Hidrodinâmica do Navio

Prévia do material em texto

MARINHA DO BRASIL 
DIRETORIA DE PORTOS E COSTAS 
ENSINO PROFISSIONAL MARÍTIMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HIDRODINÂMICA DO NAVIO 
(HID-1) 
 
 
 
1ª edição 
Belém-PA 
2010 
2 
 
© 2010 direitos reservados à Diretoria de Portos e Costas 
 
 
 
Autores: Paulo Vitor Zigmantas; e 
 Rogilson Nazaré da Silva Porfírio. 
 
 
 
 
Revisão Pedagógica: Erika Ferreira Pinheiro Guimarães Suzana 
Revisão Gramatical: Esmaelino Neves de Farias 
Digitação/Diagramação: Roberto Ramos Smith 
Designer Gráfico: Fernando David de Oliveira 
 
 
Coordenação Geral: CF Maurício Cezar Josino de Castro e Souza 
 
 
 
____________ exemplares 
 
Diretoria de Portos e Costas 
Rua Teófilo Otoni, no 4 – Centro 
Rio de Janeiro, RJ 
20090-070 
http://www.dpc.mar.mil.br 
secom@dpc.mar.mil.br 
 
 
 
 
 
 
Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto no 1825, de 20 de dezembro de 1907 
IMPRESSO NO BRASIL / PRINTED IN BRAZIL 
3 
 
SUMÁRIO 
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 5 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 7 
1.1 Tipos de fluidos ..................................................................................................... 7 
1.2 Meio “continuum” ................................................................................................... 8 
1.3 Sistema, propriedades e estado .......................................................................... 11 
1.4 Diferenças entre fluidos compressíveis e incompressíveis ................................. 16 
1.5 Viscosidade e tensão de cisalhamento ............................................................... 17 
1.6 Fluido ideal e fluido real....................................................................................... 24 
1.7 Estática dos fluidos ............................................................................................. 25 
1.8 Dinâmica de fluidos (abordagem euleriana e lagrangiana) ................................. 40 
1.9 Aplicação em manobra de embarcações ........................................................... 42 
 
2 LEIS DE CONSERVAÇÃO .................................................................................... 43 
2.1 Derivativas temporais de volume ........................................................................ 43 
2.2Lei da conservação da massa .............................................................................. 45 
2.3 Origem das forças em um fluido .......................................................................... 52 
2.4 Princípio do momento para um volume de controle fixo ...................................... 55 
2.5 Momento angular para um volume de controle fixo ............................................. 58 
2.6 Equação geral da energia e equação diferencial do momento linear .................. 62 
2.7 Equações de Navier - Stokes .............................................................................. 69 
2.8 Forças centrípeta e de Coriolis ............................................................................ 72 
2.9 Equação de Bernoulli, movimento do navio e Squat ........................................... 78 
 
3 ANÁLISE DIMENSIONAL APLICADA À PROPULSÃO E RESISTÊNCIA 
HIDRODINÂMICA ..................................................................................................... 83 
3.1 Principais agrupamentos adimensionais ............................................................. 83 
3.2 Semelhança física ............................................................................................... 85 
3.3 Forças que predominam no escoamento hidrodinâmico ..................................... 86 
3.4 Importância de modelos reduzidos. ..................................................................... 86 
 
4 ESTEIRA DO NAVIO E CAMADA LIMITE (EFEITOS VISCOSOS) ...................... 92 
4.1 Ação viscosa ....................................................................................................... 92 
4.2 O conceito de camada limite ............................................................................... 96 
4 
 
4.3 Solução de Blasius para o problema da camada limite em placa plana .............. 99 
4.4 Vorticidades ....................................................................................................... 106 
 
5 ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS ......................................................... 115 
5.1 Tipos de escoamento ........................................................................................ 115 
5.2 Escoamento com fontes, sumidouros e dipolos ................................................ 116 
5.3 Escoamento em torno de cilindros e esferas..................................................... 120 
5.4 Teoria de asas ................................................................................................... 127 
5.5 Escoamento em torno do casco, leme e propulsor ........................................... 128 
 
6 ONDAS DE GRAVIDADE .................................................................................... 137 
6.1 Problema de valor de contorno para ondas de gravidade ................................. 137 
6.2 Amortecimento das forças hidrodinâmicas de irradiação .................................. 143 
6.3 Forças de Froude-Krylov ................................................................................... 144 
6.4 Linearização no problema de valor de contorno bidimensional ......................... 145 
6.5 Solução de ondas de gravidade no movimento do navio .................................. 147 
6.6 Emprego das equações da onda de gravidade no movimento do navio .......... 151 
 
7 FORÇAS DA HIDRODINÂMICA DO NAVIO ....................................................... 172 
7.1 Forças e momentos de radiação e seus três principais componentes .............. 172 
7.2 Identificação das resistências do casco ............................................................ 184 
7.3 Forças ambientais ............................................................................................. 196 
7.4 Forças de propulsão .......................................................................................... 212 
7.5 Análise dos tipos de propulsores ....................................................................... 225 
7.6 Forças devidas a dispositivos de controle ......................................................... 228 
 
8 MANOBRA DO NAVIO ........................................................................................ 237 
8.1 Modelo matemático de manobra do navio......................................................... 237 
8.2 Análise das equações do movimento do navio ................................................. 237 
8.3 Avaliação da estabilidade direcional em manobras ........................................... 246 
 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 280 
 
APÊNDICE .............................................................................................................. 282 
 
 
5 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
A Hidrodinâmica é uma ciência que trata dos fluidos, suas propriedades e 
aplicações, possuindo um amplo campo de utilização em navios, como propulsores, 
lemes, tubulações, e resistência à propulsão. 
 
Este volume está constituído de oito unidades, todas direcionadas para a 
formação básica e fundamental do segundo oficial de náutica da Marinha Mercante 
Brasileira, mostrando os princípios básicos fundamentais para a aplicação nos 
propulsores, dispositivos de controle, e manobrabilidade, alémde um embasamento 
teórico dos princípios básicos da mecânica dos fluidos. 
 
O objetivo deste volume é apresentar e executar a variedade de aplicações 
da hidrodinâmica a exemplos da vida cotidiana de bordo, e mostrar ao futuro oficial 
de náutica como a hidrodinâmica é empregada no dia-a-dia de seu exercício 
profissional. 
 
Na unidade 1, iremos estudar os princípios básicos, conceitos e definições 
fundamentais empregados na hidrodinâmica. 
 
Na unidade 2, é feita a dedução matemática das leis de conservação, 
analisando a equação de Navier-Stokes, a equação de Bernoulli e o efeito Squat 
com a resolução de exercícios envolvendo aplicações cotidianas de bordo. 
 
Na unidade 3, serão estudados os principais agrupamentos adimensionais, os 
conceitos de semelhança física, as forças atuantes no escoamento dinâmico e a 
importância dos modelos reduzidos. 
 
Na unidade 4, são estudadas a esteira e a camada limite; na unidade 5, o 
estudo do escoamento entre corpos, como o leme e os propulsores. 
 
6 
 
Na unidade 6, é realizado o estudo das ondas de gravidade e, na unidade 7, é 
realizada a análise das forças hidrodinâmicas, identificando as forças de difração, de 
Froude – Krylov, a análise da propulsão, e forças ambientais. 
 
Na última, unidade 8, será estudada a estabilidade direcional, incluindo a 
curva de giro, os critérios de estabilidade e os procedimentos de manobras padrão 
da resolução IMO, com exemplos ilustrativos destes procedimentos. Foi feito um 
esforço considerável para que este volume seja facilmente entendido tanto pelos 
alunos quanto pelos professores, ambos em busca de um desempenho técnico-
científico cada vez melhor para operar profissionalmente em um mundo cada vez 
mais complexo. 
Paulo Vitor de Matos Zigmantas. 
Mestre em Ciências Térmicas e Fluidos 
Encarregado da Divisão de Ensino de 
Máquinas do CIABA. 
 
 
7 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
1.1 Tipos de fluidos 
Antes mesmo de se falar em fluido é necessário definir primeiramente o que é 
um sólido, para que se tenha um meio de comparação entre as microestruturas 
mencionadas. 
1. Sólido: os cristais oscilam em torno de um ponto fixo, tendem a se deformar 
ou dobrar quando submetidos a uma tensão estática. Tudo isso devido às 
forças interatômicas que atuam na estrutura cristalina dos sólidos, como 
mostra a figura 1. 
 
Figura 1 - Estrutura cristalina submetida a uma força de pressão. 
 
2. O fluido (líquido ou gasoso) toma a forma do recipiente devido às moléculas 
trocarem de posição e tenderem a escoar de forma contínua, quando 
submetido a qualquer tensão sobre ele aplicada; assumindo, assim, uma 
forma estrutural de acordo com o recipiente em que ele está contido. 
 
Nos gases, as interações moleculares são fracas, e, por isso, preenchem 
completamente a forma do recipiente. 
Os líquidos, por terem uma forte interação intermolecular (forças de Wan 
der Waals), ficam restritos a um volume definido. 
8 
 
Na figura 2 está representada a forma estrutural que o fluido assume segundo 
o recipiente em que ele está contido, definindo assim um volume de controle. 
 
 
Figura 2 - Forma assumida pelo fluido segundo o recipiente que o contém. 
 
1.2 Meio “continuum” 
Atualmente, o estudo, a análise e a compreensão da fenomenologia dos 
problemas em dinâmica de fluidos são desenvolvidos através de Modelagem 
Computacional (CFD), onde um sistema de equações diferenciais parciais ou 
ordinárias é empregado na projeção temporal da solução do problema, que depende 
das condições iniciais e de contorno, estabelecidas conforme a evolução ao longo 
do tempo e do espaço, o que leva à definição da teoria do “continuum”. 
 
1.2.1 Teoria do “continuum” 
Ela fundamenta e justifica a maior parte das análises em CFD (computational 
fluid dynamic) admitindo que o fluido seja um meio contínuo que pode ser 
discretizado com base no modelo das partículas fluidas. Essa abstração conceitua 
um elemento infinitesimal como sendo representativo do fluido (menor volume onde 
as propriedades do fluido se mantêm), fazendo com que as propriedades ou 
quantidades físicas se mantenham em um valor médio em certas solicitações do 
fluido. 
 
