Capítulo_9_-_Função_Exponencia

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Capítulo 9 Função Exponencial 
Tópicos de Matemática Aplicados a Farmácia Jhoab Negreiros 
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CAPÍTULO 9 
Função Exponencial 
 
 
 
9.1 Potência de Expoente Natural 
 
Sendo dados um número real a e um número natural n , com 2n ≥ , chama-se potência de 
base a e expoente n o número na que é o produto de n fatores iguais a a . Para 1n = , como 
não há produto de um só fator, põe-se 1a a= . Logo, para quaisquer �, � ∈ ℕ tem-se 
.
m n m n
a a a
+
= , 
pois em ambos os membros desta igualdade temos o produto de m n+ fatores iguais a a . 
 
9.2 Potência de Expoente Inteiro 
 
Procuramos agora atribuir um significado à potência na , quando � ∈ ℤ, que é um número 
inteiro, que pode ser positivo, negativo ou zero. Isto deve ser feito de modo que seja mantida a 
regra fundamental: .m n m na a a += . 
� Primeiro lugar, qual deve ser o valor de 0a ? 
1 1 0 1 0 0
. . .1a a a a a a a a a+= = = = = = 
� Em seguida, dado qualquer � ∈ ℤ, devemos ter: 
0
. 1n n n na a a a− − += = = 
1n
n
a
a
−
= 
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Exemplo 1. Mostre que ( ) .nm m na a= : 
( ) .
n vezes
n
m m m m m m m m n
n vezes
a a a a a a+ + += × × × = =
6447448
K
K1442443 
 
9.3 Potência de Expoente Racional 
 
Prosseguindo, vejamos que sentido pode ser dado à potência ra quando r m n= é um 
número racional (onde � ∈ � e � ∈ �∗), de modo que continue válida a regra .r s r sa a a += . Desta 
igualdade resulta que se deve ter, para r m n= . 
( ) .
n vezes
n
r r r r r r r r n m
n vezes
a a a a a a a+ + += × × × = = =
64748
K
K1442443 . 
 
Portanto, ra é o número real positivo cuja n-ésima potência é igual a ma . Por definição de 
raiz, este número é n ma , a raiz n-ésima de ma . Assim, a única maneira de definir a potência ra , 
com r m n= , consiste em pôr. 
nm n ma a= . 
 
9.4 A Função Exponencial 
 
Seja a um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1. A função 
exponencial de base a , �:
 → 
�
∗ , é indicada pela notação ( ) xf x a= . 
 
Exemplo 2. Observe o gráfico da função 2xy = . 
 
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3
Exemplo 3. Observe o gráfico da função 
1
2
x
y  =  
 
. 
 
 
9.5 Propriedades da Função Exponencial 
 
Em qualquer função exponencial 0(0) 1f a= = , ou seja, o par ordenado (0,1) satisfaz a 
todas as funções do tipo ( ) xf x a= . Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial 
corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1. 
� Quando 1a > , então a função ( ) xf x a= é crescente. Portanto, dados dois números reais 
1 2x x< temos 
1 2x xa a< ; 
� Se 0 1a< < , então a função ( ) xf x a= é decrescente. Portanto, dados dois números 
reais 1 2x x< temos 
1 2x xa a> . 
 
Exemplo 4. Observe os gráficos do exemplo 2 e do exemplo 3, e note que o valor de a no primeiro 
é igual a 2 e no segundo vale 0,5 e temos respectivamente uma função crescente e decrescente. 
 
Observe que pela própria definição temos que para todo x real, a função ( ) 0xf x a= > , portanto, o 
gráfico da função exponencial está sempre acima do eixo dos x. 
 
� Se 1a > , então xa aproxima-se de zero, quando x assume valores negativos cada vez 
menores, ou seja, quando x tende para menos infinito.(Indica-se por: x → −∞ ); 
� Se 0 1a< < , então xa aproxima-se de zero, quando x assume valores positivos cada vez 
maiores, logo temos x tendendo para mais infinito. (Indica-se por: x → +∞ ). 
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Exemplo 5. Observe novamente os gráficos do exemplo 2 e do exemplo 3, e note no primeiro, que 
quando x tende para menos infinito o valor da função tende para zero, e no segundo isto ocorre 
quando x tende para mais infinito. 
 
9.6 Equações Exponenciais 
 
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos 
uma potência. Um método usado para resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos 
os membros da equação a potências de mesma base. 
 
