Aplicações_Derivadas

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Aplicações das Derivadas 
3. Aplicações das derivadas 
 
3.1 Extremos de funções 
3.2 Teste da derivada primeira 
3.3 Concavidade e esboço de curvas - Teste da derivada segunda 
3.4 Formas indeterminadas e a regra do L’Hôpital 
3.5 Linearização 
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2 
 
 
 
 
 
 
 
• Extremos absolutos para as funções 
seno e cosseno no intervalo [–p/2, 
p/2]. Esses valores podem depender 
do domínio de uma função (ver 
próximo slide). 
Valores extremos de funções 
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3 
Funções definidas pela mesma regra ou fórmula podem ter 
extremos absolutos diferentes (valores máximo e mínimo) 
dependendo do domínio. 
EXEMPLO 
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4 
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5 
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7 
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8 
Teorema do Valor extremo 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A figura a seguir apresenta algumas possibilidades para 
pontos de máximo e mínimo de uma função contínua em 
um intervalo fechado [a, b]. 
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11 
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12 
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13 
OBSERVAÇÃO A continuidade não pode ser omitida 
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• A figura abaixo mostra um gráfico com cinco pontos nos quais a 
função tem valores extremos em seu domínio [a, b]. 
Extremos locais (relativos) 
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Determinando extremos 
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Determinando extremos 
 
 
 
 
• Como determinar os extremos absolutos de uma função contínua 
ƒ em um intervalo fechado e finito: 
 
1. Calcule ƒ em todos os pontos críticos e extremidades. 
 
2. Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos. 
Desse modo, os únicos pontos do domínio em que uma função pode 
assumir valores extremos são: os pontos críticos e as extremidades. 
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e 
.. . 
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𝑓 𝑥 = 𝑥2 
Máximo absoluto 
Máximo local 
Mínimo Absoluto 
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Funções crescentes e 
decrescentes 
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Funções crescentes e 
decrescentes 
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EXEMPLO Determine os pontos críticos de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥 − 5 e 
identifique os intervalos onde 𝑓 é crescente e decrescente . 
SOLUÇÃO Note que 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥 − 5 é derivável ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓(𝑥) é um 
polinômio, 𝐷𝑓 = ℝ). 
 
Desse modo, 
 
 
 
 Dividindo o domínio no intervalos (−∞, −2), (−2,2) e (2, ∞), temos que a 
escolha de pontos convenientes nos fornece: 
 
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Teste da primeira derivada para extremos locais 
• Na figura a seguir, os pontos críticos de uma função estabelecem 
onde ela é crescente e onde é decrescente. 
 
• O sinal da primeira derivada troca em pontos críticos, onde 
ocorrem extremos locais. 
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Funções crescentes e 
decrescentes 
Teste da primeira derivada para extremos locais 
 
1. se ƒ’ passa de negativa a positiva em c, então ƒ possui um 
mínimo local em c; 
2. se ƒ’ passa de positiva a negativa em c, então ƒ possui um 
máximo local em c; 
3. se ƒ’ não muda de sinal em c (isto é, ƒ’ é positiva ou negativa em 
ambos os lados de c), então ƒ não tem extremo local em c. 
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 a) Os pontos críticos de 𝑓; 
𝑓′ 𝑥 = (𝑥2−3)𝑒𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥 = (𝑥2 + 2𝑥 − 3)𝑒𝑥 
 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)𝑒𝑥 
 
SOLUÇÃO 
EXEMPLO Seja 𝑓 𝑥 = (𝑥2−3)𝑒𝑥 . Determine: 
 a) Os pontos críticos de 𝑓; 
 b) Identifique os intervalos onde 𝑓 é crescente e 
 decrescente ; 
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b) Identifique os intervalos onde 𝑓 é crescente e decrescente ; 
Dividindo o domínio no intervalos (−∞,−3), (−3,1) e (1, ∞), temos que a 
escolha de pontos convenientes nos fornece: 
𝑓′(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)𝑒𝑥 
EXEMPLO Seja 𝑓 𝑥 = (𝑥2−3)𝑒𝑥 . Determine: 
 a) Os pontos críticos de 𝑓; 
 b) Identifique os intervalos onde 𝑓 é crescente e 
 decrescente ; 
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OBSERVAÇÃO Uma função pode 
ter um ponto crítico em 𝑥 = 𝑐 sem 
apresentar um valor extremo local 
nesse ponto. 
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Concavidade 
• Acurva 𝑦 = 𝑥3 é crescente, 
quando 𝑥 aumenta. 
 
• Mas as porções definidas nos 
intervalos (– ∞, 0) e (0, ∞) se 
curvam de maneiras 
distintas. 
 
