Lista 6 (Gabarito)

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
Gabarito 6 a Lista - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
2012/II
1. P = (1, 0,−2√6).
2. (10,−2, 17).
3.
(√
2
2
, 3
√
6
2
, 2
√
3
)
.
4. (b) A =
 1 0 11 1 0
0 1 1
 e A′ =

1
2
1
2
−1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
1
2

.
(c) Sa˜o as colunas de A, respectivamente:
(
1
2
,−1
2
,
1
2
)
,
(
1
2
,
1
2
,−1
2
)
e
(
− 1
2
,
1
2
,
1
2
)
.
(d) (−3, 1, 4).
5. (a) Como eles sa˜o ortogonais dois a dois e dim IR 3 = 3, eles sa˜o L.I.
(b) A =
 1 1 11 −1 1
−2 0 1
 e A′ =

1
6
1
6
−1
3
1
2
−1
2
0
1
3
1
3
1
3

.
(c) Sa˜o as colunas de A, respectivamente:
(
1
6
,
1
2
,
1
3
)
,
(
1
2
,−1
2
,
1
3
)
e
(
− 1
3
, 0,
1
3
)
.
(d)
(
− 11
6
,
3
2
,
4
3
)
.
6. (a) p(x) = −2x + x2, v1 = (−1, 1) autovetor associado ao autovalor λ1 = 0 e v2 = (1, 1)
autovetor associado ao autovalor λ2 = 2.
(b) p(x) = 8 − 6x + x2, v1 = (1, 1) autovetor associado ao autovalor λ1 = 4 e v2 = (−1, 1)
autovetor associado ao autovalor λ2 = 2.
1
(c) p(x) = −3−2x+x2, v1 =
(
−1
2
, 1
)
autovetor associado ao autovalor λ1 = 3 e v2 =
(
1
2
, 1
)
autovetor associado ao autovalor λ2 = −1.
(d) p(x) = −x3, v1 = (1, 0, 0) autovetor associado ao autovalor λ1 = 0.
(e) p(x) = −(−1+x)(−3+x)(2+x), v1 =
(
3
4
,
3
8
, 1
)
autovetor associado ao autovalor λ1 = 1,
v2 =
(
0,
5
2
, 1
)
autovetor associado ao autovalor λ2 = 3 e v3 = (0, 0, 1) autovetor associado
ao autovalor λ3 = −2.
(f) p(x) = −2x2−x3, v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 1, 0) autovetores associados ao autovalor λ1 = 0
e v3 = (−1, 3, 1) autovetor associado ao autovalor λ2 = −2.
7. (a) β1 = { (−1, 1) } e β2 = { (1, 1) }.
(b) β1 = { (1, 1) } e β2 = { (−1, 1) }.
(c) β1 =
{(
−1
2
, 1
)}
e β2 =
{(
1
2
, 1
)}
.
(d) β1 = { (1, 0, 0) }.
(e) β1 = { (0, 0, 1) }, β2 =
{(
3
4
,
3
8
, 1
)}
e β3 =
{(
0,
5
2
, 1
)}
.
(f) β1 = { (1, 0, 1), (0, 1, 0) } e β2 = { (−1, 3, 1) }.
8. (a) Diagonaliza´vel. P =
(
−1 1
1 1
)
. (b) Diagonaliza´vel. P =
(
1 −1
1 1
)
.
(c) Diagonaliza´vel. P =
 −
1
2
1
2
1 1
 . (d) Na˜o diagonaliza´vel.
(e) Diagonaliza´vel. P =

0
3
4
0
0
3
8
5
2
1 1 1

. (f) Diagonaliza´vel. P =
 1 0 −10 1 3
1 0 1
 .
9. (a) λ1 = 4, β1 = { (1, 1) } e λ2 = 3, β2 = { (1, 2) }.
(b) λ1 = 6, β1 = { (3, 2, 3) } e λ2 = −2, β2 = { (0, 1,−1), (1, 0,−1) }.
10. (a) P =

− 1√
2
1√
2
1√
2
1√
2
 e D =
(
0 0
0 4
)
.
2
(b) P =

− 1√
2
1√
2
1√
2
1√
2
 e D =
(
1 0
0 3
)
.
(c) P =

0 − 1√
2
1√
2
1 0 0
0
1√
2
1√
2
 e D =
 0 0 00 −1 0
0 0 1
 .
11. (a)
(x1)
2
6
+
(y1)
2
3
= 1, uma elipse.
(b)
11
81
(x1)
2 − 4
81
(y1)
2 = 1, uma hipe´rbole.
(c)
(x2)
2
4
+ (y2)
2 = 1, uma elipse.
12. (a) Hiperbolo´ide de duas folhas; (b) Elipso´ide;
(c) Parabolo´ide hiperbo´lico; (d) Parabolo´ide el´ıptico.
3