Exemplo 6. Resolvamos a equação 2 16x = : 
42 16 2 4x x= = ⇒ = . 
Logo, o conjunto solução é {4}S = . 
 
9.7 Inequações Exponenciais 
 
Uma inequação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo 
menos uma potência. Um método usado para resolver inequações exponenciais consiste em reduzir 
ambos os membros da inequação a potências de mesma base. 
 
Exemplo 7. Resolvamos a inequação: 3 81x > . 
43 81 3 4x x> = ⇒ > 
Logo, o conjunto solução é 
 = {� ∈ ℝ|� > 4} 
 
9.8 Atividades 
 
Exercício 1. Um estudo revelou que o número de investidores de uma empresa está crescendo à 
taxa de 20% ao ano. Isso significa que o número de investidores em um determinado ano é 1,2 vez 
maior que o número do ano anterior. Atualmente temos 1000 investidores. 
(a) Qual será o número de investidores daqui a 1 ano? 
(b) Qual será o número de investidores daqui a 2 anos? 
(c) Qual será o número de investidores daqui a t anos? 
(d) Esboce o gráfico dessa função. 
 
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Exercício 2. Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a 
relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência 
possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão: 
0,5700 400 tQ e−= − , em que: 
Q= quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; 
t = meses de experiência; 
e = 2,72. 
(a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência 
deverá produzir mensalmente? 
(b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente? 
Compare esse resultado do item a. Há coerência entre eles? 
 
Exercício 3. Meia vida ou período de semidesintegração é o tempo necessário para a 
desintegração de metade dos átomos radioativos ( ou metade da massa) de um certo isótopo de um 
elemento químico. A Química nos ensina que, na verdade, a massa desse isótopo não está 
sumindo: apenas está diminuindo pelo fato de o isótopo se transformar em outro isótopo. O cobalto 
60, 6027Co , tem meia vida de 5 anos. Ele é usado em hospitais na radioterapia, para tratamento de 
pacientes com câncer. A partir de uma amostra de 10gdo cobalto 60, determine: 
 
(a) A massa desse isótopo daqui a 5 anos e daqui a 10 anos. 
(b) Seja x o número de meias vidas. Encontre a lei que relaciona a massa m da amostra em função 
de x e esboce o gráfico dessa função. 
(c) Determine, a partir da lei, a massa desse isótopo daqui a 25 anos e daqui a 1 século. 
 
Exercício 4. Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a lei 
���� = 450000�1,1��, em que t é o número de anos. 
(a) Qual é o valor atual desse imóvel? 
(b) Segundo o modelo matemático o imóvel irá valorizar ou desvalorizar anualmente? 
(c) Qual é a taxa de variação em percentual anual desse imóvel? 
(d) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos? 
(e) Daqui a quantos anos o imóvel valerá mais R$ 1.000.000,00? 
 
Exercício 5. Um dos produtos liberados nos acidentes em usinas nucleares é o isótopo do estrôncio 
90, 90Sr , cuja meia vida é de 28 anos. Se uma explosão nuclear liberou 960g desse isótopo, 
determine: 
(a) A massa desse isótopo 84 anos após essa explosão; 
(b) O tempo necessário para que a massa desse isótopo seja de 7,5g 
 
 
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Exercício 6. Uma maionese mal conservada causou mal estar nos frequentadores de um clube. 
Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: 
( ) 200.2 ,= atn t em que ( )n t é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t 
horas, após o início do almoço e a é uma constante real. 
(a) Determine o número inicial de bactérias. 
(b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800, determine o 
valor da constante a. 
(c) Determine o número de bactérias após 1 dia da realização do almoço (Use: 2�� ≈ 10!). 
 
Exercício 7. A lei seguinte representa o crescimento do número de pessoas infectadas por uma 
gripe, em certa metrópole: 
( ) .2 ,btN t a= 
em que ( )N t é o número de pessoas infectadas t dias após a realização desse estudo e a e b são 
constantes reais. Sabendo que no dia em que se iniciou o estudo já havia 3.000 pessoas infectadas 
e que, após 2 dias, esse número já era de 24.000 pessoas, determine: 
(a) Os valores das constantes a e b. 
(b) O número de infectados pela gripe, após 16 horas do início dos estudos. 
(c) O número mínimo de dias necessários para que o número de infectados ultrapasse 3 milhões. 
(Use a aproximação: 2�� ≈ 10!).