Intervalos de Confiança para uma amostra

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Intervalos de Confiança para uma amostra
Sandro Bruno do Nascimento Lopes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
27 de maio de 2015
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 1 / 74
Sumário
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
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Motivação
O objetivo de extrair amostras de uma população é poder verificar
informações de interesse da população em si;
Geralmente deseja-se apresentar informações sobre os parâmetros da
população envolvida;
Isto caracteriza uma inferência estatística;
A questão é que esta inferência apresenta erros pela limitação dos dados
disponíveis, que são referentes a uma amostra e não a população;
Dois parâmetros, em particular, são estudados:
A média populacional µ;
A proporção populacional p;
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Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
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Definição
Uma estimativa pontual para um parâmetro é um único valor que é
assumido como um valor coerente para um parâmetro;
Uma estiva pontual é obtida através do cálculo do valor de uma estatística
representativa através dos dados de uma amostra;
Uma estatística é considerada representativa se está relaciona diretamente
com o parâmetro em questão;
Para a média populacional µ, por exemplo, a estimativa pontual usada é o
valor x para a média amostral X ;
Para a proporção populacional p, a estimativa pontual é o valor da proporção
amostral pˆ;
Para a variância amostral σ2, a estimativa pontual usada é o valor s2 da
variância amostral S;
A estatística utilizada para calcular uma estimativa pontual de um parâmetro
é denominada de estimador pontual;
Para a estimativa pontual, é preciso levar em consideração que cada amostra
pode apresentar uma estimativa pontual diferente, ou seja, existem variações
nas amostras possíveis;
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Definição
Para um parâmetro, há várias formas de calcular uma estimativa pontual:
Para a média populacional µ, por exemplo, é possível atribuir como
estimadores pontuais de uma amostra {X1,X2, · · · ,Xn}:
A média amostral X ;
A mediana amostral Xˆ ;
A média dos valores extremos da amostra, dada por max(Xi ) +min(Xi )
2
;
Para cada amostra, obtém-se uma estimativa pontual diferente:
Para uma população cuja variável aleatória X associada possui valores
{1, 5, 10, 20, 50, 100}, com igual probabilidade de ocorrer, ou seja,
probabilidade de 16 , o valor real da média é µ = 31;
Tomadas quatro possíveis amostras compostas por três elementos cada,
tem-se que:
Amostra 1: {5, 20, 50}; valor da média amostral: x = 25;
Amostra 2: {1, 10, 100}; valor da média amostral: x = 37;
Amostra 3: {1, 5, 20}; valor da média amostral: x ≈ 8, 667;
Amostra 4: {20, 50, 100}; valor da média amostral: x ≈ 56, 667.
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Definição
O exemplo da média amostral da população mostrou que os valores das
estimativas pontuais variam de acordo como o tamanho da amostra;
No entanto, nenhum dos valores observados coincidiu com o valor da média
populacional real;
Isto ocorre porque está se utilizando uma parcela pequena da população.
Uma parcela pequena, muitas vezes, não consegue englobar todas as
características da população, ocasionando estimativas muito distantes do
verdadeiro valor do parâmetro;
Quanto maior o número de amostras selecionadas, tem-se mais informações
sobre a população e, consequentemente, mais próximas do valor real serão as
estimativas;
Tomada a diferença entre o valor da média x i obtida para cada amostra e
média populacional µ, tem-se que:
Amostra 1: x − µ = 25− 31 = −6;
Amostra 2: x − µ = 37− 31 = 6;
Amostra 3: x − µ = 8, 667− 31 = −22, 333;
Amostra 4: x − µ = 56, 667− 31 = 25, 667.
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Definição
É possível perceber que a variação entre o valor da média obtida para cada
amostra e média populacional para as duas primeiras amostras é menor (−6 e
6, respectivamente) do que para as duas últimas (−22, 333 e 25, 667);
Se for tomada uma tolerância de ±10 a partir do valor da média amostral
calculado, apenas o intervalo estabelecido para as duas primeiras amostras
conteria a média populacional;
Para que todas as amostras contenham a média populacional, a tolerância que
deve ser assumido de ser de ±26;
O estudo de intervalos de confiança irá permitir definir quais os valores de
tolerância que podem ser utilizados para estabelecer estes intervalos para as
amostras.
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Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
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Definição
A estimativa pontual não fornece por si só qualquer valor sobre o grau de
precisão e confiabilidade da estimativa;
Um intervalo de confiança (abreviadamente IC) fornece um conjunto de
valores que podem ser considerados coerentes para o parâmetro em questão;
Um intervalo de confiança leva em consideração os seguintes fatores:
A estimativa pontual utilizada;
A margem de erro e, que é equivalente a tolerância, e está associada a
variabilidade das amostras e ao nível de confiança atribuído ao valor da
estimativa pontual;
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Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
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Nível de confiança
Cada amostra irá definir valores de estimativa pontual distintos, fazendo com
que os intervalos de confiança também variem;
Nem todos os intervalos construídos incluirão o parâmetro, apenas uma
parceladeles. Ou seja, nunca é possível definir com 100% de precisão que o
parâmetro estará no intervalo de confiança especificado.
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Nível de confiança
Denomina-se de nível de confiança o grau de confiança de que o intervalo
contenha o valor real do parâmetro;
Interpretação do nível de confiança: se forem feitas amostragens um número
muito grande de vezes, a probabilidade dos intervalos construídos incluírem o
parâmetro em questão pode ser definida;
Cada nível de confiança estabelece limites inferiores e superiores diferentes
para o intervalo de uma mesma amostra;
Notação: Para um intervalo com nível de confiança (1− α) ∗ 100%, tem-se
que:
O valor 1− α é denominado coeficiente de confiança;
O valor de α é chamado de nível de significância;
Como exemplo, para um intervalo com 95% de confiança, tem-se que:
Coeficiente de confiança 1− α = 0, 95;
Nível de significância α = 0, 05.
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Definição
Para cada amostra, irá ser definido um valor um limite superior e inferior para
o intervalo de confiança associado. Estes serão denominados por l e u,
respectivamente;
O objetivo, então, é definir os valores de l e u para que o nível de confiança
de que o intervalo definido para a amostra inclui o parâmetro seja igual a um
valor desejado (entre 0 e 1);
Geralmente os intervalos de confiança definidos são simétricos em relação a
estimação pontual. Ou seja, serão compostos pelo estimativa pontual a mais
ou menos da margem de erro.
Então, definir os limites l e u do intervalo torna-se equivalente a definir a
margem de erro e para o intervalo.
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Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 15 / 74
Motivação
Um dos parâmetros mais importantes a ser estimado é a media populacional
µ;
Foi visto que para se definir um intervalo de confiança adequado ao nível de
confiança desejado, é necessário definir os limites inferior l e superior u do
intervalo;
Geralmente deseja-se definir um intervalo cuja nível de confiança do
verdadeiro valor do parâmetro estar contido nele seja alta (igual ao
coeficiente de confiança 1− α desejado);
Matematicamente, tem-se que:
P(µ ∈ IC(µ, 1− α)) = P(l ≤ µ ≤ u) = 1− α
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Motivação
Foi visto que a média amostral X n possui relação com a média populacional
µ dada por:
X n ∼ N
(
µ,
σ2
n
)
Se a população for normal, esta relação é válida para qualquer de n;
Se a população não for normal, esta relação é válida apenas se n for
suficientemente grande (de acordo com o Teorema do Limite Central);
Utilizando o valor da média amostral como estimativa pontual e sabendo que
a distribuição da média amostral é simétrica, busca-se determinar o valor da
margem de erro e tal que:
P(|X n − µ| ≤ e) = 1− α
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Interpretação
Para um intervalo de confiança de (1− α) ∗ 100% da média populacional µ,
tomada a média amostral X n, o intervalo [l ; u] é tal que:
xl u
1-α
Consequentemente:
xl u
α
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Interpretação
Como cada parcela mostrada possui área igual, então:
xl u
α_
2
α_
2
Portanto, P(X < l) = α2 e P(X > u) = 1− P(X < u) =
α
2 ou:
P(X < l) = α2 ;
P(X < u) = 1− α2 .
Portanto, l será igual ao α2−percentil, e u será o
(
1− α2
)
−percentil.
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Interpretação
Como se trata de um variável normal padrão, a média amostral X pode ser
associada a uma variável aleatória Z padrão, através da seguinte fórmula:
Z = X − µ(
σ√n
)
O problema agora pode ser visto como:
P(X < zl) =
α
2 ;
P(X < zu) = 1− α2 .
Através da tabela, é possível afirmar que zl = zα2 e zu = z1−α2 ;
De acordo com uma propriedade da distribuição padrão, zα
2
= −z1−α2 ; Logo,
zl = −z1−α2 .
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Interpretação
Desta forma, pode-se afirmar que P(−z1−α2 ≤ Z ≤ z1−α2 ) = 1− α;
Como Z = X − µ(
σ√n
) , então P
−z1−α2 ≤ X − µ( σ√n) ≤ z1−α2
 = 1− α;
Desenvolvendo apenas o intervalo, tem-se que:
− z1−α2 ≤
X − µ(
σ√n
) ≤ z1−α2 → −z1−α2 ( σ√n
)
≤ X − µ ≤ z1−α2
(
σ√n
)
→
− X − z1−α2
(
σ√n
)
≤ −µ ≤ −X + z1−α2
(
σ√n
)
→
X + z1−α2
(
σ√n
)
≥ µ ≥ X − z1−α2
(
σ√n
)
→
X − z1−α2
(
σ√n
)
≤ µ ≤ X + z1−α2
(
σ√n
)
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Interpretação
Logo, P
(
X − z1−α2
(
σ√n
)
≤ µ ≤ X + z1−α2
(
σ√n
))
= 1− α. Isto
significa que
l = X − z1−α2
(
σ√n
)
;
u = X + z1−α2
(
σ√n
)
;
O intervalo desejado é
[
X − z1−α2
(
σ2
n
)
;X + z1−α2
(
σ√n
)]
, e a margem
de erro é dada por e = z1−α2
(
σ√n
)
.
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Definição do valor crítico
Como o valor crítico está estritamente associado ao níveis de confiança desejado
para o intervalo, então eles podem ser definidos a priori, como mostrado abaixo:
nível de confiança coeficiente de confiança valor crítico z1−α2
80% 0, 8 1, 28
90% 0, 9 1, 645
95% 0, 95 1, 96
98% 0, 98 2, 33
99% 0, 99 2, 58
99, 8% 0, 998 3, 08
99, 9% 0, 999 3, 27
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Metodologia
Então, quando for necessário definir um intervalo para o valor da média
populacional µ a partir da média amostral X n com nível de confiança de
(1− α) ∗ 100%, segue-se as seguintes etapas:
Define-se os valores do coeficiente de confiança 1− α e do nível de
significância α;
Define-se o valor de 1− α2 ;
Calcula-se o valor crítico z1−α2 , para o qual Φ(z1−α2 ) = 1−
α
2 ;
Calcula-se os limites inferior l e inferior u através das seguinte fórmulas:
l = X n − z1−α2
(
σ√n
)
;
u = X n + z1−α2
(
σ√n
)
;
O intervalo de confiança será dado por [l ; u], e a margem de erro será
e = z1−α2
(
σ√n
)
.
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Exemplo
Assuma que a porosidade do hélio (em porcentagem) das amostras de carvão
tiradas de qualquer junta específica seja normalmente distribuída com desvio
padrão de 0, 75. Determine:
1 O intervalo de confiança de 95% da porosidade média real de uma junta,
caso a porosidade média de 20 da seus espécimes seja 4, 85;
2 O intervalo de confiança de 95% da porosidade média real de uma junta,
caso a porosidade média de 16 da seus espécimes seja 4, 85;
3 O intervalo de confiança de 98% da porosidade média real de uma junta,
caso a porosidade média de 20 da seus espécimes seja 4, 85.
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Exemplo
Primeira questão:
A variável aleatória associada a população é X = { Porosidade do hélio de
uma junta específica }, onde se conheceo desvio-padrão da população, 0, 75;
Foram obtidas 20 amostras cuja média amostral é de 4, 85;
Deseja-se definir o intervalo de confiança de 95% para a média populacional,
ou seja, IC(µ, 0, 95);
De acordo com a definição do intervalo de confiança para este caso, tem-se
que:
IC(µ, 0, 95) = X n ± zα2
(
σ√n
)
= 4, 85± z 0,05
2
(
0, 75√
20
)
= 4, 85± z0,025
(
0, 75√
20
)
= 4, 85± 1, 96
(
0, 75√
20
)
= 4, 85± 0, 3287 = (4, 5213; 5, 1787)
Logo, o intervalo de confiança IC(µ, 0, 95) obtido é dado por
[4, 5213; 5, 1787].
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Exemplo
Segunda questão:
Foram obtidas 16 amostras cuja média amostral é de 4, 85;
Deseja-se definir o intervalo de confiança de 95% para a média populacional,
ou seja, IC(µ, 0, 95);
De acordo com a definição do intervalo de confiança para este caso, tem-se
que:
IC(µ, 0, 95) = X n ± zα2
(
σ√n
)
= 4, 85± z 0,05
2
(
0, 75√
16
)
= 4, 85± z0,025
(
0, 75
4
)
= 4, 85± 1, 96
(
0, 75
4
)
= 4, 85± 0, 3675 = (4, 4825; 5, 2175)
Logo, o intervalo de confiança IC(µ, 0, 95) obtido é dado por
[4, 4825; 5, 2175].
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 27 / 74
Exemplo
Terceira questão:
Foram obtidas 20 amostras cuja média amostral é de 4, 85;
Deseja-se definir o intervalo de confiança de 98% para a média populacional,
ou seja, IC(µ, 0, 98);
De acordo com a definição do intervalo de confiança para este caso, tem-se
que:
IC(µ, 0, 98) = X n ± zα2
(
σ√n
)
= 4, 85± z 0,02
2
(
0, 75√
20
)
= 4, 85± z0,01
(
0, 75√
20
)
= 4, 85± 2, 33
(
0, 75√
20
)
= 4, 85± 0, 3907 = (4, 4593; 5, 2407)
Logo, o intervalo de confiança IC(µ, 0, 98) obtido é dado por
[4, 4593; 5, 2407].
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Exemplo
De acordo com o exemplo, é possível concluir:
Quanto maior o tamanho da amostra, menor a amplitude do intervalo de
confiança;
Quanto maior o nível de confiança, maior é a amplitude do intervalo de
confiança.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 29 / 74
Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 30 / 74
Metodologia
Foi visto um método para estimar a média populacional a partir da média
amostral;
Neste método, é possível perceber que existem quatro variáveis necessárias
para definir os valores do intervalo de confiança:
z1−α2 , que pode ser obtido por tabela, a partir da equação P(z1−α2 ) =
α
2 . O
valor de α é definido a partir do nível de confiança desejado;
Uma estimativa pontual xn da média amostral X n
n, tamanho da amostra, que é fornecido para a média amostral;
σ, o desvio-padrão populacional;
Em quase todos os problemas reais, o valor de σ (ou de σ2, a variância
populacional é desconhecido;
Isto implica que o método desenvolvido não é aplicável na maioria dos casos.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 31 / 74
Motivação
Sabe-se que a média amostral X n possui relação com a média populacional µ
dada por:
X n ∼ N
(
µ,
σ2
n
)
Como o valor do desvio-padrão populacional é desconhecido, necessita-se
utilizar um valor relacionado; geralmente uma estimativa pontual do
desvio-padrão;
Uma estimativa pontual frequentemente utilizada para o desvio-padrão
populacional é o desvio-padrão amostral, denominado S e dado por:
S =
√∑n
i=1(Xi − X )
n − 1 (1)
Então, a média amostral X n possui relação com a média populacional µ dada
por:
X n ∼ N
(
µ,
S2
n
)
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 32 / 74
Motivação
Esta interpretação terá impacto direto na definição da variável equivalente Z ,
que passaria a ser escrita como:
Z = X − µ( S√n
)
O problema agora é que variável Z passa a depender de duas estimativas, a
de X e a de S, e não mais de uma, como visto;
Existem dois casos que precisam ser considerados, neste caso:
Quando o número de amostras n é grande;
Quando o número de amostras n é pequeno.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 33 / 74
Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 34 / 74
Definição
No caso em que o número de amostras é grande, o uso do desvio-padrão
amostral S apresenta pouca variabilidade com relação ao desvio-padrão
populacional σ;
Isto significa que s ≈ σ;
Desta forma, a distribuição Z pode ser definida como uma variável aleatória
com distribuição normal padrão, ou seja:
Z = X − µ( S√n
) ∼ N(0, 1)
A metodologia para determinar o Intervalo de Confiança, neste caso, é
semelhante ao viso para a média populacional com desvio-padrão
populacional conhecido, substituindo o valor de σ pelo valor do desvio-padrão
amostral s.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 35 / 74
Metodologia
Então, quando for necessário definir um intervalo para o valor da média
populacional µ a partir da média amostral X n com nível de confiança de
(1− α) ∗ 100% e número de amostras n suficientemente grande, onde é possível
definir apenas o desvio-padrão amostral s (o desvio-padrão populacional σ é
desconhecido), segue-se as seguintes etapas:
Define-se os valores do coeficiente de confiança 1− α e do nível de
significância α;
Define-se o valor de 1− α2 ;
Calcula-se o valor crítico z1−α2 , para o qual Φ(z1−α2 ) = 1−
α
2 ;
Calcula-se os limites inferior l e inferior u através das seguinte fórmulas:
l = X n − z1−α2
(
s√n
)
;
u = X n + z1−α2
(
s√n
)
;
O intervalo de confiança será dado por [l ; u], e a margem de erro será
e = z1−α2
(
s√n
)
.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 36 / 74
Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 37 / 74
Definição
No caso em que o número de amostras é pequeno, o uso da variância
amostral S apresenta variabilidade significativa com relação ao desvio-padrão
populacional σ;
Isto significa que s é muito diferente de σ, fazendo com que o desvio-padrão
amostral tenha que ser considerado uma variável aleatória dentro da definição
da variávelZ :
Z = X − µ( S√n
) � N(0, 1)
Neste caso, a distribuição de Z não será mais uma distribuição normal
padrão, mas ou outro tipo de distribuição.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 38 / 74
Definição
O teorema abaixo define a distribuição da variável Z :
Definição
Se X é a média amostral aleatória de tamanho n de uma distribuição normal com
média µ, a variável aleatória T , dada por:
T = X − µ( S√n
)
Possui uma distribuição denominada t de Student com n − 1 graus de liberdade.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 39 / 74
Definição
A distribuição t de Student (também conhecida apenas como distribuição
“t”) depende de um parâmetro chamado graus de liberdade (cujo valor será
denominado por gl);
Para o caso da estimação da media populacional, este parâmetro é o número
de observações n que variam livremente uma vez que a média amostral for
calculada:
gl = n − 1
Cada curva da distribuição t possui formato de sino e está centrada em zero;
Toda curva t é mais dispersa que a curva normal padronizada, ou seja, possui
caudas mais distantes de zero (mais “pesadas”);
A medida que gl aumenta, a dispersão da curva t correspondente diminui;
A medida que gl →∞, a sequência das curvas t se aproxima da curva normal
padronizada (de modo que a distribuição normal padrão é um caso particular
da distribuição t com gl =∞).