 
 
9 
 
1.2.2 Hipótese do “continuum” 
Permite generalizar as equações de movimento, as quais podem ser 
utilizadas indistintamente para gases e líquidos. Uma vez tendo sido considerado o 
meio como contínuo, não pode haver falhas em seu volume de controle. Um 
exemplo típico dessa teoria é o que acontece com a densidade em um meio onde 
há, por menor que seja, variação na temperatura do volume de controle, conforme 
ilustrado na figura 3. 
 
 
Figura 3 - Variação da densidade em função da densidade medida em um 
dado volume de controle. 
 
Assim, verifica-se que todos os fluidos são constituídos por moléculas e o 
estudo das suas propriedades, a partir do comportamento das moléculas 
formadoras, leva a um enfoque denominado molecular, em que a matéria é 
descontínua com espaços vazios entre suas moléculas; no entanto, admite-se que, 
em um dado volume de controle, ela possui uma constância na sua estrutura. Isso 
torna o estudo de um fluido a partir do enfoque molecular um tanto difícil na 
obtenção da solução final. 
 
Exemplo1 
A derivada de uma função é calculada em um ponto da curva, a qual para 
existir, deve ser contínua nesse ponto; assumindo essa idéia para um fluido é 
conveniente, nesse caso, tratar o mesmo como um meio contínuo, conforme 
mostrado no gráfico da figura 3 para o exemplo da densidade de um fluido. Essa 
representação é mais bem visualizada na figura 4. 
10 
 
 
 
Figura 4 - Representação da descontinuidade na função densidade. 
 
1.2.3 Hipótese do contínuo de forma mais ampla 
Consiste em abstrair a composição molecular e sua descontinuidade; por 
menor que seja uma divisão de um fluido (dm, dx, dv, etc.), esta parte isolada deverá 
apresentar as mesmas propriedades que a matéria como um todo, permitindo 
estudar as propriedades dos fluidos através do cálculo diferencial e (ou) integral, 
observando a continuidade da curva na teoria do cálculo, considerando que os 
fluidos são meios contínuos, onde: 
a) cada ponto do espaço corresponde a um ponto do fluido; 
b) não existem vazios no interior do fluido; 
c) despreza-se a mobilidade das moléculas e os espaços intermoleculares 
d) as grandezas massa específica, volume específico, pressão, velocidade e 
aceleração variam continuamente dentro do fluido ou são constantes. 
O modelo do meio contínuo só é válido em um volume macroscópico no qual 
exista um número muito grande de partículas. As propriedades de um fluido, de 
acordo com este modelo, têm um valor definido em cada ponto do espaço, de forma 
que estas propriedades podem ser representadas por funções contínuas da posição 
e do tempo, conforme mostrado na figura 5. 
11 
 
 
Figura 5 - Representação do contínuo de forma mais concreta. 
 
 
1.3 Sistema, propriedades e estado 
Um sistema é um conjunto de elementos interconectados que formam um 
todo organizado e ordenado. Em geral, os sistemas podem ser vistos de duas 
maneiras: 
a) quando se estuda cada parte do sistema separadamente, a fim de 
recompô-lo posteriormente; e 
b) através de uma visão holística, em que o sistema funciona como um todo 
constituindo um fenômeno único, isto é, irredutível em suas partes. 
 
1.3.1 Definição de sistema 
É uma quantidade de massa fixa e identificável, separada do meio externo 
pelas suas fronteiras, que podem ser fixas ou móveis, conforme mostrada na figura 
6. 
 
 
12 
 
 
Figura 6 - Volume de controle e superfície de controle do sistema gás. 
 
 Observa-se, na representação da figura 6, que se o gás é o sistema, a 
fronteira é móvel devidoao peso colocado sobre o pistão, que pode determinar um 
ciclo de movimentação de acordo com as seguintes hipóteses: 
 
1) se o sistema for aquecido, o pistão levanta o peso, ampliando o volume de 
controle; 
2) se o peso for aumentado, o pistão comprime o sistema, diminuindo o 
volume de controle; e 
3) calor e trabalho cruzam a superfície de controle, mas a quantidade de 
matéria dentro dela permanece constante. 
 
Em geral, o conceito de sistema e volume de controle é empregado na 
resolução de uma série de problemas da Mecânica dos Fluidos, com limites usuais 
de paredes sólidas e seções de escoamento, mas, o volume de controle obedece 
basicamente a três equações fundamentais as quais são respectivamente: a 
equação da continuidade, do momento e da energia. Estas equações serão mais 
exemplificadas na unidade 2 deste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Equação da conservação da massa ou continuidade 
 
 (1) 
 
Na equação 1, o primeiro termo representa a variação temporal no interior do 
volume de controle e o segundo termo representa a variação de fluxo através da 
superfície de controle; como ambas as frações são equivalentes, ela iguala-se a 
zero, sendo ρ a densidade do fluido, d∀ infinitésimo representativo do volume de 
controle, vetor velocidade e d a diferencial representativo da área de fluxo. 
 
 
Equação da Energia 
 
 (2) 
 
 
Na equação 2, o primeiro termo representa o calor adicionado ou retirado do 
sistema no tempo; o segundo termo é o trabalho realizado pelo e sobre o sistema 
devido à fronteira móvel estabelecida pelo pistão da figura 6 ; os demais termos são 
os mesmos da equação da continuidade, com a exceção do valor de e que define as 
energias específicas (J/kg, kJ/kg) do sistema, sendo p/ρ, gz, v2/2 e u, as energias 
específicas de pressão, gravidade, cinética e interna do sistema. 
 
 
Equação da quantidade de movimento 
 (3) 
 
14 
 
Na equação 3, a soma de todas as forças que atuam sobre um volume 
de controle, sendo elas de superfície e de campo não submetidas à aceleração, é 
igual à soma da variação da quantidade de movimento no interior do volume de 
controle com a taxa líquida do fluxo de quantidade de movimento saindo da 
superfície de controle. 
 
1.3.2 Tipos de fluidos, comportamentos e propriedades 
Várias são as propriedades relevantes para se estudar o comportamento, o 
tipo e o escoamento de fluidos. Entre elas destacam-se: 
a) a massa específica , definida como sendo a propriedade da matéria 
correspondente à massa contida no volume , ou seja, é a relação existente entre a 
massa de um corpo e seu volume; ou seja, a massa específica mede a quantidade 
de matéria em um volume unitário conforme ilustrado na figura7. 
 
 
Figura 7 - Massa específica em um dado volume de controle. 
 
b) a tensão superficial do fluido que ocorre na camada superficial de um 
líquido e se comporta como uma membrana elástica, devido às moléculas que 
compõem o líquido. Essas moléculas são atraídas em todas as direções pelas 
moléculas vizinhas e geram uma força resultante quase nula sobre as moléculas. 
Como na superfície do líquido há somente atração lateral e inferior, isso cria uma 
tensão na superfície do fluido que faz a mesma comportar-se como uma membrana 
elástica. Um exemplo típico é quando coloca-se um objeto de densidade maior que a 
do líquido e, devido à tensão superficial, ele permanece sobre a superficie do fluido 
sem afundar, como ilustrado na figura 8. 
 
15 
 
 
Figura 8 - Objeto flutuando sobre a superfície de um líquido. 
 
c) a viscosidade, a qual é uma propriedade associada ao atrito interno 
devido à deformação por cisalhamento, ou seja, é o atrito interno que acontece 
no interior dos fluidos devido a interações intermoleculares geralmente em função da 
temperatura. O perfil de escoamento de um fluido é estudado pelo experimento das 
placas paralelas, sendo uma placa móvel e outra placa fixa como mostrado na figura 
9. 
 
Figura 9 - Perfil de velocidade em função da viscosidade do fluido. 
 
d) propriedades reológicas são conceitos usados para caracterizar o 
comportamento de fluidos não-newtonianos em diferentes condições de fluência 
medidas por dispositivos próprios como os reômetros ou mais frequentemente 
através de equações constitutivas conforme o tipo de fluido. Por exemplo, nos 
fluidos dilatantes a viscosidade diminui com o aumento do cisalhamento; nos 
pseudoplásticos, a viscosidade diminui com o aumento do cisalhamento e para os 
plásticos de Bingham é necessário que seja inicialmente aplicado um cisalhamento 
para iniciar a deformação. Um conjunto de comportamentos reológicos de 
cisalhamento em função da taxa de deformação está apresentado na figura 10. 
16 
 
 
Figura 10 - Comportamento reológico de alguns fluidos. 
 
1.3.3 Propriedades físico-químicas 
As principais propriedades físico-químicas dos fluidos estão relacionadas ao 
seu comportamento atômico e molecular, de acordo com as características das 
ligações envolvidas, entre as quais se destacam: pressão, densidade, temperatura, 
energia interna, entalpia, entropia, calor específico e condutividade térmica. 
 
1.4 Diferenças entre fluidos compressíveis e incompressíveis 
Um fluido que apresenta resistência à redução do seu volume próprio é 
denominado incompressível, ou seja, a variação da sua massa específica 
permanece relativamente constante, como a estrutura da figura 1. 
O fluido que responde com uma redução de seu volume ao ser submetido à 
ação de uma força é denominado compressível, ou seja, a sua massa específica 
varia consideravelmente durante o processo devido a transformações 
termodinâmicas ocorridas no sistema como mostra o diagrama da figura 6. 
 
 Exemplo 2 
Escoamentos sobre a carenagem de uma aeronave de alta velocidade; ar 
através de turbinas de jatos; vapor através de turbina em usinas termoelétricas; ar 
em um compressor e mistura de ar-gasolina no motor de combustão interna. 
Observação: a maioria dos escoamentos de líquidos é essencialmente 
incompressível, embora sendo o escoamento gasoso compressível. 
17 
 
 
1.5 Viscosidade e tensão de cisalhamento 
Denomina-se viscosidade a propriedade associada à resistência que o fluido 
oferece à deformação por cisalhamento, como mostra o diagrama da Figura 9. 
Pode-se dizer que a viscosidade corresponde ao atrito interno nos fluidos devido, 
basicamente, às interações intermoleculares, sendo, em geral, função da 
temperatura. Essas interações são principalmente observadas próximas às paredes 
das placas paralelas conforme atesta a Lei de Newton da viscosidade, como 
mostrado na figura 11: 
 
Figura 11 - Perfil de velocidade segundo Newton das duas placas planas. 
 
