Slides - Transformações lineares planas-2

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Aula 08
ÁLGEBRA LINEAR
Transformações lineares planas
Transformação linear
Muitos problemas de Matemática envolvem o estudo de 
transformações. 
Ou seja, a maneira como certos dados de entrada são 
transformados em dados de saída.
Você está bastante familiarizado com funções. Por 
exemplo: como funções reais de uma variável real, que 
têm por domínio e contradomínio o conjunto R dos 
números reais.
Transformação linear
Por exemplo: 
𝒇𝒇: 𝑹𝑹 → 𝑹𝑹
𝒙𝒙 → 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟑𝟑
Aqui temos uma função que transforma um número real 
x qualquer em outro número real, no caso, seu cubo.
Transformação linear
E uma transformação linear?
Uma transformação linear é um tipo particular de função 
entre dois espaços vetoriais que preserva as operações 
de adição vetorial e multiplicação por escalar.
Transformação linear
Agora vamos sistematizar um pouco:
Definição: Dados dois espaços vetoriais U e V, sendo V ≠ Ø , 
uma transformação T de U para V é uma lei que associa a 
todo vetor 𝑢𝑢 de U um único vetor em V, denotado por T(x). 
O vetor T(x) de V é chamado imagem de 𝑢𝑢 ∈ U pela 
transformação T.
Transformação linear
Sejam V e U espaços vetoriais, temos que 
uma função U: T → V é uma transformação linear se: 
a) T(𝑢𝑢 + �⃗�𝑣) = T(𝑢𝑢) + T(�⃗�𝑣) , ∀ 𝑢𝑢,�⃗�𝑣 ∈ U 
b) T (α𝒖𝒖) = αT(𝒖𝒖),∀ 𝒖𝒖 ∈ U, ∀α ∈ R
Transformação linear
Observações: 
1) Na transformação linear U: T → V , U é chamado 
espaço de saída e V é chamado espaço de chegada 
da transformação. 
2) A transformação linear U: T → V é também chamada 
de aplicação linear; ela preserva a adição de vetores e 
a multiplicação de um vetor por um escalar. 
3) A transformação linear U: T → U (isto é, V = U ) é 
chamada de operador linear.
Transformação linear
𝑻𝑻 𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝒙𝒙
T é transformação linear que irá levar vetor �⃗�𝑣 do espaço 
U para espaço V.
A é uma matriz de coeficientes constantes.
Exemplo
𝑻𝑻 𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎 −𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 =
𝒙𝒙𝟏𝟏
−𝒙𝒙𝟐𝟐
𝑢𝑢1 = 1,1 , 𝑢𝑢2 = 0,1 , 𝑢𝑢3 = 1,0 , 𝑢𝑢4 = −1,−1
𝑇𝑇(𝑢𝑢1) = 1,−1 , 𝑇𝑇(𝑢𝑢2) = 0,−1 , 𝑇𝑇 𝑢𝑢3 = 1,0 , 𝑇𝑇(𝑢𝑢4) = −1,1
Transformações lineares
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-2 -1 0 1 2
Original
Transformações lineares
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Transformada Série3
Transformações lineares
T : R2  R2
T(x,y) = (2x, 2y)
Triângulo ABC e vértices A (1,4), B( -1,0) e C (5,2)
TA = (2, 8)
TB = (-2, 0)
TC = (10, 4)
Transformações lineares
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Original Transformada
	Número do slide 1
	Transformação linear
	Transformação linear
	Transformação linear
	Transformação linear
	Transformação linear
	Transformação linear
	Transformação linear
	Exemplo
	Transformações lineares
	Transformações lineares
	Transformações lineares
	Transformações lineares