gpxq são iguais se, e somente se, os coeficientes de fpxq e gpxq forem
ordenadamente iguais, ou seja, se
fpxq “ a0 ` a1x` a2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` anxn e gpxq“ b0 ` b1x` b2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` bnxn,
então
fpxq “ gpxq ô aj “ bj, @ j P t0, 1, . . . , nu.
Assim, o polinômio ppxq “ ax3 ` pb ´ 2qx2 ` pc ´ 3qx ` d é igual ao polinômio
qpxq “ ´3x3 ` 4x2 ´ 2x ` 1 se, e somente se, a “ ´3, b ´ 2 “ 4, c ´ 3 “ ´2 e d “ 1,
ou seja, se e somente se, a “ ´3, b “ 6, c “ 1 e d “ 1.
3.4 Operações com Polinômios
1. Adição e Subtração: Dados dois polinômios fpxq “ a0 ` a1x ` a2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` anxn e
gpxq “ b0 ` b1x ` b2x2 ` ¨ ¨ ¨ ` bnxn, definimos como a soma e subtração de fpxq com gpxq,
respectivamente, os polinômios:
pf ` gqpxq “ fpxq ` gpxq “ pa0 ` b0q ` pa1 ` b1qx` ¨ ¨ ¨ ` pan ` bnqxn
pf ´ gqpxq “ fpxq ´ gpxq “ pa0 ´ b0q ` pa1 ´ b1qx` ¨ ¨ ¨ ` pan ´ bnqxn
Exemplo 7: Dados os polinômios ppxq “ 2x3 ´ x2 ` 4x ` 1, qpxq “ x3 ´ 2x2 ` 2x ´ 1 e
rpxq “ x2 ` 3x` 2, temos:
a) ppxq ` qpxq “ p2` 1qx3 ` p´1´ 2qx2 ` p4` 2qx` p1´ 1q “ 3x3 ´ 3x2 ` 6x.
b) ppxq ´ rpxq “ p2´ 0qx3 ` p´1´ 1qx2 ` p4´ 3qx` p1´ 2q “ 2x3 ´ 2x2 ` x´ 1.
2. Multiplicação: Pode ser obtida pela propriedade distributiva.
Exemplo 8: Dados os polinômios ppxq “ x3 ´ 2x2 ` 2x´ 1 e qpxq “ x2 ` 3x` 2, temos:
ppxq ¨ qpxq “ px3 ´ 2x2 ` 2x´ 1q ¨ px2 ` 3x` 2q “
“ x3px2 ` 3x` 2q ´ 2x2px2 ` 3x` 2q ` 2xpx2 ` 3x` 2q ´ 1px2 ` 3x` 2q
“ x5 ` 3x4 ` 2x3 ´ 2x4 ´ 6x3 ´ 4x2 ` 2x3 ` 6x2 ` 4x´ x2 ´ 3x´ 2
“ x5 ` x4 ´ 2x3 ` x2 ` x´ 2
Exemplo 9: Calcule A e B de modo que se tenha
A
x´ 2 `
B
x` 2 “
4x´ 3
x2 ´ 4 .
Solução:
A
x´ 2 `
B
x` 2 “
4x´ 3
x2 ´ 4 ô
Apx` 2q ` Bpx´ 2q
px´ 2qpx` 2q “
4x´ 3
x2 ´ 4 ô
Ax` 2A` Bx´ 2B
x2 ´ 4 “
4x´ 3
x2 ´ 4 ô
pA` Bqx` 2A´ 2B
x2 ´ 4 “
4x´ 3
x2 ´ 4 ô
34
pA` Bqx` 2A´ 2B “ 4x´ 3 ô
#
A` B “ 4
2A´ 2B “ ´3 ô
#
2A` 2B “ 8 pIq
2A´ 2B “ ´3 pIIq
Somando as equações pIq e pIIq, temos A “ 5
4
. Substituindo A “ 5
4
em pIq ou pIIq, obtemos
B “ 11
4
. Portanto, A “ 5
4
e B “ 11
4
.
3. Divisão: Dados dois polinômios fpxq (dividendo) e gpxq ‰ 0 (divisor), dividir fpxq por gpxq
é determinar dois outros polinômios qpxq (quociente) e rpxq (resto) de modo que verifiquem as
seguintes condições:
i) fpxq “ gpxq ¨ qpxq ` rpxq;
ii) grprpxqq ăgrpgpxqq ou rpxq “ 0
fpxq gpxq
qpxqrpxq ô
#
fpxq “ gpxq ¨ qpxq ` rpxq
grprpxqq ă grpgpxqq ou rpxq “ 0
Observação: Quando rpxq “ 0, a divisão é chamada exata. Neste caso, dizemos que fpxq é
divisível por gpxq.
A divisão pode ser feita utilizando-se uma regra simples denominada Método da Chave,
que consiste em obter o quociente q e o resto r, em várias etapas, de modo análogo ao que se
faz na divisão euclidiana de números inteiros. As etapas são as seguintes:
a) divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor;
b) multiplica-se o quociente pelo divisor e subtrai-se este resultado do dividendo;
c) repete-se o processo até se obter um polinômio de grau menor que o divisor. Este último
polinômio será o resto da divisão.
Exemplo 10: Determine o quociente e o resto da divisão de fpxq “ 6x3 ´ 13x2 ` x ` 3 por
gpxq “ 2x2 ´ 3x´ 1.
Solução: Pelo método da chave, temos:
6x3 ´ 13x2 ` x` 3 2x2 ´ 3x´ 1
´6x3 ` 9x2 ` 3x 3x´ 2
´4x2 ` 4x` 3
4x2 ´ 6x´ 2
´2x` 1
Observe que grprpxqq “ 1 e grpgpxqq “ 2. Como grprpxqq ăgrpgpxqq, a divisão está encerrada.
Temos assim, o quociente qpxq “ 3x´ 2 e o resto rpxq “ ´2x` 1.