Na figura 11, o fluido em contato com a placa superior onde a velocidade é 
constante, origina uma força de resistência viscosa (Fvisc) de mesma direção e 
intensidade e sentido contrário à força responsável pelo movimento no sentido do 
fluxo, na mesma direção do movimento da placa superior, uma vez que a placa 
inferior encontra-se estática. 
 
1.5.1 Tensão de cisalhamento 
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação 
de uma força tangencial denominada de tensão de cisalhamento, não importando 
quão pequena ela seja. O perfil estabelecido pela lei da viscosidade de Newton 
(figuras 9 e 11) em função da tensão de cisalhamento (τ) determina o 
comportamento de um fluido com deslocamento em dado sistema, conforme é 
ilustrado na figura 12. 
18 
 
 
Figura 12 - Ação de deslocamento da placa superior em função da força F. 
 
Na figura 12, verifica-se que a tensão de cisalhamento atua de forma 
tangencialsobre a superfície do fluido, assim, pode-se dizer que a tensão 
tangencial no fluido é expressa por: , fazendo com que a taxa de 
deformação do fluido seja . Sendo e considerando que para pequenos 
ângulos de deformação ( γγγγ) dL = dγdy, então podemos afirmar que a taxa de 
deformação do fluido quando submetido a é dada por , fazendo com 
que tensão de cizalhamento seja proporcional à taxa de deformação do fluido (Lei 
de Newton da viscosidade) como descrito na equação 4. 
 
 (4) 
 
 ττττxy é a tensão de cisalhamento determinada pela lei de Newton da 
viscosidade. Ela é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade dv/dy, que 
representa a variação da velocidade no meio fluido com relação à direção mais 
rápida desta variação. 
Por ser uma força que determina o deslocamento de um dado fluido a sua 
unidade é a mesma da unidade de pressão, porém agindo com perfil tangencial à 
aplicação da força. 
 
Tomando como fundamentação a equação 4, e sabendo-se que a relação 
 é verdadeira e fazendo que o coeficiente de proporcionalidade da 
19 
 
tensão de cisalhamento seja representado pela variável µµµµ (viscosidade dinâmica do 
fluido), então a lei de Newton da viscosidade passa a ser expressa por: 
 (5) 
 Para a força de cizalhamento e velocidade (V) constantes (Ft), 
Na equação 5, verifica-se que a tensão cisalhamento obedece à lei de 
Newton da viscosidade e, assim sendo, segue um perfil linear para a velocidade 
com relação ao deslocamento da camada fluida. 
 
1.5.2 Unidades da tensão de cisalhamento 
Nos líquidos, a viscosidade é diretamente proporcional à força de atração 
entre as moléculas e, devido a isso, diminui com o aumento da temperatura. 
Nos gases, a viscosidade é diretamente proporcional à energia cinética das 
moléculas e por isso, aumenta com o aumento da temperatura. A viscosidade 
dinâmica µµµµ ou absoluta no sistema internacional de unidades (SI) é expressa pelas 
unidades N.s/m2 ou Pa. s. 
A viscosidade cinemática νννν é expressa pela relação entre a viscosidade 
dinâmica e a massa específica do fluido: 
ρ
µ
=ν ; sendo expressa no SI pela unidade 
m2/s. 
 
Exemplo 3 
Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano 
inclinado de 30º, sobre uma película de óleo. A velocidade de placa é 2 m/s 
constante. Qual a viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2mm? 
20 
 
 
 
Solução: 
Sendo G o peso do fluido e considerando a velocidade constante, pela 
segunda lei de Newton e da lei da viscosidade para gradiente linear de tensão de 
cizalhamento: 
G. sen (30º) = Ft G. sen (30º) = ττττ A G. sen (30º) = µµµµ A 
20,01Ns/m
2.1.1
0,00220.sen30º.
V.A
YGsen30º
µ ===
 . 
 
 
 
1.5.3 Perfil parabólico da lei de Newton da viscosidade 
Considerando que não haja deslocamento transversal de massa ao longo da 
distribuição do fluxo fluido e sendo v = f(y) representado por um perfil parabólico, 
tem-se, para a distribuição de velocidade ao longo do fluxo, o perfil apresentado na 
figura 13. 
 
Figura 13 - Perfil parabólico da lei de Newton da viscosidade. 
 
21 
 
Da figura 13, observa-se que o perfil da velocidade na camada fluida para a 
lei de Newton da viscosidade segue um perfil não linear que pode, em muitos 
problemas práticos, ser aproximado por um perfil parabólico segundo a equação: 
 
V(y) = a y2 + b y + c (6) 
 
Onde V significa velocidade dependente da espessura da camada fluida (y) e 
a, b e c as incógnitas determinadas conforme as condições de contorno. 
A simplificação que geralmente se faz nesse perfil é quando a espessura da 
camada fluida(y), entre as duas placas planas, é suficientemente pequena 
assumindo o valor εεεε de forma que a função representada pela equação da parábola 
é substituída por uma função linear V(y) = a y + b, como mostrado na figura 14. 
 
 
Figura 14 - Perfil da lei de Newton em função da espessura da camada fluida. 
 
Exemplo 4 
O perfil de velocidade de um fluido é expresso por uma parábola, onde o 
vértice está a 10 cm do fundo. Calcule o gradiente de velocidade ( ) e a tensão de 
cisalhamento (τ) para y = 0; 5 e 10 cm. Adotar µ = 400 cp (centipoise). 
 
 
22 
 
 
Dados: 1 cp=10-3Pa. s 
(lei de Newton da viscosidade) 
 
Solução: 
V(x) = a y2 + b y + c (equação geral da parábola) 
 
Condições de contorno: 
1) para y = 0 � v = 0 ∴ c= 0 
2) para y = 0,1 m � v = 2,5 m/s ∴ 2,5 = a 0,12 + b 0,1 
3) para y = 0,1 m � dv/dy = 0 ∴ 0 = 2 a 0,1 + b ∴ b = -0,2 a 
Assim, 2,5 = a 0,12 – 0,2 a 0,1 � a = -250 (m s)-1 ∴ b= 50 s-1 
 
Substituindo: 
V = -250 y2 + 50 y � dv/dy = -500 y +50(gradiente de velocidade) 
para y = 0 � dv/dy = 50 s-1 ∴ τ = 400x10-3 x 50 =20Pa 
para y = 0,05 m � dv/dy = -500 x 0,05 + 50 = 25 s-1 ∴ τ = 400x10-3 x 25 = 10 
Pa 
para y = 0,1 m � dv/dy = -500 x 0,1 + 50 = 0 ∴ τ = 400x10-3 x 0 = 0 
 
Além da lei de Newton da viscosidade existem outras leis da viscosidade que 
regem outros comportamentos, dependendo do fluido estudado. Algumas dessas 
leis estão representadas no gráfico τ x dv/dy, como mostrado na figura 15. 
23 
 
 
Figura 15 - Gráfico tensão x deformação (dv/dy) para diferentes fluidos. 
 
 
Na figura 15, os vários gráficos mostrados estão especificados e detalhados 
conforme suas equações relacionais e alguns exemplos de aplicação da lei da 
viscosidade para diversos fluidos, conforme mostrado na tabela 1. 
 
 
Tabela 1 - Especificação reológica e exemplos de aplicação 
Designação 
comportamental 
Equação 
reológica Exemplo de utilização 
Newtoniano dy
dVµ=τ
 
Água, ar e óleos 
Plástico ou 
plástico de 
Bingham dy
dV
Pc µ+τ=τ
 
Lamas de esgoto, misturas 
concentradas de minério em 
água, pó de carvão em água. 
Pseudoplástico 
n
dy
dVk 





=τ
 
Polpa de papel em água, tintas 
e vernizes, pó de cimento em 
água, sangue. 
Pseudoplástico 
com cedência 
 
n
C dy
dVk 





τ=τ 
 
Suspensão de argila em água, 
solução de polímeros. 
 τc – tensão crítica k- constante do fluido 
 
 
 
 
 
24 
 
1.6 Fluido ideal e fluido real 
Um escoamento não-viscoso ou escoamento de fluido ideal é aquele no qual 
os efeitos da viscosidade não influenciam significativamente no escoamento, os 
efeitos da tensão de cisalhamento são desprezados; em outras palavras, é um fluido 
que não apresenta resistência ao movimento (µ=0). Se ele for incompressível (ρ = 
cte), ele é dito ser um fluido perfeito. 
 
Figura 16 - Perfil de distribuição de velocidade para um fluido perfeito. 
 
Um fluido perfeito indica ausência de tensões de cisalhamento entre as 
camadas do fluido que se movem com velocidades diferentes (slip flow) sem serem 
afetadas pelas forças de atrito interno. A condição de deslizamento entre o fluido e a 
fronteira sólida é de orientação da direção do escoamento sem nenhuma ação 
viscosa. Assim, qualquer camada do fluido pode ser substituída por uma lâmina 
sólida de mesma geometria, pois a configuração do escoamento não se altera. 
As tensões de cisalhamento são grandezas que comunicam informações 
dinâmicas de uma camada de fluido para outra, fornecendo informações 
qualitativas importantes a respeito, principalmente, das regiões de escoamento onde 
as forças viscosas são desprezíveis em relação às forças de inércia. 
Um escoamento viscoso ou de fluido real é aquele no qual os efeitos da 
viscosidade são importantes e não podem ser desprezados. A análise de um fluido 
real é complexa, pois envolve fenômenos relacionados à viscosidade, que produz 
resistência ao movimento devido à força de cisalhamento ou de atrito entre as 
partículas e o contorno sólido, como mostrado nográfico da figura 17. 
 
