Aula 22. Transformacoes Lineares

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 22 - Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares Arbitra´rias
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 31
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
2. D. C. Lay. A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es. 2a ed. Rio de
Janeiro: LTC, 1999.
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Transformac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 1.1
Se T : V →W e´ uma func¸a˜o de um espac¸o vetorial V em um espac¸o
vetorial W , enta˜o T e´ chamada uma transformac¸a˜o linear de V em W
se, para quaisquer vetores
→
u e
→
v em V e qualquer escalar k valem
(a) T (
→
u +
→
v ) = T (
→
u) + T (
→
v )
(b) T (k
→
v ) = kT (
→
v )
Observac¸a˜o 1.1
No caso especial em que V = W , a transformac¸a˜o linear e´ chamada um
operador linear de V .
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.1
Seja T : R2 → R3 a func¸a˜o definida por
T (x1, x2) = (2x1, 0, x1 + x2).
Verifique se T e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Dados
→
u,
→
v∈ R2, onde →u= (u1, u2) e →v= (v1, v2), para que T seja
transformac¸a˜o linear, devemos mostrar que:
(a) T (
→
u +
→
v ) = T (
→
u) + T (
→
v )
T (
→
u +
→
v ) = T (u1 + v1, u2 + v2)
= (2(u1 + v1), 0, (u1 + v1) + (u2 + v2))
= (2
→
u1 + 2
→
v1, 0, u1 + u2 + v1 + v2)
= (2
→
u1, 0, u1 + u2) + (2
→
v1, 0,
→
v1 +
→
v2)
= T (
→
u) + T (
→
v )
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Transformac¸o˜es Lineares
Continuac¸a˜o:
(b) T (k
→
u) = kT (
→
u)
T (k
→
u) = T (2ku1, 0, ku1 + ku2)
= k(2u1, 0, u1 + u2)
= kT (
→
u)
De (a) e (b), conclu´ımos que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.2
Seja T : R→ R a func¸a˜o definida por T (x) = x2. Verifique se T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
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Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Dados x, y ∈ R, para que T seja transformac¸a˜o linear, devemos mostrar que:
(a) T (x+ y) = T (x) + T (y)
T (x+ y) = (x+ y)2
= x2 + 2xy + y2
= (x2) + (y2) + 2xy
= T (x) + T (y) + 2xy (1)
e
T (x) + T (y) = x2 + y2
Das equac¸o˜es (5) e (6), temos que T (
→
u +
→
v ) 6= T (→u) + T (→v ).
Como a alternativa (a) da definic¸a˜o na˜o e´ satisfeita, a func¸a˜o T
na˜o e´ transformac¸a˜o linear.
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.3
A aplicac¸a˜o T : V →W definida por T (→u) =→0 , para todo vetor →u∈ V e´
chamada transformac¸a˜o nula. Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Exerc´ıcio
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.4
A aplicac¸a˜o I : V → V definida por I(→u) =→u e´ chamada operador
identidade de V . Mostre que I e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Exerc´ıcio
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.5
A func¸a˜o T : V → V definida por T (→v ) = k →v e´ um operador linear de V
chamado homotetia de raza˜o k.
(a) Se k > 1, dizemos que T e´ uma dilatac¸a˜o de V de raza˜o k.
(b) Se 0 < k < 1, dizemos que T e´ uma contrac¸a˜o de V de
raza˜o k.
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Transformac¸o˜es Lineares
Propriedades das Transformac¸o˜es Lineares
Teorema 1.1
Se T : V →W e´ uma transformac¸a˜o linear, enta˜o:
(a) T (
→
0 ) =
→
0
(b) T (− →v ) = −T (→v ), para qualquer →v∈ V
(c) T (
→
u − →v ) = T (→u)− T (→v ), para quaisquer →u,→v∈ V
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Transformac¸o˜es Lineares
Observac¸a˜o 1.2
(a) Uma transformac¸a˜o linear T : V →W leva o vetor nulo de
V no vetor nulo de W , isto e´, T (
→
0 ) =
→
0∈W .
(b) Se T (
→
0 ) 6=→0 , enta˜o T na˜o e´ linear. Por exemplo,
T : R3 → R2, definida por T (x, y, z) = (x+ 1, y, z) na˜o e´
linear, pois T (
→
0 ) 6=→0 .
(c) Mas T (
→
0 ) =
→
0 na˜o e´ suficiente para garantir que T seja
transformac¸a˜o linear. Por exemplo, T : R→ R definida por
T (x) = x2 na˜o e´ linear e T (
→
0 ) =
→
0 .
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Transformac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 1.2
Se T : Rn → Rm e´ uma transformac¸a˜o linear e →e1,→e2, . . . , →en sa˜o os
vetores da base canoˆnica de Rn, enta˜o a matriz
A =
[
T (
→
e1) T (
→
e2) . . . T (
→
en)
]
,
cujas colunas sa˜o as imagens dos vetores da base canoˆnica e´ chamada
matriz canoˆnica de T .
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.6
Seja T : R4 → R3 uma transformac¸a˜o linear definida por
T (x1, x2, x3, x4) = (2x1−3x2+x3−5x4, 4x1+x2−2x3+x4, 5x1−x2+4x3).
Encontre a matriz canoˆnica de T .
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Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
As imagens de T para os vetores da base canoˆnica de R4 sa˜o:
T (1, 0, 0, 0) = (2, 4, 5)
T (0, 1, 0, 0) = (−3, 1,−1)
T (0, 0, 1, 0) = (1,−2, 4)
T (0, 0, 0, 1) = (−5, 1, 0)
Os vetores encontrados acima sa˜o as colunas da matriz A de tamanho
3× 4 associada a` transformac¸a˜o linear T , isto e´:
A =
2 −3 1 −54 1 −2 1
5 −1 4 0
 .
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Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares T : Rn → Rm
Teorema 1.2
Se T : Rn → Rm e´ uma transformac¸a˜o linear e B = {→e1,→e2, . . . , →en} e´ a
base canoˆnica de Rn, enta˜o para todo →x∈ Rn, temos que
T (
→
x) = A
→
x,
onde A e´ uma matriz m× n cuja j-e´sima coluna e´ o vetor T (→ej).
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Transformac¸o˜es Lineares
Demonstrac¸a˜o:
Seja B = {→e1,→e2, . . . , →en} a base canoˆnica de Rn. Para →x∈ Rn, se →x=