Note que 6x3 ´ 13x2 ` x` 3loooooooooomoooooooooon
fpxq
“ p2x2 ´ 3x´ 1qlooooooomooooooon
gpxq
¨ p3x´ 2qlooomooon
qpxq
`p´2x` 1qloooomoooon
rpxq
.
Dispositivo de Briot-Ruffini
Para a divisão de polinômios em que o divisor gpxq é do 1o grau, temos um processo excelente,
conhecido como dispositivo de Briot-Ruffini.
35
Para descrevê-lo, vejamos o próximo exemplo.
Exemplo 11: Determine o quociente e o resto da divisão de fpxq “ 5x4 ´ 3x2 ` x ´ 1 por
gpxq “ x´ 2.
Solução:
Temos que: gpxq “ 0 ô x´ 2 “ 0 ô x “ 2 ( raiz do divisor).
O dispositivo tem a forma:
Acima da horizontal e à direita da vertical escrevemos todos os coeficientes do dividendo
fpxq, que deve estar reduzido e ordenado (termos segundo potências decrescentes de x).
À esquerda da linha vertical escrevemos a raiz do divisor gpxq e baixamos o primeiro coefi-
ciente de fpxq.
5
5
0 ´3 1 ´1 coeficientes de fpxq
baixa-se o primeiro coeficiente do dividendo
2raiz do divisor
Multiplicamos o coeficiente baixado pela raiz do divisor e somamos com o coeficiente seguinte
de fpxq, escrevendo o resultado abaixo deste coeficiente.
5
5 10
0 ´3 1 ´1
2
5 ¨ 2` 0 “ 10
`
ˆ
Repetimos o procedimento com esse resultado, ou seja, multiplicamos pela raiz do divisor e
somamos com o coeficiente seguinte, e assim por diante.
5
5 10 17
0 ´3 1 ´1
2
10 ¨ 2` p´3q “ 17
`
ˆ
5
5 10 17 35
0 ´3 1 ´1
2
17 ¨ 2` 1 “ 35
`
ˆ
36
5
5 10 17 35 69
0 ´3 1 ´1
2
35 ¨ 2` 1 “ 69
`
ˆ resto
coeficientes de qpxq
Observe, no quadro completo, que o resultado final do processo é o resto da divisão, ou seja,
rpxq “ 16, e que os demais coeficientes são, ordenadamente, os coeficientes de qpxq. Como
grpfpxqq “ 4 e grpgpxqq “ 1, é claro que grpqpxqq “ 3.
Logo, o quociente é qpxq “ 5x3 ` 10x2 ` 17x` 35 e o resto é r “ 69.
De modo geral, ao dividir fpxq por gpxq “ ax ` b, a ‰ 0, pelo dispositivo de Briot-Ruffini,
devemos notar que:
1♠Se grpfpxqq “ n, como grpgpxqq “ 1, temos sempre grpqpxqq “ n ´ 1, ou seja, o grau
do quociente é uma unidade menor que o grau do dividendo. O grau do resto é zero ou
rpxq “ 0. Logo, o resto é sempre uma constante r.
2♠No exemplo dado acima, o coeficiente a de gpxq é igual a 1. Caso, em gpxq “ ax ` b,
tenhamos a ‰ 1, o dispositivo não apresenta como resultado os coeficientes de qpxq, e sim
do polinômio a ¨ qpxq. Veja por que (vamos deixar o coeficiente de x igual a 1):
fpxq ax` b
qpxqrpxq ô fpxq “ pax` bq ¨ qpxq ` rpxq ô
ô fpxq “ a
ˆ
x` b
a
˙
¨ qpxq ` rpxq ô
ô fpxq “
ˆ
x` b
a
˙
¨ ra ¨ qpxqs ` rpxq
Repare que o resto não sofre alteração.
Portanto, para obter os coeficientes corretos, devemos dividir os resultados (com exceção do
resto) por a.
Exemplo 12: Dividir Apxq “ 3x4 ´ 7x3 ` 2x` 5 por Bpxq “ 2x´ 6.
Solução:
Raiz de Bpxq: 2x´ 6 “ 0 ô x “ 3
3 ´7 0 2 5
3 3 2 6 20 65
3
2
1 3 10
resto˜2
coeficientes de qpxq
Como grpApxqq “ 4, temos grpqpxqq “ 3. Logo, qpxq “ 3
2
x3 ` x2 ` 3x` 10 e r “ 65.
37
Exemplo 13: Determine o valor de a para que o resto da divisão de ppxq “ x3 ´ 5x2 ` 7x` a
por x` 1 seja ´4.
Solução:
1 ´5 7 a
´1 1 ´6 13 a´ 13
resto “ ´4
Então, temos a´ 13 “ r ñ a´ 13 “ ´4 ñ a “ 9.
Exemplo 14: Dividir xn ´ an por x´ a, com n inteiro positivo.
Solução:
Utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
1 0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 ´an
a 1 a a2 a3 ¨ ¨ ¨ an´1 0
restocoeficientes de qpxq
n´ 1 zeros
Logo, qpxq “ xn´1 ` axn´2 ` a2xn´3 ` ¨ ¨ ¨ ` an´2x` an´1 e r “ 0.
Exemplo 15: Dividir xn ` an por x´ a, com n inteiro positivo.
Solução:
Utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
1 0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 an
a 1 a a2 a3 ¨ ¨ ¨ an´1 2an
restocoeficientes de qpxq
n´ 1 zeros
Logo, qpxq “ xn´1 ` axn´2 ` a2xn´3 ` ¨ ¨ ¨ ` an´2x` an´1 e r “ 2an.
Exemplo 16: Dividir xn ´ an por x` a, com n inteiro positivo.
Solução:
Utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
1 0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 ´an
´a 1 ´a a2 ´a3 ¨ ¨ ¨ p´aqn´1 p´aqn ´ an
restocoeficientes de qpxq
n´ 1 zeros
Logo, qpxq “ xn´1 ´ axn´2 ` a2xn´3 ` ¨ ¨ ¨ ` an´2x ` p´aqn´1, sendo r “ 0 se n for par e
r “ ´2an se n for ímpar.
Exemplo 17: Dividir xn ` an por x` a, com n inteiro positivo.
Solução:
Utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
38
1 0 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 an
´a 1 ´a a2 ´a3 ¨ ¨ ¨ p´aqn´1 p´aqn ` an
restocoeficientes de qpxq
n´ 1 zeros
Logo, qpxq “ xn´1 ´ axn´2 ` a2xn´3 ` ¨ ¨ ¨ ` an´2x ` p´aqn´1, sendo r “ 0 se n for ímpar e
r “ 2an se n for par.
3.5 Teoremas importantes
Teorema1 (Teorema de D’Alembert): O resto da divisão do polinômio fpxq por x ´ α é o
valor numérico de fpxq para x “ α, ou seja, r “ fpαq.
Exemplo 18: O resto da divisão de fpxq “ x3 ` 7x2 ´ 3x` 1 por x´ 2 é 31, pois
r “ fp2q “ 23 ` 7 ¨ 22 ´ 3 ¨ 2` 1 “ 31.
Exemplo 19: O resto da divisão de fpxq “ x5 ´ 3x` 2 por x` 1 é 4, pois
r “ fp´1q “ p´1q5 ´ 3 ¨ p´1q ` 2 “ 4.
Exemplo 20: Sabendo-se que o resto da divisão de Apxq “ x3 ` 7x2 ` ax` 1 por x ´ 2 é 27,
determinar o valor de a.
Solução:
De acordo com o Teorema de D’Alembert, temos:
Ap2q “ r ñ 23 ` 7 ¨ 22 ` a ¨ 2` 1 “ 27 ñ 8` 28` 2a` 1 “ 27 ñ a “ ´5
Exemplo 21: Dividindo-se o polinômio Apxq por x ´ 1, obtém-se resto 2 e dividindo-se por
x´ 2, obtém-se resto 3. Calcular o resto da divisão de Apxq por px´ 1qpx´ 2q.
Solução:
Pelo enunciado temos que Ap1q “ 2 e Ap2q “ 3. O resto da divisão de Apxq por
dpxq “ px ´ 1qpx ´ 2q é do tipo rpxq “ ax ` b, pois grpdpxqq “ 2. Aplicando a definição
de divisão, tem-se:
Apxq “ px´ 1qpx´ 2q ¨ qpxq ` ax` b pIq
De pIq, para x “ 1 e x “ 2, temos:
Ap1q “ p1´ 1qp1´ 2qqp1q ` a ¨ 1` b ñ Ap1q “ a` b ñ a` b “ 2 pIIq
Ap2q “ p2´ 1qp2´ 2qqp2q ` a ¨ 2` b ñ Ap2q “ 2a` b ñ 2a` b “ 3 pIIIq
Subtraindo pIIq de pIIIq, obtemos a “ 1. Substituindo esse valor em pIIq tem-se b “ 1.
Portanto, o resto da divisão é rpxq “ x` 1.
Teorema 2: Um polinômio fpxq é divisível por x´ α se, e somente se, α é raiz de fpxq.
39
Teorema 3: Se um polinômio fpxq é divisível por x ´ α e por x ´ β, com α ‰ β, então fpxq
será também divisível por px´ αqpx´ βq.
Teorema 4: Um polinômio fpxq é divisível por px´ αqpx´ βq, com α ‰ β se, e somente se, α
e por β forem raíres de fpxq.
Teorema 5: Suponha que fpxq “ anxn ` ¨ ¨ ¨ ` a1x ` a0 seja um polinômio de grau n com
coeficientes inteiros, isto é, a0, a1, . . . , an´1 e an ‰ 0 são números inteiros. Seja α um inteiro.
Se α for raiz de fpxq, então α será um divisor do termo independente a0.
Exemplo 22: Mostrar que o polinômio Apxq “ x3 ´ 6x2 ` 9x´ 4 é divisível por x2 ´ 5x` 4.
Solução:
Primeiro, observe que x2´5x`4 “ px´1qpx´4q. Por outro lado, Ap1q “ 13´6¨12`9¨1´4 “ 0
e Ap4q “ 43 ´ 6 ¨ 42 ` 9 ¨ 4 ´ 4 “ 0. Logo, Apxq é divisível por x ´ 1 e x ´ 4 e, portanto, é
divisível por x2 ´ 5x` 4.
Exemplo 23: Fatore o polinômio fpxq “ x4 ´ 3x2 ` x2 ` 3x´ 2.
Solução:
Pelo Teorema 5, as possíveis raízes inteiras de fpxq são ´2, ´1, 1 ou 2 (divisores de ´2).
Vamos testar quais desses números são raízes.
• fp´2q “ p´2q4 ´ 3 ¨ p´2q3 ` p´2q2 ` 3 ¨ p´2q ´ 2 “ 16` 24` 4´ 6´ 2 “ 32 ñ ´2 não
é raiz.
• fp´1q “ p´1q4 ´ 3 ¨ p´1q3 ` p´1q2 ` 3 ¨ p´1q ´ 2 “ 1` 3` 1´ 3´ 2 “ 0 ñ ´1 é raiz.
• fp2q “ 24 ´ 3 ¨ 23 ` 22 ` 3 ¨ 2´ 2 “ 16´ 24` 4` 6´ 2 “ 0 ñ 2 é raiz.
• fp1q “ 14 ´ 3 ¨ 13 ` 12 ` 3 ¨ 1´ 2 “ 1´ 3` 1` 3´ 2 “ 0 ñ 1 é raiz.
Assim, fpxq é divisível por x´ 1, x` 1 e x´ 2 e daí é divisível por px´ 1qpx` 1qpx´ 2q.
Agora,
px´ 1qpx` 1qpx` 2q “ px2 ´ 1qpx` 2q “ x3 ´ 2x2 ´ x` 2.
Pelo, método da chave temos:
x4 ´ 3x3 ` x2 ` 3x´ 2 x3 ´ 2x2 ´ x` 2
´x4 ` 2x3 ` x´ 2x x´ 1
´x3 ` 2x2 ` x´ 2
x3 ´ 2x2 ´ x` 2
0
Portanto, fpxq “ x4´ 3x3`x2` 3x´ 2 “ px´ 1qpx` 1qpx´ 2qpx´ 1q “ px´ 1q2px` 1qpx´ 2q.