Figura 17 - Camada viscosa em função da velocidade sobre uma placa plana. 
25 
 
 
A viscosidade do fluido real determina o grau de atrito entre as camadas do 
fluido e do fluido com a parede sólida; ela é responsável pela variação de velocidade 
(gradiente de velocidade) entre as camadas do fluido. Próximo a uma parede sólida 
estacionária, a velocidade do fluido real cresce gradualmente de zero na fronteira 
sólida, até um valor limite da velocidade, onde os efeitos viscosos não se fazem 
mais sentir, ou seja, próximo a uma fronteira sólida há a formação de uma camada 
de fluido onde os efeitos viscosos são mais acentuados. Esta camada é denominada 
de camada limite. Fluidos reais Newtonianos são aqueles nos quais a viscosidade 
dinâmica (µµµµ) é independente da taxa de deformação (dv/dy), isto é, a viscosidade na 
expressão da lei de Newton é uma constante para cada fluido newtoniano, a uma 
dada pressão e temperatura. 
 
 Fluidos reais não-Newtonianos são aqueles nos quais a viscosidade, em 
uma dada pressão e temperatura, é função do grau de deformação do fluido. 
 
 
1.7 Estática dos fluidos 
A estática dos fluidos estuda a pressão e sua variação no interior de fluido. 
Nesse caso, como não há movimento de uma camada de fluido em relação a outra 
adjacente, não haverá desenvolvimento de tensões de cisalhamento, assim sendo, 
só agirão forças normais de pressão, como mostrado na figura 18. 
 
 
 
 
A
FP n= 
Figura 18 - Força de pressão atuando normal à superfície da fronteira móvel. 
 
A estática dos fluidos é importante para diversas aplicações, como em 
manômetros utilizados no navios, e para definir forças em sistemas hidráulicos e 
em corpos submersos. A diferença de pressão (∆P) entre dois pontos de um fluido 
26 
 
em repouso é igual ao produto entre o peso específico (γ) do fluido em questão (ρ g 
= γ) pela diferença de altura (h) entre dois pontos no fluido. De acordo com a 
segunda Lei de Newton, a força resultante estando em equilíbrio estático faz com 
que a resultante do sistema seja igual a zero, definindo assim o teorema de Stevin 
da mecânica dos fluidos dado na forma geral pela equação: 
 
{ {
corpo de forças
C
superficie de forças
S FFF
0F0aam.F
+=
=⇒=⇒=
∑
∑∑
 (7) 
 
As forças de corpo que atuam em um volume fluido é o seu próprio peso 
definido da seguinte forma: ρ(dxdydz)gmgPcF ===
rr
.Para definir as forças de 
superfície é necessário estabelecer um volume de controle para interpretar o 
balanço de pressão, na superfície do volume fluido, como mostrado na figura 19. 
 
Figura 19 - Balanço de pressão em um volume de controle fluido. 
 
Observando a figura 19 e considerando positivas as forças no sentido 
mostrado na figura, a força de superfície resultante sobre o volume de controle é 
expressa pela equação: 
 dpdxdydz))dxdyp(z(p(z)dz)dxdyp(zp(z)dxdydz)F(zF(z)FS −=+−=+−=+−=
r
(8) 
 
 
27 
 
Esta equação pode ser escrita da seguinte forma: 
 dxdydz
dz
dpdxdydz
dz
p(z)dz)p(zFS −=




 −+
−=
r
 (9) 
 
Substituindo na equação (7): 
 ρ(dxdydz)gdxdydz
dz
dpFF CS +−=+
rr
 (10) 
 
Simplificando a equação 10, obtemos a equação (11) conhecida como o 
Teorema de Stevin para determinar a pressão estática em um fluido. 
0ρg
dz
dp
=+− (11) 
 
 
 
 
A diferença de pressão estática, ou o ∆∆∆∆p em um fluido, é obtida integrando-se 
a equação (11) conforme ilustrado na figura 20. 
ρghPPdhρgdP
h
0
0
P
P0
=−⇒= ∫∫ (11 a) 
 
 Figura 20- Nível estático de pressão. 
 
Se a diferença de pressão estática for medida no mesmo fluido em diferentes 
níveis de profundidade, a pressão, segundo o teorema de Stevin, é caracterizada 
conforme a figura 21. 
28 
 
 
Figura 21 - Diferentes níveis estáticos de pressão. 
 
A diferença de pressão relacionada a dois pontos ou níveis de profundidade 
estáticos no mesmo fluido, será dada por: 
 
PA = Po + ρρρρ g hA 
PB = Po + ρρρρ g hB ⇒⇒⇒⇒ PB – PA = ρρρρ g ∆∆∆∆h (12) 
 
No mesmo fluido e no mesmo nível horizontal, pontos no interior de um fluido 
em repouso possuem a mesma pressão, a qual pode ser medida por manômetro 
diferencial, conforme é ilustrado na figura 22. 
 
 
Figura 22 - Manômetro diferencial de pressão. 
 
Esse tipo de instrumento que mede a diferença de pressão entre dois pontos 
é denominado de manômetro em “U”. Assim sendo, por se tratar do mesmo nível de 
pressão, então se diz que: PA = PB e que PC = PATM + ρ g H devido o ramo direito do 
instrumento estar aberto. Como os pontos B e C estão em um mesmo nível 
horizontal de um trecho contínuo de fluido, então PC = PB. Assim, PA = PATM + ρ g H. 
Quando o instrumento estiver em estado de equilíbrio, H = 0, o que faz PA = PATM 
(pressão atmosférica). 
29 
 
 
A pressão em relação à pressão atmosférica é denominada de pressão 
manométrica ou relativa, assim expressa: PA-man = PA – PATM. 
=>Unidades usuais de pressão
 
Unidades de pressão são baseadas na relação Força/Área 
kgf/m2; N/m2= Pascal; lb/pol2 = psi (pounds per square inches) 
kgf/cm2 = 104 Kgf/m2 = 9,8x104 Pa = 0,98 bar = 14,2 psi 
1kips=4448,2 N ( unidade usada em oceonografia para pressão de ondas) 
Unidades de pressão definidas 
1atm = 760 mmHg = 101,23 Kpa = 10330 kgf/m2 = 1,01 bar = 14,7 psi = 
10,33 mca. 
 
 
Exemplo 5 
No manômetro ilustrado na figura, o fluido A é água, B é óleo e o fluido 
manométrico (azul) é Hg. Qual a diferença de pressão PA – PB? Dados: γH2O = 10000 
N/m3; γHg = 136000 N/m3 e γóleo = 8000 N/m3. 
 
 
Solução: 
PC= PD (Pontos do mesmo fluido no mesmo nível) 
PA + γγγγH2O h1 + γγγγHg (h2+h1) = γγγγóleo h3 +PB 
PA + 104.0,25 + 13,6x104. 1 = 8x103. 0,8 +PB 
PA - PB = - 132,1 kPa. 
 
30 
 
1.7.1 Forças hidrostáticas sobre superfícies planas submersas 
As forças hidrostáticas que atuam na superfície de corpos submersos ou não 
é dividida da seguinte forma: 








Curva
Inclinada
Horizontal
 Plana
 Superfície
 
 
Superfície plana horizontal 
Nesse caso, a força de pressão está sendo aplicada de forma homogênea em 
toda a superfície submersa horizontal e o fluido está em repouso, como mostrado 
na figura 23. 
 
Figura 23 - Pressão sobre uma superfície horizontal submersa. 
 
 
Superfície plana inclinada 
Uma vez que não pode haver tensões cisalhantes num fluido em repouso, a 
força hidrostática sobre qualquer elemento de uma superfície inclinada deve ser 
normal a ele. A força atuando sobre um elemento de área (dA=dxdy) na face 
superior é dada por 
ρghdApdAnFd ==
r
 . (13) 
A resultante das forças hidrostáticas RF
r
que atuam no corpo submerso 
inclinado é determinada pela integral da força em cada ponto. O ponto de aplicação 
(y*) da força resultante deve ser tal que o seu momento )∗.y(FR m relação a qualquer 
eixo seja igual ao momento da força distribuída (y.dF), como mostrado na figura 24. 
31 
 
 
Figura 24 - Distribuição das forças de pressão sobre uma superfície 
inclinada submersa. 
 
Apesar de ter uma superfície plana, a distribuição de pressão nela não será 
uniforme por estar inclinada como se vê na figura 24; no entanto, para um plano 
inclinado, o CP e o CG atuam de forma separada. É claro que, quanto mais se 
afunda, mais o CG se aproximarádo CP. Assim, para o cálculo da força resultante 
das pressões atuantes sobre essa superfície, utilizaremos a figura 25. 
 
Figura 25 - Diagrama de distribuição das forças de pressão que atuam sobre uma 
superfície plana inclinada e submersa. 
 
O nível de inclinação da superfície é função do angulo θ formado com a 
superfície livre do líquido, sendo h uma profundidade genérica e y e x as 
correspondentes distâncias até o CG da superfície, y’ e x’ as distâncias até o CP da 
superfície, conforme mostra a projeção do plano XY. Tomando dA como o elemento 
32 
 
de área na qual a pressão é aplicada, então a força resultante perpendicular ao 
plano da superfície é expressa pela equação ∫=
A
R PdAF . 
 
Como ysenθh sendo e ρghPP 0 =+= , a força resultante será expressa pela 
equação 
ρgysenθ)dA(pρgh)dA(pF
A
0
A
0R +=+= ∫∫ (14) 
 
 Integrando e rearranjando a equação (14), obtém-se a seguinte equação: 
 
) senθ ρgypydAρgsenθApF Co
A
oR +=+= ∫ (A (15) 
 
 
 
Sendo Yc a coordenada y do centróide da área de aplicação A, e fazendo 
senθyh CC = , a equação (15) torna-se: 
 A)h g ρ(pF C0R +=
r
 (16) 
 
Dessa forma, verifica-se que a força resultante é obtida pelo produto da 
pressão no CG da superfície e a área de aplicação. 
 Sabendo-se disso, cabe agora determinar as coordenadas (x’, y’) que 
correspondem ao Centro de Pressão da força resultante. Para determinar o centro 
das pressões é necessário igualar os momentos da resultante aos momentos das 
forças distribuídas em relação aos eixos y e x respectivamente. Fazendo x’=xp e 
y’=yp obtemos as equações: 
 
 (17) 
 
 
 
33 
 
Desprezando p0 obtemos a equação simplificada para FR: 
 FR= ρρρρ g yC senθθθθ A (18) 
 
Fazendo a integração da equação (17) e rearranjando resultado, chega-se à 
seguinte expressão: 
 (19) 
 
Como Ix = é o momento de inércia da área A em relação ao eixo x, 
chamando IG o momento de inércia da área em relação ao eixo paralelo ao eixo 
dos x e passando no seu centro de gravidade teremos o teorema de Steiner dos 
eixos paralelos que . 
 