• Conforme nos aproximamos 
da origem, pela esquerda ao 
longo da curva, vemos que 
ela se vira para a nossa 
direita e fica abaixo de suas 
tangentes. 
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Concavidade 
 𝑦 = 𝑥3 
 
 𝑦′ = 3𝑥2 
 
 
 
Quando 𝑥 < 0, 𝑓′(𝑥1) > 𝑓′(𝑥2). 
 
Quando 𝑥 > 0, 𝑓′ 𝑥3 < 𝑓′(𝑥4) . 
𝑥1 𝑥2 
𝑥3 𝑥4 
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32 
 𝑦 = 𝑥3 
 
 𝑦′ = 3𝑥2 
 
 𝑦′′ = 6𝑥 
 
 Quando 𝑥 > 0, 𝑦′′ > 0 
 
Quando 𝑥 < 0, 𝑦′′ < 0. 
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34 
EXEMPLO Determine a concavidade de 𝑦 = 3 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 em [0,2𝜋] . 
 𝑦 = 3 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 𝑦′ = cos 𝑥 
 
 
 
 𝑦′′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
Em [0, 𝜋], 𝑦′′ < 0 (Concavidade p/ baixo). 
 
Em [𝜋, 2𝜋], 𝑦′′ > 0 (Concavidade p/ cima). 
Para 𝑥 = 𝜋 𝑛 +
1
2
, temos cos 𝑥 = 0 
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Pontos de inflexão 
Seja 𝑦 = 3 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 em [0,2𝜋] . 
 𝑦 = 3 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 𝑦′ = cos 𝑥 
 
 𝑦′′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
𝑦′′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝜋 
Isso caracteriza um ponto de inflexão na coordenada (𝜋, 3). 
Note que: para 𝑥 < 𝜋, 𝑦′′ < 0 e para 𝑥 > 𝜋, 𝑦′′ > 0 . 
Em outras palavras, existe uma mudança de concavidade. 
Para 𝑥 = 𝜋 𝑛 + 1 , temos sen 𝑥 = 0 
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Pontos de inflexão 
• Um ponto em que o gráfico de uma função possui uma reta 
tangente e onde há mudança de concavidade é chamado de 
ponto de inflexão. 
 
• Em um ponto de inflexão (𝑐, 𝑓(𝑐)), ou 𝑓′′(𝑐) não existeou 
𝑓′′ 𝑐 = 0 . 
 
 𝑦 = 3 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 𝑦′ = cos 𝑥 
 
 𝑦′′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 𝑦′′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝜋 
Existe um ponto de inflexão na coordenada (𝜋, 3). 
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Teste da segunda derivada 
para extremos locais 
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EXEMPLOS de funções onde o teste falha 
𝑦 = 𝑥4 
𝑦 = −𝑥4 
𝑦 = 𝑥3 
 𝑦 = 𝑥4 
 𝑦′ = 4𝑥3 = 0 → 𝑥 = 0 
 𝑦′′ 0 = 12𝑥2 = 12 ∙ 02 = 0 
 
 𝑦 = −𝑥4 
 𝑦′ = −4𝑥3 = 0 → 𝑥 = 0 
 𝑦′′ 0 = −12𝑥2= −12 ∙ 02 = 0 
 
 𝑦 = 𝑥3 
 𝑦′ = 3𝑥2 = 0 → 𝑥 = 0 
 𝑦′′ 0 = 6𝑥 = 6 ∙ 0 = 0 
 
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EXEMPLO Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 10 . 
 
(a) Identifique onde os extremos de 𝑓 ocorrem. 
(b) Determine os intervalos onde 𝑓 é crescente e os intervalos 
onde 𝑓 é decrescente. 
(c) Determine onde o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima e onde 
é côncavo para baixo. 
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42 
EXEMPLO Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 10 . 
𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 . 
Primeiramente, temos que 𝑓(𝑥) é contínua (𝐷𝑓 = ℝ) e 𝑓’(𝑥) 
existe, ou seja, 
 Os pontos críticos são encontrados fazendo 𝑓′ 𝑥 = 0, ou seja, 
𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 = 0 → 4𝑥2 𝑥 − 3 = 0 
𝐷𝑓′ = ℝ 
 e portanto, existem dois pontos críticos: um 𝑥 = 0 e 
outro em 𝑥 = 3 . 
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EXEMPLO Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 10 . 
(a) Identifique onde os extremos de 𝑓 ocorrem. 
O teste da derivada primeira para extremos locais 
mostra a inexistência de extremo em 𝑥 = 0 (ver tabela). 
Por outro lado, existe um mínimo local em 𝑥 = 3 . 
 𝑓′ −1 = 4(−1)3−12(−1)2= −4 − 12 = −16 < 0 
Por exemplo, escolhemos 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 e 𝑥 = 4, em cada intervalo . 
 𝑓′ 1 = 4(1)3−12(1)2= 4 − 12 = −8 < 0 
 𝑓′ 4 = 4(4)3−12 4 2 = 256 − 192 = 64 > 0 
𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 
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EXEMPLO Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 10 . 
 