3.6 Fatoração
Fatorar uma expressão é escrevê-la como um produto de dois ou mais fatores. Identificar
fatorações nas expressões envolvidas numa equação ou numa inequação é fundamental na res-
olução das mesmas.
40
A expressão ax ` ay, por exemplo, não está fatorada, pois é a soma da parcela ax com a
parcela ay.
A expressão a ¨ px` yq está fatorada, pois é o produto do fator a pelo fator x` y. É simples
verificar que ax` ay “ a ¨ px` yq.
Fatorar a expressão ax` ay, portanto, é transformá-la no produto a ¨ px` yq.
A maneira prática de fatorar é enquadrar a expressão dada num dos seis casos típicos
seguintes: fator comum, agrupamento, diferença de quadrados, quadrado perfeito, soma e difer-
ença de cubos, cubo perfeito.
3.6.1 Fator Comum
A expressão ax` bx é a soma de duas parcelas. A primeira parcela ax é o produto do fator
a pelo fator x. A segunda parcela bx é o produto do fator b pelo fator x. Assim sendo, x é fator
comum às duas parcelas. Este fator comum pode ser colocado em evidência transformando a
soma no produto do fator x pelo fator a` b.
a ¨ x` b ¨ x “ x ¨ pa` bq.
Exemplo 24: erererer
a) 2m` 2n “ 2 ¨ pm` nq
b) 3x` 6y “ 3 ¨ px` 2yq
b) a2b` ab2 ` a2b3 “ a ¨ b ¨ pa` b` ab2q
c) 2x3 ` 4x2 ` 6x “ 2 ¨ x ¨ px2 ` 2x` 3q
d) 3x3 ` 4x3 ´ 2x3 ` x3 “ x3 ¨ p3` 4´ 2` 1q “ x3 ¨ 6 “ 6x3
3.6.2 Agrupamento
A expressão ax`bx`ay`by é a soma de quatro parcelas e não existem nenhum fator comum
às quatro. Agrupando, porém, ax ` bx podemos colocar x em evidência, e agrupando ay ` by
podemos colocar y em evidência. Desta forma, a expressão será fatorada em duas parcelas,
e em ambas vai aparecer um novo fator comum a ` b, que pode ser novamente colocado em
evidência.
ax` bx` ay ` by “ x ¨ pa` bq ` y ¨ pa` bq “ pa` bq ¨ px` yq.
Exemplo 25: erererer
a) ax` aylooomooon` 2x` 2yloomoon “ a ¨ px` yq ` 2 ¨ px` yq “ px` yq ¨ pa` 2q
b) mn` 3mloooomoooon` 4n` 12loomoon “ m ¨ pn` 3q ` 4 ¨ pn` 3q “ pn` 3q ¨ pm` 4q
c) a2 ´ abloomoon´ 2a` 2bloomoon “ a ¨ pa´ bq ´ 2 ¨ pa´ bq “ pa´ bq ¨ pa´ 2q
d) a2 ` abloomoon` a` bloomoon “ a ¨ pa` bq ` 1 ¨ pa` bq “ pa` bq ¨ pa` 1q
41
e) mn´ nloomoon´ n` 1loomoon “ m ¨ pn´ 1q ´ 1 ¨ pn´ 1q “ pn´ 1q ¨ pm´ 1q
3.6.3 Produtos Notáveis
Algumas expressões possuem a forma de produtos importantes. Tais produtos são ditos
notáveis e consistem, na verdade, em fatorações de determinadas expressões conhecidas. Confira
abaixo:
1♠pa` bq2 “ a2 ` 2ab` b2
2♠pa´ bq2 “ a2 ´ 2ab` b2
3♠pa` bq3 “ a3 ` 3a2b` 3ab2 ` b3
4♠pa´ bq3 “ a3 ´ 3a2b` 3ab2 ´ b3
5♠a2 ´ b2 “ pa` bqpa´ bq
6♠a3 ´ b3 “ pa´ bqpa2 ` ab` b2q
7♠an ´ bn “ pa´ bqpan´1 ` an´2b` an´3b2 ` ¨ ¨ ¨ ` a2bn´3 ` abn´2 ` bn´1q, onde n P N
8♠a3 ` b3 “ pa` bqpa2 ´ ab` b2q
9♠an ` bn “ pa` bqpan´1 ´ an´2b` an´3b2 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn´1bn´1q, se n P N for ímpar.
Exemplo 26: Fatore as expressões:
a) x2 ´ x
b) x4 ´ y4
c) x2 ´ 5x` 6
d) x2 ` 2y2 ` 3xy ` x` y
e) x3 ` x2 ´ 3x´ 3
f) a4 ` a2 ` 1
g) a2 ` b2 ´ c2 ´ 2ab
Solução:
a) x2 ´ x “ xpx´ 1q
b) x4 ´ y4 “ px2q2 ´ py2q2 “ px2 ` y2qpx2 ´ y2q “ px2 ` y2qpx` yqpx´ yq
c) x2 ´ 5x` 6 “ x2 ´ 2x´ 3x` 6 “ xpx´ 2q ´ 3px´ 2q “ px´ 2qpx´ 3q
d) x2`2y2`3xy`x`y “ x2`y2`y2`2xy`xy`x`y “ px2`2xy`y2q`py2`xyq`px`yq “
“ px` yq2 ` ypx` yq ` px` yq “ px` yq ¨ rpx` yq ` y ` 1s “ px` yq ¨ px` 2y ` 1q.
e) x3 ` x2 ´ 3x´ 3 “ x2px` 1q ´ 3px` 1q “ px` 1qpx2 ´ 3q
f) a4`a2`1 “ pa2q2`2a2´a2`1 “ pa2q2`2a2`1´a2 “ pa2`1q2´a2 “ pa2`1´aqpa2`1`aq
g) a2 ` b2 ´ c2 ´ 2ab “ a2 ´ 2ab` b2 ´ c2 “ pa´ bq2 ´ c2 “ pa´ b` cqpa´ b´ cq
Exemplo 27: Calcular 2501 ¨ 2499.
42
Solução:
2501 ¨ 2499 “ p2500` 1q ¨ p2500´ 1q “ 25002 ´ 12 “ 6.250.000´ 1 “ 6.249.999
Exemplo 28: Simplifique a expressão
2px´ 2qpx´ 3q3 ´ 3px´ 2q2px´ 3q2
px´ 3q6 , supondo que
x ‰ 3.
Solução:
2px´ 2qpx´ 3q3 ´ 3px´ 2q2px´ 3q2
px´ 3q6 “
px´ 2qpx´ 3q2 ¨ r2px´ 3q ´ 3px´ 2qs
px´ 3q6
“ px´ 2qpx´ 3q
2 ¨ rpx´ 3q ¨ p2x´ 6´ 3x` 6qs
px´ 3q6
“ px´ 2qpx´ 3q
2 ¨ p´xq
px´ 3q6 “
´xpx´ 2q
px´ 3q4 “
xp2´ xq
px´ 3q4
Exemplo 29: Racionalize a expressão
3
?
5´ 2?13
7
?
5` 3?13 .
Solução:
3
?
5´ 2?13
7
?
5` 3?13 “
p3?5´ 2?13q
p7?5` 3?13q ¨
p7?5´ 3?13q
p7?5´ 3?13q “
21 ¨ p?5q2 ´ 9?65´ 14?65` 6 ¨ p?13q2
p7?5q2 ´ p3?13q2
“ 105´ 23
?
65` 78
49 ¨ 5´ 9 ¨ 13 “
183´ 23?65
128
Exemplo 30: Simplifique a expressão
9´ x2
x2 ´ 6x` 9 , com x ‰ 3.
Solução:
9´ x2
x2 ´ 6x` 9 “
32 ´ x2
x2 ´ 2 ¨ 3 ¨ x` 32 “
p3` xqp3´ xq
px´ 3q2 “
´px` 3qpx´ 3q
px´ 3q2 “
´px` 3q
px´ 3q “
x` 3
3´ x.
Exemplo 31: Simplifique a expressão
26n ´ 1
26n ` 23n`1 ` 1 , na qual n P N.
Solução:
26n ´ 1
26n ` 23n`1 ` 1 “
p23nq2 ´ 12
p22nq2 ` 2 ¨ 23n ` 1 “
p23n ` 1qp23n ´ 1q
p23n ` 1q2 “
23n ´ 1
23n ` 1 .
Exemplo 32: Determine o valor da expressão M “ px4 ´ y4q ¨ px` yq2
px2 ` y2q ¨ px2 ` 2xy ` y2q , para x “ 4 e
y “ ?3.
Solução: Temos que
M “ px
4 ´ y4q ¨ px` yq2
px2 ` y2q ¨ px2 ` 2xy ` y2q “
px2 ` y2q ¨ px` yq ¨ px´ yq ¨ px` yq2
px2 ` y2q ¨ px` yq2
“ px` yq ¨ px´ yq “ x2 ´ y2
43
Logo, para x “ 4 e y “ ?3, tem-se
M “ 42 ´ p?3q2 “ 16´ 3 “ 13.
Exemplo 33: A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus
cubos pode ser:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Solução: Sejam x e y esses dois números inteiros. Então
px` yq3 ´ px3 ` y3q “ x3 ` 3x2y ` 3xy2 ` y3 ´ px` yqpx2 ´ xy ` y2q
“ x3 ` 3x2y ` 3xy2 ` y3 ´ px3 ´ x2y ` xy2 ` x2y ´ xy2 ` y3q
“ x3 ` 3x2y ` 3xy2 ` y3 ´ px3 ` y3qq “ 3x2y ` 3xy2 “ 3 ¨ px2y ` xy2q.
Isto significa que px ` yq3 ´ px3 ` y3q é múltiplo de 3. Portanto a alternativa correta é a letra
c), pois 6 é múltiplo de 3.
3.7 Completamento de Quadrados
O processo de completar quadrados tem base nas duas primeiras fórmulas de produtos
notáveis, ou seja, pa` bq2 e pa´ bq2.
Para completar quadrados em expressões da forma y “ x2 ` kx ` c, primeiro dividimos o
coeficiente de x por 2. Depois elevamos ao quadrado e somamos e subtraimos o resultado na
expressão (o que não altera a expressão dada), obtendo:
x2 ` kx` c “ x2 ` kx` c`
ˆ
k
2
˙2
´
ˆ
k
2
˙2
“
“ x2 ` kx`
ˆ
k
2
˙2
´
ˆ
k
2
˙2
` c “
“
ˆ
x` k
2
˙2
´
ˆ
k
2
˙2
` c
Exemplo 34: Complete quadrados nas expressões:
a) x2 ` 6x
b) x2 ´ 2x` 2
c) x2 ´ 4x
d) 3` 8x´ x2
e) x2 ` 2x` 7
f) x´ 9x2
g) x4 ´ 2x2 ` 2
h) x4 ´ 3x2 ` 1
Solução:
a) x2 ` 6x “ x2 ` 6x` 32 ´ 32 “ px` 3q2 ´ 9
b) x2´2x`2 “ x2´2x`
ˆ´2
2
˙2
´
ˆ´2
2
˙2
`2 “ x2´2x`12´12`2 “ px´1q2´1`2 “ px´1q2`1
44
c) x2 ´ 4x “ x2 ´ 4x`
ˆ´4
2
˙2
´
ˆ´4
2
˙2
“ x2 ´ 4x` 22 ´ 22 “ px´ 2q2 ´ 4
d) 3` 8x´ x2 “ ´px2 ´ 8x´ 3q “ ´
˜
x2 ´ 8x`
ˆ´8
2
˙2
´
ˆ´8
2
˙2
´ 3
¸
“
“ ´px2 ´ 8x` 42 ´ 42 ´ 3q ´ rpx´ 4q2 ´ 6´ 3s “ ´px´ 4q2 ` 9 “ 9´ px´ 4q2
e) x2 ` 2x` 7 “ x2 ` 2x` 12 ´ 12 ` 7 “ px` 1q2 ´ 1` 7 “ px` 1q2 ` 6
f) x´ 9x2 “ ´9
´
x2 ´ x
9
¯
“ ´9
˜
x2 ´ x
9
`
ˆ
1
18
˙2
´
ˆ
1
18
˙2¸
“ ´9
«ˆ
x´ 1
18
˙2
´ 1
182
ff
“ 1
36
´ 9
ˆ
x´ 1
18
˙2
g) x4 ´ 2x2 ` 2 “ px2q2 ´ 2x2 ` 12 ´ 12 ` 2 “ px2 ´ 1q2 ´ 1` 2 “ px2 ´ 1q2 ` 1
h) x4 ´ 3x2 ` 1 “ px2q2 ´ 3x2 `
ˆ
3
2
˙2
´
ˆ
3
2
˙2
` 1 “
ˆ
x2 ´ 3
2
˙2
´ 9
4
` 1 “
ˆ
x2 ´ 3
2
˙2
´ 5
4
Exemplo 35: Resolva a equação 4x2 ` 4x` 1 “ 0 sem usar a fórmula de Báskara.