Substituindo na equação (19), obtemos a equação: 
 (20) 
 
 
De modo análogo obtemos xp: 
 (21) 
 (22) 
 
 O termo é denominado produto de inércia em relação ao centro de 
gravidade da área. 
 
 
 
 
34 
 
Exemplo 6 
A superfície mostrada, com dobradiça ao longo de A, tem 5 m de largura (w=5 
m). Determinar a força resultante F da água sobre a superfície inclinada, o ponto de 
sua aplicação e o esforço na dobradiça (utilizar SI). A densidade da água é de 
1000kg/m3 e a aceleração da gravidade é de 9,8m/s2. 
 
 
 
Solução: 
 
1. Força devido à pressão da água na comporta 
FR = γγγγ·. hc. A 
γγγγ =ρ. g= 9.800 N/m3 
m 3,000,54,00
2
12,00sen304,00
2
12,00h 0C =××+=××+= 
A = 4,00 x 5,00 = 20,00 m2 
F = 9.800 x 3,00 x 20,00 ∴∴∴∴ F = 588000 N ou 588 k N 
 
35 
 
2) Cálculo do centro de pressão 
C
G
CP yA
Iyy
⋅
+= 
m 4,00
0,50
2,00
sen30
2,00
x ==
°
=
 
YC =4+2=6 m 
4
33
G m 26,712
4,05,0)retangular (comporta
12
dbI =×=⋅=
 
m 6,22
6,020,0
26,76,0yP =
×
+= ; o centro de pressão está a 2,22m(6,22-4) do 
ponto A. 
 
 
3) Cálculo da força no ponto A 
 
0MO =∑ 
F x 1,78 = FA x 4,00 
588 x 1,78 = FA x 4,00 ⇒⇒⇒⇒ FA = 262 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Superfície curva 
A pressão numa superfície curva deve ser sempre calculada pela integração 
das equações gerais. Entretanto, é fácil verificar que devido ao equilíbrio estático as 
componentes da resultante podem ser calculadas pelas projeções da superfície 
curva sobre superfícies planas nas direções das componentes, como mostra a figura 
26. 
 
Figura 26 - Distribuição das componentes de pressão sobre uma 
superfície curva. 
 
A componente horizontal da força na superfície curva é igual à força no 
plano formado pela projeção da superfície curva sobre o plano vertical normal à 
componente. 
A componente vertical da força de pressão é igual ao peso da coluna de 
fluido existente acima da superfície curva acrescida da pressão atmosférica. 
A força resultante no sentido horizontal e vertical da superfície curva será 
dada respectivamente pelas expressões: 
FH = ρρρρ g hC A (23) 
FV = ρρρρ g ∀∀∀∀ (24) 
 
 
Exemplo 7 
 Calcular os módulos e a linha de ação das componentes de empuxo que 
agem sobre a comporta cilíndrica da figura de 3,28m de comprimento. A 
densidade da água é de 1000kg/m3 e a aceleração da gravidade é de 9,8m/s2. 
37 
 
 
Solução: 
1) Empuxo horizontal 
 EH =ρ. g. h . A 
 
m 0,98
2
1,96hC == 
A = 1,96. 3,28 = 6,43 m2 
EH = 1000. 9,8. 0,98. 6,43, EH = 61754 N 
 
2) Empuxo vertical 
EV= ρ. g.V 
( ) ( ) 322 m 9,8963,281,96pi
4
1LpiR
4
1V =××== 
EV= 1000.9,8. 9, 896=969808 N. 
 
1.7.2 Empuxo 
Se um objeto estiver imerso em um líquido ou flutuando em sua superfície, a 
força vertical que age sobre esse corpo devido à pressão do líquido é chamada de 
EMPUXO. 
De acordo com o princípio de Arquimedes, se a massa específica (ρc) ou o 
peso específico (γc) de um corpo for maior ou igual à massa específica (ρ) ou o peso 
específico (γ) de um fluido, então esse corpo flutuará. Assim sendo, o empuxo 
causado por esse corpo é determinado com base em um volume fluido 
infinitesimal, mostrado no diagrama esquemático da figura 27. 
 
38 
 
 
Figura 27 - Balanço de forças de pressão em z, para um volume infinitesimal 
representativo. 
 
Do gráfico da figura 27, o empuxo causado por esse corpo no volume fluido 
definido corresponderá à variação de pressão que ocorre nas várias faces desse 
corpo; e para efeito didático, o balanço de pressão será considerado apenas na 
direção do eixo z. Dessa forma, pode-se definir a diferencial da força resultante pela 
equação: 
 
 (25) 
 
 
Sabendo-se que (h2 – h1)dA corresponde ao volume deslocado (∀) por parte 
ou por todo o corpo submerso, então a expressão que define o empuxo de um corpo 
em um dado fluido é representada por: 
 (26) 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Exemplo 8 
Uma fragata navega em água salgada de densidade 1, 025 ton/m3 e tem 
deslocamento de 4900 ton. 
 
 
 
a) determine o volume submerso do casco quando navegando em água do mar;e 
 b) mantendo o deslocamento, qual o novo volume submerso se o navio passar 
para água doce de densidade 1 ton/m3? 
 
Solução: 
A fragata pode ser modelada para este exemplo como um diagrama de bloco 
 
Para que a fragata flutue, o empuxo é igual ao peso. 
E=P 
.4900m
1
4900V
doce água Para b)
4780m
1,025
4900V
salgada água Para a)
ρ
mV
m.gρ.g.V
3
S
3
S
S
S
==
==
=
=
 
40 
 
1.8 Dinâmica de fluidos (abordagem euleriana e lagrangiana) 
 
 Existem dois princípios gerais para a análise de problemas em mecânica dos 
fluidos: o da abordagem euleriana e o da abordagem lagrangiana. 
 Esta descrição tem como objetivo observar o que acontece em um instante de 
tempo t nas várias posições do domínio fluido, sem se importar com as posições 
ocupadas por cada uma das partículasfluidas. Este método de descrição tem o 
objetivo de estudar o que ocorre com as funções escalares ou vetoriais para as 
várias posições do espaço no decorrer do tempo. O objetivo do método são os 
vários campos escalares e vetoriais que caracterizam o movimento do fluido, como 
velocidades, acelerações, densidades, etc. Na abordagem euleriana, o movimento 
do fluido é dado como função do espaço e tempo, ou seja, a pressão, a 
velocidade, a densidade e a aceleração são especificadas como funções do 
espaço e do tempo. Assim, as componentes de velocidade seriam expressas por: 
t)z,y,(x,w t),z,y,(x,v t),z,y,(x,u === . 
 Podemos dizer que o método de Euler nos fornece uma série de fotografias 
instantâneas (diagramas de linhas de corrente) do estado do movimento. O método 
lagrangiano fornece informações sobre as trajetórias das partículas fluidas, como 
uma função do tempo. A figura 28 ilustra a descrição euleriana e lagrangiana do 
movimento de partículas fluidas de uma chaminé. 
 
Figura 28 - Descrição euleriana e lagrangiana do movimento de uma partícula 
fluida. 
 
 No método euleriano, em um ponto fixo (0) do escoamento, é colocado um 
sensor de temperatura e ele registra a temperatura deste ponto ao longo do tempo t. 
O uso de vários sensores fixados em pontos fixos no espaço pertencentes ao 
escoamento definirão o campo de temperatura T(x, y, z, t). 
41 
 
 Observar que, no método euleriano, a variável analisada é dada em direção e 
módulo em cada ponto do espaço considerado, podendo variar com o tempo.No 
método lagrangiano, um medidor de temperatura é fixado na partícula e registra a 
sua temperatura; ao longo do seu movimento, o uso de vários sensores se 
movendo com a partícula estabeleceriam a temperatura da partícula em função do 
tempo. 
 
Exemplo 9 
 Um campo de velocidade de um fluido é dado por )yjxi)(L/V(V 0 −= onde 0V 
e L são constantes. Considerando a abordagem euleriana, determine em qual 
localização do campo a velocidade é igual a V0. 
 
Solução: 
Componentes cartesianas das velocidades nos eixos x e y: 
 
0w
L
V
v
L
xV
u
0
0
=
−
=
=
 
 
Módulo da velocidade 
 
220
222
yx
L
VV
wvuV
+=
++=
 
 Quando 0VV = , L=+ 22 yx e o campo de velocidades é um circulo de raio L 
e pode ser representado pela figura 29. 
 
Figura 29 - Campo de velocidade na abordagem euleriana. 
42 
 
 Finalizando, podemos dizer que no caso do escoamento da massa fluida 
utilizamos a descrição euleriana, ou seja, descrevemos o escoamento através dos 
campos de velocidades e pressões, sem nos importarmos com que partícula ocupa 
cada posição no espaço em cada instante. 
 
1.9 Aplicação em manobra de embarcações 
 Os tópicos dos itens anteriores são aplicados nas manobras de embarcações, 
como a igualdade do peso com o empuxo, a distribuição do campo de velocidades e 
pressão no leme e propulsor onde a massa fluida é considerada em escoamento 
euleriano. A força de Coriolis afeta a posição da embarcação devido ao movimento 
de rotação da terra e a força centrípeta inclina a embarcação durante uma curva de 
giro. Na unidade 8 é feito o estudo hidrodinâmico da manobra de uma embarcação. 
 
 
43 
 
2 LEIS DE CONSERVAÇÃO 
 
2.1 Derivativas temporais de volume 
 Seja um cubo infinitesimal de um fluido onde suas partículas tem um campo de 
velocidade vetorial o qual é função das coordenadas cartesianas e do tempo e 
expresso por kwjviukt)z,y,w(x,jt)z,y,v(x,it)z,y,u(x,V r
r
&
rrr
&
rr
++=++= . 
 Considere somente o efeito de um gradiente de velocidade 
x
u
∂
∂
 destas 
partículas do cubo de dimensões δz,δy,δx, conforme ilustrado nas figuras 29 a) e 29 
b) onde é mostrado o plano x y do cubo. 
 