(b) Determine os intervalos onde 𝑓 é crescente e os intervalos 
onde 𝑓 é decrescente. 
 
 𝑓′ −1 = 4(−1)3−12(−1)2= −4 − 12 = −16 < 0 
Por exemplo, escolhemos 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 e 𝑥 = 4, em cada intervalo . 
𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 
 𝑓′ 1 = 4(1)3−12(1)2= 4 − 12 = −8 < 0 
 𝑓′ 4 = 4(4)3−12 4 2 = 256 − 192 = 64 > 0 
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EXEMPLO Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 10 . 
 
(c) Determine onde o gráfico de 𝑓 é côncavo para cima e onde 
é côncavo para baixo. 
 Encontramos a forma da concavidade em cada intervalo pelo 
teste da derivada segunda. Assim, 
 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 
𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2 − 24𝑥 = 12𝑥(𝑥 − 2) 
 
 
Fazendo 𝑓′′ 𝑥 = 0, encontramos 12𝑥(𝑥 − 2) = 0, e portanto, 
𝑓′′ 𝑥 = 0 em 𝑥 = 0 e em 𝑥 = 2 . 
 
𝑺𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒇′′ 
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livro 
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46 
EXEMPLO Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 10 . 
RESUMO das informações 
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53 
 
Por exemplo, escolhemos 𝑥 = −2, 𝑥 =0 e 𝑥 = 2, em cada intervalo . 
𝑓′ −2 =
2(1 − (−2)2)
(1 + (−2)2)2
=
−6
25
< 0 
 
 𝑓′ 0 =
2(1−02)
(1+02)2
=
2
1
= 2 > 0 
 
 𝑓′ 2 =
2(1−22)
(1+22)2
=
−6
25
< 0 
 
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𝑓′′ 𝑥 =
4𝑥(𝑥2 − 3)
(1 + 𝑥)3
= 0 → 4𝑥 𝑥2 − 3 = 0 
𝑥 = 0 
 
𝑥 = ± 3 
𝑓′′ −2 =
4 −2 [(−2)2−3]
[1 + −2 2]3
=
−8
125
< 0 
 
𝑓′′ −1 =
4 −1 [(−1)2−3]
[1 + −1 2]3
=
8
8
= 1 > 0 
 
𝑓′′ 1 =
4 1 [12−3]
[1 + 12]3
=
−8
8
= −1 < 0 
 
𝑓′′ 2 =
4 2 [22−3]
[1 + 22]3
=
8
125
> 0 
 
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𝑓( 3) ≈ 1,887 e 𝑓(− 3) ≈ 0,134 
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Formas indeterminadas 
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Forma indeterminada 0/0 
 
 
 
 
 
 
 
• Para aplicar a regra de l’Hôpital a 𝑓/𝑔, divida a derivada de 𝑓 
pela derivada de 𝑔. Não caia na armadilha de tornar a derivada 
de 𝑓/𝑔. O quociente a ser utilizado é 𝑓′/𝑔′, e não (𝑓/𝑔)′. 
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EXEMPLOS 
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Múltipla aplicação da regra do l’Hôpital 
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EXEMPLOS 
Repetida aplicação da regra do l’Hôpital 
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Precaução É importante verificar se após a aplicação da 
regra do l’Hôpital, o limite ainda apresenta uma 
indeterminação. 
EXEMPLOS 
Uso correto da regra 
Uso incorreto da regra 
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Aplicação da regra do l’Hôpital 
a limites laterais 
EXEMPLO 
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Formas indeterminadas 
∞/∞, ∞ ∙ 𝟎, ∞ – ∞ 
EXEMPLOS Forma indeterminadas do tipo ∞/∞ 
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EXEMPLOS Forma indeterminadas do tipo ∞ ∙ 0 
(a) 
(b) lim
𝑥→0+
𝑥 ln 𝑥 = 
 = lim
𝑥→0+
ln 𝑥
1/ 𝑥
 
 = lim
𝑥→0+
1/𝑥
−1/2𝑥3/2
 
 
 = lim
𝑥→0+
(−2 𝑥 ) = 0 
 
 
 
∞ ∙ 0 convertido em ∞/∞ 
∞ ∙ 0 
Regra do l’Hôpital 
Reescrevendo expressões na forma 0 0 ou ∞ ∞ . 
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EXEMPLOS Forma indeterminadas do tipo ∞ − ∞ 
Calcule o limite 
SOLUÇÃO 
 Observe que, se 𝑥 → 0+, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 0+, de modo que 
 Observe que, se 𝑥 → 0−, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 0−, de modo que 
 Por outro lado, combinando as frações, encontramos: 
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70 
Potências indeterminadas 𝟏∞, 𝟎𝟎, ∞𝟎 
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EXEMPLO Calcule lim
𝑥→0+
1 + 𝑥 1/𝑥 . 
Esse limite apresenta a forma indeterminada 1∞ quando 𝑥 → 0+. 
 