x1
x2
...
xn
,
enta˜o: →
x= x1
→
e1 +x2
→
e2 + . . . xn
→
en . (2)
Aplicando a transformac¸a˜o linear em ambos os membros da equac¸a˜o (2), temos:
T (
→
x) = T (x1
→
e1 +x2
→
e2 + . . . xn
→
en)
⇒ T (→x) = x1T (→e1) + x2T (→e2) + . . .+ xnT (→en)
⇒ T (→x) =
[
T (
→
e1) T (
→
e2) . . . T (
→
en)
]
x1
x2
...
xn

⇒ T (→x) = A →x
onde A =
[
T (
→
e1) T (
→
e2) . . . T (
→
en)
]
.
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Transformac¸o˜es Lineares
Observac¸a˜o 1.3
No Teorema 1.2, vimos que se T : Rn → Rm e´ uma transformac¸a˜o linear e
B = {→e1,→e2, . . . , →en} e´ a base canoˆnica de Rn podemos escrever
T (
→
x) = A
→
x,
onde A e´ uma matriz m× n cuja j-e´sima coluna e´ o vetor T (→ej). A matriz
A e´ chamada matriz canoˆnicada transformac¸a˜o linear T (definida na
Definic¸a˜o 1.2) e a transformac¸a˜o T e´ chamada multiplicac¸a˜o por A e
denotada por TA. Quando na˜o usarmos a notac¸a˜o TA deixaremos expl´ıcito
qual e´ a matriz canoˆnica associada a` transformac¸a˜o linear T .
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.7
Seja T : R4 → R3 a transformac¸a˜o linear cuja matriz canoˆnica e´
A =
2 −3 1 −54 1 −2 1
5 −1 4 0
 .
(Esta transformac¸a˜o tambe´m pode ser chamada de multiplicac¸a˜o por A).
Encontre a transformac¸ao linear T .
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Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Como T (
→
x) = A
→
x , temos que:
T