Figura 29 - Cubo infinitesimal sob a ação dos gradientes de velocidades. 
 
A componente da velocidade do fluido na direção x em O e B é u, e na 
mesma direção nos pontos A e C é x
x
u
u δ
∂
∂
+ . O acréscimo do volume deste cubo 
é devido ao acréscimo de comprimento na direção longitudinal AA’=CC’ ocasionado 
pelo gradiente de velocidade é x
x
u δ
∂
∂
no tempo tδ sendo este acréscimo de volume 
expresso por δtδyδzδx
x
u






∂
∂
. A taxa que o volume do cubo está mudando por 
unidade do volume devido a este gradiente de velocidade é dada pela equação : 
x
u
zδx.δt.δy.δ
δt.δy.δzδx
x
u
dt
V)
V
1
∂
∂
=


















∂
∂
=
δ
δ →δ 0t
lim(d
 (27) 
44 
 
Se agora existirem gradientes de velocidade 
z
w
e
y
v
∂
∂
∂
∂
 nas direções y e z, 
então, por raciocínio análogo ao anterior, a taxa de variação de volume será 
expressa por: 
 












+





∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
= →
zδx.δt.δy.δ
δt.δy.δxδz
z
w
δt.δx.δzδy
y
v
δt.δy.δzδx
x
u
lim
dt
d(δ(δ
δV
1
0δt 
( ) V.wv,u,.
z
,
y
,
xz
w
y
v
x
u
dt
d(δ(δ
δV
1 r∇=





∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
=
 (27 a) 
 
Esta taxa de mudança de volume por unidade de volume (taxa de variação 
unitária do volume) é denominada de taxa de dilatação volumétrica. 
 
As variações de velocidade direcionais, 
x
u
∂
∂
, 
y
v
∂
∂
, 
z
w
∂
∂
 causam a deformação 
linear do corpo fluido desde que não haja mudança na forma deste corpo. 
 
Observe também que o volume elementar do cubo fluido pode mudar devido 
à deformação linear do corpo fluido, porém, se o fluido é incompressível (sem 
variação na massa específica), a taxa de dilatação volumétrica é nula, pois o 
volume do fluido não pode mudar sem a mudança na massa específica do fluido 
(conservação da massa). Podemos dizer então que a equação (27 b) expressa a 
conservação da massa ou da continuidade. 
 
0
z
w
y
v
x
uV. =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
 (27 b) 
 
 
 
 
 
45 
 
2.2Lei da conservação da massa 
 
2.2.1 Definição de volume de controle 
O volume de controle é um volume compreendido por uma superfície 
imaginária arbitrária envolvendo o corpo (sólido, líquido, ou gasoso), denominada 
superfície de controle para a análise do fenômeno que se quer estudar. Essa 
definição é muito útil quando se estuda o comportamento de fluidos em 
escoamentos à luz das leis de conservação de massa, momento e energia. 
A análise de dispositivos como bombas, turbinas e compressores navais e 
industriais é feita considerando-se um volume de controle através destes 
equipamentos através dos fluxos de massa que atravessam a superfície deste 
volume de controle. 
 
2.2.2 Equação de conservação da massa ou da continuidade 
 Considere a figura 30 onde um volume de controle sofre a ação de 
fluxos de massa adentrando e saindo do mesmo. 
 
Figura 30 - Volume de controle co entrada e saída de fluxos de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Podemos escrever para este volume de controle as seguintes equações: 
 
Equação da continuidade ou da conservação da massa 
“A taxa de variação do volume de controle é igual à diferença entre os 
somatórios dos fluxos de massa que adentram e saem do volume de 
controle.” 
 
 
∑∑ 






−







=




 +
Sai
)dt t ( 
Entra
)t (
VC dt
Massa
dt
)Massa
dt
MassadoVc de Acúmulode Variação(28) 
 
 ∑∑ 





−





=




 ++
Sai
∆t)(t
Entra
(t)
VC
(t)VC∆t)(tVC
∆t
Massa
∆t
)Massa
∆t
Vc,ρ-.Vcρ
 (29) 
 
Para regime permanente, 
VC
(t)VC∆t)(tVC
∆t
Vc,ρ-.Vcρ





 +
=0, e assim: 
 
 0
∆t
Massa
∆t
)Massa
Sai
∆t)(t
Entra
(t)
=







−







∑∑ + (30) 
 
Para maior simplicidade, adotaremos os símbolos sm , em
••
para os fluxos de 
massa adentrando e saindo do volume de controle. 
 Sendo S a área de fluxo e v a velocidade dos fluidos que adentram e saem 
do VC, a equação da continuidade para regime permanente será escrita pela 
seguinte equação: 
se ).S n.V . (ρ)S .n.V . (ρ
smem
∑∑
∑∑
=
=
••
rrrr
 (31) 
 
Onde n.V r
r
é o produto escalar do vetor velocidade e de um vetor normal à 
superfície. 
Quando o vetor velocidade é normal à superfície, então a equação (31) é 
descrita pela equação (31 a). 
 
47 
 
se ).SV . (ρ)S V. . (ρ
smem
∑∑
∑∑
=
=
••
 (31 a) 
 
Fazendo uma análise dimensional da equação da continuidade, com todas 
as unidades das variáveis envolvidas na equação expressas no SI, teremos que: 
 
[ρρρρ = Kg/m3] * [S = m2] * [v = m/s] ���� [ρρρρ*S*v] = [kg/s] 
 
Considerando o escoamento com somente um fluido adentrando e saindo do 
volume de controle perpendicularmente à superfície, e sendo o mesmo 
incompressível (ρρρρentra = ρρρρsai = ρρρρ), a equação da continuidade se )S V.. (ρ)S V.. (ρ ∑∑ = 
será expressa na forma de vazão volumétrica através da equação (31 b) 
 
SSee SVSV =
 (31 b) 
 
Uma interpretação vetorial pode ser feita para a conservação da massa 
considerando o sistema e o volume de controle pela equação (32) 
 
0.dSn.Vρ.ρdV
t VC SC
=+
∂
∂
∫ ∫
vr
 (31c) 
 
Onde ∫∂
∂
VC
ρ.dV
t
 é a taxa de variação do volume de controle e ∫
SC
.dSn.Vρ. v
r
 os 
fluxos de massa que adentram e saem do volume de controle. Para regime 
permanente, a equação continuidade será escrita pele equação: 
 
0=∫
SC
.dSn.Vρ. v
r
 (31d) 
 
Sendo o vetor velocidade do fluido que cruza a Seção de Controle (SC), se 
o sistema estiver em movimento o vetor corresponderá à velocidade relativa, 
48 
 
sendo o vetor normal à superfície e ρρρρ a densidade do fluido, que pode ser 
considerada constante quando se tratar de fluidos incompressíveis. Em outras 
palavras, a integral de SC é zero em qualquer lugar, porque a taxa de variação do 
volume nessa seção é nula (regime permanente). Esta integral representa os 
fluxos mássicos que adentram e saem do volume de controle. Quando v e n têm a 
mesma direção e mesmo sentido, .dSn.V v
r
é positivo , e se v e n têm a mesma 
direção e sentido contrário, então .dSn.V v
r
é negativo 
 
Exemplo1 
 Água escoa em uma tubulação de lastro de um navio petroleiro com diâmetro 
inicial de 6 pol a 25 oC, com velocidade de 22 m/s. Na tubulação existe uma 
expansão no diâmetro de 8 pol., conforme mostrado na figura. Determine a 
velocidade da água na saída da tubulação e a vazão de descarga. 
São dados: 
1pol =0, 0254 m 
 
o 
 
Solução: 
Da equação da continuidade � Saientra S.V).( S).ρ.V ρ=( 
A temperatura da água é a mesma � ρρ saientra = 
 
Velocidade de descarga ���� 
SAI
ENTRA
ENTRASAI S
S
 vv = 
m/s. 12,375 
8
6
 22. 
D
D
 v v 2
2
2
2
ENTRASAI
SAI
ENTRA
===
 
 
Vazão de descarga ���� SaiSaiSAI .SV Q = 
49 
 
/s.m 0,40 
4
0,0254)*(8 pi
 * 12,375 Q 3
2
SAI ≅=
 
2.2.3 Forma diferencial da equação da continuidade 
A figura 31 ilustra um cubo de volume δx.δy.δz com entrada e a saída de 
fluxo de massa na sua superfície lateral no plano y z. 
 
Figura 31- Forma diferencial da equação da continuidade. 
 