Solução:
Completando quadrado, temos:
4x2 ` 4x` 1 “ 0 ô x2 ` x` 1
4
“ 0 ô x2 ` x`
ˆ
1
2
˙2
´
ˆ
1
2
˙2
` 1
4
“ 0 ô
ˆ
x` 1
2
˙2
´ 1
4
` 1
4
“ 0 ô
ˆ
x` 1
2
˙2
“ 0 ô x` 1
2
“ 0 ô x “ ´1
2
Portanto, o conjunto solução é S “
"
´1
2
*
.
Exemplo 36: Resolva a equação x2 ` x` 1 “ 0 sem usar a fórmula de Báskara.
Solução: Completando quadrado, temos:
x2 ` x` 1 “ 0 ô x2 ` x`
ˆ
1
2
˙2
´
ˆ
1
2
˙2
` 1 “ 0 ô
ˆ
x` 1
2
˙2
´ 1
2
` 1 “ 0 ô
ˆ
x` 1
2
˙2
` 1
2
“ 0 ô
ˆ
x` 1
2
˙2
“ ´1
2
Não existe x P R que satisfaz a última igualdade e, portanto, S “ H.
45
Capítulo
4
Funções
O conceito de função, um dos mais importantes da Matemática, surge toda vez que procu-
ramos estabelecer uma relação entre duas grandezas variáveis.
Por exemplo, se considerarmos um tanque com 1200 L de capacidade e uma torneira que
despeja nele 30 L de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo que a
torneira ficará aberta:
• após 1 min, será de 30L;
• após 2 min, será de 2 ¨ 30L “ 60L;
• após 5 min, será de 5 ¨ 30L “ 150L;
• após 10 min, será de 10 ¨ 30L “ 300L;
• após 40 min, será de 40 ¨30L “ 1200L, momento em que o tanque ficará totalmente cheio.
Observe que, indicando o tempo (em minutos) por t e o volume de água (em litros) por V ,
as variáveis t e V se relacionam pela igualdade V “ 30t, com 0 ď t ď 40. Observe ainda que a
cada valor atribuído à variável t encontramos um único valor para a variável V . Essa situação
constitui um exemplo de função. Nela dizemos que V é uma função de t. A relação V “ 30t é
chamada lei de associação ou lei de formação da função.
Vejamos outras situações que são exemplos de funções.
A. A área de um círculo depende de seu raio r. A lei que relacinona r e A é dada pela equação
A “ pir2. A cada número r positivo existe associado um único valor de A e dizemos que
A é uma função de r.
B. O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w. Embora não haja uma
fórmula simples relacionando w com C, o correio tem uma fómula que permite calcular C
quando é dado w.
C. A população humana mundial P depende do tempo t. A tabela abaixo fornece estima-
tivas da população mundial P ptq no instante t, para determinados anos. Por exemplo,
P p1950q « 2560000000. Porém, para cada valor do tempo t, existe um único valor de P
correspondente e dizemos que P é uma função de t.
46
Ano População (milhões)
1900 1650
1910 1750
1920 1860
1930 2070
1940 2300
1950 2560
1960 3040
1970 3710
1980 4450
1990 5280
2000 6080
4.1 Definições
Considere dois conjuntos A e B, não vazios. Por exemplo, considere A “ t1, 2, 3, 4u e
B “ t2, 4, 5, 6, 7u.
Existem várias maneiras de relacionar os elementos de A com os elementos de B. As figuras
a seguir mostram alguns casos (o relacionamento está indicado por flechas).
A B BA
1
2
3
4
2
4
5
6
7
1
2
3
4
2
4
5
6
7
(I) (II)
A B BA
1
2
3
4
2
4
5
6
7
1
2
3
4
2
4
5
6
7
(III) (IV)
Algumas dessas maneiras são especiais para a Matemática. São aquelas em que cada um dos
elementos de A se relaciona com um só elemento de B, como nos casos (I) e (IV) acima.
Observe que, nesses casos especiais, todos os elementos de A têm um e um só correspondente
em B: em A não sobra elemento, em B pode sobrar; em A, de cada elemento sai uma única
flecha; em B, um elemento pode receber mais de uma flecha.
Essas maneiras especiais de relacionar os elementos de A com os elementos deB são chamadas
funções de A em B.
47
Uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x de um conjunto A
um único elemento y de um conjunto B
Então, uma relação entre elementos de A e B não é uma função quando algum elemento x
de A não tem nenhum correspondente y de B, ou quando tem mais de um, como podemos ver
nos casos (III) e (II) acima.
4.2 Linguagem das Funções
Agora que sabemos quando uma relação entre os elementos de dois conjuntos é uma função,
vamos aprender a nomenclatura e linguagem utilizadas nessa parte importantíssima da Matemática.