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 40 / 74
Função densidade de probabilidade da distribuição t de
Student
Definição
A função densidade de probabilidade de uma distribuição t de Student com ν
graus de liberdade t(x , ν) é definida como:
f (x) = t(x , v) =
Γ
(
ν−1
2
)
√
νpiΓ
(
ν−1
2
) (1 + x2
ν
)−( ν−12 )
Onde Γ(z) é a função Gama, dada por:
Γ(z) =
∫ ∞
0
tz−1e−tdz
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 41 / 74
Função densidade de probabilidade da distribuição t de
Student
Disposição gráfica (o valor de ν é o número de graus de liberdade):
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 42 / 74
Média e variância da distribuição t de Student
Definição
Dada uma variável aleatória X que possui distribuição t de Student com ν graus
de liberdade, ou seja, X ∼ t(x , ν), o valor esperado da variável X , E (X ), é dada
por:
E (X ) =
{
0, para ν > 1;
indefinido, caso contrário .
E a variância da variável X , V (X ), é dada por:
V (X ) =

ν
ν − 2 , para ν > 2;
∞, para 1 < ν ≤ 2;
indefinido, caso contrário .
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 43 / 74
Distribuição t de Student
Valores tabelados:
A distribuição t de Student possui valores tabelados, como a distribuição
Normal padrão. No entanto, a leitura da tabela é feita de forma diferente;
Na tabela de uma distribuição t de Student, o que se deseja procurar é o
valor crítico associado aos graus de liberdade e ao valor de α2 associado;
Então, para definir o valor de tα
2 ,gl , tem-se que:
Nas linhas, são listados os valores de graus de liberdade gl ;
Nas colunas, os valores para o qual P(T ≥ tα
2 ,gl) =
α
2 (ou seja, os valores a
probabilidade da variável associada T estar acima de α2 );
O valor da célula correspondente é o valor de tα
2 ,gl .
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 44 / 74
Distribuição t de Student
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 45 / 74
Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 46 / 74
Definição do intervalo de confiança
O raciocínio para estimar os intervalos utilizando a distribuição t é idêntico
ao utilizado para a distribuição normal padrão;
A única diferença é que, ao invés de utilizar como valor crítico z1−α2 , será
utilizado tα
2 ,n−1 (o valor para a distribuição t com n − 1 graus de liberdade,
onde P(T ≥ tα
2 ,n−1) =
α
2 );
Desta forma, pode-se afirmar que P(−tα
2 ,n−1 ≤ T ≤ tα2 ,n−1) = 1− α;
Como T = X − µ(
S√n
) , então P
−tα
2 ,n−1 ≤
X − µ(
S√n
) ≤ tα
2 ,n−1
 = 1− α;
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 47 / 74
Definição do intervalo de confiança
Desenvolvendo apenas o intervalo, tem-se que:
− tα
2 ,n−1 ≤
X − µ(
S√n
) ≤ tα
2 ,n−1 →
− tα
2 ,n−1
(
S√n
)
≤ X − µ ≤ tα
2 ,n−1
(
S√n
)
→
− X − tα
2 ,n−1
(
S√n
)
≤ −µ ≤ −X + tα
2 ,n−1
(
S√n
)
→
X + tα
2 ,n−1
(
S√n
)
≥ µ ≥ X − tα
2 ,n−1
(
S√n
)
→
X − tα
2 ,n−1
(
S√n
)
≤ µ ≤ X + tα
2 ,n−1
(
S√n
)
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 48 / 74
Interpretação
Logo, P
(
X − tα
2 ,n−1
(
S√n
)
≤ µ ≤ X + tα
2 ,n−1
(
S√n
))
= 1− α. Isto
significa que
l = X − tα
2 ,n−1
(
S√n
)
;
u = X + tα
2 ,n−1
(
S√n
)
;
O intervalo desejado é
[
X − tα
2 ,n−1
(
S√n
)
;X + tα
2 ,n−1
(
S√n
)]
, e a
margem de erro é dada por e = tα
2 ,n−1
(
S√n
)
.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 49 / 74
Metodologia
Então, quando for necessário definir um intervalo para o valor da média
populacional µ a partir da média amostral X n com nível de confiança de
(1− α) ∗ 100%, segue-se as seguintes etapas:
Define-se os valores do coeficiente de confiança 1− α e do nível de
significância α;
Define-se o valores de α2 e n − 1 (graus de liberdade);
Calcula-se o valor crítico tα
2 ,n−1, para o qual P(T ≥ tα2 ,n−1) =
α
2 ;
Calcula-se os limites inferior l e inferior u através das seguinte fórmulas:
l = X n − tα2 ,n−1
(
S√n
)
;
u = X n + tα2 ,n−1
(
S√n
)
;
O intervalo de confiança será dado por [l ; u], e a margem de erro será
e = tα
2 ,n−1
(
S√n
)
.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 50 / 74
Exemplo
Uma amostra aleatória tem média amostral X n = 50 e desvio-padrão amostral
S = 8. Construa o intervalo de confiança de 95% para a média populacional µ:
1 Com o número de amostras é n = 15.
2 Com o número de amostras é n = 51.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 51 / 74
Exemplo
Primeira questão:
Como não conhecemos o desvio-padrão populacional σ, este é estimado pelo
desvio-padrão da amostra S. Como o tamanho da amostra n é pequena
(n = 15 < 30), utiliza-se o seguinte intervalo de confiança:
P(µ ∈ IC(µ, 1− α)) = X ± tα
2 ,n−1
(
S√n
)
O número de graus de liberdade é gl = n− 1 = 15− 1 = 14, então da tabela
(ver página a seguir), t0,025,14 = 2, 145;
O intervalo de confiança será dado por:
IC(µ, 0, 95) = X 15 ± t0,025,14 S√n = 50± 2, 145 ∗
8√
15
≈ 50± 4, 4307 = [45, 5963; 54, 4307]
Logo, o intervalo de confiança de interesse é [46, 568; 53, 432];
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 52 / 74
Exemplo
Segunda questão:
Como não conhecemos o desvio-padrão populacional σ, este é estimado pelo
desvio-padrão da amostra S. Como o tamanho da amostra é grande
(n = 51 ≥ 30), utiliza-se o seguinte intervalo de confiança:
P(µ ∈ IC(µ, 1−α)) = X ± z1−α2
(
S√n
)
De acordo com a tabela, z1−α2 = z0,975 ≈ 1, 96
O intervalo de confiança será dado por:
IC(µ, 0, 95) = X 51 ± z0,975 S√n = 50± 1, 96 ∗
8√
51
≈ 50± 2, 1956 = [47, 8044; 52, 1956]
Logo, o intervalo de confiança de interesse é [47, 8044; 52, 1956];
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 53 / 74
Exemplo
Uma forma alterativa é utilizar a definição do intervalo por meio da
distribuição t de Student, da seguinte forma:
P(µ ∈ IC(µ, 1− α)) = X ± tα
2 ,n−1
(
S√n
)
O número de graus de liberdade é gl = n− 1 = 51− 1 = 50, então da tabela
(ver página a seguir), t0,025,50 = 2, 009;
O intervalo de confiança será dado por:
IC(µ, 0, 95) = X 51 ± t0,025,50 S√n = 50± 2, 009 ∗
8√
51
= 50± 2, 009 ∗ 8√
51
= 50± 2, 2505
= [47, 7495; 52, 2505]
Logo, o intervalo de confiança de interesse é [47, 7495; 52, 2505];
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 54 / 74
Exemplo
Como é possível perceber, para n = 51, o Intervalo de Confiança obtido pela
distribuição normal padrão difere do intervalo obtido pela distribuição t de
Student por 0, 1098 (0, 0549 para o limite superior e 0, 0549 para o limite
superior direito);
Logo, para o caso em que se deseja um Intervalo de Confiança o
desvio-padrão populacional desconhecido e número de amostras grandes, as
duas técnicas podem ser utilizadas.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 55 / 74
Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional
4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 56 / 74
Motivação
Assim como foi fito para a média populacional, é possível definir um intervalo
de confiança para a proporção populacional, denominado por p;
Uma estimativa de intervalo para a proporção populacional (p) pode ser
calculada ao adicionamos uma quantidade de incerteza à proporção amostral
(pˆ);
Foi visto que, para amostras significativamente grandes ou oriundas de um
população normal, a proporção amostral pˆ possui distribuição normal, com
média p e variância p(1− p)n . Ou seja:
pˆ ∼ N
(
p, p(1− p)n
)
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 57 / 74
Definição do intervalo de confiança
O raciocínio para estimar intervalos para a proporção populacional será
semelhante ao que tem sido adotado para a média amostral, assumindo a
média como p e o desvio-padrão como σ =
√
p(1− p)
n (que são valores
desconhecidos);
Desta forma, pode-se afirmar que P(−z1−α2 ≤ pˆ ≤ z1−α2 ) = 1− α;
Como Zpˆ =
pˆ − p√
p(1− p)
n
, então P
−z1−α2 ≤ pˆ − p√ p(1−p)
n
≤ z1−α2
 = 1− α;
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 58 / 74
Definição do intervalo de confiança
Desenvolvendo apenas o intervalo, os seus limites inferior l e superior u são:
l =
pˆ +
z21−α2
2n − z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n +
z21−α2
4n2
1+
z21−α2
2n
u =
pˆ +
z21−α2
2n + z1−
α
2
√
pˆ(1− pˆ)
n +
z21−α2
4n2
1+
z21−α2
2n
;
Considerando o fato de lidar-se com amostras grandes,
z21−α2
2n é desprezível
comparado a pˆ,
z21−α2
4n2 é desprezível com relação a
√
pˆ(1− pˆ)
n e
z21−α2
n é
desprezível comparado a 1;
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 59 / 74
Interpretação
Logo, desconsiderando os termos desprezíveis, os intervalos passam a ser:
l = pˆ − z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n
u = pˆ + z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n ;
Isto implica em
P
(
pˆ − z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n ≤ p ≤ pˆ + z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n
)
= 1− α;
O intervalo desejado é
[
pˆ − z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n ; pˆ + z1−
α
2
√
pˆ(1− pˆ)
n
]
, e a
margem de erro é dada por e = z1−α2
√
pˆ(1− pˆ)
n .