Para este cubo: 
δx.δy.δz
t
ρ
ρdV
t VC ∂
∂
=
∂
∂
∫ (31 e) 
 
 “Fluxo de massa líquido na direção X” 
δz δy. δx. .
x
u) . (ρ
 δz . δy .
2
x
x
.u) (ρ
 - u ρ. - δz . δy .
2
x
x
u) . (ρ
 u ρ.
∂
∂
=




 ∂
∂
∂





 ∂
∂
∂
+
 (31 f) 
 
“Fluxo de massa líquido na direção Y” 
δz δy. δx. .v) . (ρ δz .δx .
2
.v) (ρ
 - v ρ. - δz .δx .
2
v) . (ρ
 v ρ.
y
y
y
y
y ∂
∂
=




 ∂
∂
∂





 ∂
∂
∂
+
 (31 g) 
 
“Fluxo de massa líquido na direção Z” 
δz δy. δx. .w) . (ρδx . δy .
2
.w) (ρ
 - w ρ. -δx . δy .
2
w) . (ρ
 w ρ.
z
z
z
z
z ∂
∂
=


 ∂
∂
∂



 ∂
∂
∂
+
 (31 h) 
 
“Fluxo de massa total adentrando e saído do cubo” 
∫
SC
.dSn.Vρ. v
r
= δz δy. δx. .w) . (ρδz δy. δx. .v) . (ρ δz δy. δx. .
x
u) . (ρ
zy ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 (31i) 
50 
 
 
Pela equação da conservação da massa: 
0.dSn.Vρ.ρdV
t VC SC
=+
∂
∂
∫ ∫
vr
 
 
Substituindo as integrais e simplificando: 
0w) . (ρv) . (ρ 
x
u) . (ρ
t
ρ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zy
 (31j) 
 
Fluidos incompressíveis (ρ=constante) 
0wv 
x
u 
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zy
 (31k) 
 
Exemplo 2 
 As componentes de velocidade para um fluido incompressível que se move 
em regime permanente é dado pelas seguintes equações: 
 
z)y,w(x,w
zyzxyv
zyxu 222
=
++=
++=
 
Determine a componente w desta velocidade. 
Solução: 
0
z
w
zx2x
0
z
w
y
 v
 
x
u 
decontinuida da Equação
z)y,w(x,w
zx
y
v
z,yzxyv
2x
x
u
,zyxu 222
=
∂
∂
+++
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+=
∂
∂
++=
=
∂
∂
++=
 
51 
 
y)f(x,
2
z3xzw
zzz3xw
Integrando
zzz3xw
z3x
z
w
2
+−−=
∂−∂−=∂
∂−∂−=∂
−−=
∂
∂
∫ ∫ ∫
 
 
Exemplo 3 
A função corrente y)(x,ψ de um escoamento plano de um fluido 
incompressível em regime permanente é definida pelas componentes de velocidade 
u e v tal que 
x
ψ
v e 
y
ψ
u
∂
∂
−=
∂
∂
= . Seja um fluido que obedece à lei da função corrente 
cujas componentes de velocidade são .x4== v e 2yu Determine a função corrente 
para este fluido mostrando o seu perfil no plano x y. 
 
Solução: 
Aplicando a definição de função corrente 
∫ ∫
∫ ∫
∂=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
+=
∂=∂
∂
∂
=
∂
∂
=
xx-4ψ
x
ψ4x
x
ψ
v
2yψ
 yψ
y
ψ
y
ψ
u
2 )x(f
y
y
1
2
2
 
constante. uma C sendoC,y-2xψ
:função seguinte pela definida entãoser pode corrente funçãoA 
s.arbitrária funções são (y)f e (x)f
)(fx2ψ
22
21
2
2
++=
+−= y
 
 
52 
 
2.3 Origem das forças em um fluido 
 As forças que atuam em um corpo são as de campo ou de corpo e as de 
superfície. 
 
2.3.1 Forças de superfícieA figura 32 ilustra uma superfície fluida genérica sob a ação de uma força 
infinitesimal ),δFS( com componentes normal )( nδF e tangencial ou de 
cisalhamento )δF e δF 21( atuando no elemento infinitesimal (δA ) da superfície. 
 
 
Figura 32- Forças de superfície atuando no corpo. 
 
 Essas forças podem ser descritas através das tensões normal (σ) e 
tangencial ou de cisalhamento ) (τ . Estas tensões são determinadas pelas seguintes 
equações: 
área na tocisalhamen de tensão da ltransversa componente
δA
δFlimτ
área na tocisalhamen de tensão da allongitudin componente
δA
δFlimτ
área na exercida pressão
δA
δFlimσ
2
0δA2
1
0δA1
n
0δA
==
==
==
→
→
→
 
 
 Desta forma, as forças de superfície que atuam nos fluidos são as forças de 
pressão e cisalhamento e podem ser expressas pela equação (32). 
 
 
∫
∫
=
=
SC
t
SC
n
τ.dSF
σ.dSF
 (32) 
53 
 
 As forças de corpo ( CFδ
r ) que atuam na massa fluida consistem basicamente 
nas devidas ao campo gravitacional ( ) gr da massa fluida, podendo ser 
determinadas pela equação: 
 
 
k.m.gjm.gim.ggm.Fδ
kgjgigg
kδFjδFiδFFδ
zyxC
zyx
CZCYXCC
rvrr
rvr
rrrr
++==
++=
++=
 (32 a) 
 
 Na definição mais geral, uma força de campo pode ser definida através de 
suas componentes por unidade de volume. Assim, por exemplo, se considerarmos 
que ( CF
r ) é qualquer força de campo. esta força será expressa pela equação (32 b) 
 ∫=
Volume
C .dV ρ .fF
vr
 (32 b) 
 Onde f
v
 é a força de corpo por unidade de massa. 
 
 
Exemplo 4 
 Considere um cubo de madeira de aresta h de massa específica Cµ flutuando 
em água salgada de massa específica ( ASµ ). A pressão que atua na face superior 
do cubo é a pressão atmosférica (P0) e a aceleração da gravidade é gv . Despreze 
todo e qualquer atrito viscoso e oscilações do cubo, de modo que o mesmo fique em 
equilíbrio. 
 a) faça um esquema das forças de superfície e de corpo que atuam no cubo 
 b) escreva a equação que determina o equilíbrio do cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
Solução: 
a) esquema das forças de corpo e superfície 
 
 Para o cubo submerso, as forças de superfície são as forças 
543 F,FF, ,21 o, F,FF devido à ação da atmosfera na face superior e da ação da água 
nas faces inferior e laterais. 
 
b) equação que determina o equilíbrio do corpo 
 Seja A área das faces e da base do cubo 
 
Forças de superfície 
 
k).AP(PF
PPPP
k)F(Fj)F(Fi)F(FF
.AP.dAPF .AP.dAPF
.AP.dAPF .AP.dAPF
.AP.dAPF .AP.dAPF
01S
5432
015432S
0
A
005
A
55
4
A
442
A
22
3
A
331
A
11
rr
rrvr
−=
===
+++++=
−====
−=−===
−=−===
∫∫
∫∫
∫∫
 
 
Forças de corpo 
 k.g).V(µF , kgkgkgjgigg CuboCCzzyx
rrrrrrrr
−===++= 
 
55 
 
Equação de equilíbrio 
 
.g.Vµ).AP(P 0,k.g).V(µ-k).AP(P 0,FF CuboC01CuboC01CS =−=−=+
rrrr
 
 O termo ).AP(P 01 − é denominado de Empuxo. 
 
Teorema de Stevin 
 SAS01 .g.hµPP =− 
 . .g.Vµ
h
V
..g.hµ).AP(PE SAS
S
S
SAS01 ==−= 
 Para o cubo flutuando em equilíbrio sem oscilações e efeitos viscosos, 
Peso=Empuxo ,conforme o teorema de Arquimedes. 
 
2.4 Princípio do momento para um volume de controle fixo 
 A segunda lei de Newton para um sistema movendo-se em relação a um 
sistema inercial de coordenadas é expressa pela equação: 
 
dt
PdF
r
r
= (33) 
 
 Onde P
r
 é a quantidade de movimento (momento) linear e Fr a força 
resultante que atua no sistema. 
 .dVVρ..dmVP
sistema M sistema Vol
∫ ∫==
vrr
 (33 a) 
 
 dS.n.V..VdV.V.
tdt
PdF
Vc SC
vvrr
r
r
∫ ∫ ρ+ρ∂
∂
== (33 b) 
 
 A força F
r
 da equação (33 b) é a força resultante que atua no sistema 
(volume de controle com os fluxos de massa que adentram e saem do sistema). 
O termo ∫∂
∂
Vc
.dVVρ.
t
r
representa a taxa de variação da quantidade de movimento 
no interior do volume de controle, enquanto o termo .dSn.V. .ρV
SC
vvr
∫ representa a 
soma das taxas de variação das quantidade de movimento dos fluxos de massa 
56 
 
que adentram e saem do volume de controle. A força F
r
 é a soma das forças de 
corpo e de superfície. 
 
 
Exemplo 5 
 Um navio petroleiro, possui uma curva na tubulação de descarga de óleo 
combustível.Considere que óleo diesel de massa específica de 750 kg/m3 escoando 
em regime permanente está sendo bombeado do navio a 12 bar de pressão 
manométrica no mangote para uma balsa de apoio,conforme ilustrado na figura , 
segundo todas as regras de segurança estabelecidas para o bombeamento e 
proteção ao meio ambiente determinadas pelo comandante durante o 
procedimento. 
 
 
Determine as forças exercidas nos suportes da tubulação nesta curva. 
Comente o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
Solução: 
 Equação da continuidade 
Pela equação da conservação da massa: 
)permanente (regime 0ρ.dV
t
0.dSn.Vρ.ρdV
t
VC
VC SC
=
∂
∂
=+
∂
∂
∫
∫ ∫
vr
 
2,6m/s
6
121,3.
d
D
.VV
0.Vρ.A.Aρ.V
) sentido mesmo o tem área a normal )nvetor( o e velocidadevetor (o.AVA.V
) opostos sentidos tem área a normal )nvetor( o e velocidadevetor (o.AVA.V
0A.Vρ.A.Vρ.
0.dSn.Vρ.
22
12
2211
2222
1111
2211
SC
=





=





=
=+−
=
−=
=+
=∫
vrr
vrr
rrrr
vr
 
2
22
1
2
22
2
0,073m
4
,0254)3,14.(12.0
4
pi.DA
0,0182m
4
0254)3,14.(6.0,
4
pi.dA
===
===
 
 
Equação do momento para regime permanente 
[ ] [ ]
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ]
[ ] (N) j46,132.0,5.0,018750.2,6j.sen30.A750.VF
(N) i67,73i1,3)-866 , 1,3(2,6.0750.0,073.F
i)V-cos30(V.V750.Ai.A.750.(VV.AVcos30.750.VF
j.AVsen30.750.Vi.A.750.(VV.AVcos30.750.V
j.A.V ρ sen30.Vi.A.V ρ .V.A.V ρ cos30.V.dSn.V. .ρV
.AVSd.V
.AVSd.V
jsen30Vicos30)(VV
i.VV
)Sd.V.ρV)Sd.V.ρV.dSn.V. .ρV
2
2
2
2Y
X
1211111222X
222111222
222111222
SC
2222
1111
222
11
222111
SC
rrr
rvr
vvr
rv
rrvvr
rr
rr
rr
rr
rrrrrrvvr
===
==
=−=
+−
+−=
=
−=
+=
=
+=
∫
∫
 
 
 
 
58 
 
Forças atuantes no óleo diesel devido à curva 
prezível) 46,13N(desR
.sen30.APR46,13
esquerda) a (para kN 87,5N 87532R
.0,07312.10R67,73
.AP.APR67,73
)sen30.AP(PRF
).AP(P).AP(PRF
j46,13i67,73F
.dSn.V.ρρV.dVVρ.
tdt
PdF
Y
22mY
X
5
X
2m21m1X
202YY
202101XX
Vc SC
=
−=
−=−=
+=
−+=
−−=
−−−+=
+=
+
∂
∂
== ∫ ∫
rrr
vvrr
r
r
 
 
Força na curva 
A força na curva é horizontal e atua para a direita (ação e reação). 
A intensidade desta força pode romper a tubulação e arrancá-la do seu 
suporte. 
Para evitar tal inconveniente, as soldas, conexões, protetores de vibração e 
outros acessórios do sistema,devem ser periodicamente inspecionados. 
 