Seja f : A Ñ B uma função que associa a cada elemento x P de A um único elemento y de
B.
• A letra x representa um elemento qualquer de A e, por isso, é chamada de variável inde-
pedente da função f .
• A letra y representa o elemento correspondente de um certo x de A, e é chamada variável
independente.
• O valor de y, correspondente de um determinado valor de x, é chamado imagem de x
através da função f , e é indicado por fpxq.
y “ fpxq : y é a imagem de x
Assim, na função f descrita pelo diagrama abaixo, temos:
A B
1
2
3
4
2
4
5
6
7
fp1q “ 4, isto é, a imagem de 1 é 4
fp2q “ 5, isto é, a imagem de 2 é 5
6 “ fp3q, isto é, 6 é a imagem de 3
7 “ fp4q, isto é, 7 é a imagem de 4.
Observe que, nesse exemplo, a imagem de todo x é sempre ele próprio acrescido de 3 unidades:
fp1q “ 1`3 “ 4, fp2q “ 2`3 “ 5, etc. Isso permite descrever a função através de uma fórmula
algébrica:
fpxq “ x` 3 ou y “ x` 3
Esse procedimento é muito útil (a grande maioria das funções que estuaremos é dada por fór-
mulas).Mas perceba que só a fórmula não substitui o diagrama de flechas, pois não saberíamos
que valores x pode assumir. É fundamental, então, conhecer o conjunto A.
• O conjunto A é chamado domínio da função f . Ele é indicado por Dpfq.
Dpfq : domínio de f é o conjunto de valores que x pode assumir
48
• O conjunto B é chamado contradomínio da função f . Ele é indicado por CDpfq. O
contradomínio de uma função é como uma espécie de estoque de resultados. Ele pode ou
não ser todo utilizado.
CDpfq : contradomínio de f
• A parte do contradomínio que é efetivamente utilizada pela função f , isto é, o conjunto
de valores de y que são imagens de x é chamada conjunto imagem de f , e é indicada por
Impfq.
Impfq : conjunto imagem de f Ñ Impfq “ ty P B; y “ fpxqu
• Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A Ñ B
(leia: f de A em B).
• Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : AÑ B, onde A e B são
subconjuntos de R.
• Para que uma função fique bem definida é preciso que sejam dados os conjuntos não vazios
A e B e uma lei que associe a cada x de A um único elemento y de B.
É útil considerar uma função como uma máquina (Veja a Figura 4.1 ).
f fpxqx
(saída)(entrada)
Figura 4.1
Se x estiver no domínio da função f , quando x entrar na máquina, ele será aceito como
entrada, e a máquina produzirá uma saída fpxq de acordo com a lei que define a função.
Assim, podemos pensar o domínio como o conjunto de todas as entradas, enquanto a imagem
é o conjunto de todas as saídas possíveis.
As funções pré-programadas de sua calculadora são exemplos de funções como máquinas.
Por exemplo, a tecla raiz quadrada em sua calculadora é uma dessas funções. Você pressiona
a tecla
?
(ou
?
x) e dá a entrada x. Se x ă 0, então x não está no domínio dessa função,
isto é, não é uma entrada aceitável, e a calculadora indicará um erro. Se x ě 0, então uma
aproximação de
?
x aparecerá. Assim, a tecla
?
x é exatamente a mesma coisa que a função f
definida por fpxq “ ?x.
Exemplo 1: Seja f : R˚ Ñ R a função que a cada número real não nulo associa a soma dele
com o seu inverso. Calcule:
a) fp2q b) f
ˆ
1
2
˙
c) fpxq d) f
ˆ
1
x
˙
e) fpx` 1q f) fpx´ 1q
49
Solução:
a) fp2q “ 2` 1
2
“ 5
2
b) f
ˆ
1
2
˙
“ 1
2
` 1
1
2
“ 1
2
` 2 “ 5
2
c) fpxq “ x` 1
x
“ x
2 ` 1
x
d) f
ˆ
1
x
˙
“ 1
x
` 1
1
x
“ 1
x
` x “ x
2 ` 1
x
e) fpx` 1q “ px` 1q ` 1
x` 1 “
px` 1q2 ` 1
x` 1 “
x2 ` 2x` 2
x` 1
f) fpx´ 1q “ px´ 1q ` 1
x´ 1 “
px´ 1q2 ` 1
x´ 1 “
x2 ´ 2x` 2
x´ 1
Exemplo 2: Seja fRÑ R uma função tal que fpx` 1q ´ fpxq “ 2x, @x P R. Calcule:
a) fp8q ´ fp7q b) fp35q ´ fp34q c) fp12q ´ fp10
Solução:
a) Para x “ 7, temos fp7` 1q ´ fp7q “ 2 ¨ 7 ñ fp8q ´ fp7q “ 14.
b) Para x “ 34, temos fp34` 1q ´ fp34q “ 2 ¨ 34 ñ fp35q ´ fp34q “ 68
c) Temos que fp12q´ fp10q “ fp12q´ fp11q` fp11q´ fp10q “ 2 ¨ 11` 2 ¨ 10 “ 22` 20 “ 42.
Exemplo 3: Seja f uma função tal que fpx ` 2q “ 3fpxq para todo x real. Sabendo que
fp2q ` fp4q “ 60, determine o valor de fp0q.
Solução:
Para x “ 2, temos
fp2` 2q “ 3fp2q ñ fp4q “ 3fp2q ñ fp2q “ fp4q
3
ñ fp2q “ 60´ fp2q
3
ñ
3fp2q “ 60´ fp2q ñ 4fp2q “ 60 ñ fp2q “ 15
Daí, para x “ 0, teremos:
fp0` 2q “ 3fp0q ñ fp0q “ fp2q
3
ñ fp0q “ 15
3
ñ fp0q “ 5.
Exemplo 4: Uma função f de uma variável real satisfaz a condição fpx ` 1q “ fpxq ` fp1q
qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que fp2q “ 1, determine o valor de fp3q.