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 60 / 74
Interpretação
Uma outra forma de ver a definição de intervalo é assumindo o desvio-padrão
a estimativa pontual do desvio-padrão amostral S, dada como
S =
√
pˆ(1− pˆ)
n ;
A estimativa do desvio-padrão, usando uma amostra é conhecida também
como erro-padrão;
Isto é possível porque assume-se que o número de amostras é grande ou a
população é conhecida por ter distribuição normal;
Desta forma, a distribuição da proporção amostral será normal com média pˆ
e desvio-padrão
√
pˆ(1− pˆ)
n ;
Consequentemente, o Intervalo de Confiança é tal que
P
−z1−α2 ≤ pˆ − p√ pˆ(1−pˆ)
n
≤ z1−α2
 = 1− α;
Fazendo desenvolvimento semelhante ao feito para a média amostral, o
intervalo obtido será igual ao intervalo obtido anteriormente.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 61 / 74
Metodologia
Então, quando for necessário definir um intervalo para a proporção populacional p
a partir da proporção amostral pˆn com nível de confiança de (1− α) ∗ 100%,
segue-se as seguintes etapas:
Define-se os valores do coeficiente de confiança 1− α e do nível de
significância α;
Calcula-se o valor de 1− α2 ;
Calcula-se o valor crítico z1−α2 , para o qual P(Z > z1−α2 ) = 1−
α
2 ;
Calcula-se os limites inferior l e inferior u através das seguinte fórmulas:
l = pˆn − z1−α2
√
pˆn(1− pˆn)
n ;
u = pˆn + z1−α2
√
pˆn(1− pˆn)
n ;
O intervalo de confiança será dado por [l ; u], e a margem de erro será
e = z1−α2
√
pˆn(1− pˆn)
n .
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 62 / 74
Exemplo
Em uma amostra aleatória de 100 pessoas, 25 se declararam canhotos. Construa
um intervalo de confiança de 95% para a real proporção de pessoas que são
canhotas na população.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 63 / 74
Exemplo
Assume-se como evento da população a variável aleatória X ={ Uma pessoa
ser canhota };
Seja a proporção p = { Real proporção de canhotos na população };
Deseja-se definir o intervalo de confiança IC para a proporção populacional p
com nível de confiança de 95%, ou seja, IC(pˆ, 0, 95). Este intervalo pode ser
definido como:
IC(p, 0, 95) = pˆ ± z1− 0,052
√
pˆ(1− pˆ)
n
Sabe-se que n = 100, a proporção amostral pˆ = 25100 = 0, 25 e que
z1− 0,052 = z0,975 = 1, 96. Logo:
IC(p, 0, 95) = pˆ ± z1− 0,952
√
pˆ(1− pˆ)
n = 0, 25± z0,975
√
0, 25(1− 0, 25)
100
= 0, 25± 1, 96
√
0, 25(0, 75)
10 = 0, 25± 1, 96
√
0, 1875
10
≈ 0, 25± 1, 96
(
0, 4330
10
)
= 0, 25± 1, 96(0, 04330)
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 64 / 74
Exemplo
Consequentemente:
IC(p, 0, 95) = 0, 25± 1, 96(0, 04330)
≈ 0, 25± 0, 0849 = [0, 1651; 0, 3349]
Portanto, o intervalo de confiança definido para este caso é [0, 1651; 0, 3349].