x1
x2
x3
x4

 =
2 −3 1 −54 1 −2 1
5 −1 4 0


x1
x2
x3
x4

=
2x1 − 3x2 + x3 − 5x44x1 + x2 − 2x3 + x4
5x1 − x2 + 4x3 + 0x4
 .
Escrevendo em outra notac¸a˜o, temos
T (x1, x2, x3, x4) = (2x1−3x2+x3−5x4, 4x1+x2−2x3+x4, 5x1−x2+4x3).
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Transformac¸o˜es Lineares
Transformac¸o˜es Lineares T : V →W
Transformac¸o˜es lineares sa˜o perfeitamente determinadas conhecendo-se
apenas seu valor nos elementos de uma base.
Teorema 1.3
Se V e W sa˜o espac¸os vetoriais e {→v1, →v2, . . . , →vn} uma base de V , enta˜o
para
→
v∈ V , temos que
→
v= k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kn
→
vn
e existe uma transformac¸a˜o linear T : V →W definida por
T (
→
v ) = k1T (
→
v1) + k2T (
→
v2) + . . .+ knT (
→
vn).
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.8
Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (1, 0) = (2,−1, 0)
e T (0, 1) = (0, 0, 1), sabendo que {(1, 0), (0, 1)} e´ uma base de R2.
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Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Como {(1, 0), (0, 1)} e´ uma base de R2, dado um vetor arbitra´rio →v= (x, y) em
R2, temos que
→
v= x(1, 0) + y(0, 1) (3)
Aplicando a transformac¸a˜o T em ambos os membros da equac¸a˜o (3), temos que:
T (
→
v ) = T (x(1, 0) + y(0, 1)) (4)
Como T e´ uma transformac¸a˜o linear, pela definic¸a˜o temos que
T (
→
u +
→
v ) = T (
→
u) + T (
→
v ) e T (k
→
v ) = kT (
→
v ). Logo, da equac¸a˜o (6), temos:
T (
→
v ) = T (x(1, 0) + y(0, 1))
= xT (1, 0) + yT (0, 1)
= x(2,−1, 0) + y(0, 0, 1)
= (2x,−x, y)
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.9
Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e
T (0,−2) = (0, 1, 0), sabendo que {(1, 1), (0,−2)} e´ uma base de R2.
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Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
Como {(1, 1), (0,−2)} e´ uma base de R2, dado um vetor arbitra´rio →v= (x, y) em
R2, escrevendo este vetor como combinac¸a˜o linear dos vetores da base, temos:
→
v= x(1, 1) +
x− y
2
(0,−2)⇒ (x, y) = x(1, 1) + x− y
2
(0,−2) (5)
Aplicando a transformac¸a˜o T em ambos os membros da equac¸a˜o (5), temos que:
T (x, y) = T (x(1, 1) +
x− y
2
(0,−2))
= xT (1, 1) +
x− y
2
T (0,−2)
= x(3, 2, 1) +
x− y
2
(0, 1, 0)
= (3x,
5x− y
2
, x)
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Transformac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 1.3
Se T1 : U → V e T2 : V →W sa˜o transformac¸o˜es lineares, enta˜o a
composic¸a˜o ou a composta de T2 com T1, denotada por T2 ◦ T1 e´ a
func¸a˜o (T2 ◦ T1) : U → V , definida por
(T2 ◦ T1)(→u) = T2(T1(→u))
onde
→
u e´ um vetor em U .
Teorema 1.4
Se T1 : U → V e T2 : V →W sa˜o transformac¸o˜es lineares, enta˜o
(T2 ◦ T1) : U →W tambe´m e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.10
Dadas as transformac¸o˜es lineares T1 : R3 → R3 e T2 : R2 → R3 definidas
por
T1(x, y, z) = (x, 2y, 0) e T2(x, y) = (2x,−x, y),
encontre, se for poss´ıvel, as transformac¸o˜es lineares:
(a) T1 ◦ T2.
(a) T2 ◦ T1.
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Transformac¸o˜es Lineares
Soluc¸a˜o:
(a) R2 T2→ R3 T1→ R3
Como a imagem de T2 esta´ contida no dom´ınio de T1 a
transformac¸a˜o composta (T1 ◦ T2) : R2 → R3 esta´ definida e
e´ dada por (T1 ◦ T2)(→v ) = T1(T2(→v )). Para →v= (x, y, z),
temos que (T1 ◦T2)(x, y, z) = T1(2x,−x, y) = (2x,−2x, 0).
(b) Na˜o e´ poss´ıvel definir T2 ◦ T1 pois a imagem de T1 na˜o esta´
contida no dom´ınio de T2.
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Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 1.11
Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 transformac¸o˜es lineares definidas por:
T1(x, y) = 2(x, y) e T2(x, y) = (x+ 2y, y).
Encontre a transformac¸a˜o linear composta T2 ◦ T1.
Soluc¸a˜o:
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Exerc´ıcios: Lista 6.1
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