2.5 Momento angular para um volume de controle fixo 
O princípio do momento para um volume de controle finito estabelece que o 
torque exercido sobre o um volume de controle (V C) é igual à taxa de variação 
temporal da quantidade de movimento angular no interior do volume de controleadicionado ao fluxo líquido da taxa de quantidade de movimento angular dos 
fluxos de massa através da superfície de controle, dado pela seguinte expressão: 
 
( ) ∫∫∑∑ ×+×∂
∂
===×
SCVC
000
dSnV)ρVr(dV)ρVr(
t
TMFr r
rvrrrrrvr
 (33 c) 
 
Onde rr é o vetor distância do vetor velocidade V
r
 ou força F
r
 até o ponto “o - 
origem ou referência para o calculo dos momentos”, sobre o qual se calcula o 
momento resultante. Esta expressão é válida para um V C inercial, ou seja, ela é 
utilizada para um V C em movimento sem aceleração, usando a velocidade 
relativa do conjunto.No entanto, se o escoamento for permanente e 
59 
 
unidimensional, a equação (33) que determina o balanço das forças para um 
conjunto de partículas dadas, torna-se: 
 
( ) ( ) ( )
entradasaída
00
mVrmVrTFr 


 ×−


 ×==× ∑∑∑
•• rrrrrrr
 (34) 
 
Onde saídam
•
 e entradam
•
 são os fluxos em massa (ρVS) na saída e entrada do 
V C . 
 
Exemplo 6 
 Água entra em um “splinker” com um fluxo de 0, 001m3/s, conforme é 
ilustrado na figura. A área de saída dos bocais é de 30mm2 e o fluxo de água deixa o 
“splinker” normal à área de saída, sendo o raio do eixo de rotação de 0,2m. 
 
Sabendo que a massa específica da água é de 1000kg/m3: 
 a) estabeleça o modelo matemático do “splinker”; 
 b) determine o torque devido à rotação do “splinker”, se o mesmo gira a 500 
rpm; e 
 c) o torque exercido no “splinker” quando o mesmo não se movimenta. 
 A massa específica da água é de 1000 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Solução: 
a) modelo matemático 
Equação da continuidade para o “splinker” em regime permanente: 
22
11
2
2211
26
2
SC
2.A
Q
.A ρ 2.
.Aρ.VW
0.W A2.ρ..Aρ.V-
m30.10A
0.dSn.Vρ.
==
=+
=
=
−
∫
vr
 
 
 
 
 
 
Observe que a velocidade para a equação da continuidade na saída do 
“splinker” é a relativa (W2), pois devido ao movimento circular do “splinker”, aparece 
a velocidade U2, devido ao M C U executado pelo “splinker”. 
 
 
 
 
 
 
61 
 
Equação do momento para o “splinker” em regime permanente 
( ) ( ) ( )
entradasaída
00
mVrmVrTFr 


 ×−


 ×==× ∑∑∑
•• rrrrrrr
 
 ( ) 0mVr
entrada
=


 ×∑
•rr
 , na entrada (seção 1), V1 e r1 tem a mesma direção. 
 ( ) kmrVmVr 2
saída
rrr ••
−=


 ×∑ 
 kmrVT 2eixo
r•
−= 
 
Velocidade circular 
 60
Nr 2pi
w.rU 2==
 
 
Velocidade absoluta V2 na saída do “splinker” 
 V2 = W2 – U 
 
b) cálculo do torque do “splinker” girando a 500 rpm 
 
m/s 16.7
2.30.10
0,001
2.A
QW 6
2
2 ===
−
 
)Nm(horário k 1,24k0,001 . 1000-6,24.0,2.T
k Q . .ρ.r-Vkm..r-V=T
4m/s 6,2UWV
m/s 10,46
60
.0,22.3,14.500
60
2pipiN.U
eixo
2222eixo
22
2
rvr
rrr
−==
=
=−=
===
•
 
 
c) torque no “splinker” se o mesmo não se movimenta.Nesse caso temos 
V2=W2=16,7 m/s. 
 
(horário) Nm k3,34k0,001 . 1000-16,7.0,2.T
k Q . .ρ.r-Vkm..r-V=T
eixo
2222eixo
rvr
rrr
−==
=
•
 
 
 
 
 
62 
 
2.6 Equação geral da energia e equação diferencial do momento linear 
2.6.1 Equação geral da energia 
 
 O balanço de energia para um volume de controle é expressa pela seguinte 
equação: 
)dAn.V( ρ gz
2
V
vPu dV ρgz
2
V
u
t
WQ
SC
ff
2
f
fff
VC
VC
2
VC
VC ∫∫ 






++++
















++
∂
∂
=−
•• rr
 (35) 
 
Onde: 
 
•
Q = fluxo de calor que cruza a superfície do volume de controle (W ou 
kW) 
 
 
•
W = potência fornecida ou recebida pelo volume de controle (W ou kW) 
















++
∂
∂
∫
VC
VC
2
VC
VC dV ρgz2
V
u
t
= taxa de variação de energia do volume de 
controle (W ou kW) 
 
)dAn.V( ρ gz
2
VVPu
SC
ff
2
f
fff∫ 






+++
rr
= taxa de variação de energia dos fluxos de 
massa que cruzam a superfície de controle (w ou kW). A equação da energia 
adota a seguinte convenção para o calor e trabalho: 
 
 Se o calor é adicionado ao V C, positivoé Q
•
, se retirado, negativo Qé
•
. 
 Se trabalho é fornecido pelo V C, positivoé W
•
, se recebido, negativo. Wé
•
 
 
 Os índices f e VC referem-se aos fluxos de massa e ao volume de controle 
e os termos VC
2
VC
VC gz2
V
u ++ e 







+++ f
2
f
fff gz2
VPu v são as energias especificas do 
V C e dos fluxos de massa em J/kg ou kJ/kg. O termo fff VPu + é denominado de 
entalpia, sendo )kg/kJoukg/J( uf , fP (Pa ou kPa), vf (m3/kg), e Vf (m/s) a energia 
interna, a pressão, o volume específico e a velocidade do fluido que cruza a 
63 
 
superfície de controle. Os termos uvc (J/kg ou kJ/kg) e Vvc (m/s) são a energia 
interna e a velocidade do volume de controle. 
 O termo ).dAn.V( ρ f
rr
simboliza os fluxos de massa (kg/s) que cruzam a 
superfície de controle, sendo este termo positivo para os fluxos que saem da 
superfície de controle ( fV
r
e n
r
 de mesmo sentido) e negativo para os fluxos de 
massa que adentram o volume de controle ( fV
r
e n
r
 de sentidos opostos) sendo este 
termo será simbolizado por 
E∑
•
m e 
S∑
•
m . A equação (35) pode então ser reescrita 
na seguinte forma: 
 
 ∑∑ ++−+++=− gze)2
V(hmgzs)
2
V(hm
dt
dEWQ
2
e
ee
2
s
ss
vc &&&&
 (35 a) 
 
2.6.2 Equação da energia para regime permanente 
 Considerando regime permanente e escoamento unidimensional: 
 gze)
2
V(hgzs)
2
V(hWQ
2
e
e
2
s
s ++−+++=−
••
mm&& (35 b) 
 
 Fazendo 
•
•
=
m
W
w e 
•
•
=
m
Qq , a equação (35 b) pode ser reescrita na forma 
específica: 
 
g
q
gg
P
g
P
PP
Se
Se
−+
−
+++
ρ
=++
ρ
++
ρ
+=++
ρ
+
+++=++
g
wuu
zs
2g
V
ze
2g
V
gzs
2
V
ugze
2
V
u
wq-gzs
2
Vhgze
2
Vh
eS
2
S
2
e
2
S
S
2
e
e
2
s
s
2
e
e
 (35 c) 
 
 
 
64 
 
 No caso do escoamento de líquidos incompressíveis, o termo 
g
eS uu − é nulo. 
O termos 
g
w (kg.m/kg) e 
g
q
 (kg.m/kg) são os equivalentes do trabalho e calor 
expressos em formas de altura, sendo 
ρ
eP (m), e 
ρ
SP (m), 
2g
V 2e (m), 
2g
V 2S (m) as alturas 
de pressão ou piezométricas, e de velocidade. As alturas ze (m) e zS (m) são as 
alturas estáticas dos pontos de entrada e saída do fluxo de massa do fluido que 
cruza a superfície do volume de controle. 
 
 
 Para o caso de escoamento unidimensional que envolva bombas e turbinas 
de um fluido incompressível e sem efeitos viscosos considerados, a equação (35 c) 
será substituída pela equação (36). 
 
 
zs
2g
αV
ρg
PHHHze
2g
αV
ρg
P 2SS
perdasturbinabomba
2
ee ++=−−+++
 (36) 
 
 
 Na qualα é o fator de taquicarga, que, na ausência de informações, pode ser 
tomado como 1,06. 
 Determinadas as alturas da bomba e da turbina, a potência recebida 
(bomba) ou fornecida (turbina) pelo fluido é determinada pelas equações: 
 
 
bomba
bomba
bomba
n
ρgQHP = (37) 
 
 turbinaturbinaturbinaa .nρgQHP = (38) 
 
 
 
 
 
65 
 
2.6.3 Equação