50
Solução:
Para x “ 1, temos
fp1` 1q “ fp1q ` fp1q ñ fp2q “ 2fp1q ñ fp1q “ fp2q
2
ñ fp1q “ 1
2
Assim, para x “ 2 tem-se:
fp2` 1q “ fp2q ` fp1q ñ fp3q “ fp2q ` fp1q ñ fp3q “ 1` 1
2
ñ fp3q “ 3
2
.
Exemplo 5: Para a função f definida pelo diagrama abaixo, determine:
a) o domínio.
b) o contradomínio.
c) o conjunto imagem.
d) uma fórmula para as imagens.
BA
´1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
Solução:
a) Dpfq “ t´1, 0, 1, 2u
b) CDpfq “ t0, 1, 2, 3, 4, 5, 6u
c) Impfq “ t0, 1, 4u
d) Analisando as imagens
fp´1q “ 1, fp0q “ 0, fp1q “ 1, fp2q “ 4
percebemos que a cada x do domínio corresponde o seu quadrado. Então, podemos escrever:
fpxq “ x2, x P Dpfq.
Exemplo 6: Sendo A “ tx P N; 2 ď x ď 5u e f uma função de A em R definida pela fórmula
fpxq “ 2x´ 3. Calcule:
a) fp3q e fp6q
b) x P A cuja imagem é 5
c) x P A cuja imagem é 0
d) Impfq
Solução:
Observe inicialmente que, Dpfq “ A “ tx P N; 2 ď x ď 5u “ t2, 3, 4, 5u. Então:
51
a) fp3q “ 2 ¨ 3´ 3 “ 3 e fp6q não existe, pois 6 não é elemento do domínio (6 R A).
b) Procuramos x tal que fpxq “ 5. Como fpxq “ 2x ´ 3, encontraremos x resolvendo a
equação 2x´ 3 “ 5:
2x´ 3 “ 5 ô 2x “ 8 ô x “ 4
. Portanto, x “ 4 é o elemento de A que tem imagem 5.
c) Procuramos x tal que fpxq “ 0. Então,
2x´ 3 “ 0 ô 2x “ 3 ô x “ 3
2
Como
3
2
R A, não existe x P A tal que fpxq “ 0.
d) Temos que:
fp2q “ 2 ¨ 2´ 3 “ 1, fp3q “ 3, fp4q “ 2 ¨ 4´ 3 “ 5 e fp5q “ 2 ¨ 5´ 3 “ 7.
Portanto, Impfq “ t1, 3, 5, 7u.
4.3 Determinação de Domínios
Uma função está perfeitamente conhecida se soubermos de onde partir, onde chegar e como
chegar.
Nos exemplos que já vimos, o como chegar era dado por um diagrama de flechas ou por uma
fórmula. Este segundo modo é o mais comum e, em geral, é hábito falarmos numa função f
dado apenas a fórmula sem dar seu domínio.
Nota
Por simplificação, muitas vezes deixamos de explicitar o domínio e o contradomínio de
uma função. Quando isso ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é R e o domínio é
o maior subconjunto de R para o qual faz sentido as operações indicadas na fórmula em
questão.
Exemplo 7:
a) Na função f dada por fpxq “ x2 ` 1, as operações potência e adição estão definidas para
todos os números reais. O domínio de f é, então:
Dpfq “ R
b) Na função f dada por fpxq “ 1
x
, a operação divisão não está definida quando o denomi-
nador é zero. O domínio de f é, então:
Dpfq “ tx P R; x ‰ 0u “ R´ t0u
52
c) Na função f dada por fpxq “ 1
x´ 5 , também devemos ter o denominador diferente de
zero: x´ 5 ‰ 0 ô x ‰ 5. Então, o domínio de f é:
Dpfq “ tx P R; x ‰ 5 “ R´ t5u
d) Na função f dada por fpxq “ ?x, a operação radiciação (quando o índice da raiz é par:
raiz quadrada, raiz quarta, etc.) não está definida para números negativos. O domínio de
f é, então:
Dpfq “ tx P R; x ě 0u
e) Na função f dada por fpxq “ 4?x´ 5, também só existe a raiz quarta se o radicando x´5
for positivo ou igual a zero: x´ 5 ě 0 ô x ě 5. Então, o domínio de f é:
Dpfq “ tx P R; x ě 5u
Você pode perceber então que, numa linguagem informal, determinar o domínio passa a ser
sinônimo de achar a condição de existência da fórmula dada, no campo dos números reais.
Exemplo 8: Determine o domínio das funções dadas por:
a) fpxq “ 1
x2 ´ 9
b) fpxq “ 1?
x´ 1
c) fpxq “
?
2x´ 6
x´ 8
d) fpxq “
?
2x` 1
x2 ´ 4
Solução:
a) A função f está definida se:
x2 ´ 9 ‰ 0 ô x2 ‰ 9 ô x ‰ ´3 e x ‰ 3
Logo, Dpfq “ tx P R; x ‰ ´3 e x ‰ 3u.
b) A função f está definida se:
x´ 1 ą 0 ô x ą 1
Logo, Dpfq “ tx P R; x ą 1u.
c) A função f está definida se:
2x2 ´ 6 ě 0 e x ‰ 8 ô x2 ě 3 e x ‰ 8 ô |x| ě 3 e x ‰ 8 ô
px ď ´3 ou x ě 3q e x ‰ 8
Logo, Dpfq “ tx P R; x ď ´3 ou 3 ď x ă 8 ou x ą 8u.
53
d) A função f está definida se:
2x` 1 ě 0 e x2 ´ 4 ‰ 0 ô x ě ´1
2
e x2 ‰ 4 ô x ě ´1
2
e x ‰ ´2 e x ‰ 2 ô
x ě ´1
2
e x ‰ 2
Logo, Dpfq “
"
x P R; x ě ´1
2
e x ‰ 2
*
.
4.4 Gráfico de uma função
O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. O gráfico é
como se fosse um retrato da função.
Sabemos que numa função f , a cada x do domínio corresponde uma única imagem y “ fpxq.
Então, com um certo valor de x e sua respectiva