Teorema do Núcleo e da Imagem

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Universidade Federal do Recoˆncavo da Bahia - UFRB
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gica - CETEC
Notas de aula CET065 A´lgebra Linear
Prof. Jarbas A. Fernandes
Teorema do Nu´cleo e da Imagem
Teorema 1 (Teorema do Nu´cleo e da Imagem). Sejam V e W espac¸os vetoriais de dimensa˜o
finita sobre um corpo K. Se T : V → W e´ uma transformac¸a˜o linear , enta˜o
dim V = dim Ker(T ) + dim Im(T )
Prova. Temos treˆs casos a considerar: o primeiro e´ quando Ker(T ) = {0} o que implica
T ser injetora, enta˜o se {v1, .., vl} e´ uma base de V temos que {T (v1), .., T (vl)} e´ uma base
da imagem de T e vale o resultado. O segundo e´ quando Ker(T ) = V , ou seja, T e´ a
traformac¸a˜o nula, enta˜o dim [Im(T )] = 0 e tambe´m vale a igualdade a acima.
O u´ltimo caso, considere Ker(T ) um subespac¸o pro´prio de V . Seja β1 = {v1, .., vr}
uma base do nu´cleo de T . Esta base pode ser estendida a uma base β2 = {v1, .., vr, u1, ..., us}
de V . Vamos mostrar que β = {T (u1), ..., T (us)} e´ uma base da imagem de T . Primeiro
vamos mostrar que os vetores de β geram a Im(T ). Dado w ∈ Im(T ), existe um v ∈ V tal
que T (v) = w. Mas podemos escrever v como combinac¸a˜o linear de β2, isto e´,
v = a1v1 + ...+ arvr + b1u1 + ...+ bsus
Assim,
w = T (v) = T (a1v1 + ...+ arvr + b1u1 + ...+ bsus)
= a1T (v1) + ...+ arT (vr) + b1T (u1) + ...+ bsT (us)
Como os vetores v1, .., vr ∈ Ker(T ) temos que T (v1) = ... = T (vr) = 0. Enta˜o,
w = b1T (u1) + ...+ bsT (us)
Logo, [T (u1), ..., T (us)] = Im(T ).
Agora iremos mostrar que β e´ um conjunto linearmente independente. Suponha que
c1T (u1) + ...+ csT (us) = 0, como T e´ linear temos que T (c1u1 + ...+ csus) = 0, o que implica
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que c1u1 + ... + csus ∈ Ker(T ). Enta˜o existem d1, ..., dr ∈ R tais que c1u1 + ... + csus =
d1v1 + ...+ drvr. Da´ı,
c1u1 + ...+ csus − d1v1 − ...− drvr = 0
Como o conjunto β2 e´ linearmente independente, podemos concluir que todos os escalares
da u´ltima igualdade sa˜o nulos. Em paricular, c1 = ... = cs = 0. Logo, β e´ linearmente
independente.
Finalmente, basta observar que dim Ker(T ) = r, dim V = r+s e a dim Im(T ) = s.
Logo,
dim V = dim Ker(T ) + dim Im(T ).
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Exemplo 1. Determine as dimenso˜es do nu´cleo e da imagem das seguintes trans-
formac¸o˜es lineares, verificando a validade do Teorema do Nu´cleo e da Imagem:
a) T : R2 → R, dada por T (x, y) = x+ y
b) T : R3 → R3, dada por T (x, y, z) = (x, 2y, 0)
c) T : P2(R)→M2×2(R), dada por T (xt2 + yt+ z) =
(
x+ y 0
z z
)
Exemplo 2. Determine uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R4 tal que Im(T ) =
[(1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)].
Corola´rio 2. Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre um corpo K de mesma dimensa˜o
(dim V = dim W = n) e T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o as seguintes
afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
i) T e´ sobrejetora;
ii) T e´ bijetora;
iii T e´ injetora;
iv) T transforma uma base de V em uma base de W , isto e´, se {v1, ..., vn} e´ uma base de
V , enta˜o {T (v1), ..., T (vn)} e´ uma base de W .
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i ⇒ ii) Por hipo´tese T e´ sobrejetora, isto e´, Im(T ) = W o que implica que
dim Im(T ) = n. Ale´m disso, dim V = dim W = n e pelo teorema 1 dim Ker(T ) = 0, ou
seja, Ker(T ) = {0}.Enta˜o T e´ injetora. Logo, T e´ bijetora.
ii)⇒ iii) Imediato.
iii)⇒ iv) Suponha que β = {v1, ..., vn} uma base de V . Como T e´ injetora o nu´mero
de vetores de β e´ igual ao nu´mero de vetores do conjunto βW = {T (v1), ..., T (vn)}, enta˜o
para mostrar que βW e´ uma base de W , basta mostrar que βW e´ um conjunto linearmente
independente. De fato, seja c1, ..., cn escalares reais, escreva
c1T (v1) + ...+ cnT (vn) = 0
T e´ linear, enta˜o T (c1v1+...+cnvn) = 0. Mas T tambe´m e´ injetora, portanto c1v1+...+cnvn =
0. Assim, c1 = ... = cn = 0, ja´ que {v1, ..., vn} e´ uma base de V . Logo, βW e´ linearmente
independente.
iv) ⇒ i) Seja w ∈ W . Tome β = {v1, ..., vn} uma base de V , por hipo´tese temos
que {T (v1), ..., T (vn)} e´ uma base de W . Enta˜o, podemos escrever w da seguinte forma,
w = c1T (v1) + ...+ cnT (vn). Como T e´ linear temos que T (c1v1 + ...+ cnvn) = w. Portanto,
cada w ∈ W e´ imagem de um elemento de V , ou seja, T e´ sobrejetora.
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Definic¸a˜o 3. Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V → W uma transformac¸a˜o linear,
dizemos que T e´ um isomorfismo se T e´ bijetora. Um isomorfismo T : V → V e´ chamado
automorfismo.
Corola´rio 4. Sejam V e W espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita. Se T : V → W um
isomorfismo, enta˜o dim V = dim W
Prova. T e´ um isomorfismo, enta˜o Ker(T ) = {0} e Im(T ) = W . Pelo Teorma do Nu´cleo e
da Imagem, dim V = dim Ker(T ) + dim Im(T ). Logo, dim V = dim W
�
Teorema 5. Sejam V e W espac¸os vetoriais. Se T : V → W e´ um isomorfismo, enta˜o
T−1 : W → V e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Prova.Sejam w1 e w2 vetores em W e seja c um escalar. Como T e´ sobrejetora, existem v1
e v2 em V de maneira que
w1 = T (v1)⇒ T−1(w1) = v1 e
w2 = T (v2)⇒ T−1(w2) = v2
Da´ı,
T−1(cw1 + w2) = T−1(cT (v1) + T (v2)) = T−1(T (cv1 + v2))
= cv1 + v2 = cT
−1(w1) + T−1(w2)
Logo, T−1 e´ linear.
Exemplo 3. Verifique se as seguintes transformac¸o˜es lineares e´ um isomorfismo,
caso afirmativo determine a sua inversa.
a) T : R2 → R2, dada por T (x, y) = (x− y, x)
b) T : R3 → R3, dada por T (x, y, z) = (x− 2y, z, x+ y)
c) T : P2(R)→ R3, dada por T (xt2 + yt+ z) = (x+ z, y, z)
d) T : R3 → R3, dada por T (x, y, z) = (x, 2y, 0)