Por outro lado, observe que 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 1/𝑥 = 𝑒ln 1+𝑥
1/𝑥
. 
Desse modo, 
= lim
𝑥→0+
𝑒ln 1+𝑥
1/𝑥
= 
lim
𝑥→0+
ln 1+𝑥 1/𝑥
= 𝑒1 = 𝑒 lim
𝑥→0+
1 + 𝑥 1/𝑥 
pois lim
𝑥→0+
ln 1 + 𝑥1/𝑥 = lim
𝑥→0+
1
𝑥
ln 1 + 𝑥 
 
 que aplicando a regra do l’Hôpital, nos fornece 
lim
𝑥→0+
1
𝑥
ln 1 + 𝑥 = lim
𝑥→0+
1
𝑥 + 1
1
= lim
𝑥→0+
1
𝑥 + 1
= 1 
𝑒 
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72 
EXEMPLO Calcule lim
𝑥→∞
𝑥1/𝑥 . 
Esse limite apresenta a forma indeterminada ∞0 quando 𝑥 → ∞. 
 
Por outro lado, observe que 𝑓 𝑥 = 𝑥1/𝑥 = 𝑒ln 𝑥
1/𝑥
. Desse modo, 
= lim
𝑥→∞
𝑒ln 𝑥
1/𝑥
= 
lim
𝑥→∞
ln 𝑥1/𝑥
= 𝑒0 = 1 lim
𝑥→∞
𝑥1/𝑥 
pois lim
𝑥→∞
ln 𝑥1/𝑥 = lim
𝑥→∞
1
𝑥
ln 𝑥 
 
 que aplicando a regra do l’Hôpital, nos fornece 
lim
𝑥→∞
1
𝑥
ln 𝑥 = lim
𝑥→∞
1
𝑥
1
= lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0 
𝑒 
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73 
Linearização 
Localmente, qualquer curva derivável se comporta como uma reta . 
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74 
Linearização 
OBJETIVO: Aproximar funções complicadas usando funções 
mais simples, mas que fornecem a precisão desejada para 
aplicações específicas. 
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75 
EXEMPLO Determine a linearização de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 9 quando 𝑥 = −4 . 
SOLUÇÃO Calculamos a equação definindo 𝐿(𝑥) em 𝑎 = −4. Com 
𝑓 −4 = (−4)2+9 = 5, 𝑓′ −4 =
𝑥
𝑥2 + 9
 
𝑥=−4
= −
4
5
 
𝐿 𝑥 = 𝑓 −4 + 𝑓′ −4 𝑥 − −4 = 5 −
4
5
𝑥 + 4 = −
4
5
𝑥 +
9
5
 
Portanto, 𝑓(𝑥) ≈ 𝐿(𝑥), ou seja, 
𝑥2 + 9 ≈ −
4
5
𝑥 +
9
5
 
 uma aproximação precisa para valores de 𝑥 próximos de −4 . 
OBS.: A precisão normalmente diminui à medida que nos afastamos 
de 𝑥 = −4 . Em outras palavras, a aproximação linear normalmente 
perde a precisão longe de seu centro. 
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𝐿 𝑥 = −
4
5
𝑥 +
9
5
 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 9 
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77 
Aproximação 
𝐿 𝑥 = −
4
5
𝑥 +
9
5
 
Valor real 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 9 
Valor real – aproximação 
|𝑓 𝑥 − 𝐿(𝑥)| 
 𝐿 −9,0 = 9,0 𝑓 −9,0 = 9.486833 0,48 
 𝐿 −5,0 = 5,8 𝑓 −5,0 = 5.830952 0,03 
 𝐿 −4,1 = 5,08 𝑓 −4,1 = 5,080354 < 10−3 
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78 
Se 𝑥 for um ângulo pequeno 
(𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠), então 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≈ 𝑥 . 
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ECT1113 - Cálculo I 2014.3 
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Aproximação para raízes e potências 
Uma aproximação linear importante e de vasta aplicação para 
valores de 𝑥 suficientemente próximo de zero é 
1 + 𝑥 𝑘 ≈ 1 + 𝑘𝑥 . 
EXEMPLOS 
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INTEGRAIS INDEFINIDAS