Interpretação do resultado:
Tem-se 95% de certeza de que o verdadeiro percentual de canhotos na
população está entre 16.51% e 33.49%;
Apesar de o intervalo de 0, 1651 a 0, 3349 poder ou não conter a verdadeira
proporção, 95% dos intervalos formados com amostras de tamanho 100 desta
maneira conterão a verdadeira proporção de canhotos na população.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 65 / 74
Sumario
1 Estimativa pontual
2 Intervalo de confiança
Nível de confiança
3 Intervalo de Confiança para a média populacional4 Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional
desconhecido
Caso em que o número de amostras é grande
Caso em que o número de amostras é pequeno
Distribuição t de Student
Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
5 Intervalo de Confiança para a proporção populacional
6 Definição do tamanho mínimo da amostra
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 66 / 74
Motivação
Até agora foi visto como definir um intervalo de confiança a partir de dados
obtidos da da amostra;
Como as estimativas pontuais eram feitas sobre distribuição de probabilidade
simétricos, o problema de definir um intervalo de confiança é equivalente a
definir a margem de erro e para o intervalo de confiança;
O objetivo é definir um valor mínimo para o número de amostras que seja
suficiente para que a margem de erro tenha um valor e definido;
Neste caso, assume-se que o tamanho da amostra seja grande o suficiente
para que a distribuição do estimador pontual seja aproximada por uma
distribuição normal.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 67 / 74
Definição
Para tanto serão utilizadas definições da margem de erro para três casos
relatados:
Estimação da média populacional µ a partir da média amostral X , com
desvio-padrão σ conhecido:
e = z1−α2
(
σ√n
)
Estimação da média populacional µ a partir da média amostral X , com
desvio-padrão σ desconhecido (desvio-padrão S conhecido):
e = z1−α2
(
s√n
)
Estimação da proporção populacional p a partir da proporção amostral pˆ:
e = z1−α2
(√
pˆ(1− pˆ)
n
)
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 68 / 74
Definição
A número mínimo de amostras n será obtido isolando os valor de n. Desta
forma, obtém-se:
Estimação da média populacional µ a partir da média amostral X , com
desvio-padrão σ conhecido:
n =
z21−α2 σ
2
e2
Estimação da média populacional µ a partir da média amostral X , com
desvio-padrão σ desconhecido (desvio-padrão amostral S conhecido):
n =
z21−α2 s
2
e2
Estimação da proporção populacional p a partir da proporção amostral pˆ:
n =
z21−α2 pˆ(1− pˆ)
e2
Observação: Como o número mínimo de amostras é um valor inteiro então,
em caso de valores fracionados, toma-se o menor inteiro acima do valor
obtido (arredonda-se para cima).
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 69 / 74
Definição
Como é preciso levar em consideração os valores do desvio-padrão amostral S da
proporção amostral pˆ (que, a princípio, não são conhecidos), considera-se as
seguintes opções:
Para o desvio-padrão amostral S:
Utilizar um valor conhecido de experiências passadas. Equivale a estabelecer
um valor σ̂ que se espera ser ao menos tão grande quanto o verdadeiro valor
de σ;
Definição de uma amostra piloto para estimar σ com o desvio-padrão amostral
S;
Para a proporção amostral pˆ:
Definir uma amostra piloto para estimar p com a proporção amostral pˆ;
Utilizar p = 0, 5.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 70 / 74
Exemplo
Determine:
1 Se σ = 45, que tamanho de amostra é necessário para estimar a média com
90% confiança e margem de erro igual a 5?;
2 O quão grande deve ser a amostra para estimar a verdadeira proporção de
itens defeituosos em uma população grande com ±3% de margem de erro e
95% de confiança:
1 Assumindo que uma amostra piloto indicou pˆ = 0, 12;
2 Sem amostra piloto.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 71 / 74
Exemplo
Primeira questão:
Pede-se para definir o tamanho da amostra n para estimar a média com nível
de confiança de 90%, desvio-padrão σ = 45 e margem de erro e = 5. Logo:
n =
z21−α2 σ
2
e2 =
z21− 0,12 45
2
52
=
z20,952025
25 = 1, 645
2 ∗ 81
≈ 2, 7060 ∗ 81 = 219, 186 ≈ 220
Logo, o tamanho da amostra deve ser n = 220 (sempre deve-se arredondar para
cima).
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 72 / 74
Exemplo
Segunda questão, primeiro item:
Pede-se para definir o tamanho da amostra n para estimar a proporção com
nível de confiança de 95%, margem de erro e = 0, 03 e valor estimado de
proporção amostral pˆ = 0, 12. Logo:
n =
z21−α2 pˆ(1− pˆ)
e2 =
z21− 0,052 0, 12(1− 0, 12)
0, 032
=
z20,9750, 12(0, 88)
0, 0009 =
1, 962 ∗ 0, 1056
0, 0009
≈ 3, 8416 ∗ 117, 3333 = 450, 7476 ≈ 451
Logo, o tamanho da amostra deve ser n = 451.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 73 / 74
Exemplo
Segunda questão, segundo item:
Pede-se para definir o tamanho da amostra n para estimar a proporção com
nível de confiança de 95%, margem de erro e = 0, 03;
Como não é fornecido nenhum valor estimado de proporção amostral,
assume-se pˆ = 0, 5. Logo:
n =
z21−α2 pˆ(1− pˆ)
e2 =
z21− 0,052 0, 5(1− 0, 5)
0, 032
=
z20,9750, 5(0, 5)
0, 0009 =
1, 962 ∗ 0, 25
0, 0009
≈ 3, 8416 ∗ 277, 7778 = 1067, 1112 ≈ 1068
Logo, o tamanho da amostra deve ser n = 1068.
Sandro Bruno (UFRN) Intervalos de Confiança para uma amostra 27 de maio de 2015 74 / 74
	Estimativa pontual
	Intervalo de confiança
	Nível de confiança
	Intervalo de Confiança para a média populacional
	Intervalo de Confiança da média populacional com desvio-padrão populacional desconhecido
	Caso em que o número de amostras é grande
	Caso em que o número de amostras é pequeno
	Intervalo de Confiança com desvio-padrão populacional desconhecido
	Intervalo de Confiança para a proporção populacional
	Definição do tamanho mínimo da amostra