Apresente o teorema do núcleo e da imagem, algumas consequências e exemplos. O teorema do núcleo e da imagem relaciona as dimensões do domínio, do ...

O teorema do núcleo e da imagem é um importante resultado da álgebra linear que relaciona as dimensões do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear. Seja T: V -> W uma transformação linear, então temos que: - dimV = dimN(T) + dimIm(T), onde dimV é a dimensão do domínio, dimN(T) é a dimensão do núcleo e dimIm(T) é a dimensão da imagem de T. Uma consequência importante do teorema é que se dimV = dimW, então T é injetora se e somente se T é sobrejetora. Isso significa que se a transformação linear T é uma função de um espaço vetorial V para um espaço vetorial W com a mesma dimensão, então T é injetora (um-para-um) se e somente se T é sobrejetora (sobrejetiva). Um exemplo de aplicação do teorema é a transformação linear T: R^3 -> R^2 definida por T(x,y,z) = (x+y, y+z). Temos que dimV = 3, dimN(T) = 1 e dimIm(T) = 2. Isso significa que a transformação T mapeia um espaço vetorial de dimensão 3 em um espaço vetorial de dimensão 2, e que o núcleo de T é um subespaço vetorial de dimensão 1 e a imagem de T é um subespaço vetorial de dimensão 2. Algumas consequências importantes do teorema do núcleo e da imagem incluem a possibilidade de determinar se uma transformação linear é injetora ou sobrejetora, bem como a possibilidade de calcular a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear.